PRESUPUESTOS PSICOLÓGICOS Y DIDÁCTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
PSYCHOLOGICAL AND DIDACTIC ASSUMPSIONS ON MATHEMATICAL PROBLEM SOLVING
Fatima Aparecida Souza FRANCIOLI1 Nilza Marcia Mulatti SILVA2
RESUMEN: Este artículo tomó como punto de referencia, los análisis manifestados en una investigación de maestría en el área de enseñanza y tiene como objetivo presentar los presupuestos psicológicos y didácticos referentes a la solución de problemas matemáticos. La investigación se basó en el modelo teórico-metodológico, discute las dificultades de los estudiantes, en los primeros años de la escuela primaria, para resolver problemas matemáticos. Para esto, se utilizaron los estudios de Kalmykova para la parte psicológica y los estudios de Saviani para las cuestiones didácticas. Los resultados apuntaron que la solución de problemas exige que el alumno trascienda de los procedimientos descriptivos a los explicativos y así tomar conciencia de sus acciones. Además, que el profesor, al valorar el proceso de resolución y la respuesta correcta del problema, debe proponer al alumno la explicación del procedimiento realizado, favoreciendo así, la movilización de sus ideas y llegando a un nivel de síntesis de análisis de conceptos.
PALABRAS CLAVE: Vigotski e Kalmykova. Saviani. Enseñanza Fundamental. Sustracción.
1 Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brasil. Professora no Programa de Pós- Graduação Stricto Sensu, nível Mestrado Acadêmico em Formação Docente Interdisciplinar – PIPIFOR. Doutorado em Educação Escolar (UNESP). ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8373-7056. E-mail: fas.francioli@hotmail.com
2 Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brasil. Professora e Coordenadora Pedagógica da Rede Municipal de Ensino de Alto Paraná. Mestrado em Formação Docente Interdisciplinar (UNESPAR). ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3895-3029. E-mail: nmulatti29@hotmail.com
ABSTRACT: This article examines analyses from a master’s research project in the field of education, aiming to present psychological and didact assumptions regarding mathematical problem solving. The research project, which is theoretical-methodological, discusses the difficulties of students, in the early years of elementary school, in solving mathematical problems. To that end, the researches of Vigotski and Kalmykova have been used for psychological and Saviani didactic matters, respectively. The results appoint that problem solving requires students to transcend from descriptive to explanatory procedures and thus become aware of their actions. Moreover, to better value problem resolution, teachers must propose that students explicit their process besides just providing the correct answers, favoring the mobilization of his ideas and arriving at thinking through concepts.
KEYWORDS: Vigotski and Kalmykova. Saviani. Elementary School. Subtraction.
No trabalho da prática pedagógica, a relação ensino e aprendizagem faz parte de um processo contínuo entre professor e aluno. Para abordar esse processo o presente artigo tomou como recorte as análises proferidas em uma pesquisa de mestrado na área de ensino em que se discute as dificuldades dos alunos, dos anos iniciais do ensino fundamental, ao resolverem problemas matemáticos.
Muitos dizem que aprender matemática não é fácil, no entanto, a questão é buscar respostas para demonstrar como resolver alguns questionamentos: Por que alunos que sabem resolver os algoritmos muitas vezes não sabem aplicá-los para resolver os problemas matemáticos? Por que alguns alunos conseguem interpretar e outros não? Em busca dessas respostas, o presente estudo, tem como objetivo apresentar os pressupostos psicológicos e didáticos referentes à resolução de problemas matemáticos, com ênfase na subtração. De cunho teórico-metodológico, o estudo fundamenta-se em Vigotski e Kalmykova para as questões psicológicas e em Saviani para as questões didáticas.
Zinaida Ilinichna Kalmykova3 (1977), sob as bases da psicologia histórico-cultural, deu continuidade aos estudos desenvolvidos por Vigotski, em específico, na área da matemática com ênfase na aprendizagem e desenvolvimento. Dermeval Saviani (1997), autor brasileiro renomado por seus estudos na área das teorias e história da educação, definiu cinco categorias de conhecimentos que considera necessárias para o desenvolvimento do aluno: domínio do conteúdo curricular, conhecimento didático-curricular, saber pedagógico, condições sócio-históricas, saber atitudinal. Para Saviani, estas categorias estabelecem a dimensão do conhecimento que o professor precisa dominar para desenvolver um bom ensino.
3 Colaboradora do Instituto de Psicologia da Academia de Ciências Pedagógicas da URSS (LURIA et al., 1977, p. 9).
A relação entre estes três autores está na estrutura filosófica materialista, em que estudam a educação escolar como promotora do desenvolvimento humano.
Uma das respostas iniciais e que direcionou o caminho percorrido pela pesquisa baseou-se nas ideias de Dante (2008), que diz que o aluno somente conseguirá resolver problemas matemáticos se dominar os conceitos das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Desta forma, buscou-se em Vigotski e Kalmykova a compreensão de como ocorre a apropriação de conceitos.
Na perspectiva da psicologia histórico-cultural a aprendizagem das crianças começa muito antes de elas frequentarem a escola, no entanto é por intermédio do ensino formal que os estudantes entram em contato com os conceitos organizados em diferentes áreas do conhecimento que compõem o currículo. Procuraremos, a partir desse ponto, definir a formação de conceitos.
Vigotski (2001), em seus estudos, põe em evidência as relações existentes entre os conceitos espontâneos e os conceitos científicos. Para ele, os conceitos espontâneos são aqueles formados pela comunicação direta com as pessoas com quem a criança convive, de forma livre, sem intencionalidade definida. Diferentemente, os conceitos científicos se desenvolvem por intermédio da mediação intencional e sistematizada, responsabilidade exclusiva da educação escolar. Vigotski (2001, p. 218) afirma que “os conceitos espontâneos possibilitam o aparecimento dos conceitos não espontâneos através do ensino” e que “a formação dos conceitos científicos na mesma medida que os espontâneos, não termina, mas apenas começa no momento em que a criança assimila pela primeira vez um significado ou termo novo para ela, que é veículo de conceito científico” (Idem, p. 265). Para o autor, não é pelo fato de o conteúdo ser abordado na escola que ele atinge o nível conceitual científico, mesmo sabendo que é função do ensino escolar proporcionar atividades capazes de transformar conceitos espontâneos em científicos, ou seja, transformar o pensamento espontâneo dos alunos em pensamento intelectual.
E como a criança se apropria dos conceitos? Antes de responder esta questão é preciso esclarecer que Vigotski (2001) dividi o percurso do pensamento em três grandes estágios básicos: pensamento sincrético, pensamento por complexo e pensamento por conceito. No estágio do pensamento sincrético, a característica principal é um emaranhado de ideias sem fundamento interno, mas ligadas à impressão que a criança tem das coisas; “[...] é a formação
de uma pluralidade não informada e não ordenada, a discriminação de um amontoado de objetos vários no momento em que essa criança se vê diante de um problema” (VIGOTSKI, 2001, p. 175). Para o autor, o pensamento por complexo “conduz à formação de vínculos, ao estabelecimento de relações entre diferentes impressões concretas, à unificação e à generalização de objetos particulares, ao ordenamento e à sistematização de toda a experiência da criança” (Idem, p. 178). Assim, nesse estágio a criança começa a fazer as primeiras relações e apresenta como base o vínculo com o concreto entre os elementos. Começam, nesta etapa, as primeiras generalizações. Citamos como exemplo o ato de reunir peças de acordo com o atributo cor ou o atributo forma.
O último e almejado estágio a ser alcançado trata-se do pensamento por conceito.
[...] o conceito em sua forma natural e desenvolvida, pressupõe não só a combinação e a generalização de determinados elementos concretos da experiência, mas também a discriminação, a abstração e o isolamento de determinados elementos e, ainda, a habilidade de examinar esses elementos discriminados e abstraídos fora do vínculo concreto e fatual em que são dados na experiência (VIGOTSKI, 2001, p. 220).
Para além desse conceito, Vigotski (2001, p. 226) afirma que “o conceito surge quando uma série de atributos abstraídos torna a sintetizar-se, e quando a síntese abstrata assim obtida torna-se basilar de pensamento”. Por meio dessa síntese, a criança percebe e toma conhecimento da realidade que a cerca. No entanto, “os conceitos não surgem mecanicamente como uma fotografia coletiva de objetos concretos” (VIGOTSKI, 2001, p. 237). A sua formação surge sempre no processo de solução de algum problema que se coloca no pensamento. O conceito surgirá da solução desse problema, portanto, dessa afirmação confirmamos a relevância do ato de problematizar os conteúdos escolares.
Para que ocorra o desenvolvimento dos conceitos científicos, são necessárias tarefas que possibilitem que o pensamento do aluno se volte mais para a atividade mental do que para o objeto sensorial. Nesse caso, a aquisição dos conceitos científicos percorre o caminho inverso dos espontâneos, desenvolvendo-se por um processo dedutivo das propriedades complexas e superiores às propriedades elementares e inferiores. Ou seja, as tarefas têm como ponto de partida a atividade mental, baseada na abstração de conhecimentos que promovem a apropriação do conceito. Ao atingir esse nível de pensamento conceitual, torna-se possível a relação desse conceito com os conhecimentos espontâneos, presentes nas experiências vivenciadas.
O domínio do ato do pensamento é revelador do nível de desenvolvimento psíquico do aluno, isto é, ele consegue converter suas funções psíquicas, como a percepção, a memória, a
atenção voluntária e o próprio pensamento, em objetos da consciência. Significa, por assim dizer, que esse aluno se encontra em uma intensa atividade mental, plenamente ciente do processo de pensamento ao ponto de dominá-lo.
Nessa direção, em continuidade às pesquisas de Vigotski, Kalmykova (1977), como pesquisadora soviética, desenvolveu em meados do século XX, juntamente com Leontiev, Luria, Zankov e outros colaboradores da psicologia histórico-cultural, diferentes estudos para contribuir com o trabalho dos professores e melhorar a aprendizagem das crianças dos anos iniciais do ensino fundamental. Para esta pesquisadora era fundamental investigar métodos de ensino utilizados por bons professores, comparando-os e observando sua eficácia na solução de problemas matemáticos.
De acordo com Kalmykova (1977), a solução de problemas exige muito mais do que conhecer os números e as técnicas operatórias, exige o conhecimento de diversos conceitos concretos e abstratos, que refletem as relações quantitativas entre os objetos. Por isso, para se resolver bem um problema, torna-se necessário haver sínteses em nível de análises complexas. Mesmo em um problema simples, os dados podem estar interligados de maneiras diversas, o que exige raciocínio elaborado para a resolução. Num problema composto, que necessita ser resolvido em mais de uma etapa, a escolha da operação a ser usada torna-se mais difícil, pois o aluno precisa escolher os números certos e definir suas possíveis combinações. “Esta análise preliminar é essencial para uma correta solução de problemas complexos” (KALMYKOVA, 1977, p. 10).
Outro apontamento importante, destacado por Kalmykova (1977), refere-se à afirmação de que, na formação de conceitos, quanto mais diversificado for o material concreto4, mais fácil será o processo de abstração. Porém, reconhece a impossibilidade de realizar uma experiência sensorial com todos os materiais, por isso se devem priorizar aqueles que potencializam a ampliação do conceito estudado.
