ORGANIZACIÓN DE LA ENSEÑANZA DESDE LA PERSPECTIVA DEL SISTEMA ELKONIN-DAVÝDOV
ORGANIZATION OF MATHEMATICS TEACHING FROM THE PERSPECTIVE OF THE ELKONIN-DAVÝDOV SYSTEM
Giselma Cecilia SERCONEK2 Marta Sueli de Faria SFORNI3
RESUMEN: Los resultados de evaluaciones externas, como PISA, SAEB y SAEP, revelan el bajo nivel de competencia de los estudiantes brasileños en Matemáticas en la educación básica. Basado en el supuesto de que el aprendizaje es el resultado de las interacciones educativas en las que participan los estudiantes, dirigimos nuestra atención a la forma en que se prevé la enseñanza de conceptos matemáticos. Para tener datos más objetivos sobre lo que se aprende y lo que se enseña, fue necesario elegir una situación particular para analizar, en este caso, los datos de las evaluaciones externas de un municipio en Paraná, así como la organización curricular de esa disciplina en el municipio respectivo. Basado en estudios sobre la forma de
1 O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
- Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001.
organización de la enseñanza desde la perspectiva del Sistema Elkonin-Davýdov, la organización de la enseñanza matemática debe guiarse por y para el concepto de grandeza, alrededor del cual se articulan álgebra, geometría y aritmética. Esta articulación implica una organización curricular integrada, opuesta a la fragmentación identificada en la organización de la enseñanza en el municipio bajo análisis, que puede justificar los resultados insatisfactorios en el aprendizaje y, al mismo tiempo, señalar posibles caminos pedagógicos para superar esta situación a nivel nacional.
PALABRAS CLAVE: Teoría Histórico-Cultural. Sistema Elkonin-Davýdov. Organización de la enseñanza. Aprendizaje de matemáticas. Concepto de grandeza.
ABSTRACT: Results of external evaluations, such as PISA, SAEB and SAEP, reveal the low level of proficiency of Brazilian students in Mathematics in basic education. Based on the assumption that learning is the result of educational interactions in which students participate, we look at the ways as it is expected the teaching of mathematical concepts. In order to have more objective data about what is learnt and what is taught, it was necessary to opt for the analysis of a particular situation, in this case, the external evaluations data from a municipality in the state of Paraná, as well as the curricular organization of this subject in the respective municipality. Based on the studies of the organization way of the education from the point of view of Elkonin-Davýdov System, the organization of Mathematics education has to be guided by and for the greatness concept, around which algebra, geometry and arithmetic articulate. This articulation involves an integrated curricular organization, opposed to the fragmentation identified in the organization of education in the municipality in question, which can justify the unsatisfactory results in learning and, simultaneously indicate potential pedagogical directions to overcome this nationwide scenario.
KEYWORDS: Historical-Cultural Theory. Elkonin-Davýdov System. Organization of education. Mathematics learning. Greatness concept.
Os conhecimentos matemáticos são imprescindíveis em todos os âmbitos da vida e fazem parte dela tão logo se estabelecem relações entre pessoas e objetos. As relações interpessoais e as atividades realizadas pelos seres humanos dão origem ao conhecimento lógico-matemático, assim como aos demais conhecimentos. Então, desde muito cedo, o sujeito pensa matematicamente em várias situações cotidianas, mesmo sem ter consciência dessa ação mental (CARAҪA, 1951). Desde a infância, o sujeito organiza, separa, compara e classifica objetos, divide a barra de chocolate com seu irmão, ganha moedas e as junta no cofrinho, perde pecinhas de seu jogo de montar e percebe a falta delas, fica descontente se recebe a menor parte de um bolo, ou seja, atua constantemente com conceitos matemáticos.
Parece-nos que até aí não encontramos problemas com a Matemática. No entanto, quando ela se torna uma disciplina escolar, as dificuldades vêm à tona e passamos a ouvir, seja
no ambiente escolar seja fora dele, frases como ‘não gosto de Matemática’, ‘Matemática é difícil’, ‘esse negócio de números não é para mim’. A ciência da Matemática é considerada, tanto por professores quanto por estudantes, um desafio a ser enfrentado e desvendado como se fosse uma ‘caixa preta’ de difícil acesso. Compreendemos tais preocupações e temores, especialmente quando relacionados ao histórico de insucesso por parte de quem ensina e de quem aprende, aos altos índices de estudantes em recuperação, de reprovação e de insatisfação com o processo e o resultado dele.
Diante desse contexto, a Matemática conserva uma má fama, inflamando discussões que, muitas vezes, culpabilizam o estudante: ‘a criança não tem raciocínio lógico’, ‘ela não lê com atenção a situação-problema e/ou os enunciados das tarefas escolares’, ‘a criança vai pegando todos os números que aparecem no problema’, assim por diante. Infelizmente, como reitera Talizina (2000), muitos professores e matemáticos pouco fazem diante dessa situação porque são
[...] defensores da natureza genética das capacidades matemáticas. Assim, frequentemente, os professores explicam as notas baixas do aluno na matemática, como falta de capacidades matemáticas. Além disso, eles acrescentam que os pais deste aluno também não tinham êxito nas matemáticas. [...] e não consideram que sua formação durante o processo de estudo das matemáticas, seja possível. Neste caso, o professor, praticamente, não se torna responsável pelos resultados alcançados pelos alunos (TALIZINA, 2000, p. 17, tradução nossa).
Silveira (2002) observa, junto à má fama da Matemática, o efeito da aceitação do fracasso da aprendizagem nessa disciplina escolar revelada no discurso de que a ‘Matemática é difícil’ e, portanto, ela é ‘para poucos’. As notas baixas e/ou a reprovação nessa disciplina são vistas com muita naturalidade pela comunidade escolar, que, com isso, corrobora a aceitação, a banalização e a reprodução desse fenômeno, muitas vezes, sem questioná-lo. Assim, o posicionamento e o discurso “interferem na relação entre o sujeito que ensina e o sujeito que aprende” e este acaba por sofrer os efeitos negativos dessa relação (SILVEIRA, 2002, p. 6).
A relevância dos conhecimentos matemáticos, para os sujeitos, está explícita nas relações sociais em que estão inseridos, assim como a dificuldade que encontram em utilizá- los, e não podemos naturalizar esse fenômeno. Para desnaturalizá-lo necessitamos compreendê- lo, assim, o objetivo do presente texto é trazer para análises e reflexões elementos que integram o movimento desse fenômeno. Como ponto de partida, explicitamos o nível de proficiência em Matemática dos estudantes em nível nacional, assim como dos estudantes de um município paranaense, para conhecermos o desempenho escolar nesta área de conhecimento. Na
sequência, discutimos o plano epistemológico da ciência Matemática e a organização do ensino correspondente a este plano, na perspectiva do Sistema Elkonin-Davýdov, a fim de refletirmos acerca de suas possíveis contribuições para a organização dos processos de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos. Para finalizar, pautando-nos nesse sistema de ensino, analisamos o modo singular-particular de organização curricular da Matemática do referido município, pois nas singularidades manifestam-se aspectos gerais do ensino da Matemática, reveladores de suas deficiências.
As dificuldades encontradas nos processos de ensino e de aprendizagem são incontestes: estão presentes no cotidiano escolar, na prática e no discurso dos envolvidos, nas avaliações internas e externas. Uma forma de identificarmos o desempenho dos estudantes, em Matemática, foi analisar os resultados de avaliações externas. Para isso, fizemos um levantamento de dados do PISA, da Prova Brasil e do SAEP. Das duas últimas avaliações extraímos os dados correspondentes aos resultados da proficiência dos estudantes que estão nos 5º e 6º anos, respectivamente, a fim de averiguar a aprendizagem de Matemática daqueles que concluem a primeira fase do ensino fundamental. Mesmo reconhecendo as fragilidades das avaliações externas, com sua política de responsabilização, ranqueamento das escolas e regulamentação da distribuição de verbas para essas instituições, entendemos também que, não sendo utilizadas como instrumento isolado de elaboração de políticas públicas, podem colaborar, juntamente com outros instrumentos avaliativos, para o mapeamento da aprendizagem dos estudantes, para detectar problemas e planejar possíveis soluções.
O Programme for International Student Assessment (PISA) - Programa Internacional de Avaliação de Estudantes - é responsável pela realização de avaliação comparada, aplicada a estudantes na faixa dos 15 anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países (BRASIL, 2015). O PISA avalia a proficiência dos estudantes em Ciências, Matemática e Leitura de três em três anos. O PISA-2012 congregou 65 países e alguns territórios independentes, como Hong Kong, Macao, Shangai e Taiwan. Nesta edição, o Brasil classificou-se em 58º lugar em Matemática, 55º lugar em leitura e 59º em Ciências. No PISA-2015, os resultados do ranking mostram que o Brasil ficou em 66º lugar em Matemática, 59º lugar em leitura e 63º lugar em Ciências (BRASIL, 2015; 2016). Os resultados do PISA- 2018 publicados em 2019 indicam que o Brasil se classificou no intervalo 69-72 do ranking,
considerando todos os países/economias participantes4. Os resultados das três últimas edições do PISA evidenciam uma queda no nível de proficiência dos estudantes na disciplina de Matemática, na etapa final da educação básica.
A Prova Brasil, introduzida em 2005, é realizada a cada dois anos e, desde a primeira edição, passa por reestruturações. Até a última edição, foram aplicadas provas de Língua Portuguesa e Matemática aos estudantes do 5º e 9º anos da rede pública e urbana (BRASIL, 2014). Em 2015, o município paranaense, tomado como situação singular-particular de análise, obteve a proficiência média de 263,09 no teste de Matemática, que corresponde ao nível 6 (250 a 275), em uma escala que vai de 0 a 10 (abaixo de 125 a 375), em suas escolas públicas5. Em 2018, foram divulgados os resultados da Prova Brasil de 2017, que revelaram uma estagnação nos índices de proficiência em Matemática dos estudantes do 5º ano das escolas públicas, com a nota média de 263,66.
Em 2012, foi criado o Sistema de Avaliação da Educação Básica do Paraná (SAEP), que realiza testes de Língua Portuguesa e de Matemática. Já foram realizadas quatro aplicações do SAEP; na primeira, em 2012, foram avaliados estudantes do 9º ano do ensino fundamental e do 3º/4º ano do ensino médio. Na segunda, em 2013, foram avaliados estudantes do 6° ano do ensino fundamental e do 1º ano do ensino médio. Na avaliação realizada com estudantes do 6º ano, o município paranaense em análise alcançou a proficiência média de 212,3 em Matemática. Enquadra-se, assim, no nível 4 (de 200 a 225 pontos), nominado nível básico, considerando uma escala de 0 a 500 (PARANÁ, 2013). Em 2017, avaliou-se os estudantes do 9º ano do ensino fundamental e 3ª e 4ª séries do ensino médio. Na edição de 2018, o programa avaliou estudantes do 6º ano do ensino fundamental, da 1ª série do ensino médio e da Educação de Jovens e Adultos. Os estudantes do 6º ano do município paranaense, em questão, permanecem no nível básico de aprendizagem e a nota média de proficiência, no Paraná, é de 226,46.
Na sequência, apresentamos o quadro e o gráfico dos resultados obtidos pelos estudantes do 6º ano do ensino fundamental, do município em questão, em 20137. A análise desse material mostra que o tema grandezas e medidas, com quatro descritores, teve o menor percentual médio: 41,6% de acerto. O tema tratamento da informação ficou com 46,63%; geometria, 55,44%;
4 Resultados do PISA-2018. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/documentos/2019/relatorio_PISA_2018_preliminar.pdf. Acesso em: 10 maio 2020.
5 Resultados do SAEB-2015 e 2017. Disponível em: http://portal.inep.gov.br/educacao-basica/saeb/resultados. Acesso em: 10 maio 2020.
6 Resultados do SAEP-2018. Disponível em: http://www.saep.caedufjf.net/wp-content/uploads/2018/11/PR- SAEP-2018-RP-LP-WEB.pdf. Acesso em: 10 maio 2020.
7 Os resultados detalhados, como o apresentado no gráfico de 2013, é de acesso restrito e obtivemos somente os de 2013.
números e álgebra, 49,33% (PARANÁ, 2013). Portanto, a média geral dos percentuais alcançou 48,25% de acerto de todo o conteúdo avaliado nessa prova. Assim, se considerarmos os resultados aferidos por esse instrumento avaliativo, poderíamos afirmar que os estudantes concluem os anos iniciais do ensino fundamental com o “domínio” aproximado de metade dos conceitos previstos para essa etapa.
