Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 1
INTERAÇÕES DA LINGUAGEM E DA MATEMÁTICA: CESARO – COMO
SOMATÓRIA PARA CERTAS SÉRIES DIVERGENTES
INTERACCIONES DEL LENGUAJE Y LAS MATEMÁTICAS: CESARO – COMO SUMA DE
CIERTAS SERIES DIVERGENTES
INTERACTIONS OF LANGUAGE AND MATHEMATICS: CESARO – LIKE SUMMATION
FOR CERTAIN DIVERGENT SERIES
Ramaswamy SIVARAMAN1
e-mail: rsivaraman1729@yahoo.co.in
Como referenciar este artigo:
SIVARAMAN, R. Interações da linguagem e da matemática:
Cesaro – como somatória para certas séries divergentes. Rev.
EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN:
2447-3529. DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895
| Submetido em: 20/11/2022
| Revisões requeridas em: 25/12/2022
| Aprovado em: 19/01/2023
| Publicado em: 22/03/2023
Editora:
Profa. Dra. Rosangela Sanches da Silveira Gileno
Editor Adjunto Executivo:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Faculdade Dwaraka Doss Goverdhan Doss Vaishnav, Chennai – Índia. Professor Associado, Departamento de
Matemática.
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 2
RESUMO: A matemática tem sua linguagem especial, incluindo gramática e símbolos
compartilhados por matemáticos universalmente, independentemente de sua língua materna.
Como a matemática é a mesma em todo o mundo, ela pode servir como uma linguagem global.
A ideia de atribuir certos valores finitos específicos a determinadas séries divergentes é
chamada de Soma de Cesaro. Este artigo tenta analisar a interação entre matemática e
linguagem, considerando Cesaro – como soma para certas séries divergentes. Para atingir esse
objetivo, polinômios eulerianos são utilizados. Além disso, um novo método de determinação
de valores de soma de Cesaro integrando funções geradoras particulares é definido sobre os
intervalos fechados e limitados para uma série de potência infinita geral cujos coeficientes são
milésimas potências de números naturais. As respostas obtidas fornecem novos insights sobre
a compreensão do processo de soma de Cesaro e oferecem uma grande generalização e também
revelam a misteriosa interação da matemática e da linguagem.
PALAVRAS-CHAVE: Linguagem. Matemática. Polinômios eulerianos. Relação de
recorrência. Cesaro – como soma.
RESUMEN: Las matemáticas tienen su lenguaje especial, que incluye la gramática y los
símbolos compartidos por los matemáticos universalmente, independientemente de su lengua
materna. Como las matemáticas son las mismas en todo el mundo, pueden servir como un
lenguaje global. La idea de asignar ciertos valores finitos específicos a ciertas series
divergentes se llama Cesaro Sum. Este artículo trata de analizar la interacción entre
matemática y lenguaje, considerando a Cesaro – como suma de ciertas series divergentes. Para
lograr este objetivo, se utilizan polinomios eulerianos. Además, se define un nuevo método para
determinar los valores de la suma de Cesaro integrando funciones generadoras particulares
sobre los intervalos cerrados y acotados para una serie general de potencias infinitas cuyos
coeficientes son m-ésimas potencias de números naturales. Las respuestas obtenidas brindan
nuevos conocimientos para comprender el proceso de suma de Cesaro y ofrecen una gran
generalización y también revelan la misteriosa interacción de las matemáticas y el lenguaje.
PALABRAS CLAVE: Lenguaje. Matemáticas. Polinomios eulerianos. Relación de
recurrencia. Cesaro – como suma.
ABSTRACT: Mathematics has its special language including grammar and symbols shared by
Mathematicians universally, regardless of their mother tongue. Since mathematics is the same
all across the globe, math can serve as a global language. The idea of assigning certain specific
finite values to given divergent series is called Cesaro Summation. This paper attempts to
analyze the interaction between mathematics and language, considering Cesaro – like
summation for certain divergent series. To meet that aim, Eulerian polynomials are utilized.
Also, a novel method of determining Cesaro – Like summation values by integrating particular
generating functions is defined over the closed and bounded intervals for a general infinite
power series whose coefficients are mth powers of natural numbers. The answers obtained
provide new insights into understanding the Cesaro – Like summation process and offer a great
deal of generalization and also reveal the mysterious interaction of mathematics and language.
KEYWORDS: Language. Mathematics. Eulerian polynomials. Recurrence relation. Cesaro –
like summation.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 3
Introdução
