CONTRIBUCIONES DEL PENSAMIENTO VYGOTSKIANO AL MODELAJE MATEMÁTICO
CONTRIBUTIONS OF VYGOTSKIAN THOUGHT TO MATHEMATICAL MODELING
Ady Wallace Jaques SILVA1 Roberta Modesto BRAGA2 Cassio Cristiano GIORDANO3
RESUMEN: El presente estudio es un ensayo teórico que analiza las posibles contribuciones de las ideas de Lev Vygotsky a la enseñanza de las matemáticas, a través de la modelización. Para él, el contexto histórico-cultural configura el elemento psicológico, determinando la forma de pensar. Las personas de diferentes culturas tienen diferentes perfiles psicológicos. Las funciones psicológicas se desarrollan a lo largo del tiempo y están mediadas por la interacción social, a través de símbolos culturales. El lenguaje está relacionado con la cultura y depende de factores sociales. Los conceptos son históricamente construidos e internalizados de manera particular por los individuos, de una manera amplia, integrada, holística y dinámica. Dichos principios pueden contribuir a una mayor comprensión de la modelización matemática, ya que se parte de situaciones que se presentan con problemas
reales, alineados con las experiencias de los estudiantes llevándolos a asumir el protagonismo en este proceso, a medida que desarrollan un modelo matemático, en un ambiente de aprendizaje, en el que la interacción está presente.
PALABRAS CLAVE: Proceso histórico-cultural. Funciones psicológicas. Modelización matemática.
ABSTRACT: The present study is a theoretical essay that analyzes possible contributions of Lev Vygotsky's ideas to the teaching of Mathematics, through modeling. For him, the historical-cultural context shapes the psychological element, determining the way of thinking. People from different cultures have different psychological profiles. Psychological functions are developed over time and mediated by social interaction, through cultural symbols. Language is related to culture and depends on social factors. Concepts are historically constructed and internalized in a particular way by individuals, in a broad, integrated, holistic and dynamic way. Such principles can contribute to a greater understanding of Mathematical Modeling, since it starts from situations presented with real problems, aligned with the students' experiences leading them to assume the protagonism in this process, as they develop a mathematical model, in an environment of learning in which the interaction is present.
KEYWORDS: Historical-cultural process. Psychological functions. Mathematical modeling.
O ensino de Matemática no Brasil tem enfrentado muitos desafios nas últimas décadas, tanto no que diz respeito aos processos de ensino e de aprendizagem em si, quanto na forma como a disciplina é vista pela sociedade, de modo geral. Quando um professor, ao se deparar com quarenta estudantes em uma sala de aula, lança a seguinte pergunta: “Qual a disciplina que vocês mais gostam?”, de acordo com a nossa experiência docente, sobretudo nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, a Matemática raramente é mencionada. Neste trabalho, tecemos algumas considerações sobre alguns conceitos centrais na obra do psicólogo russo Lev Semionovich Vygotsky, com o intuito de auxiliar os professores que ensinam Matemática a desenvolver estratégias docentes envolvendo a modelagem.
Segundo Vygotsky (1996; 2000; 2001), é o aprendizado coletivo que irá promover o desenvolvimento humano, uma vez que o homem é um ser social, fruto de um agregado de interações sociais e históricas. A relação do homem com o mundo não é direta, mas sim mediada por instrumentos e signos. O autor ressalta a importância do pensamento e da linguagem (se referindo especialmente à fala, ao discurso) nessa relação. Destaca ainda, em sua obra, os conceitos espontâneos e científicos; o chamado método inverso; o nível de
desenvolvimento atual (real), de desenvolvimento potencial e de desenvolvimento próximo, ou zona de desenvolvimento proximal.
Em nossa análise, adotaremos como referencial teórico algumas ideias de Vygotsky, na perspectiva da Psicologia Marxista, bem como grandes referências no campo Modelagem Matemática, tais como: Bassanezi (1999), Burak (1999), Biembengut (2000), e Barbosa (2004). Consideramos, à luz desses referenciais teóricos, a Modelagem Matemática como estratégia de ensino viável, quer seja na Educação Básica, como aliás está previsto na Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2018), quer seja na Educação Superior.
Nos valemos das ideias de Vygotsky, na tentativa de mudar a percepção descontextualizada e negativa da Matemática manifestada por grande parte dos estudantes. Consideramos essa mudança essencial para o sucesso das práticas educativas nessa disciplina, uma vez que ele é o sujeito principal na apropriação do saber nos processos de ensino e de aprendizagem, levando em conta seu contexto histórico-cultural, por meio de sua interação com os pares. Ressaltamos, ainda, um ponto basilar: como tem sido abordados os problemas matemáticos? Estes estão de acordo com a realidade destes estudantes, ponto chave para uma aprendizagem significativa, contribuindo para a formação de sujeitos autônomos e críticos, na perspectiva de Skovsmose (2014; 2018)?
Apresentaremos, a priori, alguns conceitos deste psicólogo que tem suas raízes inspiradas em Karl Marx, mais precisamente no materialismo histórico-dialético, um dos principais métodos de análise sociológica a respeito da luta de classes sociais. Vygotsky (1987; 1996) ressalta o papel da cultura no processo de cognição, já que esta não é vista como algo estático, pelo contrário, ela passa por um processo de transformação e vai trazer como conceito básico a respeito de seu pensamento, o que ele denomina de dialética. Isto é, a forma como o homem age sobre e com o mundo, produzindo assim a cultura, e essa cultura, agindo sobre e com o homem, transformando-o. Esse autor criou o conceito de mediação, assim descrita como uma experiência social que requer participação e colaboração, tanto dos estudantes quanto dos professores.
Em se tratando de desenvolvimento e aprendizagem, diferente da ideia de Piaget, cujo foco da obra recai sobre o processo de desenvolvimento individual como gerador de condições para aprendizagem (LA TAILLE; OLIVEIRA; DANTAS, 2019), Vygotsky parte do pressuposto de que a aprendizagem gera o desenvolvimento e não o contrário. Devemos
frisar aqui que esse autor não nega as condições biológicas como muito se tem pensado, apenas não se baseia numa perspectiva biológica para reconhecer o papel da criança no mundo.