Fonte: Núcleo de Educação Regional do Município Paranaense
À primeira vista, pode parecer que os descritores – objetivos específicos de cada tópico
– são independentes um do outro e que o fator gerador do baixo desempenho em cada um deles seja, portanto, distinto. No entanto, primeiro, é preciso considerar que os conceitos têm lugar em um sistema de conceitos e a formação de um intervém na formação do outro. Como comprovou Vygotski (1931) em seus experimentos, existe uma reciprocidade na relação e uma transferência dos conceitos no interior de um sistema, as quais são reflexo da reciprocidade dos próprios fenômenos na realidade. Esse pertencimento e essa reciprocidade convertem o conceito em um importante instrumento mediador do conhecimento no mundo real e na assimilação da experiência social da humanidade. Segundo, é preciso considerar que, no sistema de conceitos matemáticos, conforme admite Davýdov (1982), a grandeza é o conceito nuclear da Matemática e permeia todos os outros conceitos matemáticos singulares (número real, geometria e álgebra), que são aspectos desse objeto nuclear. O gráfico explicita, porém, uma avaliação que dá ênfase aos números e operações, conceitos singulares vinculados ao
registro e controle das medidas de grandezas, reflexo da mesma ênfase dada na organização curricular de Matemática (tema que discutiremos mais à frente).
Tecidas essas considerações introdutórias sobre os resultados do desempenho escolar no campo da Matemática, que se apresentam baixos ao longo da educação básica, trazemos à discussão a ciência Matemática e a organização escolar do seu ensino sob a perspectiva do Sistema Elkonin-Davýdov, vislumbrando possíveis contribuições dessa teoria à aprendizagem de conceitos matemáticos.
A ciência, afirma Caraҫa (1951), é um sistema de conhecimentos que explica os fenômenos por leis gerais, que envolvem outros sistemas conceituais interconexos, com sua gênese própria, suas contradições, seus movimentos. Não tem por objetivo apenas descrever e definir fenômenos como algo pronto e definitivo, não é um sistema estático de terminologias. Kopnin (1978), esclarece que o conhecimento de qualquer ciência não surge do desconhecido, nem é acabado e, por essa natureza, o conhecimento deve considerar o caráter histórico do objeto estudado, que implica uma lógica em sua origem conforme as necessidades humanas.
A Matemática, assim como as demais ciências, surge das necessidades do homem e é resultado de observações, estudos, investigações, por meio das quais procura-se compreender os fenômenos e dominar a natureza. Assim, quanto maior for o conhecimento sobre um fenômeno, maior a possibilidade de prevê-lo, de provocá-lo e/ou controlá-lo.
Contudo, nos programas escolares, observa Ilyenkov (2007), existem demasiadas verdades absolutas, as quais são estabelecidas de modo definitivo para que os estudantes ‘as engulam’ sem conhecer o movimento do conhecimento e sua totalidade. Eles não são preparados para buscar ativamente respostas às questões postas pela vida ou pela escola, nem para as contradições que requerem o trabalho intelectual. Assim, o conhecimento pronto, como é dado pela escola,
[...] sem a estrada que leva a ele, é um cadáver [...] ossos mortos, o esqueleto da verdade, incapaz de movimento independente. [...] Uma verdade científica estabelecida, registrada na terminologia verbal e separada da rota pela qual ela foi adquirida, transforma-se numa casca verbal, mesmo que contenha todos os sinais externos da “verdade" (ILYENKOV, 2007, p. 21, tradução nossa).
O autor destaca, porém, que mantém a esperança de uma reconstrução didática que supere a visão conservadora de ensino que, baseada na manipulação terminológica verbal,
‘martela’ na cabeça do estudante o abstrato sob o disfarce de concreto, entendido equivocadamente como aquilo que é óbvio, visível, empírico. Sua esperança encontra apoio na pesquisa didática de D.B. Elkonin e de V.V. Davýdov, desenvolvida no laboratório do Instituto de Psicologia da Academia de Ciências Pedagógicas da República Socialista Federativa Soviética Russa (RSFSR), que tem a Teoria Histórico-Cultural como fundamento. A proposta didática de Elkonin e Davýdov assenta-se na compreensão lógico-dialética de pensamento e nas conexões entre o universal e o singular, entre o abstrato e o concreto, entre o lógico e o histórico.
No Sistema Elkonin-Davýdov, a organização do estudo, como esclarece Ilyenkov (2007), o estudante, desde os anos iniciais de escolaridade, deve assimilar o conhecimento científico, reproduzindo (de modo resumido) o processo real de gênese e desenvolvimento desse conhecimento socialmente produzido ao longo da história. Não significa que ele tenha que reinventar as conquistas já realizadas pela humanidade, pois isso é desnecessário: a ideia é que ele refaça a lógica do caminho percorrido, que carrega, em si, o aspecto histórico (caráter lógico-histórico). Dessa forma, ele se apropria dos conceitos e das fórmulas como um sujeito coparticipante no processo criativo ao invés de memorizá-los para posteriormente reproduzi- los em novas tarefas e avaliações. Assim, os conceitos tornam-se, para o sujeito, princípios gerais com caráter concreto real (relação abstrato-concreto) que serão utilizados por ele na resolução de outras tarefas particulares ou situações reais específicas (relação universal- particular), portanto, estes conceitos passam a apresentar significado e sentido.
A escola, afirma Davýdov (1982), necessita superar o entendimento empirista de conhecimento do objeto e assegurar aos estudantes a possibilidade de fazer abstrações, generalizações e dominar conceitos teóricos em sua gênese e essência, desde o início da escolaridade. A generalização e a formação de conceitos teóricos implicam, portanto, a abstração dos aspectos essenciais do objeto em sua origem lógico-histórica. Nesse sentido, as disciplinas escolares, de acordo com a proposta desse autor, não são compostas por um rol de definições e ilustrações, mas por sistemas de conceitos que têm como eixo seu conceito nuclear.
Conforme os estudos de Davýdov (1982), o conceito nuclear da Matemática é o conceito de grandeza porque este é o fundamento genético do número real e, consequentemente, é o determinante do surgimento dos demais números: naturais, inteiros, racionais e irracionais, assim como da relação entre eles. Sua gênese está, afirma Caraҫa (1951), nas atividades realizadas pelos sujeitos, nas mais variadas circunstâncias; por exemplo, os homens tiveram a necessidade de medir a extensão de terras, estabelecer o valor dos impostos, o volume de um líquido para comercializar, a quantidade certa de sementes para lançar em determinado terreno.
Ou seja, esses conhecimentos foram produzidos em decorrência da necessidade de se conhecer diferentes grandezas e controlar numericamente sua variação quantitativa.
Do conceito geral de grandeza deduzem-se os conceitos particulares de número, os quais constituem sua manifestação. Com base nessas relações entre o geral e o particular, o autor conclui que a grandeza se torna o conceito nuclear do processo de formação do pensamento teórico da Matemática. Os números, por sua vez, são “caso singular e particular de representação das relações gerais entre grandezas, quando uma delas se toma como medida de cálculo da outra” (DAVÝDOV, 1982, p. 434, tradução nossa). O número torna-se, dessa forma, característica quantitativa da grandeza.
As medições de uma grandeza estabelecem, igualmente, relações com a geometria, a aritmética e a álgebra. Por exemplo, quando se quer calcular as medidas do contorno de um polígono e seu cálculo aritmético não for expresso somente por números. Para medir determinada grandeza, certos valores podem ser representados de forma genérica, por meio de letras e símbolos. Observamos, então, que há uma interconexão das significações algébricas, geométricas, aritméticas com os conceitos de grandeza. Tal interconexão não pode ser desconsiderada na organização do ensino da Matemática na escola.
No entanto, não raro, os conceitos matemáticos são ensinados sem serem considerados os nexos entre eles, bem como seus nexos com o mundo real; ensina-se a contar e a medir objetos sem revelar suas propriedades internas e suas relações em condições dadas. Como exemplifica Ilyenkov (2007), inúmeros estudantes passam como incapazes por somar quilo com metro. Por que o fazem? Porque seus primeiros conceitos matemáticos elaborados na escola estão vinculados à contagem de qualquer coisa com o número natural: maçãs, animais, pessoas, lâminas de madeira, meninos, halteres de ferro, garrafas d’água, enfim, qualquer coisa singular percebida sensorialmente. Então, o estudante não observa as qualidades abstratas do objeto: sua massa, seu comprimento, sua capacidade, entre outras, mas a quantidade pura, em função do número natural que lhe ensinaram a verbalizar em contagens de memória, sem a compreensão da essência conceitual.
A organização do ensino de conceitos de grandeza pressupõe a proposição de condições e de ações necessárias para que eles sejam formados pelo estudante, sob a orientação intencional do professor. É preciso atuar de forma que se revelem a gênese e os nexos dos conceitos científicos para que o estudante entenda os aspectos internos do objeto, relacionando-os, então, com seus aspectos externos. Esse processo comporta níveis de generalização do conceito que são postos em desenvolvimento por meio da linguagem científica do professor, que orienta o estudante na associação das características abstratas e empíricas do objeto entre si e entre outros
conceitos, constituindo, assim, um sistema de conceitos. Essa linguagem cria as condições genéticas que orientam e impulsionam o processo de generalização dos conceitos científicos e de desenvolvimento do pensamento teórico.
Respaldando-nos no Sistema Elkonin-Davýdov, avançamos nas análises do modo singular-particular de organização curricular de Matemática do município paranaense, reveladores de aspectos gerais do ensino da Matemática. Análises que permitem identificar lacunas e déficits no programa dessa disciplina, que concorrem para os resultados do processo de aprendizagem dos estudantes.
Nesta seção, analisamos a organização curricular proposta aos anos iniciais do ensino fundamental de um município paranaense. O foco são os conteúdos e os objetivos de ensino de Matemática como forma de representar o que orienta o modus operandi de ação do professor, nessa área de conhecimento. Para isso, analisamos os conteúdos e objetivos do eixo grandezas e medidas do currículo geral da disciplina de Matemática do 1º ao 5º ano e do currículo específico do 4º ano. Ambos os currículos foram elaborados pela equipe pedagógica da Secretaria de Educação Municipal e, aqui, nós os sintetizamos para melhor explicitá-los. Buscamos demarcar o caminho proposto aos docentes e discentes nos processos de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Tal caminho pode expressar possíveis causas teórico-metodológicas dos resultados das avaliações que os estudantes desse município obtiveram nessa área do conhecimento, como mostramos na primeira seção. Considerando que há múltiplas determinações para os fenômenos, não negligenciamos o fato de que esses resultados também estão relacionados a fatores extraescolares presentes no contexto social, político, econômico, cultural, porém a discussão, aqui, permeia os aspectos teórico- metodológicos dos processos escolares.
A estrutura curricular dos anos iniciais do ensino fundamental, nível escolar para o qual está voltada nossa discussão, organiza os conteúdos em componentes curriculares: Arte, Ciências, Educação Física, Ensino Religioso, Geografia, História, Matemática e Língua Portuguesa e Língua Inglesa. Esses componentes estão subdivididos em eixos de ensino, conteúdos estruturantes, conteúdos específicos e objetivos específicos. A Matemática compreende os eixos ‘números e operações’, ‘grandezas e medidas’, ‘espaço e forma’ e ‘tratamento de informações’. Observamos que o objetivo geral de cada eixo se repete do 1º ao 5º ano, como podemos visualizar no quadro que segue (MUNICÍPIO PARANAENSE, 2012).
EIXO | CONTEÚDO ESTRUTURANTE | OBJETIVO GERAL |
Números e operações | O conceito de número e as operações | Compreender a construção histórica do número como necessidade humana, a fim de saber como os homens controlavam seus objetos em um determinado momento e como representamos e utilizamos os números nos dias atuais. |
Grandezas e medidas | Medidas de tempo/massa/ comprimento/ capacidade/valor | Reconhecer as medidas e realizar estimativas e medições com objetos padronizados e não padronizados, a fim de utilizar as medidas em diversas situações de seu dia-a-dia. |
Geometria | Formas geométricas e localização espacial | Identificar formas geométricas por meio de suas características e caminhos, por meio de desenhos, esquemas de representação e oralidade, a fim de utilizar esses conhecimentos para reconhecer objetos no espaço e se localizar no meio onde vive. |
Tratamento de informação | Gráficos, tabelas e listas | Identificar informações contidas em listas, gráficos e tabelas, a fim de saber representar essas informações em seu dia-a-dia e realizar a leitura dessas informações presentes em diversos textos veiculados em seu contexto social. |
Fonte: Município Paranaense (2012)
Tal como nas avaliações externas discutidas anteriormente, no currículo geral da Matemática (Quadro 1), encontramos a fragmentação dos conhecimentos dessa ciência, que não é exclusiva dela, pois faz-se presente em outras áreas de conhecimento escolar, nos diversos níveis de ensino e em âmbito nacional. Vygotski (1982) compreende que essa secessão conceitual dificulta a apropriação de conceitos científicos, pois a tomada de consciência dos conceitos ocorre no interior de um sistema por meio do reconhecimento de determinadas relações entre eles, o que fica comprometido quando o trabalho com os conceitos é feito de forma fragmentada.