A linguagem matemática é considerada uma grande extensão da linguagem natural
utilizada na ciência e na matemática para expressar resultados com precisão, concisão e sem
ambiguidade. (RIMM-KAUFMAN et al., 2015; HOFMANN; MERCER, 2016; PURPURA;
REID, 2016).
A linguagem e a matemática não parecem ser disciplinas tão separadas quanto se pode
imaginar. A matemática tem sua notação ou linguagem peculiar, incluindo símbolos exclusivos
da matemática, como o símbolo ‘=’ (LEHRL et al., 2020; PURPURA; REID, 2016; MARTIN;
RIMM-KAUFMAN, 2015).
O conceito de atribuir certos valores para séries divergentes infinitas foi atribuído ao
matemático italiano Ernesto Cesaro (BLUMS et al., 2017; ULATOWSKI et al., 2016;
GENLOTT; GRÖNLUND, 2016). A soma de Cesaro discute sobre o limite da sequência de
somas parciais de uma dada série (LEYVA et al., 2015). Desde que essa ideia surgiu, vários
matemáticos a generalizaram de várias formas (REDISH; KUO, 2015; PENG et al., 2020).
Neste artigo, determinarei a soma de Cesaro para duas séries divergentes infinitas específicas
relacionadas à soma de potências usando funções geradoras adequadas. Encontramos
polinômios eulerianos para realizar tal tarefa. Alguns gráficos são exibidos para verificar os
resultados obtidos.
Métodos
Polinômios Eulerianos
Os polinômios eulerianos são uma classe de polinômios cujos coeficientes ocorrem na
contagem do número de permutações com descidas particulares. Os primeiros polinômios
eulerianos são dados por
(1) Notamos que os coeficientes dos polinômios eulerianos, chamados de números
eulerianos, são simétricos e, portanto,
( 1) 0
n
E−=
sempre que n é um número inteiro positivo
ímpar.
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
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Gerando funções
Primeiro, notamos as seguintes funções geradoras de séries infinitas cujos coeficientes
estão relacionados a m-ésimas potências de números naturais.
Se m é um inteiro positivo, suponhamos que
2 3 4
( ) 1 2 3 4 5
m m m m m
m
S x x x x x= + + + + +
(2)
Para qualquer número real x, notamos de (2), que
()
m
Sx
é uma série de potências infinita
em x que é divergente para todo x tal que
1x
. Além disso, os coeficientes de
()
m
Sx
são m-
ésimas potências dos números naturais.
De (1) e (2), obtemos as seguintes equações:
2 3 4
01
22
2 2 2 2 3 2 4
12
33
23 3 2 3 3 3 4
23
44
23 4 4 2 4
355
() 11 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 11 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 14 1 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 1 11 11 1 2 3 4
(1 ) (1 )
Ex x x x x S x
xx
Ex xx x x x S x
xx
Ex xx x x x x S x
xx
Ex x x x x x x
xx
= = + + + + +=
−−
+
= = + + + + + =
−−
++
= = + + + + + =
−−
+ + +
= = + + +
−−
3 4 4 4
2 3 4 5 5 2 5 3 5 4
45
66
5 ( )
() 1 26 66 26 1 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
...
x S x
Ex x x x x x x x x S x
xx
+ +=
+ + + +
= = + + + + +=
−−
(3)
Em geral, para qualquer inteiro positivo m, temos
2 3 4
11
() 1 2 3 4 5 ( )
(1 )
m m m m m
mm
m
Ex x x x x S x
x
−
+= + + + + +=
−
(4)
Assim
11
()
(1 )
mm
Ex
x
−
+
−
se comporta como as funções geradoras para cada m para a série de
potência
()
m
Sx
.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
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Cesaro – como somatória
O Cesaro – como somatória para a série de poder
()
m
Sx
em x = k é definido como
( )
( )
0
2 3 4 11
()
( ) 1 2 3 4 5 ( ) ( ) (1 )
m m m m m m
mm
xk
Ex
CL k k k k CL S k dx
x
−
+
=−
+ + + + + = = −
(5)
onde k é qualquer número real positivo. Aqui CL refere-se a Cesaro – Como processo de soma.
Provamos agora um teorema relacionado a encontrar Cesaro – Como soma para a série
de potências
()
m
Sx
.
Teorema 1
O Cesaro – Como a soma das séries de potências
2 3 4
( ) 1 2 3 4 5
m m m m m
m
S x x x x x= + + + + +
para
2m
em x = k é dado por
( )
2()
( ) ( ) ( 1)
m
mm
kE k
CL S k k
−−
=+
(6)
onde
2()
m
Ek
−−
são polinômios eulerianos avaliados em
xk=−
e k é qualquer número real
positivo.
Prova: Usando (6), obtemos
( )
011
()
( ) ( ) (1 )
m
mm
xk
Ex
CL S k dx
x
−
+
=−
=−
Notamos que a função
11
()
(1 )
mm
Ex
x
−
+
−
é contínua em
[ ,0]k−
, portanto, a integral definida
acima existe. Sabemos que os polinômios eulerianos satisfazem a relação de recorrência
11
( ) (1 ) ( ) ( 1) ( )
m m m
E x x x E x mx E x
−−
= − + +
(7)
Agora usando (7) e a fórmula de Integração por partes, obtemos
( )
00
22
111
00 2
21
0
2
21
(1 ) ( ) (( 1) 1) ( )
()
( ) ( ) (1 ) (1 )
(( 1) 1) ( )
()
(1 ) (1 )
(( 1) 1) ( )
()
(1 ) (1 )
mm
m
mmm
x k x k
m
mmm
x k x k
m
m
mm
x
xk
x x E x m x E x
Ex
CL S k dx dx
xx
m x E x
xE x dx dx
xx
m x E x
xEx
xx
−−
−
++
=− =−
−
−
+
=− =−
−
−+
=
=−
− + − +
==
−−
−+
=+
−−