Vygotsky (2010) dá ênfase às chamadas funções psicológicas superiores ou especificamente humanas, as quais são mediadas pela cultura. O homem não é o mesmo sempre, este vai mudando, se transformando ao longo de todo o processo histórico. Para compreender a relação entre desenvolvimento e aprendizagem, é necessária a compreensão do que chamamos de nível de desenvolvimento atual ou real, isto é, aquilo que a criança consegue realizar sozinha, que caracteriza o desenvolvimento mental retrospectivamente, as funções já amadurecidas; bem como de zona de desenvolvimento proximal, caracterizado pelo desenvolvimento mental prospectivamente, as abstrações, as funções que ainda não amadureceram. Ainda neste nível, a criança consegue realizar uma tarefa com a ajuda de um adulto ou em cooperação com outros que já compreenderam tal problema, como ilustrado na figura abaixo:
Fonte: Brasil (s/a)
Em relação à mediação, Vygotsky (2000; 2010) destaca dois elementos mediadores que são os instrumentos e os signos, elos a mais nessa relação de desenvolvimento e troca que se dão entre o indivíduo e o meio no qual estão inseridos.
Nos signos, por exemplo, está a capacidade de representar o mundo, são as representações mentais que substituem o objeto ausente, por exemplo: a linguagem, a produção científica, a construção de ideias e conceitos. Esse autor rompe com a ideia da relação estímulo-resposta. Para ele, entre esses dois fatores há um processo de mediação que irá atuar no pensamento da criança levando então a uma resposta. A partir dessa mediação é
que devemos refletir em relação aos processos educacionais no que diz respeito ao papel do docente e dos sujeitos que estão presentes no convívio da criança, método este chamado de dupla estimulação.
No que diz respeito ao pensamento e linguagem, Vygotsky (1987; 2000) trabalha com o pressuposto de que a língua é um objeto de estudo primordial. Ele trabalha com duas funções da linguagem, que são: a comunicação, em que as pessoas desenvolvem a língua para se comunicar, isto é, a linguagem nasce como forma de comunicação; e o pensamento generalizante, que é onde a língua se encaixa com o pensamento. É nesta segunda função que a relação pensamento e linguagem se torna forte. O uso da linguagem implica em uma compreensão generalizada do mundo. O psicólogo ainda afirma que o primeiro uso da linguagem é o que ele denomina de fala socializada, que é a fala da criança com os outros e para os outros, e destaca também o chamado discurso interior, isto é, a fala para mim.
Em se tratando do estudo a respeito da formação de conceitos, Vygotsky (1987; 1996; 2000), diferencia os conceitos espontâneos e os conceitos científicos. O primeiro se identifica como não conscientizado sobre o ato de pensar, a atenção está sempre relacionada ao objeto, isto é, ao concreto. O segundo conceito refere-se à conscientização, porém, para o psicólogo, essa conscientização só ocorre caso a criança for capaz de explicar como faz algo.
Não podemos pensar no desenvolvimento dos conceitos sem levar em conta o contexto em que vivemos, pois seria uma forma de pensamento sem vida e sem os aspectos históricos, sociais e culturais que constituem tais processos na relação individual e coletiva do sujeito.
Nessa seção apresentamos o conceito de Modelagem Matemática na perspectiva de algumas das principais referências nacionais, por se tratar de uma das metodologias ativas preconizadas pela BNCC (BRASIL, 2018), alternativa mais dinâmica, que coloca os estudantes como protagonistas no processo de apropriação do conhecimento.
A modelagem está presente em nossa civilização desde os primórdios, é considerada tão antiga quanto a própria Matemática. Iniciamos nossa reflexão com o conceito de Modelagem Matemática ancorados em Bassanezi (2011), que a emprega no sentido de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.
A Modelagem Matemática de uma situação ou problema apresentado aos estudantes apresenta uma sequência de etapas que serão visualizadas no esquema da figura abaixo:
Fonte: Bassanezi (2011, p. 27)
As etapas propostas por Bassanezi (2011) são: a experimentação, abstração, resolução, validação e modificação, as quais irão auxiliar os estudantes no processo de ensino e aprendizagem, auxiliando também a prática docente.
De acordo com Bassanezi (1999), a Modelagem consiste em processo de elaboração de modelos realistas definido por estratégias de ação de cada indivíduo sobre uma dada realidade, impregnada das interpretações e intersubjetividades peculiares de cada modelador.
Prosseguiremos com Biembengut (1999). Em sua visão, a Modelagem Matemática é um meio no qual dois conjuntos disjuntos interagem: a Matemática e a realidade. É o processo que envolve a obtenção de um modelo, despertando assim, nos discentes, o interesse em aprender conteúdos de matemática que antes eles não conheciam.
Fonte: Adaptado de Biembengut (1999)
Biembengut (1999) divide esses procedimentos em três etapas, chamadas pela autora de interação com o assunto, a matematização e, por último, o chamado Modelo Matemático. Essas três etapas serão subdivididas em seis subetapas que veremos na sequência.
Nessa abordagem, se faz necessário o reconhecimento da situação-problema e a familiarização com o assunto a ser modelado. Nesta primeira etapa, é definido o assunto que será estudado. Na segunda etapa, a matematização é constituída das subetapas formulação do problema (as hipóteses) e a resolução do problema exposto. É uma fase que irá desafiar o estudante. A criatividade e as experiências que os discentes trazem de suas vidas são de suma importância nessa tradução do problema real para a linguagem matemática. A terceira e última etapa, denominada de Modelo Matemático, tem como subetapas a interpretação da solução e a validação dela, já que se faz necessário verificar se a solução encontrada satisfaz as condições do problema exposto, caso não, o processo deve retornar à segunda etapa, sendo reorganizada.
Dionísio Burak (2004) compreende a Modelagem Matemática como uma metodologia alternativa para o ensino de Matemática, centrada no interesse dos envolvidos no processo. Ademais, Burak (2004) aponta como sugestão que as atividades de modelagem sejam realizadas considerando cinco etapas diferentes: escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento dos problemas; resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema; análise crítica da(s) solução (es). O autor diz que:
A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar suas decisões (BURAK, 1992, p. 62).
Barbosa (2004) e Barbosa, Caldeira e Araújo (2007), sublinham que a Modelagem Matemática está no sentido de ser um ambiente de aprendizagem em que os estudantes serão convidados a investigar e a problematizar por meio da Matemática as situações da realidade. Para estes autores, uma atuação para ser chamada de Modelagem Matemática precisa basicamente apresentar duas características: a primeira é ser um problema realista, de grande interesse para os estudantes, sobre o qual os discentes não tenham nenhum esquema prévio para resolução, precisando elaborá-lo no processo da própria modelagem; a segunda é que tal problema seja externo à matemática, isto é, a modelagem se debruce sobre problemas que sejam a priori externos a essa disciplina.