Kalmykova (1977) analisou a prática de uma das melhores professoras de uma escola de Moscovo, D.V. Petrova, professora da classe I. Pelos relatos apresentados, há indícios de que se trata do primeiro ano do ensino fundamental. Dentre suas observações, a autora destaca que, mesmo antes de as crianças começarem a ler e a aprender os primeiros conteúdos matemáticos, a professora disponibilizava a elas uma diversidade de materiais e objetos não
4 Kalmykova (1977) usa o termo “material concreto”, porém, nas tarefas de intervenções usaremos o termo “material manipulável”, pois para Marx, base filosófica que fundamenta o presente estudo, o abstrato e o concreto não existem em separado; fazem parte de uma totalidade, de uma unidade, o concreto é dado pelo pensamento, é o concreto pensado.
escolares. Esses materiais concretos, segundo a autora, facilitavam a transição para a abstração ao conceito de número, de operações matemáticas e de problemas.
Outro encaminhamento relevante observado pela autora e realizado pela professora Petrova refere-se à utilização de desenhos como meio de consolidar o conteúdo. Por exemplo, o número 5 era relacionado pela professora com cinco objetos, a professora orientava a criança, visando que esta não formasse uma única conexão específica, ou seja, relacionar a palavra 5 somente com essa quantidade de objetos concretos. Podemos inferir, com Kalmykova (1977, p. 16), que o direcionamento deve basear-se na diminuição gradativa do número de objetos e de signos, passando a usá-los somente para introduzir novos conceitos, ou, quando for necessário, “constituir e consolidar conexões”. A autora orienta também que, para encaminhar as crianças à generalização, podemos fazer uso de imagens, pois elas se baseiam na realidade concreta, mas não são essa realidade.
Kalmykova (1977) orienta que o trabalho eficiente sobre a formação de conceitos não se reduz aos primeiros estudos, mas se prolonga por todos os anos de escolarização. Nesse sentido, consideramos correto o fato de o conceito de subtração iniciar-se na educação infantil e se estender ao ensino fundamental, pois a apropriação não ocorre de forma pontual e completa de uma só vez.
Outro direcionamento que consideramos importante em relação à análise dos erros refere-se à atenção necessária sobre a forma de pensar dos alunos e aos conceitos essenciais para se compreender determinado conteúdo escolar. Destacamos as mediações para fazer o aluno reconhecer o erro, pensar em “por que” errou, mudar sua resposta e reconhecer o acerto. Portanto, não basta mostrar o erro e corrigir as respostas dos alunos. Somente considerar o erro como parte do processo não provoca avanços na aprendizagem. Os avanços advêm da análise realizada pelo aluno, por intermédio da mediação do professor, que percebe que a resolução realizada não condiz com a lógica da atividade proposta.
Nas classes mais avançadas, denominadas de classe II e III, que podem ser comparadas ao segundo e terceiro anos do ensino fundamental, a professora introduziu esses conceitos, solicitando aos alunos que traduzissem o texto do problema matemático em termos mais abstratos. Foi solicitado que expressassem de modo correto os dados e o valor procurado, o que exigiu uma linguagem científica. Na classe IV, Kalmykova relata que a professora começou a acostumar as crianças a se expressarem em termos matemáticos apropriados não somente no conteúdo do problema, mas também em sua solução. Ela orientava pouco a pouco os alunos a deixarem a imagem visual e passarem para a abstração, a
fim de que eles assimilassem as “categorias matemáticas mais complexas” (KAMYKOVA,
1977, p. 20).
Tecidas essas considerações, a autora esclarece que num primeiro momento nem todos os alunos assimilam, mas por intermédio do trabalho sistemático do professor sobre esses conceitos todos se tornam capazes de aprender. Portanto, o trabalho sistematizado sobre os pressupostos da psicologia histórico-cultural capacita para a aprendizagem não somente os bons alunos, mas todos os envolvidos no processo. Em razão de que as reflexões e as proposições, expressas na teoria, apresentam-se enquanto possibilidades para a realização de procedimentos e recursos didáticos ricos de significado e devem figurar como características essenciais no processo de ensino.
Voltamos aos questionamentos iniciais que norteiam este texto: Por que alunos que sabem resolver os algoritmos muitas vezes não sabem aplicá-los para resolver os problemas matemáticos? Por que alguns alunos conseguem interpretar e outros não? Em busca dessas respostas, torna-se relevante considerarmos que
[...] o trabalho de formação dos conceitos necessários para resolução de problemas é um meio para aumentar a eficácia da atividade analítico- sintética. Mas a assimilação dos conceitos e das correspondentes leis matemáticas não implica uma habilidade especial para resolver problemas mais complexos. Não basta possuir noções; é necessário ser capaz de as usar no momento preciso, escolhendo as noções necessárias para a solução de determinados problemas. Costuma suceder que um aluno não consiga resolver um problema por não saber mobilizar as noções que possui. A escolha das noções necessárias exige uma especial concentração sobre o texto do problema, ou seja, analisá-lo (KALMYKOVA, 1977, p. 20-21).
Nesse sentido, consideramos que, para se conseguir interpretar e resolver um problema matemático, além de aprender os conceitos das operações, dos termos matemáticos e dominar a resolução das operações, é preciso saber mobilizar esses conhecimentos e usá-los adequadamente.
Kalmykova (1977) adverte que a pressa em consolidar o hábito de resolver problemas e a falta de um tempo maior para explicar detalhadamente o processo de resolução dos problemas provocam nos alunos certa lentidão de raciocínio. Como não conseguem recordar o raciocínio que conduz à solução, também não conseguem transpor o método usado para resolver certo tipo de problema para outro problema. Portanto, é necessário dar ênfase ao método utilizado para resolver os problemas, dispondo de um tempo considerável para as análises. A autora confirma que:
[...] uma assimilação consciente dos métodos de resolução de problemas não só exige que se assimile o correspondente sistema de operações aritméticas, como também que se assimile a forma do raciocínio mediante a qual os alunos analisam o conteúdo de um problema e escolhem determinadas operações (KALMYKOVA, 1977, p. 24).
Essa afirmação vem ao encontro de nossa investigação, no que se refere à importância de se dedicar uma atenção especial aos métodos de ensino da análise dos problemas e ao raciocínio durante esta análise, ou seja, compreender as fases que o pensamento percorre até o pensamento por conceitos. Nesse sentido, podemos afirmar que o professor precisa receber uma formação que abranja não somente conteúdos específicos da área, como também conteúdos relacionados a metodologias.
Conforme discutido acima, na relação professor-aluno reside o aspecto fundante da educação escolar como mediadora entre o ensino e a aprendizagem. Isso pressupõe um trabalho educativo que na visão de Saviani (1977) deve ser intencional e produzir em cada aluno o conhecimento historicamente desenvolvido pela humanidade.
Nessa direção, Saviani (1997), ao elencar os conhecimentos necessários para produzir conhecimento no aluno, define cinco categorias de conhecimentos relevantes para o trabalho do professor.
A primeira categoria definida por Saviani (1997) parece óbvia, pois se refere ao “domínio do conteúdo curricular”, todavia é uma categoria que precisa ser consolidada. Vale ressaltar que não importa o nível de atuação, o professor obrigatoriamente deve conhecer amplamente o conteúdo a ser ensinado, por isso precisa dominar os conceitos. Conhecer o conteúdo é o primeiro passo, por sinal muito importante, mas não o suficiente para transmitir o conhecimento para o aluno. A segunda categoria definida por Saviani (1997) refere-se ao “conhecimento didático-curricular”; enfatiza que é preciso saber como organizar os conteúdos. Saviani (1997, p. 131) define que os conhecimentos precisam ser “dosados, sequenciados e trabalhados na relação professor-aluno”. O autor afirma que essas duas primeiras categorias são consideradas as modalidades básicas para o professor ensinar com eficiência. Saviani (1997) faz essa distinção para enfatizar a necessidade de o professor se apropriar do saber pedagógico produzido pela ciência da educação, conhecer as teorias pedagógicas que embasam as políticas educacionais e que influenciam de forma expressiva a
prática docente. A terceira categoria refere-se ao “saber pedagógico”, ou seja, os conhecimentos produzidos pela ciência da educação.
Não dá para conhecer a escola estudando somente a escola, pois a educação está inserida em um contexto em que sofre diretamente as influências da situação socioeconômica e cultural. Assim, a quarta categoria trata da compreensão das “condições sócio-históricas” que determinam a tarefa educativa, conhecimentos imprescindíveis para pensar na formação crítica, pois a criticidade perpassa o conhecimento da totalidade.
A quinta categoria inclui o “saber atitudinal”, responsável por estabelecer coerência entre o saber e o fazer. Como diz o autor, não se trata de confundir profissão com missão, mas de se adotar uma postura ética. Refere-se às atitudes e posturas próprias da função atribuída ao professor, definidas por Saviani (1997, p. 136) como “disciplina, pontualidade, coerência, clareza, justiça e equidade, diálogo, respeito às pessoas dos educandos, atenção às suas dificuldades, etc.” Segundo o autor, essa competência está relacionada à identidade e à personalidade do professor, mas que são objetos de formação.
Saviani (1997) define, por intermédio das categorias anteriormente apresentadas, a dimensão do conhecimento que o professor precisa dominar. Nossa posição é a de que a ausência de conhecimento em alguma dessas categorias afeta a eficácia do ensino e compromete a possibilidade de o aluno apreender o conhecimento histórico socialmente produzido pela humanidade.
É preciso, pois, que a partir desses pressupostos didáticos, o professor adote em sua prática situações de ensino e aprendizagem cuja riqueza permita a apropriação do conhecimento científico. Nesse estudo nos referimos à resolução, em sala de aula, de problemas matemáticos.
Perante as dificuldades apresentadas na interpretação matemática em resolver problemas matemáticos, conferida em salas de aulas, e da hipótese de que os alunos realizam as operações, resolvem os algoritmos, mas não têm consciência da ação que realizam, ou seja, não se apropriaram dos conceitos científicos, foi desenvolvido um trabalho pedagógico5, relativo à aprendizagem do conceito da subtração, que envolveu crianças6 de nove a onze anos, matriculadas no quarto ano do ensino fundamental de uma escola da rede municipal localizada no noroeste paranaense. O propósito foi conhecer o nível de consciência da ação de
5 Para ter acesso à pesquisa. Disponível em: http://ppifor.unespar.edu.br/files/NILZA_MARCIA_MULATTI_SILVA.pdf. Acesso em: 10 jun. 2021.
6 Segundo o ECA – Estatuto da Criança e do Adolescente (BRASIL, 2002), é considerado criança o cidadão que tem até 12 anos incompletos.
subtrair, por intermédio da análise da manifestação das linguagens oral, desenhos e manipulação de objetos.
O trabalho pedagógico relatado a seguir faz parte de uma sequência de atividades realizadas, dentre elas, inclui-se a retomada dos conteúdos referentes a subtração, intervenções que antecederam a tarefa solicitada aos alunos envolvendo resolução de problemas similares, dentre outras ações. Relataremos a seguir três momentos das aulas, considerados importantes para analisar a possível ação consciente ao resolver problemas matemáticos: justificativa oral da escolha da operação matemática, representação por intermédio de desenho e ilustração usando material manipulável.
No primeiro momento foi entregue um problema a cada aluno e foi solicitado que respondessem qual a operação matemática que poderia usar para resolvê-lo e principalmente que, justificassem o motivo da escolha, ou seja, o foco principal não estava na resposta certa do problema, mas na explicitação do pensamento envolvido na resolução.