−+

=−


−−




00
2
1
2
(( 1) 1) ( )
(1 )
()
( 1)
m
m
k x k
mm
m x E x
dx dx
x
kE k
k
−
+
− =−
−
−+
+−
−
=+

(8)
Isso completa a prova.
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Corolário
Se m é um inteiro positivo, então
( )
21
( ) (1) 0
m
CL S +=
Prova: Usando (1-8) obtemos
( )
02 2 1 2 1
21 2 2 2 1 2 1
11
( ) ( ) ( 1)
( ) (1) 0
(1 ) ( 1) 2
m m m
mm m m
xk
E x kE k E
CL S dx
xk
−−
++ + +
=− =

−−
= = = =

−+

(9)
Isso completa a prova.
De (9), notamos que
3 3 3 3 3 5 5 5 5 5
7 7 7 7 7 9 9 9 9 9
( )(1 2 3 4 5 ) 0,( )(1 2 3 4 5 ) 0,
( )(1 2 3 4 5 ) 0,( )(1 2 3 4 5 ) 0,...
CL CL
CL CL
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
(10)
Resultados e discussão
Nesta seção, tentamos verificar os resultados obtidos na seção 4 usando gráficos de
funções geradoras de
()
m
Sx
em x = k, onde k é um número real positivo.
Figura 1:
00
2
3
11
11
()
(1 ) 4
xdx S x dx
x
−−
+==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–1, 0] então com k = 1, m = 2 obtemos
( )
0
2 2 2 2 2 0
22
2
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 24
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. Isso verifica o
cálculo mostrado na Figura 1.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 7
Figura 2:
00
2
3
22
12
()
(1 ) 9
xdx S x dx
x
−−
+==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–2, 0] então com k = 2, m = 2 obtemos
( )
0
2 2 2 2 2 3 2 4 0
22
2
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 39
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 2.
Figura 3:
00
2
3
4
11
14 ( ) 0
(1 )
xx
dx S x dx
x
−−
++ ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 8
Se considerarmos o intervalo [–1, 0] então com k = 1, m = 3 obtemos
( )
0
3 3 3 3 3 1
33
3
1
( 1)
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 0
2
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. Isso verifica o cálculo
mostrado na Figura 3.
Figura 4:
00
2
3
4
22
1 4 2
()
(1 ) 27
xx
dx S x dx
x
−−
++ = = −
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–2, 0] então com k = 2, m = 3 obtemos
( )
0
3 3 3 2 3 3 3 4 1
33
3
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 27
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
.
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 4.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 9
Figura 5:
00
23
4
5
11
1 11 11 1
()
(1 ) 8
x x x dx S x dx
x
−−
+ + + = = −
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–1, 0] então com k = 1, m = 4 obtemos
( )
0
4 4 4 4 4 2
44
4
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 28
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
. Isso verifica o
cálculo mostrado na Figura 5.
Figura 6:
00
23
4
5
22
1 11 11 2
()
(1 ) 27
x x x dx S x dx
x
−−
+ + + = = −
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 10
Se considerarmos o intervalo [–2, 0] então com k = 2, m = 4 obtemos
( )
0
4 4 4 2 4 3 4 4 2
44
4
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 27
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 6.
Figura 7:
00
2 3 4
5
6
11
1 26 66 26 ( ) 0
(1 )
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–1, 0] então com k = 1, m = 5 obtemos
( )
0
5 5 5 5 5 3
55
5
1
( 1)
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 0
2
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. Isso verifica o
cálculo mostrado na Figura 7.
Figura 8:
00
2 3 4
5
6
22
1 26 66 26 10
()
(1 ) 81
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 11
Se considerarmos o intervalo [–2, 0] então com k = 2, m = 5 obtemos
( )
0
5 5 5 2 5 3 5 4 3
55
5
2
2 ( 2) 10
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 81
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 8.
Figura 9:
00
2 3 4
5
6
33
1 26 66 26 30
()
(1 ) 256
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–3, 0] então com k = 3, m = 5 obtemos
( )
0
5 5 5 2 5 3 5 4 3
55
5
3
3 ( 3) 30
( ) (3) ( )(1 2 3 3 3 4 3 5 3 ) ( ) 4 256
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 9.
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 12
Figura 10:
00
2 3 4 5
6
7
11
1 57 302 302 57 1
()
(1 ) 4
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–1, 0] então com k = 1, m = 6 obtemos
( )
0
6 6 6 6 6 4
66
6
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 24
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. Isso verifica o
cálculo mostrado na Figura 10.
Figura 11:
00
2 3 4 5
6
7
22
1 57 302 302 57 14
()
(1 ) 243
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + ==
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 13
Se considerarmos o intervalo [–2, 0] então com k = 2, m = 6 obtemos
( )
0
6 6 6 2 6 3 6 4 4
66
6
2
2 ( 2) 14
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 243
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 11.
Figura 12:
00
2 3 4 5
6
7
33
1 57 302 302 57 39
()
(1 ) 512
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + = = −
−