Um dos pontos a destacar sobre a modelagem é que os estudantes não irão apenas resolver os problemas propostos, mas sim, irão participar da elaboração dos/nos e pelos processos de aprendizagem, levando o alunado a um maior interesse pela disciplina, mais do que isso, mostrando também o papel da Matemática na sociedade.
Barbosa (2004, p. 04) acrescenta que: “Os alunos têm um pouco mais de participação, pois, trazem o problema e integram-se em todas as etapas para resolver o problema, isto é, buscam informações que possibilitem a criação do modelo bem como a validação deste”.
Concordamos com o autor, pois o processo de Modelagem Matemática só é possível se existe o engajamento do aluno. É um trabalho autoral, que contempla o que prescreve a BNCC (BRASIL, 2018), no sentido da promoção do protagonismo discente por meio de metodologias ativas de ensino.
Nesta terceira seção, buscamos articular os conceitos já apresentados do pensamento vygotskiano com a Modelagem Matemática, enquanto proposta alternativa tanto para o planejamento docente quanto para as práticas em sala de aula.
O professor que ensina Matemática precisa considerar o pressuposto de que o estudante é fruto do contexto histórico-cultural em relação ao meio em que vive. Assim, não podemos compreender que todos os discentes aprendem do mesmo jeito e no mesmo ritmo (BRASIL, 2018). A cultura e a socialização desempenham um papel crucial em seu desenvolvimento pois, para Vygotsky, só há aprendizagem a partir do outro. Na ausência do outro, o homem não se constrói homem. Nessa perspectiva, a formação se dá na relação entre o sujeito e a sociedade a seu redor. Dessa forma, o indivíduo modifica o ambiente e este o modifica de volta.
Em nossa experiência docente, observamos que, quando ministramos aulas de Matemática por meio da Modelagem Matemática na Educação Infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental, as crianças apresentam os conceitos espontâneos, nos quais elas não estão plenamente conscientes de seus pensamentos, o seu olhar está voltado para o objeto, daí a importância de se trabalhar com o concreto, no caso da contagem e as operações matemáticas.
Para os estudantes do Ensino Fundamental (anos finais), Ensino Médio e Superior, podemos enfatizar os conceitos científicos, pois já apresentam maturidade e nível de conhecimento necessário para uma compreensão mais aprofundada acerca dos conceitos matemáticos que serão trabalhados nas atividades de modelagem, por exemplo, o conceito de função afim. Daí a importância de o docente realizar atividades nas quais o estudante não apenas apresente a resposta, mas consiga, de forma consciente e crítica, justificá-la.
Quando um professor faz uso da Modelagem Matemática, seja qual for o nível de ensino, está contribuindo para que os estudantes percebam que a disciplina Matemática pode fazer sentido na vida deles, tornando-os mais críticos e instigando-os pela busca do conhecimento científico.
Vygostky (1987; 2000; 2010), no que diz respeito ao pensamento e linguagem, pode oferecer importantes contribuições para a Modelagem Matemática, no sentido de que quando o estudante está resolvendo um problema, preferencialmente de forma colaborativa, em pequenos grupos, a comunicação entre os pares é essencial. O uso da linguagem materna e da linguagem matemática se faz presente em suas interações sociais na atividade didática, como defende Machado (1994), fazendo com que esse estudante desenvolva competências (BRASIL, 2018) que lhe confiram domínio seguro sobre o conteúdo matemático sobre o qual está interagindo com colegas e com o próprio professor.
O processo de aprendizagem matemática, por meio da modelagem, deve ser mediado, seja pelo professor ou até pelos colegas de classe que já tenham amadurecido ou aprendido tais conceitos matemáticos. Em suma, a partir dos conceitos matemáticos que já foram amadurecidos (zona de desenvolvimento real) podemos, na/pela mediação, contribuir para potencializar o nível de desenvolvimento próximo, isto é, os que ainda não amadureceram.
Vygotsky (1987; 1996), influenciado pelo pensamento marxista, sobretudo quanto ao materialismo histórico e dialético, o define como sendo um método de interpretação da realidade, uma realidade intrinsecamente dinâmica e contraditória, se alimentando dialeticamente de novas descobertas e de novos questionamentos. Por meio desses novos questionamentos, novas saberes são construídos individual e coletivamente.
Esse método subentende que a nossa realidade objetiva é histórica, diacrônica, acompanhada atenta e participativamente ao longo da história. Isso permite que possamos analisar a nossa realidade como um processo em desenvolvimento. Por isso é necessário compreender nossas vivências em uma sociedade que aliena e que é alienada a fim de desconstruí-la com e pelo pensamento crítico.
Os estudantes precisam ter consciência da sociedade em que vivem e do modelo capitalista no qual estão inseridos e, principalmente, que com o passar do tempo eles não serão mais os mesmos, estarão em processo de constante mudança, por se considerar sua constituição enquanto sujeito inacabada, inconclusa. Nesse contexto, questionamos: qual a contribuição dessas ideias para a Modelagem Matemática?
É necessário que os próprios docentes se apropriem desses estudos e ousem, municiados e constituídos nos/pelos e com os recursos das metodologias ativas propostas na BNCC (BRASIL, 2018). D’Ambrosio (2012, p. 95) assevera que:
Ao começar a aula, o professor tem uma grande liberdade de ação. Dizer que não dá para fazer isso ou aquilo é desculpa. Muitas vezes é difícil fazer o que se pretende, mas cair numa rotina é desgastante para o professor. [...] Nenhum profissional deve fazer a mesma coisa por mais de quatro ou cinco anos. A aparente aquisição de uma rotina de execução conduz à falta de criatividade e consequentemente à ineficiência, mas o que é mais grave é o estresse [...]. A Organização Internacional do Trabalho indica ser o magistério uma das profissões mais estressantes.
Os problemas matemáticos realistas, contextualizados no universo de interesses dos estudantes, alinhados às necessidades da comunidade local, com o auxílio da modelagem, permitem o desenvolvimento da materacia4 (D’AMBROSIO, 2012; SKOVSMOSE, 2014).