Ainda temos a exposição verticalizada dos eixos que denota seu caráter hierárquico e dificulta a inter-relação entre eles. Ao considerarmos os objetivos gerais, observamos a ênfase dada ao eixo números e operações (aritmética) em detrimento dos demais eixos, pois espera-se que o estudante ‘compreenda’ o conceito, verbo que anuncia domínio cognitivo. Ao passo que, nos demais eixos, espera-se que o estudante ‘reconheça’ ou ‘identifique’ os conceitos relativos a grandezas e medidas, geometria e tratamento de informações. As ações de reconhecer ou identificar não possibilitam a análise dos aspectos internos e essenciais do conceito científico estudado, que são determinantes ao desenvolvimento do pensamento teórico, ou seja, ao pensamento generalizante, que permite ações conscientes com o conceito. Ao contrário, são
ações com aspectos exteriores e particulares do conceito, condutoras do desenvolvimento do pensamento empírico caracterizado por juízos isolados e práticas restritas.
Para nos aproximarmos ainda mais da organização do ensino de Matemática proposta neste município, e compreendermos o que se ensina na sala de aula, analisamos os conteúdos e objetivos específicos do eixo (conteúdo estruturante) grandezas e medidas do 4º ano, para que fique mais explícito o modo de organização curricular dessa disciplina.
CURRÍCULO DE MATEMÁTICA - 4º ANO Conteúdos estruturantes: medidas de tempo/ massa/ comprimento/ capacidade/ valor | |
Conteúdos Específicos | Objetivos Específicos |
Medida de tempo | |
Calendário: ano, década, século e milênio | Identificar e relacionar milênio, século, década e ano, a fim de se localizar temporalmente em diversas situações que envolvam a leitura desses dados. |
Hora inteira, meia hora minutos e segundos | Ler e registrar horas (em relógio de ponteiro e relógio digital), bem como resolver situações-problema significativas envolvendo o intervalo e o fracionamento de tempo para reconhecer seu uso social. |
Medida de comprimento | |
Metro, meio metro, decímetro, centímetro, milímetro e km | Reconhecer o decímetro, centímetro e milímetro como uma fração do metro para perceber a importância desse fracionamento em diversas situações diárias. Identificar o Km como um múltiplo do metro, a fim de fazer a relação entre essas medidas |
Medida de massa | |
Quilo, meio quilo e grama | Reconhecer o grama como uma fração do quilo em atividades de comparação de peso, a fim de entender a importância desse fracionamento, em diversas situações de nosso dia-a-dia. |
Medida de capacidade | |
Litro, meio litro, mililitro | Reconhecer o mililitro como uma fração do litro em atividades de transvasamento (composição e decomposição do litro), a fim de compreender a importância desse fracionamento, em diversas situações de nosso cotidiano. |
Medida de superfície | |
Área e perímetro | Reconhecer as noções de área como medida de superfície, e de perímetro como medida de contorno, compreendendo a ideia de área como multiplicação e a de perímetro como adição, a fim de que o aluno consiga realizar o cálculo dessas medidas. |
Comparação de perímetro e áreas de duas figuras | Comparar a área e o perímetro de duas ou mais figuras reconhecendo as relações que se estabelecem entre elas quando ampliamos ou reduzimos essas figuras. |
Medida de tempo, comprimento, massa, capacidade, temperatura, velocidade e superfície | |
Instrumentos de Medidas | Reconhecer e utilizar os diversos instrumentos de medida existentes em nosso cotidiano, a fim de entender a função de cada um na realização de atividades de seu contexto. |
Medida de valor | |
Cédulas e moedas | Identificar cédulas e moedas de nosso sistema monetário e compreender que ter mais cédulas ou moedas não implica ter mais dinheiro; utilizar esses conhecimentos em situações de compra; Realizar a composição e a decomposição de cédulas e moedas, a fim de verificar o uso desses procedimentos em nossa vida; |
Resolver situações que demandem o uso de cédulas e moedas, identificando que estratégias utilizadas pelo mercado são vantajosas ou não para os consumidores. |
Fonte: Município Paranaense (2012)
No currículo do 4º ano observamos as mesmas secessões conceituais do currículo geral de Matemática, no qual separam-se os tipos de grandeza e suas respectivas medidas. Não é possível inferir nenhum encadeamento entre as grandezas e a relação delas com conceitos geométricos e aritméticos, muito menos com a álgebra, que não consta como conteúdo curricular.
É possível depreender, também, que a prática sugerida pela presente proposta curricular contempla ações que se aproximam mais do empirismo. Essas ações ficam evidenciadas nos objetivos específicos que giram, majoritariamente, em torno de ‘identificar’, ‘reconhecer’ e ‘comparar’ grandezas, ações que tendem a se manter em aspectos externos dos objetos, naquilo que é percebido pelos sentidos.
Quais conhecimentos adquirem e que tipo de pensamento formam os estudantes que, conforme previsto no currículo analisado, apenas ‘identificam’ características das formas geométricas, ‘representam’ as informações identificadas, ‘reconhecem’ o decímetro, centímetro e milímetro como uma fração do metro e ‘reconhecem’ as noções de área e realizam seu cálculo? Entendemos que essas ações demasiadamente particulares e empíricas, assim como as essencialmente abstratas, não possibilitam, ao estudante, conhecer o movimento, a essência, os nexos internos e externos, a lógica e a origem dos conceitos, os quais formam o pensamento teórico necessário para que os sujeitos atuem conscientemente na realidade.
Outro aspecto observado é a ênfase nas ações referentes às necessidades imediatas do estudante, tais como: ‘realizar a composição e a decomposição de cédulas e moedas, a fim de verificar o uso desses procedimentos em nossa vida’; ‘reconhecer e utilizar os diversos instrumentos de medida existentes em nosso cotidiano’. Assim seguem os objetivos, finalizando com a intenção de reconhecer os conceitos ‘em situações de nosso dia-a-dia’. Segundo Kosik (1976), o objetivo principal que deve nortear a organização do ensino, na escola, é a apropriação de conhecimentos que possibilitem ao estudante compreender os fenômenos não apenas cotidianos, mas também os que estão além dos limites do contexto imediato, das ações empíricas e particulares.
Ilyenkov (2007) esclarece que o problema de aprendizagem da Matemática situa-se na organização didática do seu ensino, pois nela predominam concepções equivocadas “[...] sobre
a relação do "abstrato e o concreto’, do ‘geral e o singular’, da ‘qualidade e a quantidade’ e o pensamento formado sobre o mundo percebido pelos sentidos que, até hoje, infelizmente, encontra-se na base de muitos programas didáticos” (ILYENKOV, 2007, p. 41, tradução nossa). Tais programas, de acordo com a análise do autor, não ensinam o estudante a pensar ‘concretamente’, pois confundem concreto com empírico. Pensar concretamente é entender determinado fenômeno em sua totalidade e pensar empiricamente é perceber somente as particularidades que lhes são mais evidentes. Esses programas privilegiam procedimentos de ensino ora demasiadamente teóricos, com propostas de memorização de definições e fórmulas, sem compreendê-las; ora estritamente apoiadas em ações empíricas, que se encerram em si mesmas, sem desenvolver as necessárias abstrações e generalizações teóricas.
As leis gerais de uma ciência e o conhecimento produzido por ela, a exemplo da ciência matemática, têm como fonte primeira as necessidades humanas postas na realidade objetiva, que manifestam sua totalidade e interconexões. Admitindo-se tais leis gerais, a educação escolar, com seu currículo, necessita superar sua característica fragmentada e empírica, como observamos nas discussões realizadas nas subseções anteriores, em favor de uma educação que considere os movimentos da realidade e sua gênese, assim como a compreensão do movimento do conhecimento e do pensamento sobre a realidade.
Os conhecimentos matemáticos, apesar de indispensáveis às atividades humanas e à compreensão da realidade que nos envolve, ainda não são acessíveis à maioria dos estudantes brasileiros, mesmo concluída a educação básica, conforme constatado nas avaliações externas. Delinear a construção de caminhos, no âmbito didático-pedagógico, para superação das dificuldades de aprendizagem de Matemática implica identificá-las e compreendê-las, tendo a organização curricular da disciplina como pano de fundo. É daí que derivam os processos de ensino, de aprendizagem e de desenvolvimento.
A análise do currículo da disciplina de Matemática revelou-nos um modelo de organização fragmentado em eixos e conteúdos estruturantes, que não conduzem a ações de estudo possibilitadoras de interconexão dos sistemas conceituais matemáticos, de compreensão de suas gêneses e movimentos. Nos objetivos de aprendizagem, identificamos explicitações de ações ou operações com conceitos em nível empírico, que conduzem à percepção das particularidades externas do objeto de estudo relacionadas ao cotidiano do estudante, portanto, não corroboram com as abstrações e generalizações teóricas do que lhe é essencial.
Diante das fragilidades expostas, entendemos que a proposta de organização do ensino, na perspectiva do Sistema Elkonin-Davýdov, pode orientar reflexões e reestruturações qualitativas no currículo escolar. Para isso, é fundamental conhecer o plano epistemológico da ciência a ser estudada em ambiente escolar, entender sua gênese e estrutura, a fim de organizar os procedimentos de estudos correspondentes. Isto requer a investigação dos conteúdos que compõem o programa disciplinar e os encaminhamentos didáticos adequados para ensiná-los.
No Sistema Elkonin-Davýdov o conteúdo estrutural, eixo da disciplina escolar, é composto por conceitos científicos e por suas correspondentes ações mentais. O procedimento de ensino, condizente com essa estrutura, que pode ser singular em cada disciplina, deve se apoiar no conceito nuclear da ciência, no caso da Matemática, no conceito de grandeza. As ações com esse conceito são encaminhadas de modo que o estudante reproduza seu caráter lógico-histórico, pondo em movimento dialético as relações geral-particular e abstrato- concreto. Essa proposta didática implica, ainda, ações de estudo com sistemas de conceitos interconexos e reveladores da essência do objeto de estudo, que levam à formação das abstrações e das generalizações teóricas. Esse sistema de ensino tem como finalidade o movimento de superação do pensamento empírico, por incorporação, e o desenvolvimento do pensamento teórico.
Pelo exposto, entendemos que a adequada organização do ensino da Matemática está associada ao estudo de seu objeto nuclear e geral, ou seja, ao estudo do conceito de grandeza, do qual é possível extrair, relacionar e compreender os demais conceitos matemáticos da álgebra, geometria e aritmética.
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https://doi.org/10.21723/riaee.v16i3.13775
ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DO SISTEMA ELKONIN-DAVÝDOV
ORGANIZATION OF MATHEMATICS TEACHING FROM THE PERSPECTIVE OF THE ELKONIN-DAVÝDOV SYSTEM
Giselma Cecilia SERCONEK2 Marta Sueli de Faria SFORNI3
RESUMO: Resultados de avaliações externas, como o PISA, o SAEB e o SAEP, revelam o baixo índice de proficiência dos estudantes brasileiros em Matemática na educação básica. Partindo do pressuposto de que a aprendizagem é resultado das interações educativas das quais os estudantes participam, voltamos nosso olhar para o modo como é previsto o ensino de conceitos matemáticos. Para termos dados mais objetivos sobre o que se aprende e o que se ensina, foi necessário eleger uma situação particular para análise, neste caso, os dados das avaliações externas de um município paranaense, bem como a organização curricular dessa disciplina no respectivo município. Com base nos estudos sobre o modo de organização
1 Este trabajo se realizó con el apoyo de la Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de financiación 001.
do ensino sob a perspectiva do Sistema Elkonin-Davýdov, a organização do ensino de Matemática deve orientar-se pelo e para o conceito de grandeza, em torno do qual articulam- se álgebra, geometria e aritmética. Essa articulação implica uma organização curricular integrada, oposta à fragmentação identificada na organização do ensino no município em análise, o que pode justificar os resultados não satisfatórios na aprendizagem e, ao mesmo tempo, apontar possíveis caminhos pedagógicos para a superação desse quadro em nível nacional.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria Histórico-Cultural. Sistema Elkonin-Davýdov. Organização do ensino. Aprendizagem de matemática. Conceito de grandeza.