Fonte: Elaborado pelo autor
Se considerarmos o intervalo [–3, 0] então com k = 3, m = 6 obtemos
( )
0
6 6 6 2 6 3 6 4 4
66
6
3
3 ( 3) 39
( ) (3) ( )(1 2 3 3 3 4 3 5 3 ) ( ) 4 512
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
Isso verifica o cálculo mostrado na Figura 12.
Conclusão
Considerando a ideia de Cesaro – Como soma para uma determinada série de potências
()
m
Sx
, obtive uma boa expressão fechada para computar
( )
( ) ( )
m
CL S k
para qualquer número
real positivo k. A resposta dada pelo Teorema 1 deste trabalho é uma expressão racional obtida
em função de k. Assim, escolhendo valores positivos de conveniência de k, por meio dessa
expressão racional, podemos gerar quantos valores de somatório Cesaro – Como soma de
valores que desejamos
Curiosamente, para o processo de soma descrito neste artigo, notamos que Cesaro –
Como soma valores de soma de potências ímpares de números naturais são sempre zero. Doze
Interações da linguagem e da matemática: Cesaro – como somatória para certas séries divergentes
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 14
figuras foram exibidas usando o software on-line gratuito Desmos para calcular integrais
definidas para verificar a fórmula obtida no teorema 1. Portanto, as ideias apresentadas neste
artigo nos fornecem o caminho para obter vários valores de soma de Cesaro – como somatória
de valores para cada k positivo e para positivo inteiro m tal que
2m
. Podemos generalizar a
forma como definimos o Cesaro – como somatória em si e tentar obter outros resultados
interessantes.
REFERÊNCIAS
BLUMS, A. et al. Building links between early socioeconomic status, cognitive ability, and
math and science achievement. Journal of Cognition and Development, v. 18, n. 1, p. 16-
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GENLOTT, A. A.; GRÖNLUND, Å. Closing the gaps–Improving literacy and mathematics
by ict-enhanced collaboration. Computers & Education, n. 99, p. 68-80, 2016.
HOFMANN, R.; MERCER, N. Teacher interventions in small group work in secondary
mathematics and science lessons. Language and education, v. 30, n. 5, p. 400-416, 2016.
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learning environment and students’ academic outcomes in secondary school. School
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LEYVA, D. et al. Teacher–child interactions in Chile and their associations with
prekindergarten outcomes. Child development, v. 86, n. 3, p. 781-799, 2015.
MARTIN, D. P.; RIMM-KAUFMAN, S. E. Do student self-efficacy and teacher-student
interaction quality contribute to emotional and social engagement in fifth grade math?.
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PENG, P. et al. Examining the mutual relations between language and mathematics: A meta-
analysis. Psychological Bulletin, v. 146, n. 7, p. 595, 2020.
PURPURA, D. J.; REID, E. E. Mathematics and language: Individual and group differences
in mathematical language skills in young children. Early Childhood Research Quarterly, v.
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REDISH, E. F.; KUO, E. Language of physics, language of math: Disciplinary culture and
dynamic epistemology. Science & Education, v. 24, n. 5, p. 561-590, 2015.
RIMM-KAUFMAN, S. E. et al. To what extent do teacher–student interaction quality and
student gender contribute to fifth graders’ engagement in mathematics learning?. Journal of
Educational Psychology, v. 107, n. 1, p. 170, 2015.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 15
ULATOWSKI, F. et al. Recognizing the limited applicability of Job plots in studying host–
guest interactions in supramolecular chemistry. The Journal of organic chemistry, v. 81, n.
5, p. 1746-1756, 2016.
Processamento e editoração: Editora Ibero-Americana de Educação.
Revisão, formatação, normalização e tradução.
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 1
INTERACTIONS OF LANGUAGE AND MATHEMATICS: CESARO – LIKE
SUMMATION FOR CERTAIN DIVERGENT SERIES
INTERAÇÕES DA LINGUAGEM E DA MATEMÁTICA: CESARO – COMO SOMATÓRIA
PARA CERTAS SÉRIES DIVERGENTES
INTERACCIONES DEL LENGUAJE Y LAS MATEMÁTICAS: CESARO – COMO SUMA DE
CIERTAS SERIES DIVERGENTES
Ramaswamy SIVARAMAN1
e-mail: rsivaraman1729@yahoo.co.in
How to reference this article:
SIVARAMAN, R. Interactions of language and mathematics:
Cesaro – like summation for certain divergent series. Rev.
EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN:
2447-3529. DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895