O objetivo maior dos processos de ensino e aprendizagem é propiciar condições para o desenvolvimento de cidadãos conhecedores da sua história, que refletem criticamente (SKOVSMOSE, 2014; 2018) e são capazes de lutar pela construção de uma sociedade melhor.
Procuramos refletir como as ideias de Vygotsky podem contribuir sobremaneira para auxiliar as práticas dos professores no âmbito da Modelagem Matemática, psicólogo este influenciado pelas ideias de Marx, em relação ao materialismo histórico e dialético,
4 D’Ambrosio entende materacia como a capacidade de interpretar e manejar sinais e códigos e de propor e utilizar modelos na vida cotidiana.
evidenciando sua importância para a educação matemática crítica. Apresentarmos aos estudantes uma Matemática viva, dinâmica, centrada em sua realidade, de forma significativa para eles, ou seja, que na e pela relação com ela e com o outro possam produzir sentidos na escola e em outros espaços sociais.
Pretendemos, assim, contribuir para o desenvolvimento de estudantes autônomos, capazes de pensar, de refletir, de conhecer sua história e o contexto em que vivem e discutir sobre e com ele, capazes de lutar por equidade na sociedade capitalista à qual estão inseridos e que ainda vislumbrar a igualdade social.
Docentes e discentes precisam trabalhar de modo colaborativo. Esperamos que este trabalho auxilie os professores que ensinam Matemática, enquanto planejamento em todos os níveis de ensino, para uma formação da cidadania. Quando um professor conhece a realidade de seu estudante, os processos de ensino e de aprendizagem fluem de maneira mais construtiva, pois o discente sente-se à vontade para compartilhar suas dúvidas, suas emoções, suas conquistas, seus anseios e até mesmo seus temores, o que se mostra de extrema importância no contexto atual vivenciado no mundo pela pandemia da COVID-19.
O educador e o educando precisam reconhecer e assumir seus papéis na sociedade, compreendendo a relevância do ensino e da aprendizagem matemática nesse empoderamento. Acreditamos, assim, contribuir para uma melhor aceitação da Matemática em suas vidas, pontualmente, pela compreensão de sua importância na escola e em outros contextos históricos e sociais.
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CONTRIBUIÇÕES DO PENSAMENTO VYGOTSKIANO PARA A MODELAGEM MATEMÁTICA
CONTRIBUTIONS OF VYGOTSKIAN THOUGHT TO MATHEMATICAL MODELING
Ady Wallace Jaques SILVA1 Roberta Modesto BRAGA2 Cassio Cristiano GIORDANO3
RESUMO: O presente estudo é um ensaio teórico que analisa possíveis contribuições das ideias de Lev Vygotsky para o ensino de Matemática, por meio da modelagem. Para ele, o contexto histórico-cultural molda o elemento psicológico, determinando a maneira de pensar. Pessoas de diferentes culturas apresentam distintos perfis psicológicos. As funções psicológicas são desenvolvidas ao longo do tempo e mediadas pela interação social, através de símbolos culturais. A linguagem está relacionada à cultura e depende dos fatores sociais. Os conceitos são historicamente construídos e internalizados de maneira particular pelos indivíduos, de forma ampla, integrada, holística e dinâmica. Tais princípios podem contribuir para uma maior compreensão da Modelagem Matemática, uma vez que ela parte
de situações apresentadas por problemas reais, alinhados às vivências dos estudantes, levando estes a assumir o protagonismo nesse processo, na medida em que desenvolvem um modelo matemático em um ambiente de aprendizagem no qual a interação se faz presente.
PALAVRAS-CHAVE: Processo histórico-cultural. Funções psicológicas. Modelagem matemática.
ABSTRACT: The present study is a theoretical essay that analyzes possible contributions of Lev Vygotsky's ideas to the teaching of Mathematics, through modeling. For him, the historical-cultural context shapes the psychological element, determining the way of thinking. People from different cultures have different psychological profiles. Psychological functions are developed over time and mediated by social interaction, through cultural symbols. Language is related to culture and depends on social factors. Concepts are historically constructed and internalized in a particular way by individuals, in a broad, integrated, holistic and dynamic way. Such principles can contribute to a greater understanding of Mathematical Modeling, since it starts from situations presented with real problems, aligned with the students' experiences leading them to assume the protagonism in this process, as they develop a mathematical model, in an environment of learning in which the interaction is present.
KEYWORDS: Historical-cultural process. Psychological functions. Mathematical modeling.
La enseñanza de las matemáticas en Brasil se ha enfrentado a muchos retos en las últimas décadas, tanto en lo que se refiere a los propios procesos de enseñanza y aprendizaje, como a la forma en que la asignatura es vista por la sociedad en general. Cuando un profesor, frente a cuarenta alumnos en un aula, hace la siguiente pregunta: "¿Qué asignatura te gusta más?", según nuestra experiencia docente, sobre todo en los últimos cursos de primaria y bachillerato, rara vez se mencionan las matemáticas. En este trabajo, hacemos algunas consideraciones sobre algunos conceptos centrales de la obra del psicólogo ruso Lev Semionovich Vygotsky, con el fin de ayudar a los profesores que enseñan Matemáticas a desarrollar estrategias de enseñanza que impliquen la modelización.
Según Vygotsky (1996; 2000; 2001), es el aprendizaje colectivo el que promoverá el desarrollo humano, ya que el hombre es un ser social, fruto de un agregado de interacciones sociales e históricas. La relación del hombre con el mundo no es directa, sino mediada por instrumentos y signos. El autor destaca la importancia del pensamiento y del lenguaje (refiriéndose especialmente al habla, al discurso) en esta relación. También destaca en su
obra, los conceptos espontáneo y científico, el llamado método inverso, el nivel de desarrollo actual (real), el desarrollo potencial y el desarrollo próximo, o zona de desarrollo próximo.
En nuestro análisis, adoptaremos como referencia teórica algunas ideas de Vygotsky, en la perspectiva de la Psicología Marxista, así como grandes referencias en el campo de la Modelización Matemática, como: Bassanezi (1999), Burak (1999), Biembengut (2000), y Barbosa (2004). Consideramos, a la luz de estas referencias teóricas, la Modelización Matemática como una estrategia didáctica viable, ya sea en la Educación Básica, como está previsto en la Base Curricular Nacional Común - BNCC (BRASIL, 2018), ya sea en la Educación Superior.