ABSTRACT: Results of external evaluations, such as PISA, SAEB and SAEP, reveal the low level of proficiency of Brazilian students in Mathematics in basic education. Based on the assumption that learning is the result of educational interactions in which students participate, we look at the ways as it is expected the teaching of mathematical concepts. In order to have more objective data about what is learnt and what is taught, it was necessary to opt for the analysis of a particular situation, in this case, the external evaluations data from a municipality in the state of Paraná, as well as the curricular organization of this subject in the respective municipality. Based on the studies of the organization way of the education from the point of view of Elkonin-Davýdov System, the organization of Mathematics education has to be guided by and for the greatness concept, around which algebra, geometry and arithmetic articulate. This articulation involves an integrated curricular organization, opposed to the fragmentation identified in the organization of education in the municipality in question, which can justify the unsatisfactory results in learning and, simultaneously indicate potential pedagogical directions to overcome this nationwide scenario.
KEYWORDS: Historical-Cultural Theory. Elkonin-Davýdov System. Organization of education. Mathematics learning. Greatness concept.
Los conocimientos matemáticos son esenciales en todos los ámbitos de la vida y forman parte de ella desde que se establecen relaciones entre personas y objetos. Las relaciones interpersonales y las actividades realizadas por los seres humanos dan lugar a los conocimientos lógico-matemáticos, así como a otros conocimientos. Así, desde una edad muy temprana, el sujeto piensa matemáticamente en diversas situaciones cotidianas, incluso sin ser consciente de esta acción mental (CARAҪA, 1951). Desde la infancia, el sujeto organiza, separa, compara y clasifica objetos, divide la tableta de chocolate con su hermano, gana monedas y las recoge en la caja fuerte, pierde piezas de su juego de ensamblaje y se da cuenta de la falta de ellas, se siente infeliz si recibe la parte más pequeña de un pastel, es decir, actúa constantemente con conceptos matemáticos.
Nos parece que hasta entonces no tenemos problemas con las matemáticas. Sin embargo, cuando se convierte en una asignatura escolar, las dificultades afloran y empezamos a escuchar, dentro y fuera del entorno escolar, frases como "no me gustan las matemáticas", "las matemáticas son difíciles", "esto de los números no es para mí". La ciencia de las matemáticas es considerada, tanto por los profesores como por los alumnos, un reto que hay que afrontar y desentrañar como si fuera una "caja negra" de difícil acceso. Comprendemos esas preocupaciones y temores, especialmente cuando se relacionan con la historia de fracaso de los que enseñan y los que aprenden, los altos índices de estudiantes en recuperación, el fracaso y la insatisfacción con el proceso y su resultado.
En este contexto, las matemáticas conservan una mala reputación, encendiendo discusiones que a menudo culpan al alumno: "el niño no tiene razonamiento lógico", "no lee con atención la situación del problema y/o los enunciados de las tareas escolares", "el niño está tomando todos los números que aparecen en el problema", etc. Desgraciadamente, como reitera Talizina (2000), muchos profesores y matemáticos hacen poco ante esta situación porque están
[...] defensores de la naturaleza genética de las capacidades matemáticas. Así, los profesores suelen explicar las bajas calificaciones de los alumnos en matemáticas como una falta de habilidades matemáticas. Además, añaden que los padres de este alumno tampoco tuvieron éxito en matemáticas. [...] y no consideran que su educación durante el proceso de estudio de las matemáticas, sea posible. En este caso, el profesor, prácticamente, no se hace responsable de los resultados obtenidos por los alumnos (TALIZINA, 2000, p. 17, nuestra traducción).
Silveira (2002) observa, junto con la mala fama de las matemáticas, el efecto de la aceptación del fracaso del aprendizaje de esta materia escolar revelado en el discurso de que "las matemáticas son difíciles" y, por tanto, son "para pocos". Las bajas calificaciones y/o el fracaso en esta asignatura son vistos con mucha naturalidad por la comunidad escolar, que, por tanto, corrobora la aceptación, banalización y reproducción de este fenómeno, muchas veces sin cuestionarlo. Así, la posición y el discurso "interfieren en la relación entre el sujeto que enseña y el sujeto que aprende" y este último acaba sufriendo los efectos negativos de esta relación (SILVEIRA, 2002, p. 6).
La relevancia de los conocimientos matemáticos, para los sujetos, está explícita en las relaciones sociales en las que se insertan, así como la dificultad que encuentran para utilizarlos, y no podemos naturalizar este fenómeno. Para desnaturalizarlo necesitamos comprenderlo, por lo que el objetivo de este texto es aportar al análisis y a las reflexiones
elementos que integren el movimiento de este fenómeno. Como punto de partida, explicamos el nivel de competencia en Matemáticas de los alumnos a nivel nacional, así como de los alumnos de un municipio de Paraná, para conocer el rendimiento escolar en esta área de conocimiento. En la secuencia, se discute el plan epistemológico de la ciencia de las Matemáticas y la organización de la enseñanza correspondiente a este plan, desde la perspectiva del Sistema Elkonin-Davýdov, para reflexionar sobre sus posibles aportes a la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos matemáticos. Finalmente, a partir de este sistema de enseñanza, analizamos el modo singular-particular de organización curricular de las matemáticas en el citado municipio, porque las singularidades manifiestan aspectos generales de la enseñanza de las matemáticas, revelando sus deficiencias.
Las dificultades encontradas en los procesos de enseñanza y aprendizaje son innegables: están presentes en el día a día de la escuela, en la práctica y el discurso de los implicados, en las evaluaciones internas y externas. Una forma de identificar el rendimiento de los alumnos en Matemáticas fue analizar los resultados de las evaluaciones externas. Para ello, recogimos datos de PISA, Prova Brasil y SAEP. De las dos últimas evaluaciones, extrajimos los datos correspondientes a los resultados de la competencia de los alumnos de 5º y 6º grado, respectivamente, para investigar el aprendizaje de las matemáticas de los que concluyen la primera fase de la escuela primaria. Aunque reconocemos las debilidades de las evaluaciones externas, con su política de rendición de cuentas, ranking de escuelas y regulación de la distribución de fondos a estas instituciones, también entendemos que, si no se utilizan como un instrumento aislado de elaboración de políticas públicas, pueden colaborar, junto con otros instrumentos evaluativos, a mapear los aprendizajes de los alumnos, detectar problemas y planificar posibles soluciones.
El Programme for International Student Assessment (PISA) -
O Programme for International Student Assessment (PISA) - Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes - es responsable de la realización de la evaluación comparativa, aplicada a los estudiantes de 15 años, edad en la que se asume el final de la educación básica obligatoria en la mayoría de los países (BRASIL, 2015). PISA evalúa cada tres años la competencia de los estudiantes en Ciencias, Matemáticas y Lectura. PISA-2012 reunió a 65 países y algunos territorios independientes, como Hong Kong, Macao, Shanghai y
Taiwán. En esta edición, Brasil ocupa el puesto 58 en matemáticas, el 55 en lectura y el 59 en ciencias. En PISA-2015, los resultados de la clasificación muestran que Brasil ocupó el puesto 66 en matemáticas, el 59 en lectura y el 63 en ciencias (BRASIL, 2015; 2016). Los resultados de PISA-2018 publicados en 2019 indican que Brasil se ubicó en el rango 69-72 del ranking, considerando todos los países/economías participantes4. Los resultados de las tres últimas ediciones de PISA muestran una caída en el nivel de competencia de los alumnos en Matemáticas en la última etapa de la educación básica.
Prova Brasil, introducida en 2005, se celebra cada dos años y, desde su primera edición, ha sufrido una reestructuración. Hasta la última edición, las pruebas de Lengua Portuguesa y Matemáticas se aplicaban a los alumnos de los grados 5º y 9º de la red pública y urbana (BRASIL, 2014). En 2015, el municipio de Paraná, tomado como situación singular- particular de análisis, obtuvo un promedio de competencia de 263,09 en la prueba de Matemática, que corresponde al nivel 6 (250 a 275), en una escala que va de 0 a 10 (por debajo de 125 a 375), en sus escuelas públicas5. En 2018, se publicaron los resultados del Prova Brasil 2017, que revelaron un estancamiento en los índices de competencia en Matemáticas de los alumnos de 5º grado de las escuelas públicas, con una puntuación media de 263,66.
En 2012, se creó el Sistema de Evaluación de la Educación Básica en Paraná (SAEP), que realiza pruebas de Lengua Portuguesa y Matemáticas. Ya se han realizado cuatro aplicaciones del SAEP; en la primera, en 2012, se evaluaron alumnos de 9º de primaria y 3º/4º de secundaria. En la segunda, en 2013, se evaluaron alumnos de 6º de primaria y 1º de bachillerato. En la evaluación realizada a los alumnos de 6º grado, el municipio de Paraná analizado alcanzó una competencia media de 212,3 en Matemáticas. Así, se encuadra en el nivel 4 (de 200 a 225 puntos), denominado nivel básico, considerando una escala de 0 a 500 (PARANÁ, 2013). En 2017 se evaluó a los alumnos de 9º de primaria y 3º y 4º de secundaria. En la edición de 2018, el programa evaluó a los alumnos de 6º de primaria, 1º de bachillerato y Educación de Jóvenes y Adultos. Los alumnos de 6º grado del municipio de Paraná, en cuestión, se mantienen en el nivel básico de aprendizaje y el promedio de competencia, en Paraná, es de 226,46.
4 Resultados del PISA-2018. Disponible en: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/documentos/2019/relatorio_PISA_2018_preliminar.pdf. Acceso el: 10 mayo 2020.
5 Resultados del SAEB-2015 e 2017. Disponible en: http://portal.inep.gov.br/educacao-basica/saeb/resultados. Acceso el: 10 mayo 2020.
6 Resultados del SAEP-2018. Disponible en: http://www.saep.caedufjf.net/wp-content/uploads/2018/11/PR- SAEP-2018-RP-LP-WEB.pdf. Acceso el: 10 mayo 2020.
A continuación, presentamos la tabla y el gráfico de los resultados obtenidos por los alumnos de 6º de primaria, en el municipio en cuestión, en 2013. El análisis de este material muestra que el tema de magnitudes y medidas, con cuatro descriptores, tuvo el porcentaje medio más bajo: 41,6% de respuestas correctas. El tema tratamiento de la información obtuvo el 46,63%; geometría, el 55,44%; números y álgebra, el 49,33% (PARANÁ, 2013). Por tanto, la media global de los porcentajes alcanzó el 48,25% de respuestas correctas para todos los contenidos evaluados en esta prueba. Así, si consideramos los resultados medidos por este instrumento evaluativo, podríamos afirmar que los alumnos terminan los primeros años de la educación primaria con un "dominio" de aproximadamente la mitad de los conceptos esperados para esta etapa.
Fuente: Nucleo de Educación Regional del Municipio Paranaense
A primera vista, puede parecer que los descriptores -objetivos específicos de cada tema- son independientes entre sí y que, por tanto, el factor que genera el bajo rendimiento en cada uno de ellos es distinto. Sin embargo, primero hay que considerar que los conceptos tienen lugar en un sistema de conceptos y la formación de uno interviene en la formación del otro. Como demostró Vygotski (1931) en sus experimentos, existe una reciprocidad en la relación y una transferencia de conceptos dentro de un sistema, que reflejan la reciprocidad de los propios fenómenos en la realidad. Esta pertenencia y reciprocidad convierten al concepto en un importante instrumento mediador del conocimiento en el mundo real y en la asimilación de la experiencia social de la humanidad. En segundo lugar, es necesario considerar que en el
sistema de conceptos matemáticos, como admite Davýdov (1982), la magnitud es el concepto nuclear de las matemáticas y permea todos los demás conceptos matemáticos singulares (número real, geometría y álgebra), que son aspectos de este objeto nuclear. Sin embargo, el gráfico muestra una evaluación que enfatiza los números y las operaciones, que son conceptos únicos ligados al registro y control de las medidas de magnitud, reflejando el mismo énfasis dado en el currículo de Matemáticas (tema que trataremos más adelante).
Tras estas consideraciones introductorias sobre los resultados del rendimiento escolar en Matemáticas, que son bajos en toda la educación básica, se abordan las Matemáticas y la organización de su enseñanza en las escuelas desde la perspectiva del Sistema Elkonin- Davýdov, con vistas a las posibles aportaciones de esta teoría al aprendizaje de los conceptos matemáticos.
La ciencia, afirma Caraҫa (1951), es un sistema de conocimiento que explica los fenómenos por medio de leyes generales, que implican otros sistemas conceptuales interconectados, con su propia génesis, sus contradicciones, sus movimientos. No pretende simplemente describir y definir los fenómenos como algo ya hecho y definitivo, no es un sistema estático de terminologías. Kopnin (1978), aclara que el conocimiento de cualquier ciencia no surge de lo desconocido, ni está acabado y, por esta naturaleza, el conocimiento debe considerar el carácter histórico del objeto estudiado, lo que implica una lógica en su origen según las necesidades humanas.