As justificativas orais obtidas foram de vários níveis, como pode-se verificar por intermédios dos relatos a seguir: “Resolve através da adição porque tem que fazer conta”; “Divisão porque vai colocar no saquinho”; “É de adição porque vai juntar as páginas que leu com as que ela não leu”; “Subtração porque eu retiro”; “Subtração porque ‘faltam’ para completar o álbum”. Houve também alunos que não conseguiram explicar a sua escolha, outros confundiram os nomes das operações, não reconheceram o termo “diferença” como resultado da subtração, além de nomearem a operação de adição como “continha de mais” e a operação de subtração como “continha de menos”. Essa ausência do uso da nomenclatura correta nos remete ao fato de a escola, por vezes, reforçar os conhecimentos espontâneos relacionados à nomenclatura dos algoritmos. Observamos, nos alunos que apresentaram desempenho melhor na realização das tarefas, a utilização precisa da nomenclatura das operações.
A partir da constatação da dificuldade em explicitar o procedimento usado para resolver problemas, e a defesa de Kalmykova (1991) de que o desenho seria um ponto intermediário entre o concreto e o abstrato, sendo necessário recorrer ao material visual como base na formação de conceitos para não se deter somente na assimilação puramente formal das noções, optou-se por acrescentar, no segundo momento, o desenho como outra forma de expressão, além do algoritmo, como meio de consolidar o conteúdo.
Nesse segundo momento, a fim de aprimorar a análise da apropriação dos conceitos das operações, através da ação consciente, foram retomados seis problemas do momento anterior, resolvidos usando a subtração. A tarefa consistia em realizar a operação e desenhá-la
identificando seus termos, ou seja, o minuendo, o subtraendo e o resto ou a diferença. Ao desenhar, o aluno precisou pensar sobre o que representava cada número usado no algoritmo e relacioná-lo ao problema proposto.
Dentre os problemas, foi escolhida a representação da aluna Amanda7, que envolve a ideia de comparar da subtração, para o seguinte problema: “Kaike tem oito anos e sua irmã, Thaila, tem 14 anos. Quantos anos Thaila têm a mais do que Kaike?”
Fonte: A autora (2015)
Ao observar o desenho acima e com base na explicação oral, a aluna representou o minuendo e o subtraendo através de círculos irregulares, e o ato de subtrair, traçando um risco sobre eles. Percebe-se que não há relação explícita entre o minuendo e o subtraendo. Ao ser questionada onde está representada a diferença da idade entre Kaike e Thaila, ela explica: “Aqui tem oito e aqui tem quatorze”. A aluna conhece o significado da palavra, mas não identifica em seu desenho, o termo “diferença” como resultado da operação de subtração.
O desenho como forma de linguagem, favoreceu substancialmente a expressão do pensamento, confirmando a defesa de Kalmykova (1991) de que o desenho não é o problema real, mas expressa a realidade pensada pelo aluno, e por ser a manifestação externa do pensamento, pode vir a ser o ponto de partida para a abstração.
Mesmo tendo esses pontos positivos, durante o desenvolvimento das tarefas, foi verificado que os alunos apresentaram dúvidas relacionadas à maneira como desenhar o ato de retirar. Dúvidas pertinentes, pois, se eu retiro, como pode permanecer? Desenhar foi um recurso a mais, porém a ação do retirar ainda ficou comprometida. Essa situação nos remete à afirmação de Kalmykova (1991, p. 12) de que “a base psicológica necessária para uma correta
7 Os nomes dos alunos são fictícios.
formação dos conceitos é uma assimilação que permita criar condições entre as componentes abstratas e concretas do pensamento, entre a palavra e a imagem”.
No terceiro momento, o grupo era composto por seis alunos e foram utilizados materiais manipulados, por dois motivos: devido à dificuldade dos alunos em desenhar a “ação de retirar”, e à afirmação de Kalmykova (1991) de que, na formação de conceitos, quanto mais diversificado for o material concreto, mais fácil será o processo de abstração.
Para esse fim, foram escolhidos dois problemas para que os alunos representassem a operação de subtração, dentre eles, o problema do momento relatado anteriormente. A tarefa consistiu em representar a ideia de comparar da subtração. A idade da Thaila foi representada por canudinhos, e a idade do Kaike, por palitinhos de picolé.
Anteriormente à resolução da tarefa, foi explicado que, para resolver o problema, poderiam usar a subtração: quatorze menos oito é igual a duas patas (14-8=6). Solicitou-se que fizessem a operação, usando os palitinhos e canudinhos, e respondessem à pergunta: O que representa o número 8, o subtraendo?
A resposta esperada, e que fundamenta a ideia de comparar do conceito da subtração, é que, ao comparar, retiramos a quantidade que o minuendo e o subtraendo têm em comum. Quando comparamos quantidades, o subtraendo representa a quantidade comum entre subtraendo e minuendo, nesse caso, o número 8 representa a idade em comum entre Thaila e Kaike.
Todos os alunos representaram corretamente a tarefa solicitada, porém, 1/3 dos alunos conseguiram relatar o procedimento realizado, mas não conseguiram justificá-lo. A seguir, serão apresentadas duas tarefas resolvidas, em que há indícios de ação consciente.
Fonte: A autora (2015)
Explicação do Carlos: “Eu coloquei os 14 palitinhos, aí eu coloquei os oito canudinhos embaixo, aí eu tirei esses oito. Esses canudinhos é a idade do Kaike. Esses palitos são da Thaila. A gente tira o que tem de igual e sobra a diferença”.
Fonte: A autora (2015)
Explicação do Breno: “Eu fiz a idade da Thaila com os palitos e depois eu fiz a idade do Kaike com os canudos e deram esses dois triângulos (na verdade quadriláteros irregulares) e sobraram esses que deu seis. Até aqui é o que eles têm de igual e o resto é a diferença.”
Ao finalizar a tarefa, verificou-se que os alunos Carlos e Breno resolveram de forma correta, conseguiram explicar “o que” e “por que” fizeram a representação da operação de subtração, usando os canudinhos e os palitos. Fabieli não realizou a representação de forma correta, mas conseguiu explicar “o que” fez. Pode-se considerar um avanço. Amanda fez de forma correta, conseguiu explicar “o que” fez, mas não “por que” fez. Everton e Daniele fizeram de forma correta, mas tudo indica que imitaram a realização da tarefa feita pelo Carlos e não conseguiram explicar nem mesmo “o que” fizeram. Dessa análise, pode-se inferir que Carlos e Breno têm consciência da ação de subtrair, Fabieli e Amanda estão em processo, sendo que Fabieli não resolveu corretamente, mas conseguiu explicar, por essa razão consideramos que ela está desenvolvendo o conceito. Ao verbalizar o procedimento, ela analisará a resolução e pode tomar consciência do seu erro. A Amanda resolveu a tarefa, mas não conseguiu explicar. Nesse momento da análise da tarefa verificou-se que há indícios de que os alunos estão em processo de aprendizagem do conceito da subtração, mas não conseguem chegar à abstração e à generalização, tão necessárias à formação do conceito científico. Pois, em Vigotski (2001, p. 226), “o conceito surge quando uma série de atributos abstraídos torna a sintetizar-se, e quando a síntese abstrata assim obtida torna-se basilar de pensamento”.
Os dados da pesquisa demonstraram a dificuldade dos alunos em explicitar o procedimento usado ao resolver as tarefas propostas. No entanto, para Kalmykova (1991), a solução de problemas exige muito mais do que conhecer os números e as técnicas operatórias, ou seja, é necessário que o aluno se aproprie dos conceitos concretos e abstratos, chegando a sínteses em nível de análises complexas.
Nos anos iniciais, além da linguagem oral e escrita ou numérica o desenho pode ser utilizado como forma de expressão, além do algoritmo, assim, como confirma a defesa da autora ao dizer que as imagens representam o concreto, mas não são o concreto. Isso significa que a utilização do desenho, como procedimento didático, é um ponto intermediário entre o concreto e o abstrato, como também o ponto de partida para a abstração. O desenho representa a manifestação externa do pensamento que, ao ser transposto para o pensamento da criança, foi por ela interpretado abstratamente. A criança, ao captar empiricamente o objeto analisado, reproduz em seu pensamento a dinâmica e a estrutura desse objeto.
No que se refere aos procedimentos didáticos, às categorias pedagógicas defendidas por Saviani (1997) quando enfatiza o domínio dos conhecimentos pelo professor, precisam estar elencados aos bons materiais a ser utilizados, às formas de linguagem, às tarefas desenvolvidas pelos alunos e ao contexto em que os alunos estão inseridos, considerando que as privações culturais e econômicas afetam a aprendizagem.
Consideramos que a resolução de problemas, em diversos momentos da aula, pode apresentar respostas corretas de forma implícita, mas não é a compreensão da ideia da operação usada para a resolução do problema. O professor, ao valorizar o processo de resolução, além da resposta correta do problema, deve propor ao aluno a explicitação do procedimento realizado, favorecendo a mobilização de suas ideias.
DANTE, L. R. Aprendendo sempre: matemática. São Paulo: Ática, 2008.
KALMYKOVA, Z. I. Pressupostos psicológicos para uma melhor aprendizagem da resolução de problemas aritméticos. In: LURIA, A. et al. (Org.). Pedagogia e psicologia II. Lisboa: Estampa, 1977. p. 9-26.
SAVIANI, D. A função docente e a produção do conhecimento. Educação e Filosofia, Uberlândia, v. 11, n. 21, p. 127-140, 1997.
VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e linguagem. 1. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2001.
FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Pressupostos psicológicos e didáticos para a resolução de problemas matemáticos. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2648-2662, out./dez. 2021. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v16i4.13612
PRESSUPOSTOS PSICOLÓGICOS E DIDÁTICOS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
PSYCHOLOGICAL AND DIDACTIC ASSUMPSIONS ON MATHEMATICAL PROBLEM SOLVING
Fatima Aparecida Souza FRANCIOLI1 Nilza Marcia Mulatti SILVA2
RESUMO: Este artigo tomou como recorte as análises proferidas em uma pesquisa de mestrado na área de ensino e tem como objetivo apresentar os pressupostos psicológicos e didáticos referentes à resolução de problemas matemáticos. A pesquisa, de cunho teórico- metodológico, discute as dificuldades dos alunos, dos anos iniciais do ensino fundamental, ao resolverem problemas matemáticos. Para tanto, apoiou-se nos estudos de Vigotski e Kalmykova para as questões psicológicas e estudos de Saviani para as questões didáticas. Os resultados apontaram que a solução de problemas exige que o aluno transcenda dos procedimentos descritivos para os explicativos e, assim, tome consciência de suas ações. Além de que o professor, ao valorizar o processo de resolução, ademais da resposta correta do problema, deve propor ao aluno a explicitação do procedimento realizado, favorecendo a mobilização de suas ideias e chegando ao pensamento por conceitos.
PALAVRAS-CHAVE: Vigotski e Kalmykova. Saviani. Ensino Fundamental. Subtração.