Hacemos uso de las ideas de Vygotsky, en un intento de cambiar la percepción descontextualizada y negativa de las Matemáticas que manifiestan la mayoría de los alumnos. Consideramos que este cambio es esencial para el éxito de las prácticas educativas en esta disciplina, ya que el estudiante es el sujeto principal en la apropiación del conocimiento en los procesos de enseñanza y aprendizaje, teniendo en cuenta su contexto cultural-histórico, a través de su interacción con los compañeros. También hacemos hincapié en un punto básico:
¿cómo se han planteado los problemas matemáticos? Son acordes con la realidad de estos alumnos, punto clave para el aprendizaje significativo, contribuyendo a la formación de sujetos autónomos y críticos, en la perspectiva de Skovsmose (2014; 2018)?
Presentaremos, a priori, algunos conceptos de este psicólogo que tiene sus raíces inspiradas en Karl Marx, más precisamente en el materialismo histórico-dialéctico, uno de los principales métodos de análisis sociológico respecto a la lucha de clases sociales. Vygotsky (1987; 1996) enfatiza el papel de la cultura en el proceso de cognición, ya que no es vista como algo estático, por el contrario, sufre un proceso de transformación y aportará como concepto básico respecto a su pensamiento, lo que él llama dialéctica. Es decir, la forma en que el hombre actúa sobre y con el mundo, produciendo así la cultura, y esta cultura, actuando sobre y con el hombre, transformándolo. Este autor creó el concepto de mediación, descrito así como una experiencia social que requiere la participación y la colaboración, tanto de los alumnos como de los profesores.
Cuando se trata de desarrollo y aprendizaje, a diferencia de la idea de Piaget, cuyo trabajo se centra en el proceso de desarrollo individual como generador de condiciones para el aprendizaje (LA TAILLE; OLIVEIRA; DANTAS, 2019), Vygotsky asume que el aprendizaje
genera desarrollo y no lo contrario. Debemos destacar aquí que este autor no niega las condiciones biológicas como se ha pensado ampliamente, sólo que no se basa en una perspectiva biológica para reconocer el papel del niño en el mundo.
Vygotsky (2010) hace hincapié en las llamadas funciones psicológicas superiores o específicamente humanas, que están mediadas por la cultura. El hombre no es siempre el mismo, va a cambiar, a transformarse a lo largo del proceso histórico. Para entender la relación entre el desarrollo y el aprendizaje, es necesario comprender lo que llamamos el nivel de desarrollo actual o real, es decir, lo que el niño puede realizar solo, que caracteriza el desarrollo mental retrospectivo, las funciones ya maduradas; así como la zona de desarrollo próximo, caracterizada por el desarrollo mental prospectivo, las abstracciones, las funciones que aún no han madurado. Todavía en este nivel, el niño es capaz de realizar una tarea con la ayuda de un adulto o en cooperación con otros que ya han comprendido dicho problema, como se ilustra en la figura siguiente:
Fuente: Brasil (s/a)
En cuanto a la mediación, Vygotsky (2000; 2010) destaca dos elementos mediadores que son los instrumentos y los signos, eslabones más en esta relación de desarrollo e intercambio que se dan entre el individuo y el entorno en el que está inserto.
En los signos, por ejemplo, está la capacidad de representar el mundo, son las representaciones mentales que sustituyen al objeto ausente, por ejemplo: el lenguaje, la producción científica, la construcción de ideas y conceptos. Este autor rompe con la idea de la relación estímulo-respuesta. Para él, entre estos dos factores hay un proceso de mediación que actuará en el pensamiento del niño conduciendo luego a una respuesta. A partir de esta mediación es que debemos reflexionar sobre los procesos educativos en cuanto al papel del
maestro y los sujetos que están presentes en el entorno de vida del niño, un método llamado doble estimulación.
En cuanto al pensamiento y el lenguaje, Vygotsky (1987; 2000) trabaja con el supuesto de que el lenguaje es un objeto de estudio primordial. Trabaja con dos funciones del lenguaje, que son: la comunicación, donde las personas desarrollan el lenguaje para comunicarse, es decir, el lenguaje nace como una forma de comunicación; y la generalización del pensamiento, que es donde el lenguaje encaja con el pensamiento. Es en esta segunda función donde la relación entre el pensamiento y el lenguaje se hace fuerte. El uso del lenguaje implica una comprensión generalizada del mundo. El psicólogo afirma, además, que el primer uso del lenguaje es lo que él llama el habla socializada, que es el habla del niño con los demás y para los demás, y también destaca el llamado habla interior, es decir, el habla para mí.
En cuanto al estudio de la formación de conceptos, Vygotsky (1987; 1996; 2000) diferencia entre conceptos espontáneos y conceptos científicos. El primero se identifica como no consciente del acto de pensar, la atención siempre está relacionada con el objeto, es decir, con lo concreto. El segundo concepto se refiere a la conciencia, sin embargo, para el psicólogo, esta conciencia sólo se produce si el niño es capaz de explicar cómo hace algo.
No podemos pensar en el desarrollo de los conceptos sin tener en cuenta el contexto en el que vivimos, porque sería una forma de pensar sin vida y sin los aspectos históricos, sociales y culturales que constituyen dichos procesos en la relación individual y colectiva del sujeto.
En este apartado presentamos el concepto de Modelización Matemática desde la perspectiva de algunos de los principales referentes nacionales, por ser una de las metodologías activas recomendadas por el BNCC (BRASIL, 2018), alternativa más dinámica, que pone a los estudiantes como protagonistas en el proceso de apropiación del conocimiento. La modelización está presente en nuestra civilización desde los primeros tiempos, se considera tan antigua como las propias matemáticas. Iniciamos nuestra reflexión con el concepto de Modelización Matemática anclado en Bassanezi (2011), quien lo utiliza en el sentido de transformar problemas de la realidad en problemas matemáticos y resolverlos
interpretando sus soluciones en el lenguaje del mundo real.
La Modelización Matemática de una situación o problema presentada a los alumnos presenta una secuencia de pasos que se visualizarán en el esquema de la figura siguiente:
Fuente: Bassanezi (2011, p. 27)
Los pasos propuestos por Bassanezi (2011) son: la experimentación, la abstracción, la resolución, la validación y la modificación, que ayudarán a los estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ayudando también a la práctica docente.