Las matemáticas, al igual que otras ciencias, surgen de las necesidades del hombre y son el resultado de observaciones, estudios, investigaciones, a través de las cuales se busca comprender los fenómenos y dominar la naturaleza. Así, cuanto mayor sea el conocimiento de un fenómeno, mayor será la posibilidad de predecirlo, provocarlo y/o controlarlo.
Sin embargo, en los programas escolares, señala Ilyenkov (2007), hay demasiadas verdades absolutas, que están grabadas en piedra para que los alumnos se "traguen" sin conocer el movimiento del conocimiento y su totalidad. No están preparados para buscar activamente respuestas a las preguntas que les plantea la vida o la escuela, ni para las contradicciones que requiere el trabajo intelectual. Así pues, el conocimiento preparado, tal y como lo imparte la escuela,
[...] sin el camino que conduce a ella, es un cadáver [...] huesos muertos, el esqueleto de la verdad, incapaz de movimiento independiente. [...] Una verdad científica establecida, registrada en la terminología verbal y separada de la ruta por la que fue adquirida, se convierte en una cáscara verbal, incluso si contiene todos los signos externos de la "verdad" (ILYENKOV, 2007, p. 21, nuestra traducción).
El autor subraya, sin embargo, que mantiene la esperanza de una reconstrucción didáctica que supere la visión conservadora de la enseñanza que, basada en la manipulación terminológica verbal, "martillea" en la cabeza del alumno lo abstracto bajo la apariencia de lo concreto, entendido erróneamente como lo evidente, lo visible, lo empírico. Su esperanza encuentra apoyo en las investigaciones didácticas de D.B. Elkonin y V.V. Davýdov, desarrolladas en el laboratorio del Instituto de Psicología de la Academia de Ciencias Pedagógicas de la República Socialista Federativa Soviética de Rusia (RSFSR), que tienen como base la Teoría Histórico-Cultural. La propuesta didáctica de Elkonin y Davýdov se basa en la comprensión lógico-dialéctica del pensamiento y en las conexiones entre lo universal y lo singular, entre lo abstracto y lo concreto, entre lo lógico y lo histórico.
En el Sistema Elkonin-Davýdov, la organización del estudio, como aclara Ilyenkov (2007), el alumno, desde los primeros años de escolarización, debe asimilar el conocimiento científico, reproduciendo (de forma resumida) el proceso real de génesis y desarrollo de este conocimiento producido socialmente a lo largo de la historia. No significa que tenga que reinventar los logros ya alcanzados por la humanidad, porque esto es innecesario: la idea es que rehaga la lógica del camino recorrido, que lleva en sí mismo el aspecto histórico (carácter lógico-histórico). De este modo, se apropia de conceptos y fórmulas como copartícipe del proceso creativo en lugar de memorizarlos y reproducirlos posteriormente en nuevas tareas y evaluaciones. Así, los conceptos se convierten, para el sujeto, en principios generales con carácter concreto real (relación abstracto-concreto) que serán utilizados por él en la resolución de otras tareas particulares o situaciones reales específicas (relación universal-particular), por lo que estos conceptos comienzan a presentar significado y sentido.
La escuela, afirma Davýdov (1982), necesita superar la comprensión empirista del conocimiento del objeto y asegurar a los alumnos la posibilidad de hacer abstracciones, generalizaciones y dominar los conceptos teóricos en su génesis y esencia, desde el inicio de la escolarización. La generalización y la formación de conceptos teóricos implican, por tanto, la abstracción de los aspectos esenciales del objeto en su origen lógico-histórico. En este sentido, las materias escolares, según la propuesta del autor, no están compuestas por una lista
de definiciones e ilustraciones, sino por sistemas de conceptos que tienen como eje su concepto nuclear.
Según los estudios de Davýdov (1982), el concepto nuclear de las matemáticas es el concepto de magnitud porque es el fundamento genético del número real y, en consecuencia, es el determinante de la aparición de los demás números: naturales, enteros, racionales e irracionales, así como de la relación entre ellos. Su génesis está, afirma Caraҫa (1951), en las actividades realizadas por los sujetos, en las más variadas circunstancias; por ejemplo, los hombres tenían la necesidad de medir la extensión de la tierra, establecer el valor de los impuestos, el volumen de un líquido a comercializar, la cantidad adecuada de semillas a sembrar en un determinado terreno. En otras palabras, este conocimiento se produjo como resultado de la necesidad de conocer diferentes magnitudes y de controlar numéricamente su variación cuantitativa.
Del concepto general de magnitud se deducen los conceptos particulares de número, que constituyen su manifestación. A partir de estas relaciones entre lo general y lo particular, el autor concluye que la magnitud se convierte en el concepto nuclear del proceso de formación del pensamiento teórico de las matemáticas. Los números, a su vez, son "un caso singular y particular de representación de las relaciones generales entre magnitudes, cuando una de ellas se toma como medida de cálculo de la otra" (DAVÝDOV, 1982, p. 434). El número se convierte así en una característica cuantitativa de la cantidad.
Las medidas de una cantidad también establecen relaciones con la geometría, la aritmética y el álgebra. Por ejemplo, cuando hay que calcular el contorno de un polígono y su cálculo aritmético no se expresa sólo con números. Para medir una determinada cantidad, ciertos valores pueden representarse genéricamente mediante letras y símbolos. Observamos, pues, que existe una interconexión de los significados algebraico, geométrico y aritmético con los conceptos de magnitud. Esta interconexión no puede ignorarse en la organización de la enseñanza de las matemáticas en la escuela.
Sin embargo, los conceptos matemáticos se enseñan a menudo sin tener en cuenta las conexiones entre ellos, así como sus conexiones con el mundo real; se enseña a contar y a medir objetos sin revelar sus propiedades internas y sus relaciones en condiciones determinadas. Como ejemplifica Ilyenkov (2007), innumerables estudiantes pasan por incapaces de sumar el kilo con el metro. ¿Por qué lo hacen? Porque sus primeros conceptos matemáticos desarrollados en la escuela están ligados a contar cualquier cosa con el número natural: manzanas, animales, personas, cuchillas de madera, niños, mancuernas de hierro, botellas de agua, en fin, cualquier cosa singular percibida sensorialmente. Así, el alumno no
observa las cualidades abstractas del objeto: su masa, longitud, capacidad, entre otras, sino la pura cantidad, en función del número natural que le enseñaron a verbalizar en recuentos de memoria, sin comprender la esencia conceptual.
La organización de la enseñanza de los conceptos de magnitud presupone la proposición de las condiciones y acciones necesarias para que sean formados por el alumno, bajo la dirección intencional del profesor. Es necesario actuar de forma que se revele la génesis y las conexiones de los conceptos científicos para que el alumno comprenda los aspectos internos del objeto, relacionándolos con sus aspectos externos. Este proceso implica niveles de generalización de conceptos que se ponen en desarrollo a través del lenguaje científico del profesor, que guía al alumno para que asocie las características abstractas y empíricas del objeto entre sí y con otros conceptos, constituyendo así un sistema de conceptos. Este lenguaje crea las condiciones genéticas que guían e impulsan el proceso de generalización de los conceptos científicos y el desarrollo del pensamiento teórico.
Apoyados en el Sistema Elkonin-Davýdov, avanzamos en el análisis del modo singular-particular de la organización curricular de la Matemática en el municipio de Paraná, revelando aspectos generales de la enseñanza de la Matemática. Análisis que permiten identificar las lagunas y los déficits en el programa de esta disciplina, que contribuyen a los resultados del proceso de aprendizaje de los alumnos.
En esta sección, analizamos la organización curricular propuesta para los años iniciales de la educación primaria de un municipio de Paraná. El foco son los contenidos y los objetivos de la enseñanza de las matemáticas como forma de representar lo que guía el modus operandi de la acción del profesor, en esta área de conocimiento. Para ello, analizamos los contenidos y objetivos de las magnitudes y medidas del eje del currículo general de Matemáticas de 1º a 5º y del currículo específico de 4º. Ambos planes de estudio fueron elaborados por el equipo pedagógico de la Secretaría Municipal de Educación y, aquí, los sintetizamos para explicarlos mejor. Buscamos marcar el camino propuesto a profesores y alumnos en los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos matemáticos. Dicho camino puede expresar posibles causas teóricas y metodológicas de los resultados de las evaluaciones que los alumnos de este municipio obtuvieron en esta área de conocimiento, como mostramos en el primer apartado. Considerando que existen múltiples determinaciones para los fenómenos, no descuidamos el hecho de que estos resultados también están
relacionados con factores extraescolares presentes en el contexto social, político, económico, cultural, pero la discusión, aquí, permea los aspectos teórico-metodológicos de los procesos escolares.
La estructura curricular de los primeros años de la educación primaria, el nivel escolar al que se enfoca nuestra discusión, organiza los contenidos en componentes curriculares: Arte, Ciencias, Educación Física, Educación Religiosa, Geografía, Historia, Matemáticas y Lengua Portuguesa y Lengua Inglesa. Estos componentes se subdividen en ejes pedagógicos, contenidos estructurantes, contenidos específicos y objetivos específicos. Las matemáticas comprenden los temas "números y operaciones", "cantidades y medidas", "espacio y forma" y "tratamiento de la información". Observamos que el objetivo general de cada eje se repite de 1º a 5º grado, como podemos ver en la siguiente tabla (MUNICÍPIO PARANAENSE, 2012)..
EJE | CONTENIDO ESTRUCTURANTE | OBJETIVO GENERAL |
Números y operaciones | El concepto de número y las operaciones | Comprender la construcción histórica del número como necesidad humana, para saber cómo los hombres controlaban sus objetos en una época determinada y cómo representamos y utilizamos los números en la actualidad.. |
Cantidades y medidas | Medidas de tiempo/masa/longitud/cap acidad/valor | Reconocer las medidas y realizar estimaciones y mediciones con objetos estandarizados y no estandarizados, para utilizar las medidas en diversas situaciones de su vida cotidiana. |
Geometría | Formas geométricas e localização espacial | Identificar las formas geométricas mediante sus características y recorridos, a través de dibujos, esquemas de representación y oralidad, con el fin de utilizar este conocimiento para reconocer objetos en el espacio y ubicarse en su entorno. |
Tratamient o de informació n | Gráficos, tablas y listas | Identificar la información contenida en listas, gráficos y tablas para poder representarla en su vida cotidiana y leer la información contenida en diferentes textos en su contexto social. |
Fuente: Municipio Paranaense (2012)
Al igual que en las evaluaciones externas anteriormente comentadas, el currículo general de Matemáticas (Tabla 1) muestra una fragmentación del conocimiento de esta ciencia, que no es exclusiva de las Matemáticas, ya que está presente en otras áreas del conocimiento escolar, en diferentes niveles educativos y a nivel nacional. Vygotski (1982) entiende que esta secesión conceptual dificulta la apropiación de los conceptos científicos, ya que la toma de conciencia de los conceptos se produce dentro de un sistema a través del
reconocimiento de determinadas relaciones entre ellos, lo que se ve comprometido cuando el trabajo con los conceptos se realiza de forma fragmentada.
La exposición vertical de los ejes denota su carácter jerárquico y dificulta la interrelación entre ellos. Cuando consideramos los objetivos generales, observamos el énfasis que se le da al eje números y operaciones (aritmética) en detrimento de los otros ejes, porque se espera que el alumno "comprenda" el concepto, verbo que anuncia el dominio cognitivo. En los otros ejes, se espera que el alumno "reconozca" o "identifique" conceptos relacionados con las cantidades y las medidas, la geometría y el tratamiento de la información. Las acciones de reconocer o identificar no permiten el análisis de los aspectos internos y esenciales del concepto científico estudiado, que son cruciales para el desarrollo del pensamiento teórico, es decir, el pensamiento generalizador, que permite las acciones conscientes con el concepto. Por el contrario, son acciones con aspectos externos y particulares del concepto, conducentes al desarrollo de un pensamiento empírico caracterizado por juicios aislados y prácticas restringidas.
Para acercarnos aún más a la organización de la enseñanza de las Matemáticas que se propone en este municipio, y comprender lo que se enseña en el aula, analizamos los contenidos y objetivos específicos del eje (contenidos estructurantes) magnitudes y medidas de 4º curso, de manera que la forma de organización curricular de esta disciplina sea más explícita.