| Submitted: 20/11/2022
| Required revisions: 25/12/2022
| Approved: 19/01/2023
| Published: 22/03/2023
Editor:
Profa. Dra. Rosangela Sanches da Silveira Gileno
Deputy Executive Editor:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Dwaraka Doss Goverdhan Doss Vaishnav College, Chennai – India. Associate Professor, Department of
Mathematics.
Interactions of language and mathematics: Cesaro – like summation for certain divergent series
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 2
ABSTRACT: Mathematics has its special language including grammar and symbols shared by
Mathematicians universally, regardless of their mother tongue. Since mathematics is the same
all across the globe, math can serve as a global language. The idea of assigning certain specific
finite values to given divergent series is called Cesaro Summation. This paper attempts to
analyze the interaction between mathematics and language, considering Cesaro – like
summation for certain divergent series. To meet that aim, Eulerian polynomials are utilized.
Also, a novel method of determining Cesaro – Like summation values by integrating particular
generating functions is defined over the closed and bounded intervals for a general infinite
power series whose coefficients are mth powers of natural numbers. The answers obtained
provide new insights into understanding the Cesaro – Like summation process and offer a great
deal of generalization and also reveal the mysterious interaction of mathematics and language.
KEYWORDS: Language. Mathematics. Eulerian polynomials. Recurrence relation. Cesaro –
like summation.
RESUMO: A matemática tem sua linguagem especial, incluindo gramática e símbolos
compartilhados por matemáticos universalmente, independentemente de sua língua materna.
Como a matemática é a mesma em todo o mundo, ela pode servir como uma linguagem global.
A ideia de atribuir certos valores finitos específicos a determinadas séries divergentes é
chamada de Soma de Cesaro. Este artigo tenta analisar a interação entre matemática e
linguagem, considerando Cesaro – como soma para certas séries divergentes. Para atingir
esse objetivo, polinômios eulerianos são utilizados. Além disso, um novo método de
determinação de valores de soma de Cesaro integrando funções geradoras particulares é
definido sobre os intervalos fechados e limitados para uma série de potência infinita geral
cujos coeficientes são milésimas potências de números naturais. As respostas obtidas fornecem
novos insights sobre a compreensão do processo de soma de Cesaro e oferecem uma grande
generalização e também revelam a misteriosa interação da matemática e da linguagem.
PALAVRAS-CHAVE: Linguagem. Matemática. Polinômios eulerianos. Relação de
recorrência. Cesaro – como soma.
RESUMEN: Las matemáticas tienen su lenguaje especial, que incluye la gramática y los
símbolos compartidos por los matemáticos universalmente, independientemente de su lengua
materna. Como las matemáticas son las mismas en todo el mundo, pueden servir como un
lenguaje global. La idea de asignar ciertos valores finitos específicos a ciertas series
divergentes se llama Cesaro Sum. Este artículo trata de analizar la interacción entre
matemática y lenguaje, considerando a Cesaro – como suma de ciertas series divergentes. Para
lograr este objetivo, se utilizan polinomios eulerianos. Además, se define un nuevo método para
determinar los valores de la suma de Cesaro integrando funciones generadoras particulares
sobre los intervalos cerrados y acotados para una serie general de potencias infinitas cuyos
coeficientes son m-ésimas potencias de números naturales. Las respuestas obtenidas brindan
nuevos conocimientos para comprender el proceso de suma de Cesaro y ofrecen una gran
generalización y también revelan la misteriosa interacción de las matemáticas y el lenguaje.
PALABRAS CLAVE: Lenguaje. Matemáticas. Polinomios eulerianos. Relación de
recurrencia. Cesaro – como suma.
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 3
Introduction
The mathematical language is regarded as a huge extension of the natural language
utilized in science and mathematics for stating outcomes with precision, concision and
unambiguity (RIMM-KAUFMAN et al., 2015; HOFMANN; MERCER, 2016; PURPURA;
REID, 2016).
Language and mathematics do not appear to be subjects as separate as one may imagine
them to be. Mathematics has its peculiar notation or language including symbols unique to