1 Universidad Estatal de Paraná (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brasil. Profesora no Programa de Pós- Graduação Stricto Sensu, nível Mestrado Acadêmico em Formação Docente Interdisciplinar – PIPIFOR. Doutorado em Educação Escolar (UNESP). ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8373-7056. E-mail: fas.francioli@hotmail.com
2 Universidad Estatal de Paraná (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brasil. Profesora Y Coordinadora Pedagógica de la Red Municipal de Enseñanza de Alto Paraná. Máster en Formación Docente Interdisciplinaria (UNESPAR). ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3895-3029. E-mail: nmulatti29@hotmail.com
ABSTRACT: This article examines analyses from a master’s research project in the field of education, aiming to present psychological and didact assumptions regarding mathematical problem solving. The research project, which is theoretical-methodological, discusses the difficulties of students, in the early years of elementary school, in solving mathematical problems. To that end, the researches of Vigotski and Kalmykova have been used for psychological and Saviani didactic matters, respectively. The results appoint that problem solving requires students to transcend from descriptive to explanatory procedures and thus become aware of their actions. Moreover, to better value problem resolution, teachers must propose that students explicit their process besides just providing the correct answers, favoring the mobilization of his ideas and arriving at thinking through concepts.
KEYWORDS: Vigotski and Kalmykova. Saviani. Elementary School. Subtraction.
En el trabajo de la práctica pedagógica, la relación de enseñanza y aprendizaje forma parte de un proceso continuo entre el profesor y el alumno. Para abordar este proceso, el presente artículo se basa en el análisis de una investigación de maestría en el área de la enseñanza, en la que se discuten las dificultades de los alumnos de los primeros años de la escuela primaria, al resolver problemas matemáticos.
Muchos dicen que aprender matemáticas no es fácil, sin embargo, la cuestión es buscar respuestas para demostrar cómo resolver algunas preguntas: ¿Por qué los alumnos que saben resolver algoritmos a menudo no saben aplicarlos para resolver problemas matemáticos? ¿Por qué algunos estudiantes son capaces de interpretar y otros no? En busca de estas respuestas, este estudio pretende presentar los supuestos psicológicos y didácticos relativos a la resolución de problemas matemáticos, con énfasis en la resta. De carácter teórico y metodológico, el estudio se basa en Vygotsky y Kalmykova para las cuestiones psicológicas y en Saviani para las cuestiones didácticas.
Zinaida Ilinichna Kalmykova3 (1977), bajo las bases de la psicología histórico- cultural, continuó los estudios desarrollados por Vygotsky, específicamente en el área de las matemáticas con énfasis en el aprendizaje y el desarrollo. Dermeval Saviani (1997), autor brasileño reconocido por sus estudios en el área de las teorías e historia de la educación, definió cinco categorías de conocimiento que considera necesarias para el desarrollo del alumno: dominio del contenido curricular, conocimiento didáctico-curricular, conocimiento pedagógico, condiciones socio-históricas, conocimiento actitudinal. Para Saviani, estas
3 Colaboradora del Instituto de Psicología de la Academia de Ciencias Pedagógicas de la URSS (LURIA et al.,
1977, p. 9).
categorías establecen la dimensión del conocimiento que el profesor debe dominar para desarrollar una buena enseñanza.
La relación entre estos tres autores está en el marco filosófico materialista, en el que estudian la educación escolar como promotora del desarrollo humano.
Una de las respuestas iniciales que guiaron el camino de la investigación se basó en las ideas de Dante (2008), quien afirma que los alumnos sólo serán capaces de resolver problemas matemáticos si dominan los conceptos de suma, resta, multiplicación y división. Así, Vygotsky y Kalmykova sirvieron para entender cómo se produce la apropiación de los conceptos.
Desde la perspectiva de la psicología histórico-cultural, el aprendizaje de los niños comienza mucho antes de que asistan a la escuela; sin embargo, es a través de la educación formal que los alumnos entran en contacto con los conceptos organizados en las diferentes áreas de conocimiento que conforman el currículo. A partir de este momento, intentaremos definir la formación de conceptos.
En sus estudios, Vygotsky (2001) destaca las relaciones entre los conceptos espontáneos y los conceptos científicos. Para él, los conceptos espontáneos son los que se forman mediante la comunicación directa con personas con las que el niño interactúa libremente, sin una intencionalidad definida. Los conceptos científicos, en cambio, se desarrollan a través de una mediación intencional y sistematizada, que es responsabilidad exclusiva de la educación escolar. Vygotsky (2001, p. 218) afirma que "los conceptos espontáneos hacen posible la aparición de conceptos no espontáneos a través de la enseñanza" y que "la formación de conceptos científicos, en la misma medida que los conceptos espontáneos, no termina, sino que sólo comienza en el momento en que el niño asimila por primera vez un significado o término nuevo para él, que es el vehículo de un concepto científico" (Idem, p. 265). Para el autor, no por el hecho de que el contenido se aborde en la escuela se alcanza el nivel conceptual científico, aun sabiendo que es función de la educación escolar proporcionar actividades capaces de transformar los conceptos espontáneos en científicos, es decir, transformar el pensamiento espontáneo de los alumnos en pensamiento intelectual.
¿Y cómo se apropia el niño de los conceptos? Antes de responder a esta pregunta es necesario aclarar que Vygotsky (2001) divide el curso del pensamiento en tres grandes etapas
básicas: el pensamiento sincrético, el pensamiento por complejo y el pensamiento por concepto. En la etapa del pensamiento sincrético, la característica principal es un revoltijo de ideas sin fundamento interno, pero vinculadas a la impresión que el niño tiene de las cosas; "[...] es la formación de una pluralidad desinformada y desordenada, la discriminación de un montón de objetos diversos en el momento en que ese niño se enfrenta a un problema" (VIGOTSKI, 2001, p. 175). Para el autor, el pensamiento por complejo "conduce a la formación de vínculos, al establecimiento de relaciones entre diferentes impresiones concretas, a la unificación y generalización de objetos particulares, a la ordenación y sistematización de toda la experiencia del niño" (Idem, p. 178). Así, en esta etapa el niño comienza a realizar las primeras relaciones y presenta como base el vínculo con lo concreto entre los elementos. En esta etapa comienzan las primeras generalizaciones. Un ejemplo de ello es unir las piezas según el color o la forma.
La última y deseada etapa a alcanzar es el pensamiento por concepto.
[...] el concepto, en su forma natural y desarrollada, presupone no sólo la combinación y la generalización de ciertos elementos concretos de la experiencia, sino también la discriminación, la abstracción y el aislamiento de ciertos elementos y, además, la capacidad de examinar estos elementos discriminados y abstraídos fuera del vínculo concreto y fáctico en que se dan en la experiencia (VIGOTSKI, 2001, p. 220).
Más allá de este concepto, Vygotsky (2001, p. 226) afirma que "el concepto surge cuando una serie de atributos abstraídos es sintetizada de nuevo, y cuando la síntesis abstracta así obtenida se convierte en la base del pensamiento". A través de esta síntesis, el niño percibe y toma conciencia de la realidad que le rodea. Sin embargo, "los conceptos no surgen mecánicamente como una fotografía colectiva de objetos concretos" (VIGOTSKI, 2001, p. 237). Su formación siempre surge en el proceso de resolver algún problema que surge en el pensamiento. El concepto surgirá de la solución de este problema, por lo tanto, a partir de esta afirmación confirmamos la relevancia del acto de problematizar los contenidos escolares.
El desarrollo de conceptos científicos requiere tareas que permitan que el pensamiento del alumno se dirija más hacia la actividad mental que hacia el objeto sensorial. En este caso, la adquisición de conceptos científicos sigue el camino inverso al de los conceptos espontáneos, desarrollándose a través de un proceso deductivo desde las propiedades complejas y superiores hasta las elementales e inferiores. Es decir, las tareas tienen como punto de partida la actividad mental, basada en la abstracción del conocimiento que promueve la apropiación del concepto. Al alcanzar este nivel de pensamiento conceptual, se hace posible
la relación de este concepto con el conocimiento espontáneo, presente en las experiencias vividas.
El dominio del acto de pensar revela el nivel de desarrollo psíquico del alumno, es decir, el alumno es capaz de convertir sus funciones psíquicas, como la percepción, la memoria, la atención voluntaria y el propio pensamiento, en objetos de conciencia. Significa, por así decirlo, que este alumno se encuentra en una intensa actividad mental, plenamente consciente del proceso de pensamiento hasta el punto de dominarlo.
En esta dirección, continuando las investigaciones de Vygotsky, Kalmykova (1977), como investigadora soviética, desarrolló a mediados del siglo XX, junto con Leontiev, Luria, Zankov y otros colaboradores de la psicología histórico-cultural, diferentes estudios para contribuir al trabajo de los profesores y mejorar el aprendizaje de los niños en los primeros años de la escuela primaria. Para este investigador era esencial investigar los métodos de enseñanza utilizados por los buenos profesores, comparándolos y observando su eficacia en la resolución de problemas matemáticos.
Según Kalmykova (1977), la resolución de problemas requiere mucho más que conocer los números y las técnicas operativas, requiere el conocimiento de varios conceptos concretos y abstractos, que reflejan las relaciones cuantitativas entre los objetos. Por lo tanto, para resolver bien un problema, se hace necesaria la síntesis a nivel de análisis complejo. Incluso en un problema sencillo, los datos pueden estar interconectados de diferentes maneras, lo que requiere un razonamiento elaborado para resolverlo. En un problema compuesto, que debe resolverse en más de un paso, la elección de la operación a utilizar se hace más difícil, ya que el alumno debe elegir los números adecuados y definir sus posibles combinaciones. "Este análisis preliminar es esencial para una correcta solución de problemas complejos” (KALMYKOVA, 1977, p. 10).
Otro punto importante, destacado por Kalmykova (1977), se refiere a la afirmación de que, en la formación de conceptos, cuanto más diverso sea el material concreto 4, más fácil será el proceso de abstracción. Sin embargo, reconoce la imposibilidad de realizar una experiencia sensorial con todos los materiales, por lo que se deben priorizar aquellos que potencien la ampliación del concepto estudiado.
Kalmykova (1977) analizó la práctica de una de las mejores profesoras de una escuela de Moscú, D.V. Petrova, profesora de la clase I. De las cuentas presentadas se desprende que
4 Kalmykova (1977) utiliza el término "material concreto", sin embargo, en las tareas de intervención utilizaremos el término "material manipulable", porque para Marx, la base filosófica que sustenta este estudio, lo abstracto y lo concreto no existen por separado; forman parte de una totalidad, de una unidad, lo concreto está dado por el pensamiento, es el pensamiento concreto.
se trata del primer año de primaria. Entre sus observaciones, la autora destaca que, incluso antes de que los niños comenzaran a leer y aprender los primeros contenidos matemáticos, el profesor ponía a su disposición una diversidad de materiales y objetos no escolares. Estos materiales concretos, según el autor, facilitaron la transición a la abstracción del concepto de número, las operaciones matemáticas y los problemas.
Otro procedimiento relevante observado por la autora y llevado a cabo por la profesora Petrova fue el uso de dibujos como medio de consolidación de los contenidos. Por ejemplo, el número 5 fue relacionado por el profesor con cinco objetos, el profesor guió al niño, con el objetivo de que no formara una sola conexión específica, es decir, relacionar la palabra 5 sólo con esa cantidad de objetos concretos. Podemos deducir, con Kalmykova (1977, p. 16), que la orientación debe basarse en la disminución gradual del número de objetos y signos, utilizándolos sólo para introducir nuevos conceptos o, cuando sea necesario, "para constituir y consolidar conexiones". El autor también aconseja que, para llevar a los niños a la generalización, podemos hacer uso de las imágenes, ya que se basan en la realidad concreta, pero no son esa realidad.