Según Bassanezi (1999), la Modelización consiste en un proceso de elaboración de modelos realistas definidos por estrategias de acción de cada individuo sobre una realidad dada, impregnada de interpretaciones e intersubjetividades peculiares de cada modelador.
Seguiremos con Biembengut (1999). En su opinión, la modelización matemática es un medio en el que interactúan dos conjuntos disjuntos: las matemáticas y la realidad. Es el proceso que implica la obtención de un modelo, despertando así en los alumnos el interés por aprender contenidos matemáticos que antes desconocían.
Fuente: Adaptado de Biembengut (1999)
Biembengut (1999) divide estos procedimientos en tres etapas, denominadas por el autor interacción con el sujeto, la matematización y, finalmente, el llamado Modelo Matemático. Estas tres etapas se subdividirán en seis sub-etapas que veremos en la secuencia.
En este enfoque, es necesario el reconocimiento de la situación del problema y la familiarización con el tema a modelar. En esta primera etapa se define el tema a estudiar. En la segunda etapa, la matematización consiste en las sub-etapas de formulación del problema (las hipótesis) y la resolución del problema expuesto. Es una etapa que supondrá un reto para el alumno. La creatividad y las experiencias que los alumnos aportan de su vida son de suma importancia en esta traducción del problema real al lenguaje matemático. La tercera y última etapa, denominada Modelo Matemático, tiene como sub-etapas la interpretación de la solución y su validación, ya que es necesario verificar si la solución encontrada satisface las condiciones del problema expuesto, de no ser así, el proceso debe volver a la segunda etapa, reorganizándose.
Dionisio Burak (2004) entiende la Modelización Matemática como una metodología alternativa para la enseñanza de las Matemáticas, centrada en el interés de los implicados en el proceso. Por otra parte, Burak (2004) señala como sugerencia que las actividades de modelización deben realizarse teniendo en cuenta cinco etapas diferentes: elección del tema; investigación exploratoria; estudio de los problemas; resolución del (de los) problema(s) y desarrollo de las matemáticas relacionadas con el tema; análisis crítico de la(s) solución(es). El autor afirma que:
La modelización matemática es un conjunto de procedimientos cuyo objetivo es construir un paralelismo para tratar de explicar, matemáticamente, los fenómenos presentes en la vida cotidiana del ser
humano, ayudándole a hacer predicciones y a tomar decisiones (BURAK, 1992, p. 62).
Barbosa (2004) y Barbosa, Caldeira y Araújo (2007), subrayan que la Modelización Matemática es en el sentido de ser un ambiente de aprendizaje en el que los estudiantes serán invitados a investigar y problematizar a través de las Matemáticas las situaciones de la realidad. Para estos autores, una actuación que se denomine Modelización Matemática necesita básicamente presentar dos características: la primera es que se trate de un problema realista, de gran interés para los alumnos, sobre el que éstos no tengan ningún esquema previo de resolución, necesitando elaborarlo en el proceso de la propia modelización; la segunda es que dicho problema sea externo a las matemáticas, es decir, que la modelización se centre en problemas a priori externos a esta disciplina.
Uno de los puntos a destacar de la modelización es que los alumnos no sólo resolverán los problemas propuestos, sino que participarán en la elaboración de/en y a través de los procesos de aprendizaje, llevando a los alumnos a un mayor interés por la materia, más que eso, mostrando también el papel de las matemáticas en la sociedad.
Barbosa (2004, p. 04) añade que: "Los alumnos tienen un poco más de participación, ya que, traen el problema y se integran en todos los pasos para resolver el problema, es decir, buscan información que permita la creación del modelo así como su validación".
Estamos de acuerdo con el autor, porque el proceso de modelización matemática sólo es posible si existe el compromiso del alumno. Se trata de un trabajo de autor, que contempla lo que prescribe el BNCC (BRASIL, 2018), en el sentido de promover el protagonismo del estudiante a través de metodologías didácticas activas.
En este tercer apartado, buscamos articular los conceptos ya presentados del pensamiento vygotskiano con la Modelización Matemática, como una propuesta alternativa tanto para la planificación docente como para las prácticas de aula.
El profesor que enseña Matemáticas debe considerar el supuesto de que el alumno es fruto del contexto histórico-cultural en relación con el entorno en el que vive. Así, no podemos entender que todos los alumnos aprenden de la misma manera y al mismo ritmo (BRASIL, 2018). La cultura y la socialización desempeñan un papel crucial en su desarrollo porque, para Vygotsky, sólo se aprende del otro. En ausencia del otro, el hombre no se
convierte en hombre. Desde esta perspectiva, la formación se produce en la relación entre el sujeto y la sociedad que le rodea. De este modo, el individuo modifica el entorno y el entorno le modifica a él.
En nuestra experiencia docente, hemos observado que, cuando enseñamos matemáticas a través de la Modelización Matemática en el Jardín de Infancia y en los primeros años de Primaria, los niños tienen conceptos espontáneos, en los que no son plenamente conscientes de sus pensamientos, su mirada se centra en el objeto, de ahí la importancia de trabajar con lo concreto, en el caso del conteo y las operaciones matemáticas.
Para los alumnos de Primaria (últimos cursos), Secundaria y Bachillerato, podemos hacer hincapié en los conceptos científicos, porque ya presentan la madurez y el nivel de conocimientos necesarios para una comprensión más profunda sobre los conceptos matemáticos que se trabajarán en las actividades de modelización, por ejemplo, el concepto de función afín. De ahí la importancia de que el profesor realice actividades en las que el alumno no sólo presente la respuesta, sino que pueda, consciente y críticamente, justificarla.
Cuando un profesor hace uso de la Modelización Matemática, sea cual sea el nivel educativo, está contribuyendo a que los alumnos se den cuenta de que las Matemáticas pueden tener sentido en sus vidas, haciéndoles más críticos e instigándoles a buscar el conocimiento científico.
Vygostky (1987; 2000; 2010), en relación con el pensamiento y el lenguaje, puede ofrecer importantes aportaciones a la Modelización Matemática, en el sentido de que cuando el alumno está resolviendo un problema, preferentemente de forma colaborativa, en pequeños grupos, la comunicación entre compañeros es fundamental. El uso de la lengua materna y del lenguaje matemático está presente en sus interacciones sociales en la actividad didáctica, como argumenta Machado (1994), haciendo que este alumno desarrolle habilidades (BRASIL, 2018) que le dan un dominio seguro sobre el contenido matemático sobre el que está interactuando con sus compañeros y con el propio profesor.