mathematics, like the ‘=’ symbol (LEHRL et al., 2020; PURPURA; REID, 2016; MARTIN;
RIMM-KAUFMAN, 2015).
The concept of assigning certain values for infinite divergent series was attributed to
Italian mathematician Ernesto Cesaro (BLUMS et al., 2017; ULATOWSKI et al., 2016;
GENLOTT; GRÖNLUND, 2016). The Cesaro summation discuss about the limit of sequence
of partial sums of a given series (LEYVA et al., 2015). Ever since this idea emerged, several
mathematicians generalized it in various forms (REDISH; KUO, 2015; PENG et al., 2020). In
this paper, I will determine the Cesaro – Like Summation for two specific infinite divergent
series related to sum of powers using suitable generating functions. We encounter Eulerian
polynomials for performing such task. Some graphs are displayed to verify the results obtained.
Methods
Eulerian Polynomials
Eulerian polynomials are class of polynomials whose coefficients occur in counting
number of permutations with particular descents. The first few Eulerian polynomials are given
by
2 2 3
0 1 2 3
2 3 4 2 3 4 5
45
( ) 1, ( ) 1 , ( ) 1 4 , ( ) 1 11 11 ,
( ) 1 26 66 26 , ( ) 1 57 302 302 57 ,...
E x E x x E x x x E x x x x
E x x x x x E x x x x x x
= = + = + + = + + +
= + + + + = + + + + +
(1) We notice that the coefficients of Eulerian polynomials which are called Eulerian
Numbers are symmetric and hence
( 1) 0
n
E−=
whenever n is an odd positive integer.
Interactions of language and mathematics: Cesaro – like summation for certain divergent series
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
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Generating functions
First, we notice the following generating functions for infinite series whose coefficients
are related to mth powers of natural numbers.
If m is a positive integer, let us assume that
2 3 4
( ) 1 2 3 4 5
m m m m m
m
S x x x x x= + + + + +
(2)
For any real number x, we notice from (2), that
()
m
Sx
is an infinite power series in x
which is divergent for all x such that
1x
. Moreover, the coefficients of
()
m
Sx
are mth powers
of natural numbers.
From (1) and (2), we obtain the following equations:
2 3 4
01
22
2 2 2 2 3 2 4
12
33
23 3 2 3 3 3 4
23
44
23 4 4 2 4
355
() 11 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 11 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 14 1 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
() 1 11 11 1 2 3 4
(1 ) (1 )
Ex x x x x S x
xx
Ex xx x x x S x
xx
Ex xx x x x x S x
xx
Ex x x x x x x
xx
= = + + + + + =
−−
+
= = + + + + + =
−−
++
= = + + + + + =
−−
+ + +
= = + + +
−−
3 4 4 4
2 3 4 5 5 2 5 3 5 4
45
66
5 ( )
() 1 26 66 26 1 2 3 4 5 ( )
(1 ) (1 )
...
x S x
Ex x x x x x x x x S x
xx
+ +=
+ + + +
= = + + + + +=
−−
(3)
In general, for any positive integer m, we have
2 3 4
11
() 1 2 3 4 5 ( )
(1 )
m m m m m
mm
m
Ex x x x x S x
x
−
+= + + + + +=
−
(4)
Thus
11
()
(1 )
mm
Ex
x
−
+
−
behaves as the generating functions for each m for the power series
()
m
Sx
.
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Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
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Cesaro – like summation
The Cesaro – Like Summation for the power series
()
m
Sx
at x = k is defined as
( )
( )
0
2 3 4 11
()
( ) 1 2 3 4 5 ( ) ( ) (1 )
m m m m m m
mm
xk
Ex
CL k k k k CL S k dx
x
−
+
=−
+ + + + + = = −
(5)
where k is any positive real number. Here CL refers to Cesaro – Like summation process.
We now prove a theorem related to finding Cesaro – Like summation for the power
series
()
m
Sx
.
Theorem 1
The Cesaro – Like summation of the power series
2 3 4
( ) 1 2 3 4 5
m m m m m
m
S x x x x x= + + + + +
for
2m
at x = k is given by
( )
2()
( ) ( ) ( 1)
m
mm
kE k
CL S k k
−−
=+
(6)
where
2()
m
Ek
−−
are Eulerian polynomials evaluated at
xk=−
and k is any positive real number.
Proof: Using (6), we get
( )
011
()
( ) ( ) (1 )
m
mm
xk
Ex
CL S k dx
x
−
+
=−
=−
We notice that the function
11
()
(1 )
mm
Ex
x
−
+
−
is continuous in
[ ,0]k−
, Hence the integral defined
above exists. We know that the Eulerian polynomials satisfy the recurrence relation
11
( ) (1 ) ( ) ( 1) ( )
m m m
E x x x E x mx E x
−−
= − + +
(7)
Now using (7) and Integration by parts formula, we obtain
( )
00
22
111
00 2
21
0
2
21
(1 ) ( ) (( 1) 1) ( )
()
( ) ( ) (1 ) (1 )
(( 1) 1) ( )
()
(1 ) (1 )
(( 1) 1) ( )
()
(1 ) (1 )
mm
m
mmm
x k x k
m
mmm
x k x k
m
m
mm
x
xk
x x E x m x E x
Ex
CL S k dx dx
xx
m x E x
xE x dx dx
xx
m x E x
xEx
xx
−−
−
++
=− =−
−
−
+
=− =−
−
−+
=
=−
− + − +
==
−−
−+
=+
−−