CURRÍCULO DE MATEMÁTICA - 4º AÑO Contenido estructurante: medidas de tiempo/ masa/ longitud/ capacidad/ valor | |
Contenidos Específicos | Objetivos Específicos |
Medida de tiempo | |
Calendario: año, década, siglo y milenio | Identificar y relacionar milenio, siglo, década y año, para ubicarse temporalmente en diversas situaciones que impliquen la lectura de estos datos. |
Hora completa, media hora, minutos y segundos | Leer y registrar la hora (en un reloj de mano y digital), así como resolver situaciones problemáticas significativas que impliquen el intervalo y el tiempo fraccionario para reconocer su uso social. |
Medición de la longitud | |
Metro, medio metro, decímetro, centímetro, milímetro y km | Reconocer el decímetro, el centímetro y el milímetro como fracción del metro para darse cuenta de la importancia de esta fracción en diversas situaciones cotidianas. Identificar el Km como múltiplo del metro, para hacer la relación entre estas medidas |
Medida de masa | |
Kilo, medio kilo y gramo | Reconocer el gramo como fracción del kilo en actividades de comparación de pesos, para comprender la importancia de esta fracción en diversas situaciones de nuestra vida cotidiana. |
Medida de capacidad | |
Litro, medio litro, mililitro | Reconocer el mililitro como fracción del litro en las actividades de traducción (composición y descomposición del litro), para comprender la importancia de |
este fraccionamiento en diversas situaciones de nuestra vida cotidiana. | |
Medida de superfície | |
Área y perímetro | Reconocer las nociones de área como medida de superficie y de perímetro como medida de contorno, entendiendo la idea de área como multiplicación y la de perímetro como adición, para que el alumno pueda calcular estas medidas. |
Comparación del perímetro y las áreas de dos figuras | Comparar el área y el perímetro de dos o más figuras, reconociendo las relaciones que se establecen entre ellas cuando ampliamos o reducimos dichas figuras. |
Medición del tiempo, la longitud, la masa, la capacidad, la temperatura, la velocidad y la superficie | |
Instrumentos de Medidas | Reconocer y utilizar los distintos instrumentos de medida existentes en nuestra vida cotidiana, para comprender la función de cada uno en la realización de actividades en su contexto. |
Medida de valor | |
Billetes y monedas | Identificar los billetes y monedas de nuestro sistema monetario y comprender que tener más billetes o monedas no significa tener más dinero; utilizar este conocimiento en situaciones de compra; Componer y descomponer billetes y monedas para ver cómo se utilizan estos procedimientos en nuestra vida; Resolver situaciones que requieran el uso de billetes y monedas, identificando qué estrategias utilizadas por el mercado son ventajosas o no para los consumidores.. |
Fuente: Município Paranaense (2012)
En el currículo de 4º curso observamos los mismos apartados conceptuales del currículo general de matemáticas, en los que se separan los tipos de magnitudes y sus respectivas medidas. No es posible inferir ninguna conexión entre las magnitudes y su relación con los conceptos geométricos y aritméticos, y mucho menos con el álgebra, que no se incluye como contenido curricular.
También es posible inferir que la práctica sugerida por esta propuesta curricular contempla acciones más cercanas al empirismo. Estas acciones se evidencian en los objetivos específicos que giran en su mayoría en torno a "identificar", "reconocer" y "comparar" magnitudes, acciones que tienden a quedarse en aspectos externos de los objetos, en lo percibido por los sentidos.
¿Qué conocimientos adquieren los alumnos y qué tipo de pensamiento forman aquellos que, según lo previsto en el currículo analizado, sólo "identifican" características de las formas geométricas, "representan" la información identificada, "reconocen" el decímetro, el centímetro y el milímetro como fracción del metro y "reconocen" las nociones de área y realizan su cálculo? Entendemos que estas acciones demasiado particulares y empíricas, así como las esencialmente abstractas, no permiten al alumno conocer el movimiento, la esencia, las conexiones internas y externas, la lógica y el origen de los conceptos, que forman el pensamiento teórico necesario para que los sujetos actúen conscientemente en la realidad.
Otro aspecto observado es el énfasis en las acciones referidas a las necesidades inmediatas del alumno, tales como: "realizar la composición y descomposición de billetes y monedas para comprobar el uso de estos procedimientos en nuestra vida"; "reconocer y utilizar los distintos instrumentos de medida existentes en nuestra vida cotidiana". Así siguen los objetivos, que terminan con la intención de reconocer los conceptos "en situaciones de nuestra vida cotidiana". Según Kosik (1976), el principal objetivo que debe guiar la organización de la enseñanza en la escuela es la apropiación de conocimientos que permitan al alumno comprender los fenómenos no sólo cotidianos, sino también los que están más allá de los límites del contexto inmediato, de las acciones empíricas y particulares.
Ilyenkov (2007) aclara que el problema del aprendizaje de las matemáticas radica en la organización didáctica de su enseñanza, ya que predominan los conceptos erróneos "[...] sobre la relación de 'abstracto y concreto', de 'general y singular', de 'calidad y cantidad' y el pensamiento formado sobre el mundo percibido por los sentidos que, hasta hoy, por desgracia, está en la base de muchos programas de enseñanza" (ILYENKOV, 2007, p. 41, nuestra traducción). Estos programas, según el análisis del autor, no enseñan al alumno a pensar "concretamente", porque confunden lo concreto con lo empírico. Pensar concretamente es comprender un fenómeno determinado en su totalidad y pensar empíricamente es percibir sólo las particularidades más evidentes. Estos programas favorecen procedimientos de enseñanza a veces demasiado teóricos, con propuestas de memorización de definiciones y fórmulas, sin comprenderlas; a veces estrictamente basados en acciones empíricas, que se cierran sobre sí mismas, sin desarrollar las abstracciones y generalizaciones teóricas necesarias.
Las leyes generales de una ciencia y los conocimientos producidos por ella, como la ciencia matemática, tienen como primera fuente las necesidades humanas situadas en la realidad objetiva, que manifiestan su totalidad y sus interconexiones. Admitiendo tales leyes generales, la educación escolar, con su currículo, necesita superar su característica fragmentaria y empírica, como observamos en las discusiones mantenidas en los subapartados anteriores, en favor de una educación que considere los movimientos de la realidad y su génesis, así como la comprensión del movimiento del conocimiento y del pensamiento sobre la realidad.
Los conocimientos matemáticos, a pesar de ser indispensables para las actividades humanas y para la comprensión de la realidad que nos rodea, todavía no son accesibles para la
mayoría de los estudiantes brasileños, incluso después de completar la educación básica, como se constata en las evaluaciones externas. Trazar la construcción de caminos, en el ámbito didáctico-pedagógico, para superar las dificultades en el aprendizaje de la Matemática implica identificarlas y comprenderlas, teniendo como antecedente la organización curricular de la asignatura. De ahí se derivan los procesos de enseñanza, aprendizaje y desarrollo.
El análisis del currículo de Matemáticas reveló un modelo de organización fragmentado en ejes y contenidos estructurantes, que no conducen a acciones de estudio que permitan la interconexión de los sistemas conceptuales matemáticos, la comprensión de su génesis y movimientos. En los objetivos de aprendizaje, identificamos acciones u operaciones explícitas con conceptos a nivel empírico, que conducen a la percepción de particularidades externas del objeto de estudio relacionadas con la vida cotidiana del estudiante, por lo tanto, no se corroboran con abstracciones y generalizaciones teóricas de lo esencial del mismo.
Ante las debilidades expuestas, entendemos que la propuesta de organización de la enseñanza, desde la perspectiva del Sistema Elkonin-Davýdov, puede orientar la reflexión y la reestructuración cualitativa del currículo escolar. Para ello, es fundamental conocer el plan epistemológico de la ciencia que se va a estudiar en el ámbito escolar, comprender su génesis y estructura, para organizar los procedimientos de estudio correspondientes. Para ello es necesario investigar los contenidos que conforman la programación disciplinar y las vías didácticas adecuadas para impartirlos.
En el Sistema Elkonin-Davýdov, el contenido estructural, el eje de la materia escolar, está compuesto por conceptos científicos y sus correspondientes acciones mentales. El procedimiento de enseñanza, coherente con esta estructura, que puede ser única en cada asignatura, debe basarse en el concepto nuclear de la ciencia, en el caso de las matemáticas, el concepto de magnitud. Las acciones con este concepto se adelantan para que el alumno reproduzca su carácter lógico-histórico, poniendo en movimiento dialéctico las relaciones general-particular y abstracto-concreto. Esta propuesta didáctica también implica acciones de estudio con sistemas de conceptos interconectados que revelan la esencia del objeto de estudio, lo que lleva a la formación de abstracciones y generalizaciones teóricas. Este sistema de enseñanza pretende superar el pensamiento empírico, mediante la incorporación, y el desarrollo del pensamiento teórico.
Entendemos que la correcta organización de la enseñanza de las matemáticas está asociada al estudio de su objeto nuclear y general, es decir, al estudio del concepto de magnitud, del que es posible extraer, relacionar y comprender los demás conceptos matemáticos del álgebra, la geometría y la aritmética.
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BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Brasil no Pisa 2015. Brasília, DF: INEP, 2016. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/component/content/article?id=42741. Acesso em: 21 jun. 2019.
CARAҪA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Editora Cosmos, 1951.
DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. La Habana: Pueblo y Educación, 1982.
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KOPNIN, P. V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Editora Civilização Brasileira, 1978.
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https://doi.org/10.21723/riaee.v16i3.13775
ORGANIZAÇÃO DO ENSINO DE MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DO SISTEMA ELKONIN-DAVÝDOV
ORGANIZACIÓN DE LA ENSEÑANZA DESDE LA PERSPECTIVA DEL SISTEMA ELKONIN-DAVÝDOV
Giselma Cecilia SERCONEK2 Marta Sueli de Faria SFORNI3
RESUMO: Resultados de avaliações externas, como o PISA, o SAEB e o SAEP, revelam o baixo índice de proficiência dos estudantes brasileiros em Matemática na educação básica. Partindo do pressuposto de que a aprendizagem é resultado das interações educativas das quais os estudantes participam, voltamos nosso olhar para o modo como é previsto o ensino de conceitos matemáticos. Para termos dados mais objetivos sobre o que se aprende e o que se ensina, foi necessário eleger uma situação particular para análise, neste caso, os dados das avaliações externas de um município paranaense, bem como a organização curricular dessa disciplina no respectivo município. Com base nos estudos sobre o modo de organização do
1 This work was carried out with the support of the Coordination for the Improvement of Higher Education Personnel - Brazil (CAPES) - Financing Code 001.
ensino sob a perspectiva do Sistema Elkonin-Davýdov, a organização do ensino de Matemática deve orientar-se pelo e para o conceito de grandeza, em torno do qual articulam-se álgebra, geometria e aritmética. Essa articulação implica uma organização curricular integrada, oposta à fragmentação identificada na organização do ensino no município em análise, o que pode justificar os resultados não satisfatórios na aprendizagem e, ao mesmo tempo, apontar possíveis caminhos pedagógicos para a superação desse quadro em nível nacional.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria Histórico-Cultural. Sistema Elkonin-Davýdov. Organização do ensino. Aprendizagem de matemática. Conceito de grandeza.
RESUMEN: Los resultados de evaluaciones externas, como PISA, SAEB y SAEP, revelan el bajo nivel de competencia de los estudiantes brasileños en Matemáticas en la educación básica. Basado en el supuesto de que el aprendizaje es el resultado de las interacciones educativas en las que participan los estudiantes, dirigimos nuestra atención a la forma en que se prevé la enseñanza de conceptos matemáticos. Para tener datos más objetivos sobre lo que se aprende y lo que se enseña, fue necesario elegir una situación particular para analizar, en este caso, los datos de las evaluaciones externas de un municipio en Paraná, así como la organización curricular de esa disciplina en el municipio respectivo. Basado en estudios sobre la forma de organización de la enseñanza desde la perspectiva del Sistema Elkonin-Davýdov, la organización de la enseñanza matemática debe guiarse por y para el concepto de grandeza, alrededor del cual se articulan álgebra, geometría y aritmética. Esta articulación implica una organización curricular integrada, opuesta a la fragmentación identificada en la organización de la enseñanza en el municipio bajo análisis, que puede justificar los resultados insatisfactorios en el aprendizaje y, al mismo tiempo, señalar posibles caminos pedagógicos para superar esta situación a nivel nacional.
PALABRAS CLAVE: Teoría Histórico-Cultural. Sistema Elkonin-Davýdov. Organización de la enseñanza. Aprendizaje de matemáticas. Concepto de grandeza.
Mathematical knowledge is essential in all areas of life and is part of it as soon as relationships between people and objects are established. Interpersonal relationships and activities performed by human beings give rise to logical-mathematical knowledge, as well as to other knowledge. So, from a very early age, the subject thinks mathematically about various everyday situations, even without being aware of this mental action (CARAҪA, 1951). Since childhood, the subject organizes, separates, compares and classifies objects, shares the chocolate bar with his brother, earns coins and gathers them in the piggy bank, loses pieces of his riding game and notices the lack of them, is unhappy if he receives the smaller part of a cake, that is, it acts constantly with mathematical concepts.