El proceso de aprendizaje matemático, a través del modelado, debe ser mediado, bien por el profesor o incluso por compañeros que ya hayan madurado o aprendido dichos conceptos matemáticos. En definitiva, desde los conceptos matemáticos que ya han madurado (zona de desarrollo real) podemos, a través de la mediación, contribuir a potenciar el siguiente nivel de desarrollo, es decir, los que aún no han madurado.
Vygotsky (1987; 1996), influenciado por el pensamiento marxista, especialmente en lo que respecta al materialismo histórico y dialéctico, lo define como un método de interpretación de la realidad, una realidad intrínsecamente dinámica y contradictoria,
alimentándose dialécticamente de nuevos descubrimientos y nuevos cuestionamientos. A través de estos nuevos cuestionamientos, se construyen nuevos conocimientos de forma individual y colectiva.
Este método implica que nuestra realidad objetiva es histórica, diacrónica, seguida atenta y participativamente a lo largo de la historia. Esto nos permite analizar nuestra realidad como un proceso en desarrollo. Por lo tanto, es necesario comprender nuestras experiencias en una sociedad que aliena y es alienada para deconstruirla con y a través del pensamiento crítico.
Los alumnos necesitan ser conscientes de la sociedad en la que viven y del modelo capitalista en el que están insertos y, principalmente, de que con el paso del tiempo ya no serán los mismos, estarán en un proceso de cambio constante, por considerar su constitución como materia inacabada, inconclusa. En este contexto, nos preguntamos: ¿cuál es la aportación de estas ideas para la modelización matemática?
Es necesario que los propios profesores se apropien de estos estudios y se atrevan, armados y constituidos en/por y con los recursos de las metodologías activas propuestas en BNCC (BRASIL, 2018). D'Ambrosio (2012, p. 95) afirma que:
Al comenzar una lección, el profesor tiene una gran libertad de acción. Decir que no puedes hacer esto o aquello es sólo una excusa. A menudo es difícil hacer lo que uno quiere, pero caer en la rutina es agotador para el profesor. [Ningún profesional debería hacer lo mismo durante más de cuatro o cinco años. La aparente adquisición de una rutina de ejecución conduce a la falta de creatividad y, en consecuencia, a la ineficacia, pero lo más grave es el estrés [...]. La Organización Internacional del Trabajo indica que la enseñanza es una de las profesiones más estresantes.
Problemas matemáticos realistas, contextualizados en el universo de intereses de los estudiantes, alineados con las necesidades de la comunidad local, con la ayuda de la modelización, permiten el desarrollo de la materiaficia (D'AMBROSIO, 2012; SKOVSMOSE, 2014).
El objetivo último de los procesos de enseñanza y aprendizaje es proporcionar condiciones para el desarrollo de ciudadanos que conozcan su historia, que reflexionen críticamente (SKOVSMOSE, 2014; 2018) y que sean capaces de luchar por la construcción de una sociedad mejor.
Tratamos de reflejar cómo las ideas de Vygotsky pueden contribuir en gran medida a ayudar a las prácticas de los profesores en el ámbito de la Modelización Matemática, psicólogo influenciado por las ideas de Marx, en relación con el materialismo histórico y dialéctico, evidenciando su importancia para la educación matemática crítica. Presentamos a los alumnos una Matemática viva, dinámica, centrada en su realidad, de manera significativa para ellos, es decir, que en y a través de la relación con ella y con el otro puedan producir sentidos en la escuela y en otros espacios sociales.
Pretendemos, así, contribuir al desarrollo de estudiantes autónomos, capaces de pensar, reflexionar, conocer su historia y el contexto en el que viven y discutir sobre y con ella, capaces de luchar por la equidad en la sociedad capitalista en la que están insertos y que aún vislumbran la igualdad social.
Los profesores y los alumnos deben trabajar en colaboración. Esperamos que este trabajo ayude a los profesores que enseñan Matemáticas, a la vez que planifican en todos los niveles educativos, para una formación de la ciudadanía. Cuando un profesor conoce la realidad de su alumno, los procesos de enseñanza y aprendizaje fluyen de manera más constructiva, porque el alumno se siente a gusto para compartir sus dudas, sus emociones, sus logros, sus anhelos y hasta sus miedos, lo cual es de suma importancia en el contexto actual que se vive en el mundo por la pandemia del COVID-19.
El educador y el estudiante deben reconocer y asumir su papel en la sociedad, comprendiendo la relevancia de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en este empoderamiento. Creemos, así, contribuir a una mejor aceptación de las Matemáticas en sus vidas, puntualmente, comprendiendo su importancia en la escuela y en otros contextos históricos y sociales.
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https://doi.org/10.21723/riaee.v16iesp.3.15305
CONTRIBUIÇÕES DO PENSAMENTO VYGOTSKIANO PARA A MODELAGEM MATEMÁTICA
CONTRIBUCIONES DEL PENSAMIENTO VYGOTSKIANO AL MODELAJE MATEMÁTICO
Ady Wallace Jaques SILVA1 Roberta Modesto BRAGA2 Cassio Cristiano GIORDANO3
RESUMO: O presente estudo é um ensaio teórico que analisa possíveis contribuições das ideias de Lev Vygotsky para o ensino de Matemática, por meio da modelagem. Para ele, o contexto histórico-cultural molda o elemento psicológico, determinando a maneira de pensar. Pessoas de diferentes culturas apresentam distintos perfis psicológicos. As funções psicológicas são desenvolvidas ao longo do tempo e mediadas pela interação social, através de símbolos culturais. A linguagem está relacionada à cultura e depende dos fatores sociais. Os conceitos são historicamente construídos e internalizados de maneira particular pelos indivíduos, de forma ampla, integrada, holística e dinâmica. Tais princípios podem contribuir para uma maior compreensão da Modelagem Matemática, uma vez que ela parte de situações apresentadas por problemas reais, alinhados às vivências dos estudantes,
levando estes a assumir o protagonismo nesse processo, na medida em que desenvolvem um modelo matemático em um ambiente de aprendizagem no qual a interação se faz presente.
PALAVRAS-CHAVE: Processo histórico-cultural. Funções psicológicas. Modelagem matemática.