−+

=−


−−




00
2
1
2
(( 1) 1) ( )
(1 )
()
( 1)
m
m
k x k
mm
m x E x
dx dx
x
kE k
k
−
+
− =−
−
−+
+−
−
=+

(8)
This completes the proof.
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Corollary
If m is a positive integer, then
( )
21
( ) (1) 0
m
CL S +=
Proof: Using (1-8) we get
( )
02 2 1 2 1
21 2 2 2 1 2 1
11
( ) ( ) ( 1)
( ) (1) 0
(1 ) ( 1) 2
m m m
mm m m
xk
E x kE k E
CL S dx
xk
−−
++ + +
=− =

−−
= = = =

−+

(9)
This completes the proof.
From (9), we note that
3 3 3 3 3 5 5 5 5 5
7 7 7 7 7 9 9 9 9 9
( )(1 2 3 4 5 ) 0,( )(1 2 3 4 5 ) 0,
( )(1 2 3 4 5 ) 0,( )(1 2 3 4 5 ) 0,...
CL CL
CL CL
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
(10)
Results and discussion
In this section, we try to verify the results obtained in section 4 using graphs of
generating functions of
()
m
Sx
at x = k, where k is a positive real number.
Figure 1:
00
2
3
11
11
()
(1 ) 4
xdx S x dx
x
−−
+==
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–1, 0] then with k = 1, m = 2 we obtain
( )
0
2 2 2 2 2 0
22
2
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 24
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. This verifies the
calculation shown in Figure 1.
Ramaswamy SIVARAMAN
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Figure 2:
00
2
3
22
12
()
(1 ) 9
xdx S x dx
x
−−
+==
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–2, 0] then, with k = 2, m = 2 we obtain
( )
0
2 2 2 2 2 3 2 4 0
22
2
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 39
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
This verifies the calculation shown in Figure 2.
Figure 3:
00
2
3
4
11
14 ( ) 0
(1 )
xx
dx S x dx
x
−−
++ ==
−

Source: Devised by the author
Interactions of language and mathematics: Cesaro – like summation for certain divergent series
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DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 8
If we consider the interval [–1, 0] then with k = 1, m = 3 we obtain
( )
0
3 3 3 3 3 1
33
3
1
( 1)
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 0
2
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. This verifies the
calculation shown in Figure 3.
Figure 4:
00
2
3
4
22
1 4 2
()
(1 ) 27
xx
dx S x dx
x
−−
++ = = −
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–2, 0] then with k = 2, m = 3 we get
( )
0
3 3 3 2 3 3 3 4 1
33
3
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 27
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
This verifies the calculation shown in Figure 4.
Figure 5:
00
23
4
5
11
1 11 11 1
()
(1 ) 8
x x x dx S x dx
x
−−
+ + + = = −
−