Kalmykova (1977) aconseja que el trabajo eficaz de formación de conceptos no se reduzca a los primeros estudios, sino que continúe a lo largo de todos los años de escolaridad. En este sentido, creemos que es correcto que el concepto de resta se inicie en la educación infantil y se extienda a la primaria, porque la apropiación no se produce de forma puntual y completa de una sola vez.
Otra pauta importante en relación con el análisis de los errores se refiere a la necesaria atención a la forma de pensar de los alumnos y a los conceptos esenciales para comprender un determinado contenido escolar. Destacamos las mediaciones para que el alumno reconozca el error, piense en "por qué" se equivocó, cambie su respuesta y reconozca lo correcto. Por lo tanto, no basta con mostrar el error y corregir las respuestas de los alumnos. El hecho de considerar el error como parte del proceso no provoca avances en el aprendizaje. El progreso proviene del análisis realizado por el alumno, a través de la mediación del profesor, que se da cuenta de que la resolución tomada no se ajusta a la lógica de la actividad propuesta.
En las clases más avanzadas, denominadas clase II y III, que pueden compararse con el segundo y tercer curso de primaria, el profesor introducía estos conceptos, pidiendo a los alumnos que tradujeran el texto del problema matemático en términos más abstractos. Se les pidió que expresaran correctamente los datos y el valor buscado, lo que requería un lenguaje científico. En la clase IV, Kalmykova cuenta que el profesor empezó a acostumbrar a los niños a expresarse en términos matemáticos adecuados no sólo en el contenido del problema,
sino también en su solución. Poco a poco fue guiando a los alumnos para que abandonaran la imagen visual y pasaran a la abstracción para que asimilaran las "categorías matemáticas más complejas" (KAMYKOVA, 1977, p. 20).
Hechas estas consideraciones, el autor aclara que al principio no todos los alumnos lo asimilan, pero mediante el trabajo sistemático del profesor sobre estos conceptos todos llegan a ser capaces de aprender. Por lo tanto, el trabajo sistematizado sobre los supuestos de la psicología histórico-cultural permite el aprendizaje no sólo de los buenos estudiantes, sino de todos los implicados en el proceso. Porque las reflexiones y proposiciones expresadas en la teoría se presentan como posibilidades para la realización de procedimientos y recursos didácticos ricos en significado y deben figurar como características esenciales en el proceso de enseñanza.
Volvemos a las preguntas iniciales que guían este texto: ¿Por qué los alumnos que saben resolver algoritmos a menudo no saben aplicarlos para resolver problemas matemáticos? ¿Por qué algunos estudiantes son capaces de interpretar y otros no? En busca de estas respuestas, es pertinente considerar que
[...] el trabajo de formación de los conceptos necesarios para la resolución de problemas es un medio para aumentar la eficacia de la actividad analítica- sintética. Pero la asimilación de los conceptos y las leyes matemáticas correspondientes no implica una capacidad especial para resolver problemas más complejos. No basta con poseer nociones; es necesario saber utilizarlas en el momento oportuno, eligiendo las nociones necesarias para la solución de determinados problemas. A menudo ocurre que un alumno no puede resolver un problema porque no sabe cómo utilizar las nociones que posee. La elección de las nociones necesarias requiere una concentración especial en el texto del problema, es decir, analizarlo (KALMYKOVA, 1977, p. 20- 21).
En este sentido, consideramos que, para poder interpretar y resolver un problema matemático, además de aprender los conceptos de las operaciones y los términos matemáticos y dominar la resolución de las operaciones, es necesario saber movilizar estos conocimientos y utilizarlos adecuadamente.
Kalmykova (1977) advierte que la prisa por consolidar el hábito de resolver problemas y la falta de un tiempo más largo para explicar en detalle el proceso de resolución de problemas hacen que los alumnos sean algo lentos en su pensamiento. Como no pueden recordar el razonamiento que lleva a la solución, tampoco pueden transponer el método utilizado para resolver un determinado tipo de problema a otro. Por lo tanto, es necesario hacer hincapié en el método utilizado para resolver los problemas, dando un tiempo considerable para el análisis. El autor confirma que:
[...] la asimilación consciente de los métodos de resolución de problemas requiere no sólo la asimilación del correspondiente sistema de operaciones aritméticas, sino también la asimilación de la forma de razonamiento mediante la cual los alumnos analizan el contenido de un problema y eligen determinadas operaciones (KALMYKOVA, 1977, p. 24).
Esta afirmación está en consonancia con nuestra investigación, en cuanto a la importancia de prestar especial atención a los métodos de enseñanza del análisis de problemas y al razonamiento durante este análisis, es decir, a la comprensión de las fases por las que pasa el pensamiento hasta llegar al pensamiento por conceptos. En este sentido, podemos afirmar que el profesor necesita recibir una formación que abarque no sólo contenidos específicos del área, sino también contenidos relacionados con las metodologías.
Como se ha comentado anteriormente, en la relación profesor-alumno radica el aspecto fundamental de la educación escolar como mediador entre la enseñanza y el aprendizaje. Esto supone un trabajo educativo que, en opinión de Saviani (1977), debe ser intencional y producir en cada alumno los conocimientos históricamente desarrollados por la humanidad.
En este sentido, Saviani (1997), al enumerar los conocimientos necesarios para producir conocimiento en el alumno, define cinco categorías de conocimientos relevantes para el trabajo del profesor.
La primera categoría definida por Saviani (1997) parece obvia, ya que se refiere al "dominio del contenido curricular", sin embargo, es una categoría que necesita ser consolidada. Cabe destacar que, independientemente del nivel de desempeño, el profesor debe necesariamente tener un amplio conocimiento del contenido a enseñar, por lo que necesita dominar los conceptos. Conocer el contenido es el primer paso, que es muy importante, pero no es suficiente para transmitir los conocimientos al alumno. La segunda categoría definida por Saviani (1997) se refiere al "conocimiento didáctico-curricular"; destaca que es necesario saber organizar los contenidos. Saviani (1997, p. 131) define que los conocimientos deben ser "dosificados, secuenciados y trabajados en la relación profesor-alumno". El autor afirma que estas dos primeras categorías se consideran las modalidades básicas para que el profesor enseñe con eficacia. Saviani (1997) hace esta distinción para enfatizar la necesidad de que el profesor se apropie del conocimiento pedagógico producido por la ciencia de la educación,
para conocer las teorías pedagógicas que son la base de las políticas educativas y que influyen
significativamente en la práctica docente. La tercera categoría se refiere al "conocimiento pedagógico", es decir, el conocimiento producido por la ciencia de la educación.
No es posible conocer la escuela estudiando sólo la escuela, porque la educación se inserta en un contexto que sufre directamente las influencias de la situación socioeconómica y cultural. Así, la cuarta categoría se ocupa de la comprensión de las "condiciones socio- históricas" que determinan la tarea educativa, conocimiento esencial para pensar en la educación crítica, porque la criticidad pasa por el conocimiento de la totalidad.
La quinta categoría incluye el "conocimiento actitudinal", responsable de establecer la coherencia entre el saber y el hacer. Como dice el autor, no se trata de confundir profesión con misión, sino de adoptar una postura ética. Se refiere a las actitudes propias de la función asignada al profesor, definidas por Saviani (1997, p. 136) como "disciplina, puntualidad, coherencia, claridad, justicia y equidad, diálogo, respeto a las personas de los alumnos, atención a sus dificultades, etc.". Según el autor, esta competencia está relacionada con la identidad y la personalidad del profesor, pero que son objeto de formación.
Saviani (1997) define, a través de las categorías presentadas anteriormente, la dimensión del conocimiento que el profesor necesita dominar. Nuestra posición es que la ausencia de conocimientos en cualquiera de estas categorías afecta a la eficacia de la enseñanza y compromete la posibilidad de que el alumno aprehenda el conocimiento histórico producido socialmente por la humanidad.
Por lo tanto, es necesario que, a partir de estos supuestos didácticos, el profesor adopte en su práctica situaciones de enseñanza y aprendizaje cuya riqueza permita la apropiación del conocimiento científico. En este estudio nos referimos a la resolución, en el aula, de problemas matemáticos.
Ante las dificultades presentadas en la interpretación matemática en la resolución de problemas matemáticos, verificadas en las aulas, y de la hipótesis de que los alumnos realizan las operaciones, resuelven los algoritmos, pero no son conscientes de la acción que realizan, es decir, no se han apropiado de los conceptos científicos, se desarrolló un trabajo pedagógico5, relacionado con el aprendizaje del concepto de resta, que involucró a niños6 de nueve a once años, matriculados en el cuarto año de primaria en una escuela municipal ubicada en el noroeste de Paraná. El propósito fue conocer el nivel de conciencia de la acción
5 Para tener acceso a la investigación. Disponible en: http://ppifor.unespar.edu.br/files/NILZA_MARCIA_MULATTI_SILVA.pdf. Acceso el: 10 jun. 2021.
6 Según ECA – Estatuto del Criança y del Adolescente (BRASIL, 2002), se considera que un ciudadano es un niño si es menor de 12 años.
de restar, a través del análisis de la manifestación del lenguaje oral, dibujos y manipulación de objetos.
El trabajo pedagógico que se relata a continuación forma parte de una secuencia de actividades realizadas, que incluyen la reanudación de los contenidos relacionados con la resta, intervenciones que precedieron a la tarea solicitada a los alumnos que implicaban la resolución de problemas similares, entre otras acciones. A continuación informaremos de tres momentos de las clases, considerados importantes para analizar la posible actuación consciente en la resolución de problemas matemáticos: la justificación oral de la elección de la operación matemática, la representación mediante el dibujo y la ilustración con material manipulativo.
En un primer momento se entregó un problema a cada alumno y se les pidió que respondieran qué operación matemática podían utilizar para resolverlo y, principalmente, que justificaran el motivo de su elección, es decir, el foco principal no estaba en la respuesta correcta al problema, sino en la explicación del pensamiento que implicaba su resolución.
Las justificaciones orales obtenidas fueron de diversos niveles, como se puede comprobar a través de los siguientes informes: "Resuélvelo por adición porque tienes que hacer la cuenta"; "División porque lo vas a meter en la bolsita"; "Es adición porque vas a sumar las páginas que has leído con las que no ha leído"; "Resta porque lo saco"; "Resta porque 'falta' para completar el álbum". También hubo alumnos que no pudieron explicar su elección, otros confundieron los nombres de las operaciones, no reconocieron el término "diferencia" como resultado de la resta, además de nombrar la operación de suma como "contiene más" y la de resta como "contiene menos". Esta ausencia del uso de la nomenclatura correcta nos recuerda el hecho de que la escuela a veces refuerza los conocimientos espontáneos relacionados con la nomenclatura de los algoritmos. Observamos, en los alumnos que presentaron mejor rendimiento en la realización de las tareas, el uso preciso de la nomenclatura de las operaciones.