It seems to us that so far we have not encountered any problems with Mathematics. However, when it becomes a school subject, difficulties arise and we start to hear, whether in
the school environment or outside, phrases such as 'I don't like math', 'Mathematics is difficult', 'this thing with numbers is not for me'. The science of Mathematics is considered, by both teachers and students, a challenge to be faced and unraveled as if it were a 'black box' of difficult access. We understand such concerns and fears, especially when related to the history of failure on the part of those who teach and those who learn, the high rates of recovering students, failure and dissatisfaction with the process and its outcome.
In this context, Mathematics retains a bad reputation, igniting discussions that often blame the student: 'the child does not have logical reasoning', 'he does not carefully read the problem-situation and/or the statements of school assignments', 'the child takes all the numbers that appear in the problem', and so on. Unfortunately, as Talizina (2000) reiterates, many teachers and mathematicians do little in this situation because they are
[...] advocates of the genetic nature of mathematical capabilities. Thus, teachers often explain a student's poor math grades as a lack of math skills. In addition, they add that this student's parents were also not successful in math. [...] and they do not consider that their formation during the process of studying mathematics is possible. In this case, the teacher is practically not responsible for the results achieved by the students. (TALIZINA, 2000, p. 17, our translation).
Silveira (2002) observes, together with the bad reputation of Mathematics, the effect of accepting the failure of learning in this school subject revealed in the speech that 'Mathematics is difficult' and, therefore, it is 'for a few'. Low grades and/or failure in this subject are seen naturally by the school community, which, therefore, corroborates the acceptance, trivialization and reproduction of this phenomenon, often without questioning it. Thus, positioning and discourse “interfere in the relationship between the subject who teaches and the subject who learns” and the latter ends up suffering the negative effects of this relationship (SILVEIRA, 2002, p. 6, our translation).
The relevance of mathematical knowledge, for the subjects, is explicit in the social relations in which they are inserted, as well as the difficulty they encounter in using them, and we cannot naturalize this phenomenon. To denaturalize it, we need to understand it, thus, the objective of this text is to bring to analysis and reflection elements that integrate the movement of this phenomenon. As a starting point, we explain the level of proficiency in Mathematics of students at the national level, as well as students from a municipality in Paraná, in order to know the school performance in this area of knowledge. Next, we discuss the epistemological plan of Mathematical Science and the organization of teaching corresponding to this plan, from the perspective of the Elkonin-Davýdov System, in order to reflect on its possible contributions to
the organization of the teaching and learning mathematical processes of concepts. Finally, basing ourselves on this teaching system, we analyzed the singular-particular mode of curricular organization of Mathematics in that municipality, as in the singularities general aspects of Mathematics teaching are manifested, revealing its deficiencies.
The difficulties found in the teaching and learning processes are undisputed: they are present in everyday school life, in the practice and discourse of those involved, in internal and external assessments. One way to identify student performance in Mathematics was to analyze the results of external assessments. For this, we carried out a survey of data from PISA, Prova Brasil and SAEP. From the last two evaluations, we extracted data corresponding to the results of the proficiency of students who are in the 5th and 6th grades, respectively, to verify the Mathematics learning of those who complete the first stage of elementary school. Even recognizing the weaknesses of external evaluations, with their accountability policy, ranking of schools and regulation of the distribution of funds to these institutions, we also understand that, not being used as an isolated instrument for the elaboration of public policies, they can collaborate, along with other evaluative instruments, to map student learning, to detect problems and plan possible solutions.
The Programme for International Student Assessment (PISA) -is responsible for carrying out comparative assessment, applied to students aged 15 years, age at which the completion of compulsory basic education is assumed in most countries (BRASIL, 2015). PISA assesses students' proficiency in Science, Mathematics and Reading every three years. PISA- 2012 brought together 65 countries and some independent territories, such as Hong Kong, Macao, Shanghai and Taiwan. In this edition, Brazil ranked 58th in Mathematics, 55th in Reading and 59th in Science. In PISA-2015, the ranking results show that Brazil was ranked 66th in Mathematics, 59th in reading and 63rd in Science (BRASIL, 2015; 2016). The PISA- 2018 results published in 2019 indicate that Brazil ranked in the 69-72 range of the ranking, considering all participating countries/economies4. The results of the last three editions of PISA show a drop in the level of proficiency of students in the subject of Mathematics, in the final stage of basic education.
4 PISA-2018 results. Available: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/documentos/2019/relatorio_PISA_2018_preliminar.pdf. Access: 10 May 2020.
The Prova Brasil, introduced in 2005, is held every two years and, since the first edition, has undergone restructuring. Until the last edition, Portuguese Language and Mathematics tests were applied to students in the 5th and 9th years of public and urban schools (BRASIL, 2014). In 2015, the municipality of Paraná, taken as a singular-particular situation of analysis, obtained an average proficiency of 263.09 in the Mathematics test, which corresponds to level 6 (250 to 275), on a scale ranging from 0 to 10 (below 125 to 375), in their public schools5. In 2018, the results of the 2017 Prova Brasil were released, which revealed a stagnation in the proficiency indices in Mathematics of students in the 5th year of public schools, with an average grade of 263.66.
In 2012, the Paraná Basic Education Assessment System (SAEP) was created, which conducts tests in Portuguese and Mathematics. Four SAEP applications have already been carried out; in the first, in 2012, students from the 9th year of elementary school and the 3rd/4th year of high school were evaluated. In the second, in 2013, students from the 6th year of elementary school and the 1st year of high school were evaluated. In the evaluation carried out with 6th grade students, the municipality in Paraná under analysis reached an average proficiency of 212.3 in Mathematics. It fits, therefore, in level 4 (from 200 to 225 points), called basic level, considering a scale from 0 to 500 (PARANÁ, 2013). In 2017, students in the 9th grade of elementary school and 3rd and 4th grades of high school were evaluated. In the 2018 edition, the program evaluated students from the 6th year of elementary school, the 1st grade of high school and Youth and Adult Education. The 6th year students in the municipality of Paraná, in question, remain at the basic level of learning and the average proficiency grade, in Paraná, is 226.46.
Next, we present the table and graph of the results obtained by students in the 6th year of elementary school, in the municipality in question, in 20137. The analysis of this material shows that the theme quantities and measures, with four descriptors, had the lowest average percentage: 41.6% of correct answers. The topic of information treatment was left with 46.63%; geometry, 55.44%; numbers and algebra, 49.33% (PARANÁ, 2013). Therefore, the general average of the percentages reached 48.25% of correct answers for all the content evaluated in this test. Thus, if we consider the results measured by this evaluation instrument, we could say
5 SAEB-2015 and 2017 results. Available: http://portal.inep.gov.br/educacao-basica/saeb/resultados. Access: 10 May 2020.
6 SAEP-2018 results. Available: http://www.saep.caedufjf.net/wp-content/uploads/2018/11/PR-SAEP-2018-RP- LP-WEB.pdf. Access: 10 May 2020.
7 The detailed results, as shown in the 2013 chart, are of restricted access and we only obtained those from 2013.
that students complete the initial years of elementary school with “mastery” of approximately
half of the concepts foreseen for this stage.
quantities and measures
geometry
information treatment
numbers and algebra
Source: Regional Education Center of the Municipality of Paraná
It may seem that the descriptors – specific objectives of each topic – are independent of each other and that the generating factor of low performance in each one of them is, therefore, distinct. However, first, it is necessary to consider that the concepts take place in a system of concepts and the formation of one intervenes in the formation of the other. As Vygotski (1931) proved in his experiments, there is a reciprocity in the relationship and a transference of concepts within a system, which are a reflection of the reciprocity of the phenomena in reality. This belonging and this reciprocity turn the concept into an important mediating instrument for knowledge in the real world and for the assimilation of humanity's social experience. Second, it is necessary to consider that, in the system of mathematical concepts, as Davýdov (1982) admits, magnitude is the core concept of Mathematics and permeates all other singular mathematical concepts (real number, geometry and algebra), which are aspects of this object nuclear. The graph, however, makes explicit an assessment that emphasizes numbers and operations, unique concepts linked to the recording and control of measures of magnitude, a reflection of the same emphasis given to the organization of the Mathematics curriculum (a topic that will be discussed later on).
Having made these introductory considerations on the results of school performance in the field of Mathematics, which are low throughout basic education, we bring to the discussion
Mathematics science and the school organization of its teaching from the perspective of the Elkonin-Davýdov System, envisioning possible contributions from theory to learning mathematical concepts.
Science, says Caraҫa (1951), is a system of knowledge that explains phenomena by general laws, which involve other interconnected conceptual systems, with its own genesis, its contradictions, its movements. Its purpose is not only to describe and define phenomena as something ready and definitive, it is not a static system of terminology. Kopnin (1978) clarifies that knowledge of any science does not arise from the unknown, nor is it finished and, for this nature, knowledge must consider the historical character of the studied object, which implies a logic in its origin according to human needs.
Mathematics, like other sciences, arises from the needs of man and is the result of observations, studies, investigations, through which one seeks to understand phenomena and dominate nature. Thus, the greater the knowledge about a phenomenon, the greater the possibility of predicting it, causing it and/or controlling it.
However, in school programs, observes Ilyenkov (2007), there are too many absolute truths, which are definitively established for students to 'swallow' them without knowing the movement of knowledge and its totality. They are not prepared to actively seek answers to the questions posed by life or school, nor to the contradictions that require intellectual work. Thus, ready knowledge, as given by the school,
[...] without the road that leads to it is a dead [...] bone corpse, the skeleton of truth, incapable of independent movement. [...] An established scientific truth, recorded in verbal terminology and separated from the route by which it was acquired, becomes a verbal shell, even if it contains all the external signs of "truth" (ILYENKOV, 2007, p. 21, our translation).
The author emphasizes, however, that he maintains the hope of a didactic reconstruction that overcomes the conservative view of teaching that, based on verbal terminological manipulation, 'hammeres' in the student's mind the abstract under the guise of concrete, mistakenly understood as what it is obvious, visible, empirical. His hope finds support in the didactic research of D. B. Elkonin and V. V. Davýdov, developed in the laboratory of the Institute of Psychology of the Academy of Pedagogical Sciences of the Russian Soviet Federative Socialist Republic (RSFSR), which has the Historical-Cultural Theory as its
foundation. Elkonin and Davýdov's didactic proposal is based on the logical-dialectical understanding of thought and on the connections between the universal and the singular, between the abstract and the concrete, between the logical and the historical.
In the Elkonin-Davýdov System, the organization of the study, as explained by Ilyenkov (2007), the student, from the early years of schooling, must assimilate scientific knowledge, reproducing (in short) the real process of genesis and development of this knowledge socially produced throughout history. It does not mean that he has to reinvent the conquests already made by humanity, as this is unnecessary: the idea is that he redoes the logic of the path taken, which carries, in itself, the historical aspect (logical-historical character). In this way, he appropriates the concepts and formulas as a co-participating subject in the creative process instead of memorizing them to later reproduce them in new tasks and evaluations. Thus, the concepts become, for the subject, general principles with a real concrete character (abstract- concrete relationship) that will be used by him in the resolution of other particular tasks or specific real situations (universal-particular relationship), therefore, these concepts begin to present meaning and sense.
The school, says Davýdov (1982), needs to overcome the empiricist understanding of object knowledge and ensure students the possibility of making abstractions, generalizations and mastering theoretical concepts in their genesis and essence, from the beginning of schooling. The generalization and formation of theoretical concepts imply, therefore, the abstraction of the essential aspects of the object in its logical-historical origin. In this sense, school subjects, according to this author's proposal, are not composed of a list of definitions and illustrations, but of systems of concepts that have their core concept as their axis.
According to the studies by Davýdov (1982), the core concept of Mathematics is the concept of magnitude because this is the genetic foundation of the real number and, consequently, is the determinant of the emergence of other numbers: natural, integer, rational and irrational, so as well as the relationship between them. Its genesis is, says Caraҫa (1951), in the activities performed by the subjects, in the most varied circumstances; for example, men had the need to measure the extension of land, establish the value of taxes, the volume of a liquid to market, the right amount of seeds to sow on a certain land. That is, this knowledge was produced as a result of the need to know different quantities and numerically control their quantitative variation.
From the general concept of greatness are deduced the particular concepts of number, which constitute its manifestation. Based on these relations between the general and the particular, the author concludes that magnitude becomes the core concept in the formation
process of theoretical thought in Mathematics. Numbers, in turn, are “a singular and particular case of representation of the general relations between quantities, when one of them is taken as a measure for calculating the other” (DAVÝDOV, 1982, p. 434, our translation). In this way, number becomes a quantitative characteristic of magnitude.