Source: Devised by the author
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DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 9
If we consider the interval [–1, 0] then with k = 1, m = 4 we obtain
( )
0
4 4 4 4 4 2
44
4
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 28
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
. This verifies the
calculation shown in Figure 5.
Figure 6:
00
23
4
5
22
1 11 11 2
()
(1 ) 27
x x x dx S x dx
x
−−
+ + + = = −
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–2, 0] then with k = 2, m = 4 we get
( )
0
4 4 4 2 4 3 4 4 2
44
4
2
2 ( 2) 2
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 27
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
This verifies the calculation shown in Figure 6.
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DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 10
Figure 7:
00
2 3 4
5
6
11
1 26 66 26 ( ) 0
(1 )
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–1, 0] then with k = 1, m = 5 we obtain
( )
0
5 5 5 5 5 3
55
5
1
( 1)
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 0
2
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. This verifies the
calculation shown in Figure 7.
Figure 8:
00
2 3 4
5
6
22
1 26 66 26 10
()
(1 ) 81
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Source: Devised by the author
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DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 11
If we consider the interval [–2, 0] then with k = 2, m = 5 we get
( )
0
5 5 5 2 5 3 5 4 3
55
5
2
2 ( 2) 10
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 81
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
This verifies the calculation shown in Figure 8.
Figure 9:
00
2 3 4
5
6
33
1 26 66 26 30
()
(1 ) 256
x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + ==
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–3, 0] then with k = 3, m = 5 we get
( )
0
5 5 5 2 5 3 5 4 3
55
5
3
3 ( 3) 30
( ) (3) ( )(1 2 3 3 3 4 3 5 3 ) ( ) 4 256
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
This verifies the calculation shown in Figure 9.
Interactions of language and mathematics: Cesaro – like summation for certain divergent series
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 12
Figure 10:
00
2 3 4 5
6
7
11
1 57 302 302 57 1
()
(1 ) 4
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + ==
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–1, 0] then with k = 1, m = 6 we obtain
( )
0
6 6 6 6 6 4
66
6
1
( 1) 1
( ) (1) ( )(1 2 3 4 5 ) ( ) 24
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
. This verifies the
calculation shown in Figure 10.
Figure 11:
00
2 3 4 5
6
7
22
1 57 302 302 57 14
()
(1 ) 243
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + ==
−

Source: Devised by the author
Ramaswamy SIVARAMAN
Rev. EntreLinguas, Araraquara, v. 9, n. 00, e023007, 2023. e-ISSN: 2447-3529
DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 13
If we consider the interval [–2, 0] then k = 2, m = 6 we get
( )
0
6 6 6 2 6 3 6 4 4
66
6
2
2 ( 2) 14
( ) (2) ( )(1 2 2 3 2 4 2 5 2 ) ( ) 3 243
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = =
.
This verifies the calculation shown in Figure 11.
Figure 12:
00
2 3 4 5
6
7
33
1 57 302 302 57 39
()
(1 ) 512
x x x x x dx S x dx
x
−−
+ + + + + = = −
−

Source: Devised by the author
If we consider the interval [–3, 0] then with k = 3, m = 6 we get
( )
0
6 6 6 2 6 3 6 4 4
66
6
3
3 ( 3) 39
( ) (3) ( )(1 2 3 3 3 4 3 5 3 ) ( ) 4 512
x
E
CL S CL S x dx
=−
−
= + + + + + = = = −
This verifies the calculation shown in Figure 12.
Conclusion
By considering the idea of Cesaro – Like summation for a particular power series
()
m
Sx
I had obtained a nice, closed expression for computing
( )
( ) ( )
m
CL S k
for any positive real
number k. The answer given by Theorem 1 of this paper, is a rational expression obtained as
function of k. Hence choosing convenience positive values of k, through this rational
expression, we can generate as many Cesaro – Like summation values as we wish.
Curiously, for the summation process described in this paper, we notice that Cesaro –
Like summation values of sum of odd powers of natural numbers are always zero. Twelve
Interactions of language and mathematics: Cesaro – like summation for certain divergent series
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DOI: https://doi.org/10.29051/el.v9i00.17895 14
figures were displayed using Desmos free online software for computing definite integrals to
verify the formula obtained in theorem 1. Hence, the ideas presented in this paper, provide us
the way for obtaining several Cesaro – Like summation values for each positive k and for
positive integer m such that
2m
. We can generalize the way we have defined the Cesaro –
Like summation as in and try to obtain other interesting results.
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Processing and editing: Editora Ibero-Americana de Educação.
Proofreading, formatting, normalization and translation.