Partiendo de la dificultad de explicar el procedimiento utilizado para resolver los problemas, y de la defensa de Kalmykova (1991) de que el dibujo sería un punto intermedio entre lo concreto y lo abstracto, y de que es necesario utilizar el material visual como base para la formación de los conceptos para no detenerse sólo en la asimilación puramente formal de las nociones, se decidió añadir, en un segundo momento, el dibujo como otra forma de expresión, además del algoritmo, como medio para consolidar el contenido.
En este segundo momento, para mejorar el análisis de la apropiación de los conceptos de las operaciones a través de la acción consciente, se retomaron seis problemas del momento
anterior, resueltos mediante la sustracción. La tarea consistía en realizar la operación y dibujarla identificando sus términos, es decir, el minuendo, el sustraendo y el resto o diferencia. A la hora de dibujar, el alumno debía pensar qué representaba cada número utilizado en el algoritmo y relacionarlo con el problema propuesto.
Entre los problemas, se eligió la representación de la alumna Amanda , que implica la idea de comparar la resta, para el siguiente problema: "Kaike tiene ocho años y su hermana, Thaila, 14 años. ¿Cuántos años más tiene Thaila que Kaike?”
Fuente: La autora (2015)
Observando el dibujo anterior y basándose en la explicación oral, el alumno representó el minuendo y el subtraendo a través de círculos irregulares, y el acto de restar, trazando una línea sobre ellos. Se puede ver que no hay una relación explícita entre el minuendo y el sustraendo. Cuando se le pregunta por la diferencia de edad entre Kaike y Thaila, explica: "Aquí hay ocho y aquí hay catorce". La alumna conoce el significado de la palabra, pero no identifica en su dibujo el término "diferencia" como resultado de la operación de sustracción.
El dibujo como forma de lenguaje, favoreció sustancialmente la expresión del pensamiento, confirmando la defensa de Kalmykova (1991) de que el dibujo no es el verdadero problema, sino que expresa la realidad pensada por el alumno, y siendo la manifestación externa del pensamiento, puede convertirse en el punto de partida para la abstracción.
Aun teniendo estos puntos positivos, durante el desarrollo de las tareas, se comprobó que los alumnos tenían dudas relacionadas con la forma de dibujar el acto de retirarse. Dudas pertinentes, porque si me retiro, ¿cómo puede permanecer? El sorteo era un recurso extra, pero la acción de retirarse seguía estando comprometida. Esta situación nos remite a la
afirmación de Kalmykova (1991, p. 12) de que "la base psicológica necesaria para una correcta formación de conceptos es una asimilación que permite crear condiciones entre los componentes abstractos y concretos del pensamiento, entre la palabra y la imagen".
En el tercer momento, el grupo estaba compuesto por seis alumnos y se utilizaron materiales manipulados, por dos razones: por la dificultad de los alumnos para dibujar la "acción de llevarse", y por la afirmación de Kalmykova (1991) de que, en la formación de conceptos, cuanto más diversificado sea el material concreto, más fácil será el proceso de abstracción.
Para ello, se eligieron dos problemas para que los alumnos representaran la operación de sustracción, entre ellos, el problema del momento relatado anteriormente. La tarea consistía en representar la idea de comparar la resta. La edad de Thaila se representó con pajitas y la de Kaike con palitos de helado.
Antes de resolver la tarea, se les explicó que para resolver el problema podían utilizar la resta: catorce menos ocho es igual a dos piernas (14-8=6). Se les pidió que hicieran la operación, utilizando los palos y las pajitas, y que respondieran a la pregunta: ¿Qué representa el número 8, el sustraendo?
La respuesta esperada, que se basa en la idea de comparar el concepto de resta, es que al comparar eliminamos la cantidad que tienen en común el minuendo y el sustraendo. Cuando comparamos cantidades, el sustraendo representa la cantidad común entre el sustraendo y el minuendo, en este caso, el número 8 representa la edad en común entre Thaila y Kaike.
Todos los estudiantes representaron correctamente la tarea solicitada, sin embargo, 1/3 de los estudiantes fueron capaces de informar del procedimiento realizado, pero no pudieron justificarlo. A continuación, se presentarán dos tareas resueltas, en las que hay evidencia de acción consciente.
Fuente: La autora (2015)
La explicación de Carlos: "He puesto las 14 pajitas, luego he puesto las ocho pajitas de abajo, y luego he cogido estas ocho. Estas pajas tienen la edad de Kaike. Estas pajas son de Thaila. Quitamos lo que es igual y queda la diferencia.”.
Fuente: La autora (2015)
La explicación de Breno: "Hice la edad de Thaila con los palillos y luego hice la de Kaike con las pajitas y dieron estos dos triángulos (en realidad cuadriláteros irregulares) y sobraron estos que dieron seis. Hasta ahora esto es lo que tienen igual y el resto es la diferencia".
Al final de la tarea, se comprobó que los alumnos Carlos y Breno la resolvieron correctamente, fueron capaces de explicar "qué" y "por qué" hicieron la representación de la operación de resta, utilizando las pajitas y los palos. Fabieli no realizó la representación correctamente, pero fue capaz de explicar "lo que" hizo. Esto puede considerarse una mejora. Amanda lo hizo correctamente, fue capaz de explicar "qué" hizo, pero no "por qué" lo hizo. Everton y Daniele lo hicieron correctamente, pero todo indica que imitaron la ejecución de la tarea realizada por Carlos y ni siquiera pudieron explicar "qué" hicieron. De este análisis podemos inferir que Carlos y Breno son conscientes de la acción de restar, Fabieli y Amanda están en el proceso, y Fabieli no resolvió correctamente, pero fue capaz de explicar, por esta razón consideramos que está desarrollando el concepto. Al verbalizar el procedimiento, analizará la resolución y podrá tomar conciencia de su error. Amanda resolvió la tarea, pero no pudo explicarla. En este punto del análisis de la tarea se comprobó que hay indicios de que los alumnos están en proceso de aprendizaje del concepto de resta, pero no pueden llegar a la abstracción y generalización, tan necesarias para la formación del concepto científico. Porque, según Vygotsky (2001, p. 226), "el concepto surge cuando se sintetiza una serie de atributos abstraídos y cuando la síntesis abstracta así obtenida se convierte en la base del pensamiento”.
Los datos de la investigación mostraron la dificultad de los alumnos para explicar el procedimiento utilizado al resolver las tareas propuestas. Sin embargo, para Kalmykova (1991), la resolución de problemas requiere mucho más que conocer los números y las técnicas operativas, es decir, es necesario que el alumno se apropie de los conceptos concretos y abstractos, llegando a síntesis en un nivel de análisis complejo.
En los años iniciales, además del lenguaje oral y escrito o numérico, se puede utilizar el dibujo como forma de expresión, además del algoritmo, como confirma la defensa de la autora cuando dice que las imágenes representan lo concreto, pero no son lo concreto. Esto significa que el uso del dibujo, como procedimiento didáctico, es un punto intermedio entre lo concreto y lo abstracto, así como el punto de partida para la abstracción. El dibujo representa la manifestación externa del pensamiento que, al transponerse al pensamiento del niño, ha sido interpretado de forma abstracta por éste. El niño, al captar empíricamente el objeto analizado, reproduce en su pensamiento la dinámica y la estructura de este objeto.
En cuanto a los procedimientos didácticos, las categorías pedagógicas defendidas por Saviani (1997) cuando enfatiza el dominio del conocimiento por parte del profesor, necesitan ser enumeradas a los buenos materiales a ser utilizados, las formas de lenguaje, las tareas desarrolladas por los alumnos y el contexto en el que los alumnos están insertos, considerando que las privaciones culturales y económicas afectan el aprendizaje.
Consideramos que la resolución de problemas, en varios momentos de la lección, puede presentar respuestas correctas de forma implícita, pero no es la comprensión de la idea de la operación utilizada para resolver el problema. El profesor, al valorar el proceso de resolución, además de la respuesta correcta al problema, debe proponer al alumno la explicación del procedimiento realizado, favoreciendo la movilización de sus ideas.
DANTE, L. R. Aprendendo sempre: matemática. São Paulo: Ática, 2008.
KALMYKOVA, Z. I. Pressupostos psicológicos para uma melhor aprendizagem da resolução de problemas aritméticos. In: LURIA, A. et al. (Org.). Pedagogia e psicologia II. Lisboa: Estampa, 1977. p. 9-26.
SAVIANI, D. A função docente e a produção do conhecimento. Educação e Filosofia, Uberlândia, v. 11, n. 21, p. 127-140, 1997.
VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e linguagem. 1. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2001.
FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Supuestos psicológicos y didácticos para la resolución de problemas matemáticos. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2653-2667, out./dez. 2021. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v16i4.13612
PRESSUPOSTOS PSICOLÓGICOS E DIDÁTICOS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
PRESUPUESTOS PSICOLÓGICOS Y DIDÁCTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Fatima Aparecida Souza FRANCIOLI1 Nilza Marcia Mulatti SILVA2
RESUMO: Este artigo tomou como recorte as análises proferidas em uma pesquisa de mestrado na área de ensino e tem como objetivo apresentar os pressupostos psicológicos e didáticos referentes à resolução de problemas matemáticos. A pesquisa, de cunho teórico- metodológico, discute as dificuldades dos alunos, dos anos iniciais do ensino fundamental, ao resolverem problemas matemáticos. Para tanto, apoiou-se nos estudos de Vigotski e Kalmykova para as questões psicológicas e estudos de Saviani para as questões didáticas. Os resultados apontaram que a solução de problemas exige que o aluno transcenda dos procedimentos descritivos para os explicativos e, assim, tome consciência de suas ações. Além de que o professor, ao valorizar o processo de resolução, ademais da resposta correta do problema, deve propor ao aluno a explicitação do procedimento realizado, favorecendo a mobilização de suas ideias e chegando ao pensamento por conceitos.
PALAVRAS-CHAVE: Vigotski e Kalmykova. Saviani. Ensino Fundamental. Subtração.
1 Paraná State University (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brazil. Professor at the Postgraduate Program Stricto Sensu, Academic Master's level in Interdisciplinary Teacher Formation – PIPIFOR. Doctorate in School Education (UNESP). ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8373-7056. E-mail: fas.francioli@hotmail.com
2 Paraná State University (UNESPAR), Paranavaí – PR – Brazil. Professor and Pedagogical Coordinator of the Municipal Education Network of Alto Paraná. Master's in Interdisciplinary Teacher Formation (UNESPAR). ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3895-3029. E-mail: nmulatti29@hotmail.com
RESUMEN: Este artículo tomó como punto de referencia, los análisis manifestados en una investigación de maestría en el área de enseñanza y tiene como objetivo presentar los presupuestos psicológicos y didácticos referentes a la solución de problemas matemáticos. La investigación se basó en el modelo teórico-metodológico, discute las dificultades de los estudiantes, en los primeros años de la escuela primaria, para resolver problemas matemáticos. Para esto, se utilizaron los estudios de Kalmykova para la parte psicológica y los estudios de Saviani para las cuestiones didácticas. Los resultados apuntaron que la solución de problemas exige que el alumno trascienda de los procedimientos descriptivos a los explicativos y así tomar conciencia de sus acciones. Además, que el profesor, al valorar el proceso de resolución y la respuesta correcta del problema, debe proponer al alumno la explicación del procedimiento realizado, favoreciendo así, la movilización de sus ideas y llegando a un nivel de síntesis de análisis de conceptos.
PALABRAS CLAVE: Vigotski e Kalmykova. Saviani. Enseñanza Fundamental. Sustracción.