Measurements of a quantity also establish relationships with geometry, arithmetic, and algebra. For example, when you want to calculate the contour measurements of a polygon and your arithmetic calculation is not expressed only in numbers. To measure a certain quantity, certain values can be represented in a generic way, using letters and symbols. We observe, then, that there is an interconnection of algebraic, geometric, arithmetic meanings with the concepts of magnitude. Such interconnection cannot be disregarded in the organization of teaching Mathematics at school.
However, not infrequently, mathematical concepts are taught without considering the connections between them, as well as their connections with the real world; is taught how to count and measure objects without revealing their internal properties and their relationships under given conditions. As Ilyenkov (2007) exemplifies, countless students pass as incapable because the try to add kilograms to meters. Why do they do it? Because the first mathematical concepts developed at school are linked to counting anything with the natural number: apples, animals, people, wooden slats, children, iron dumbbells, water bottles, in short, anything singular perceived by the sensory. So, the student does not observe the abstract qualities of the object: its mass, length, capacity, among others, but the pure quantity, as a function of the natural number they were taught to verbalize in memory counts, without understanding the conceptual essence.
The organization of teaching of concepts of magnitude presupposes the proposition of conditions and actions necessary for them to be formed by the student, under the teacher's intentional guidance. It is necessary to act in a way that reveals the genesis and connections of scientific concepts so that the student understands the internal aspects of the object, relating them with its external aspects. This process includes levels of generalization of the concept that are developed through the scientific language of the teacher, which guides the student in associating the abstract and empirical characteristics of the object with each other and among other concepts, thus constituting a system of concepts. This language creates the genetic conditions that guide and drive the process of generalizing scientific concepts and developing theoretical thinking.
Based on the Elkonin-Davýdov System, we advance in the analysis of the singular- particular mode of curricular organization of Mathematics in the municipality of Paraná,
revealing general aspects of Mathematics teaching. Analyzes that allow the identification of gaps and deficits in the program of this discipline, which contribute to the results of the students' learning process.
In this section, we analyze the curricular organization proposed for the early years of elementary school in a municipality in Paraná. The focus is on the contents and objectives of teaching Mathematics as a way of representing what guides the modus operandi of the teacher's action in this area of knowledge. For this, we analyzed the contents and objectives of the magnitudes and measures axis of the general curriculum of the subject of Mathematics from the 1st to the 5th year and of the specific curriculum of the 4th year. Both curricula were prepared by the pedagogical team of the Municipal Education Department and, here, we synthesize them to make them more explicit. We seek to demarcate the path proposed to teachers and students in the teaching and learning processes of mathematical concepts. Such path can express possible theoretical-methodological causes of the results of the assessments that students in this municipality obtained in this area of knowledge, as shown in the first section. Considering that there are multiple determinations for the phenomena, we do not neglect the fact that these results are also related to extra-school factors present in the social, political, economic, cultural context, but the discussion here permeates the theoretical- methodological aspects of school processes.
The curriculum structure of the early years of elementary school, the school level for which our discussion is aimed, organizes the contents into curricular components: Art, Science, Physical Education, Religious Education, Geography, History, Mathematics and Portuguese and English Language. These components are subdivided into teaching axes, structuring contents, specific contents and specific objectives. Mathematics comprises the axes 'numbers and operations', 'quantities and measures', 'space and shape' and 'information treatment'. We observe that the general objective of each axis is repeated from the 1st to the 5th year, as can be seen in the table below (MUNICÍPIO PARANAENSE, 2012).
Axis | Structuring content | General objective |
Numbers and operations | The concept of number and operations | Understand the historical construction of number as a human need, in order to know how men controlled their objects at a given time and how we represent and use numbers today. |
Quantities and measures | Measures of time/mass/length/ capacity/value | Recognize measurements and perform estimates and measurements with standard and non-standard objects, in order to use the measurements in different situations of daily life. |
Geometry | Geometric shapes and spatial location | Identify geometric shapes through their characteristics and paths, through drawings, representation schemes and orality, in order to use this knowledge to recognize objects in space and locate themselves in the environment where they live. |
Information processing | Graphs, Tables and Lists | Identify information contained in lists, graphs and tables, in order to know how to represent this information in daily routines and read this information present in various texts conveyed in social context. |
Source: Município Paranaense (2012)
As in the external evaluations discussed above, in the general curriculum of Mathematics (Table 1), we find the fragmentation of knowledge in this science, which is not exclusive to it, as it is present in other areas of school knowledge, at different levels of education and at the national level. Vygotski (1982) understands that this conceptual secession hinders the appropriation of scientific concepts, as awareness of concepts occurs within a system through the recognition of certain relationships between them, which is compromised when working with concepts is done in a piecemeal way.
We still have the vertical exposure of the axes, which denotes their hierarchical character and makes the interrelationship between them difficult. When considering the general objectives, we observe the emphasis given to the number and operations axis (arithmetic) to the detriment of the other axes, as the student is expected to 'understand' the concept, a verb that announces cognitive domain. While, in the other axes, the student is expected to 'recognize' or 'identify' the concepts related to quantities and measures, geometry and information processing. The actions of recognizing or identifying do not allow the analysis of the internal and essential aspects of the scientific concept studied, which are crucial to the development of theoretical thinking, that is, generalizing thinking, which allows conscious actions with the concept. Rather, they are actions with external and particular aspects of the concept, leading to the development of empirical thought characterized by isolated judgments and restricted practices. To get even closer to the organization of the teaching of Mathematics proposed in this municipality, and to understand what is taught in the classroom, we analyze the specific
contents and objectives of the axis (structuring content) quantities and measures of the 4th year, so that it becomes more explicit the way of curricular organization of this discipline.
MATHEMATICS CURRICULUM - 4th YEAR Structuring contents: measures of time / mass / length / capacity / value | |
Specific Contents | Specific objectives |
Measure of time | |
Calendar: year, decade, century and millennium | Identify and relate millennium, century, decade and year, to temporally locate in different situations that involve the reading of these data. |
Full hour, half an hour, minutes and seconds | Reading and recording hours (on hand and digital clocks) as well as solving significant problem situations involving the interval and the fractionation of time to recognize their social use. |
Measure of length | |
Meter, half meter, decimeter, centimeter, millimeter and km | Recognize the decimeter, centimeter and millimeter as a fraction of a meter to realize the importance of this fractionation in various daily situations. Identify the Km as a multiple of the meter in order to relate these measurements |
Measure of mass | |
kilo, half kilo and gram | Recognize the gram as a fraction of a kilo in weight comparison activities, in order to understand the importance of this fractionation, in various situations of our daily lives. |
Measure of capacity | |
liter, half liter, milliliter | Recognize the milliliter as a fraction of a liter in pouring activities (composition and decomposition of the liter), in order to understand the importance of this fractionation, in various situations of our daily lives. |
Measure of surface | |
Area and perimeter | Recognize the notions of area as a measure of surface, and of perimeter as a contour measure, understanding the idea of area as a multiplication and perimeter as an addition, so that the student can perform the calculation of these measures. |
Comparison of perimeter and areas of two figures | Compare the area and perimeter of two or more figures, recognizing the relationships that are established between them when we enlarge or reduce these figures. |
Measure of time, length, mass, capacity, temperature, velocity and surface | |
Measurement Instruments | Recognize and use the various measuring instruments existing in our daily lives, in order to understand the role of each one in carrying out activities in their context. |
Measure of value | |
Bills and coins | Identify bills and coins from our monetary system and understand that having more bills or coins does not imply having more money; use this knowledge in purchasing situations; Perform the composition and decomposition of bills and coins, in order to verify the use of these procedures in our lives; Solve situations that demand the use of bills and coins, identifying which strategies used by the market are beneficial or not for consumers. |
Source: Município Paranaense (2012)
In the 4th year curriculum, we observe the same conceptual sections as the general mathematics curriculum, in which the types of magnitude and their respective measures are
separated. It is not possible to infer any link between the quantities and their relationship with geometric and arithmetic concepts, much less with algebra, which is not included in the curriculum.
It is also possible to infer that the practice suggested by this curricular proposal includes actions that are closer to empiricism. These actions are evidenced in the specific objectives that revolve, mostly, around 'identifying', 'recognizing' and 'comparing' quantities, actions that tend to remain in the external aspects of objects, in what is perceived by the senses.
What knowledge do they acquire and what kind of thinking do students form that only 'identify' characteristics of geometric shapes, 'represent' the identified information, 'recognize' the decimeter, centimeter and millimeter as a fraction of a meter and 'recognize' the notions of area and perform the calculation? We understand that these very particular and empirical actions, as well as the essentially abstract ones, do not allow the student to know the movement, the essence, the internal and external connections, the logic and the origin of the concepts, which form the necessary theoretical thinking for those subjects act consciously in reality.
Another aspect observed is the emphasis on actions related to the student's immediate needs, such as: 'carrying out the composition and decomposition of bills and coins, to verify the use of these procedures in our lives'; 'recognize and use the various measuring instruments existing in our daily lives'. So, the objectives follow, ending with the intention of recognizing the concepts 'in our everyday situations'. According to Kosik (1976), the main objective that should guide the organization of teaching at school is the appropriation of knowledge that enables the student to understand not only everyday phenomena, but also those that are beyond the limits of the immediate context, of actions empirical and particular.
Ilyenkov (2007) clarifies that the problem of learning Mathematics lies in the didactic organization of its teaching, as misconceptions predominate in it “[...] about the relationship between the 'abstract and the concrete', the 'general and the singular', of 'quality and quantity' and the thought formed about the world perceived by the senses that, until today, unfortunately, is found at the base of many didactic programs” (ILYENKOV, 2007, p. 41, our translation). Such programs, according to the author's analysis, do not teach the student to think 'concretely', as they confuse concrete with empirical. To think concretely is to understand a given phenomenon in its totality and to think empirically is to perceive only the particularities that are most evident to them. These programs favor teaching procedures that are sometimes too theoretical, with proposals for memorizing definitions and formulas, without understanding them; now strictly supported by empirical actions, which are self-contained, without developing the necessary abstractions and theoretical generalizations.
The general laws of a science and the knowledge produced by it, like mathematical science, have as their primary source the human needs placed in objective reality, which manifest their totality and interconnections. Admitting such general laws, school education, with its curriculum, needs to overcome its fragmented and empirical characteristic, as we observed in the discussions held in the previous subsections, in favor of an education that considers the movements of reality and its genesis, as well as the understanding the movement of knowledge and thinking about reality.
Mathematical knowledge, despite being essential to human activities and to understanding the reality that surrounds us, is still not accessible to most Brazilian students, even after completing basic education, as verified in external evaluations. Outlining the construction of paths, in the didactic-pedagogical scope, to overcome the learning difficulties of Mathematics implies identifying and understanding them, having the curricular organization of the discipline as a background. Since is from there that the teaching, learning and development processes derive.
The analysis of the curriculum of the Mathematics discipline revealed a model of organization fragmented into axes and structuring contents, which do not lead to study actions that enable the interconnection of mathematical conceptual systems, the understanding of their genesis and movements. In the learning objectives, we identified explanations of actions or operations with concepts at an empirical level, which lead to the perception of the external particularities of the object of study related to the student's daily life, therefore, they do not corroborate the theoretical abstractions and generalizations of what is essential.
In view of the exposed weaknesses, we understand that the proposal of teaching organization, from the perspective of the Elkonin-Davýdov System, can guide reflections and qualitative restructuring in the school curriculum. For this, it is essential to know the epistemological plan of the science to be studied in a school environment, to understand its genesis and structure, in order to organize the corresponding study procedures. This requires the investigation of the contents that make up the disciplinary program and the appropriate didactic directions to teach them.
In the Elkonin-Davýdov System, the structural content, the axis of the school discipline, is composed of scientific concepts and their corresponding mental actions. The teaching procedure, consistent with this structure, which can be unique in each discipline, must be based on the core concept of science, in the case of Mathematics, on the concept of quantity. Actions
with this concept are carried out in such a way that the student reproduces their logical-historical character, putting the general-particular and abstract-concrete relations into dialectical movement. This didactic proposal also implies study actions with systems of interconnected concepts that reveal the essence of the object of study, which lead to the formation of abstractions and theoretical generalizations. This education system aims to overcome empirical thinking, by incorporation, and the development of theoretical thinking.
From the above, we understand that the proper organization of the teaching of Mathematics is associated with the study of its nuclear and general object, that is, the study of the concept of magnitude, from which it is possible to extract, relate and understand the other mathematical concepts of algebra, geometry and arithmetic.
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