In the work of pedagogical practice, the teaching and learning relationship is part of an ongoing process between teacher and student. In order to approach this process, the present article took as an outline the analyzes given in a master's research in the teaching area in which the difficulties of students, from the early years of elementary school, when solving mathematical problems are discussed.
Many say that learning mathematics is not easy, however, the question is to seek answers to demonstrate how to solve some questions: Why do students who know how to solve algorithms often do not know how to apply them to solve mathematical problems? Why are some students able to interpret and others not? In search of these answers, this study aims to present the psychological and didactic assumptions regarding the resolution of mathematical problems, with an emphasis on subtraction. With a theoretical-methodological nature, the study is based on Vigotski and Kalmykova for psychological issues and on Saviani for didactic issues.
Zinaida Ilinichna Kalmykova3 (1977), based on cultural-historical psychology, continued the studies developed by Vigotski, specifically, in the area of mathematics with an emphasis on learning and development. Dermeval Saviani (1997), Brazilian author renowned for his studies in the area of theories and history of education, defined five categories of knowledge that he considers necessary for the student's development: mastery of curriculum content, didactic-curricular knowledge, pedagogical knowledge, social-historical conditions,
3 Collaborator at the Institute of Psychology of the USSR Academy of Pedagogical Sciences (LURIA et al.,
1977, p. 9).
attitudinal knowledge. For Saviani, these categories establish the dimension of knowledge that the teacher needs to master to develop good teaching.
The relationship between these three authors is in the materialist philosophical structure, in which they study school education as a promoter of human development.
One of the initial answers that guided the path taken by the research was based on the ideas of Dante (2008), who says that the student will only be able to solve mathematical problems if he masters the concepts of addition, subtraction, multiplication and division. Thus, Vygotski and Kalmykova sought to understand how the appropriation of concepts occurs.
From the perspective of cultural-historical psychology, children's learning begins long before they attend school, however, it is through formal education that students come into contact with the concepts organized in different areas of knowledge that make up the curriculum. From this point onwards, we will try to define the formation of concepts.
Vigotski (2001), in his studies, highlights the existing relationships between spontaneous concepts and scientific concepts. For him, spontaneous concepts are those formed by direct communication with people with whom the child lives, in a free way, without defined intentionality. Differently, scientific concepts are developed through intentional and systematized mediation, which is the exclusive responsibility of school education. Vigotski (2001, p. 218, our translation) states that "spontaneous concepts enable the appearance of non-spontaneous concepts through teaching" and that "the formation of scientific concepts in the same measure as the spontaneous ones, does not end, but only begins when the child assimilates for the first time a new meaning or term for him, which is a vehicle for a scientific concept” (Idem, p. 265, our translation). For the author, it is not because the content is addressed at school that it reaches the scientific conceptual level, even knowing that it is the role of school education to provide activities capable of transforming spontaneous concepts into scientific ones, that is, transforming the spontaneous thinking of students in intellectual thinking.
And how does the child appropriate the concepts? Before answering this question, it is necessary to clarify that Vigotski (2001) divided the path of thought into three main basic stages: syncretic thinking, thinking by complex and thinking by concept. At the stage of syncretic thinking, the main characteristic is a tangle of ideas without internal foundation but
linked to the child's impression of things; “[...] it is the formation of an uninformed and unordered plurality, the discrimination of a heap of various objects at the moment that this child is faced with a problem” (VIGOTSKI, 2001, p. 175, our translation). For the author, thinking by complex “leads to the formation of bonds, the establishment of relationships between different concrete impressions, the unification and generalization of particular objects, the ordering and systematization of the child's entire experience” (Idem, p. 178, our translation). Thus, at this stage, the child begins to make the first relationships and presents as a basis the link with the concrete between the elements. At this stage, the first generalizations begin. We cite as an example the act of putting pieces together according to the attribute color or the attribute shape.
The last and desired stage to be reached is thinking by concept.
[...] the concept in its natural and developed form, presupposes not only the combination and generalization of certain concrete elements of experience, but also the discrimination, abstraction and isolation of certain elements, and also the ability to examine these elements discriminated and abstracted out of the concrete and factual bond in which they are given in the experience (VIGOTSKI, 2001, p. 220, our translation).
In addition to this concept, Vigotski (2001, p. 226, our translation) states that “the concept arises when a series of abstracted attributes is synthesized again, and when the abstract synthesis thus obtained becomes fundamental to thought”. Through this synthesis, the child perceives and becomes aware of the reality that surrounds them. However, “the concepts do not emerge mechanically as a collective photograph of concrete objects” (VIGOTSKI, 2001, p. 237, our translation). Its formation always arises in the process of solving a problem that arises in thought. The concept will emerge from the solution of this problem, therefore, from this statement we confirm the relevance of the act of problematizing school contents.
For the development of scientific concepts to occur, tasks are needed that enable the student's thinking to turn more to mental activity than to the sensory object. In this case, the acquisition of scientific concepts follows the opposite path from the spontaneous ones, developing through a deductive process of complex and superior properties to elementary and inferior properties. In other words, the tasks have as their starting point the mental activity, based on the abstraction of knowledge that promote the appropriation of the concept. Upon reaching this level of conceptual thinking, it becomes possible to relate this concept to spontaneous knowledge, present in lived experiences.
The domain of the thought act reveals the student's level of psychic development, that is, he manages to convert his psychic functions, such as perception, memory, voluntary
attention and thought itself, into objects of consciousness. It means, so to speak, that this student is in intense mental activity, fully aware of the thought process to the point of mastering it.
In this direction, continuing Vygotsky's research, Kalmykova (1977), as a Soviet researcher, developed in the mid-twentieth century, together with Leontiev, Luria, Zankov and other collaborators of historical-cultural psychology, different studies to contribute to the work of teachers and improve the learning of children in the early years of elementary school. For this researcher, it was essential to investigate teaching methods used by good teachers, comparing them and observing their effectiveness in solving mathematical problems.
According to Kalmykova (1977), problem solving requires much more than knowing numbers and operating techniques, it requires knowledge of several concrete and abstract concepts that reflect the quantitative relationships between objects. Therefore, to solve a problem well, it is necessary to have syntheses at the level of complex analyses. Even in a simple problem, data can be interconnected in different ways, which requires elaborate reasoning to solve. In a compound problem, which needs to be solved in more than one step, choosing the operation to be used becomes more difficult, as the student needs to choose the right numbers and define their possible combinations. “This preliminary analysis is essential for a correct solution of complex problems” (KALMYKOVA, 1977, p. 10, our translation).
Another important point, highlighted by Kalmykova (1977), refers to the statement that, in the formation of concepts, the more diversified the concrete material, the easier the abstraction process will be. However, she recognizes the impossibility of carrying out a sensory experience with all materials, which is why those that enhance the expansion of the studied concept should be prioritized.
Kalmykova (1977) analyzed the practice of one of the best teachers in a Moscow school, D.V. Petrova, class I teacher. From the reports presented, there are signs that this is the first year of elementary school. Among her observations, the author highlights that, even before the children started to read and learn the first mathematical contents, the teacher made available to them a variety of non-school materials and objects. These concrete materials, according to the author, facilitated the transition to abstraction to the concept of number, mathematical operations and problems.
Another relevant approach observed by the author and carried out by teacher Petrova refers to the use of drawings as a means of consolidating the content. For example, the number 5 was related by the teacher to five objects, the teacher guided the child, so that he/she did not form a single specific connection, that is, to relate the word 5 only with that
amount of concrete objects. We can infer, with Kalmykova (1977, p. 16), that the targeting should be based on the gradual decrease in the number of objects and signs, starting to use them only to introduce new concepts, or, when necessary, “constitute and consolidate connections”. The author also advises that, in order to guide children towards generalization, we can make use of images, as they are based on concrete reality, but they are not this reality.
Kalmykova (1977) advises that the efficient work on the formation of concepts is not limited to the first studies but extends through all the years of schooling. In this sense, we consider correct the fact that the concept of subtraction starts in early childhood education and extends to elementary school, as appropriation does not occur in a punctual and complete way at once.
Another direction that we consider important in relation to the analysis of errors refers to the necessary attention to the students' way of thinking and the essential concepts to understand certain school content. We highlight the mediations to make the student recognize the error, think about “why” he made a mistake, change his answer and recognize the correctness. Therefore, it is not enough to show the error and correct the students' answers. Just considering error as part of the process does not advance learning. The advances come from the analysis carried out by the student, through the mediation of the teacher, who perceives that the resolution performed does not match the logic of the proposed activity.
In the more advanced classes, called class II and III, which can be compared to the second and third years of elementary school, the teacher introduced these concepts, asking students to translate the text of the mathematical problem into more abstract terms. They were asked to correctly express the data and the value sought, which required scientific language. In class IV, Kalmykova reports that the teacher began to get the children used to expressing themselves in appropriate mathematical terms not only in the content of the problem but also in its solution. Little by little, she guided students to leave the visual image and move to abstraction, so that they could assimilate the “more complex mathematical categories” (KAMYKOVA, 1977, p. 20).
Having made these considerations, the author clarifies that at first not all students assimilate, but through the systematic work of the teacher on these concepts, all become capable of learning. Therefore, the systematic work on the assumptions of cultural-historical psychology enables not only good students to learn, but everyone involved in the process. Because the reflections and propositions, expressed in theory, are presented as possibilities for the realization of didactic procedures and resources rich in meaning and must appear as essential characteristics in the teaching process.
We return to the initial questions that guide this text: Why do students who know how to solve algorithms often do not know how to apply them to solve mathematical problems? Why are some students able to interpret and others not? In search of these answers, it is relevant to consider that
[...] the work of forming the concepts necessary for solving problems is a means to increase the effectiveness of the analytical-synthetic activity. But the assimilation of concepts and corresponding mathematical laws does not imply a special ability to solve more complex problems. It is not enough to have notions; it is necessary to be able to use them at the right moment, choosing the necessary notions to solve certain problems. It often happens that a student cannot solve a problem because he does not know how to mobilize the notions he has. Choosing the necessary notions requires a special concentration on the text of the problem, that is, analyzing it (KALMYKOVA, 1977, p. 20-21, our translation).
In this sense, we consider that, in order to be able to interpret and solve a mathematical problem, in addition to learning the concepts of operations, mathematical terms and mastering the resolution of operations, it is necessary to know how to mobilize this knowledge and use it properly.
Kalmykova (1977) warns that the rush to consolidate the habit of solving problems and the lack of time to explain the problem-solving process in detail cause students to have a certain slowness of reasoning. Because they cannot remember the reasoning that leads to the solution, they cannot translate the method used to solve one type of problem onto another problem either. Therefore, it is necessary to emphasize the method used to solve the problems, allowing considerable time for analysis. The author confirms that:
[...] a conscious assimilation of problem-solving methods not only requires assimilating the corresponding system of arithmetic operations, but also assimilating the form of reasoning through which students analyze the content of a problem and choose certain operations (KALMYKOVA, 1977,
p. 24, our translation).
This statement is in line with our investigation, regarding the importance of dedicating special attention to the teaching methods of problem analysis and reasoning during this analysis, that is, to understand the phases that thinking goes through to thinking by concepts. In this sense, we can say that the teacher needs to receive training that covers not only specific content in the area, but also content related to methodologies.
As discussed above, in the teacher-student relationship lies the founding aspect of school education as a mediator between teaching and learning. This presupposes an educational work that, according to Saviani (1977), must be intentional and produce in each student the knowledge historically developed by humanity.
In this direction, Saviani (1997), when listing the knowledge needed to produce knowledge in the student, defines five categories of knowledge relevant to the teacher's work.
The first category defined by Saviani (1997) seems obvious, as it refers to the “mastery of curriculum content”, but it is a category that needs to be consolidated. It is noteworthy that no matter the level of performance, the teacher must know extensively the content to be taught, so they need to master the concepts. Knowing the content is the first step, by the way very important, but not enough to transmit knowledge to the student. The second category defined by Saviani (1997) refers to “didactic-curricular knowledge”; emphasizes that you need to know how to organize content. Saviani (1997, p. 131, our translation) defines that knowledge needs to be “dosed, sequenced and worked on in the teacher-student relationship”. The author states that these first two categories are considered the basic modalities for the teacher to teach efficiently. Saviani (1997) makes this distinction to emphasize the need for teachers to appropriate the pedagogical knowledge produced by the science of education, to know the pedagogical theories that underlie educational policies and that significantly influence teaching practice. The third category refers to “pedagogical knowledge”, that is, the knowledge produced by the science of education.
It is not possible to get to know the school by studying only the school, as education is inserted in a context in which it is directly influenced by the socioeconomic and cultural situation. Thus, the fourth category deals with the understanding of the “socio-historical conditions” that determine the educational task, essential knowledge for thinking about critical education, as criticality permeates the knowledge of the totality.
The fifth category includes “attitudinal knowledge”, responsible for establishing coherence between knowing and doing. As the author says, it is not a question of confusing profession with mission, but of adopting an ethical posture. It refers to the attitudes and postures of the role assigned to the teacher, defined by Saviani (1997, p. 136, our translation) as “discipline, punctuality, coherence, clarity, justice and equity, dialogue, respect for the person of the students, attention to their difficulties etc." According to the author, this
competence is related to the teacher's identity and personality, but they are objects of formation.
Saviani (1997) defines, through the categories previously presented, the dimension of knowledge that the teacher needs to master. Our position is that the absence of knowledge in any of these categories affects the effectiveness of teaching and compromises the student's ability to apprehend historical knowledge socially produced by humanity.
It is therefore necessary that, based on these didactic assumptions, the teacher adopts teaching and learning situations in their practice whose richness allows the appropriation of scientific knowledge. In this study, we refer to the solving, in the classroom, of mathematical problems.
Given the difficulties presented in mathematical interpretation in solving mathematical problems, checked in classrooms, and the hypothesis that students perform the operations, solve the algorithms, but are not aware of the action they perform, that is, they did not appropriate the concepts scientific research, a pedagogical work4 was developed, related to the learning of the concept of subtraction, which involved children5 from nine to eleven years old, enrolled in the fourth year of elementary school in a municipal school located in northwestern Paraná. The purpose was to know the level of awareness of the action of subtracting, through the analysis of the manifestation of oral languages, drawings and object manipulation.
The pedagogical work reported below is part of a sequence of activities carried out, among them, the resumption of contents related to subtraction, interventions that preceded the task requested from students involving solving similar problems, among other actions, are included. We will report below three moments of the classes, considered important to analyze the possible conscious action when solving mathematical problems: oral justification for the choice of mathematical operation, representation through drawing and illustration using manipulative material.
At first, a problem was given to each student and they were asked to answer which mathematical operation they could use to solve it and, mainly, to justify the reason for the choice, that is, the main focus was not on the right answer to the problem, but in the explanation of the thought involved in the resolution.
4 To access the research. Available: http://ppifor.unespar.edu.br/files/NILZA_MARCIA_MULATTI_SILVA.pdf. Access: 10 June 2021.
5 According to the ECA – Statute of Children and Adolescents (BRASIL, 2002), a citizen who is under 12 years of age is considered a child.
The oral justifications obtained were of various levels, as can be seen through the following reports: “It solves through addition because it has to count”; “Division because it will put in the bag”; “It's addition because it will join the pages she read with the ones she didn't”; “Subtraction because I withdraw”; “Subtraction because 'lack' to complete the album”. There were also students who were unable to explain their choice, others confused the names of the operations, did not recognize the term "difference" as a result of the subtraction, in addition to naming the addition operation as "too much" and the subtraction operation as " it contained too little”. This lack of use of the correct nomenclature leads us to the fact that the school sometimes reinforces spontaneous knowledge related to the nomenclature of algorithms. We observed, in students who performed better in the tasks, the precise use of the operations nomenclature.
Based on the difficulty in explaining the procedure used to solve problems, and Kalmykova's (1991) defense that drawing would be an intermediary point between the concrete and the abstract, it being necessary to resort to visual material as a basis for the formation of concepts in order not to stop only at the purely formal assimilation of the notions, it was decided to add, in the second moment, drawing as another form of expression, in addition to the algorithm, as a means of consolidating the content.
In this second moment, in order to improve the analysis of the appropriation of the concepts of the operations, through conscious action, six problems from the previous moment were resumed, solved using subtraction. The task consisted of carrying out the operation and drawing it identifying its terms, that is, the minuendum, the subtraendum and the remainder or the difference. When drawing, the student needed to think about what each number used in the algorithm represented and relate it to the proposed problem.
Among the problems, the representation of the student Amanda6 was chosen, which involves the idea of comparing the subtraction, for the following problem: “Kaike is eight years old and his sister, Thaila, is 14 years old. How many years is Thaila older than Kaike?”
6 Student names are fictitious.
Source: Author (2015)
Observing the above drawing and based on the oral explanation, the student represented the minuendum and subtracting through irregular circles, and the act of subtracting, tracing a line on them. It is noticed that there is no explicit relationship between the minuendum and the subtraendum. When asked where the difference in age between Kaike and Thaila is represented, she explains: “Here there are eight and here there are fourteen”. The student knows the meaning of the word but does not identify in her drawing the term “difference” as a result of the subtraction operation.
Drawing as a form of language substantially favored the expression of thought, confirming Kalmykova's (1991) defense that drawing is not the real problem, but expresses the reality thought by the student, and as it is the external manifestation of thought, it can come to be the starting point for abstraction.
Even with these positive points, during the development of the tasks, it was verified that the students had doubts related to how to design the act of withdrawing. Pertinent doubts, because, if I withdraw, how can they remain? Drawing was one more resource, but the action of withdrawing was still compromised. This situation leads us to Kalmykova's statement (1991, p. 12, our translation) that “the necessary psychological basis for the correct formation of concepts is an assimilation that allows for the creation of conditions between the abstract and concrete components of thought, between the word and the image”.
In the third moment, the group was composed of six students and manipulated materials were used, for two reasons: due to the students' difficulty in drawing the “removal action”, and Kalmykova's (1991) statement that, in the formation of concepts, the more diversified the concrete material, the easier the abstraction process will be.
For this purpose, two problems were chosen for the students to represent the subtraction operation, among them, the moment problem previously reported. The task consisted of representing the idea of comparing subtraction. Thaila's age was represented by straws, and Kaike's age by popsicle sticks.
Before solving the task, it was explained that, to solve the problem, they could use subtraction: fourteen minus eight equals two legs (14-8=6). They were asked to perform the operation, using chopsticks and straws, and answer the question: What does the number 8, the subtraendum, represent?
The expected answer, and which supports the idea of comparing the concept of subtraction, is that, when comparing, we remove the quantity that the minuendum and the subtraendum have in common. When comparing amounts, the subtraendum represents the common amount between subtraendum and minuendum, in this case, the number 8 represents the common age between Thaila and Kaike.
All students correctly represented the requested task, however, 1/3 of the students were able to report the procedure performed but could not justify it. Next, two solved tasks will be presented, in which there are signs of conscious action.
Source: Author (2015)
Carlos' explanation: “I put the 14 sticks, then I put the eight straws underneath, then I took these eight. Those straws are Kaike's age. These sticks are from Thaila. We take what is equal and the difference remains”.
Source: Author (2015)
Breno's explanation: “I made Thaila's age with the sticks and then I made Kaike's age with the straws and they resulted in these two triangles (actually irregular quadrilaterals) and there were those left, which made six. So far it's what they have equal and the rest is the difference.”
At the end of the task, it was verified that the students Carlos and Breno solved it correctly, were able to explain “what” and “why” they did the representation of the subtraction operation, using straws and sticks. Fabieli did not perform the representation correctly but managed to explain “what” she did. It can be considered an advance. Amanda did it correctly, managed to explain “what” she did, but not “why” she did it. Everton and Daniele did it correctly, but everything indicates that they imitated the accomplishment of the task done by Carlos and could not even explain “what” they did. From this analysis, it can be inferred that Carlos and Breno are aware of the action of subtracting, Fabieli and Amanda are in the process, and Fabieli did not solve it correctly, but managed to explain, for this reason we consider that she is developing the concept. By verbalizing the procedure, she will analyze the resolution and can become aware of her error. Amanda solved the task but could not explain. At this point in the analysis of the task, it was verified that there are signs that the students are in the process of learning the concept of subtraction, but cannot reach the abstraction and generalization, so necessary for the formation of the scientific concept. For, in Vigotski (2001, p. 226, our translation), “the concept arises when a series of abstracted attributes is synthesized again, and when the abstract synthesis thus obtained becomes fundamental to thought”.
The survey data demonstrated the students' difficulty in explaining the procedure used to solve the proposed tasks. However, for Kalmykova (1991), problem solving requires much
more than knowing the numbers and operating techniques, that is, it is necessary for the student to appropriate concrete and abstract concepts, reaching syntheses at the level of complex analyses.
In the early years, in addition to oral and written or numerical language, drawing can be used as a form of expression, in addition to the algorithm, as the author's defense confirms when she says that images represent the concrete, but they are not the concrete. This means that the use of drawing, as a didactic procedure, is an intermediate point between the concrete and the abstract, as well as the starting point for abstraction. The drawing represents the external manifestation of thought that, when transposed to the child's thought, was interpreted abstractly by the child. The child, when empirically capturing the analyzed object, reproduces in thoughts the dynamics and structure of that object.
Regarding didactic procedures, the pedagogical categories defended by Saviani (1997) when he emphasizes the mastery of knowledge by the teacher, they need to be listed with the good materials to be used, the forms of language, the tasks performed by the students and the context in that students are included, considering that cultural and economic deprivations affect learning.
We consider that problem solving, in different moments of the class, can implicitly present correct answers, but it is not the understanding of the idea of the operation used to solve the problem. The teacher, when valuing the process of solving, in addition to the correct answer to the problem, must propose to the student the explanation of the procedure performed, favoring the mobilization of their ideas.
DANTE, L. R. Aprendendo sempre: matemática. São Paulo: Ática, 2008.
KALMYKOVA, Z. I. Pressupostos psicológicos para uma melhor aprendizagem da resolução de problemas aritméticos. In: LURIA, A. et al. (Org.). Pedagogia e psicologia II. Lisboa: Estampa, 1977. p. 9-26.
SAVIANI, D. A função docente e a produção do conhecimento. Educação e Filosofia, Uberlândia, v. 11, n. 21, p. 127-140, 1997.
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FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Psychological and didactic assumptions on mathematical problem solving. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2637-2651, Oct./Dec. 2021. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v16i4.13612