RESUMEN: El presente estudio es un ensayo teórico que analiza las posibles contribuciones de las ideas de Lev Vygotsky a la enseñanza de las matemáticas, a través de la modelización. Para él, el contexto histórico-cultural configura el elemento psicológico, determinando la forma de pensar. Las personas de diferentes culturas tienen diferentes perfiles psicológicos. Las funciones psicológicas se desarrollan a lo largo del tiempo y están mediadas por la interacción social, a través de símbolos culturales. El lenguaje está relacionado con la cultura y depende de factores sociales. Los conceptos son históricamente construidos e internalizados de manera particular por los individuos, de una manera amplia, integrada, holística y dinámica. Dichos principios pueden contribuir a una mayor comprensión de la modelización matemática, ya que se parte de situaciones que se presentan con problemas reales, alineados con las experiencias de los estudiantes llevándolos a asumir el protagonismo en este proceso, a medida que desarrollan un modelo matemático, en un ambiente de aprendizaje, en el que la interacción está presente.
PALABRAS CLAVE: Proceso histórico-cultural. Funciones psicológicas. Modelización matemática.
The teaching of Mathematics in Brazil has faced many challenges in recent decades, both regarding the teaching and learning processes themselves, as well as the way in which the discipline is viewed by society in general. When a teacher, faced with forty students in a classroom, asks the following question: “Which subject do you like best?”, according to our teaching experience, especially in the final years of Elementary School and in Education Medium, Mathematics is rarely mentioned. In this work, we make some considerations about some central concepts in the work of Russian psychologist Lev Semionovich Vygotsky, to help teachers who teach Mathematics to develop teaching strategies involving modeling.
According to Vygotsky (1996; 2000; 2001), it is collective learning that will promote human development, since man is a social being, the result of an aggregate of social and historical interactions. Man's relationship with the world is not direct but mediated by instruments and signs. The author emphasizes the importance of thought and language (especially referring to speech, speech) in this relationship. He also highlights, in his work, the spontaneous and scientific concepts; the so-called inverse method; the current (actual)
level of development, potential development and near development, or zone of proximal development.
In our analysis, we will adopt as theoretical framework some of Vygotsky's ideas, from the perspective of Marxist Psychology, as well as major references in the Mathematical Modeling field, such as: Bassanezi (1999), Burak (1999), Biembengut (2000), and Barbosa (2004). Considering these theoretical frameworks, we consider Mathematical Modeling as a viable teaching strategy, whether in Basic Education, as provided for in the National Common Curricular Base - BNCC (BRASIL, 2018), or in Higher Education.
We made use of Vygotsky's ideas, in an attempt to change the decontextualized and negative perception of Mathematics manifested by most students. We consider this change essential for the success of educational practices in this discipline, since it is the main subject in the appropriation of knowledge in the teaching and learning processes, considering its historical-cultural context, through its interaction with peers. We also emphasize a basic point: how have mathematical problems been approached? Are they in line with the reality of these students, a key point for meaningful learning, contributing to the formation of autonomous and critical subjects, in the perspective of Skovsmose (2014; 2018)?
We will present, a priori, some concepts of this psychologist that has his roots inspired by Karl Marx, more precisely in the historical-dialectical materialism, one of the main methods of sociological analysis regarding the struggle of social classes. Vygotsky (1987; 1996) emphasizes the role of culture in the cognition process, as it is not seen as something static, on the contrary, it goes through a transformation process and will bring as a basic concept about its thinking, what he calls it dialectic. That is, the way in which man acts on and with the world, thus producing culture, and this culture, acting on and with man, transforming him. This author created the concept of mediation, thus described as a social experience that requires participation and collaboration from both students and teachers.
When it comes to development and learning, unlike Piaget's idea, whose focus of the work is on the individual development process as a generator of conditions for learning (LA TAILLE; OLIVEIRA; DANTAS, 2019), Vygotsky assumes that learning generates development and not the other way around. We must emphasize here that this author does not deny biological conditions, as has been widely thought, he just does not rely on a biological perspective to recognize the role of the child in the world.
Vygotsky (2010) emphasizes the so-called superior or specifically human psychological functions, which are mediated by culture. Man is not always the same, man is changing, transforming throughout the entire historical process. To understand the relationship between development and learning, it is necessary to understand what we call the current or real level of development, that is, what the child can accomplish alone, which characterizes mental development retrospectively, the functions already mature; as well as the zone of proximal development, characterized by prospective mental development, abstractions, functions that have not yet matured. Even at this level, the child can perform a task with the help of an adult or in cooperation with others who have already understood the problem, as illustrated in the figure below:
REAL DEVELOPMENT ZONE
The problem is solved individually
Distance between
POTENTIAL DEVELOPMENT ZONE
The problem is solved with help
Source: Brasil (n/y)
In relation to mediation, Vygotsky (2000; 2010) highlights two mediating elements that are instruments and signs, which are additional links in this relationship of development and exchange that take place between the individual and the environment in which they are inserted.
In signs, for example, there is the ability to represent the world, it is the mental representations that replace the absent object, for example: language, scientific production, the construction of ideas and concepts. This author breaks with the idea of the stimulus- response relationship. For him, between these two factors there is a mediation process that will act on the child's thinking, leading to a response. Based on this mediation, we must reflect on the educational processes regarding the role of the teacher and the subjects who are present in the child's life, a method called double stimulation.
About thought and language, Vygotsky (1987; 2000) works with the assumption that language is a primordial object of study. It works with two functions of language, which are:
communication, in which people develop the language to communicate, that is, language is born as a form of communication; and generalizing thinking, which is where language fits with thought. It is in this second function that the relationship between thought and language becomes strong. The use of language implies a general understanding of the world. The psychologist also states that the first use of language is what he calls socialized speech, which is the child's speech with others and for others, and also highlights the so-called inner speech, that is, speech for me.
In terms of the study of concept formation, Vygotsky (1987; 1996; 2000) differentiates between spontaneous and scientific concepts. The first is identified as not being aware of the act of thinking, attention is always related to the object, that is, to the concrete. The second concept refers to awareness, however, for the psychologist, this awareness only occurs if the child can explain how to do something.
We cannot think about the development of concepts without considering the context in which we live, as it would be a lifeless way of thinking and without the historical, social and cultural aspects that constitute such processes in the individual and collective relationship of the subject.
In this section, we present the concept of Mathematical Modeling from the perspective of some of the main national references, as it is one of the active methodologies recommended by the BNCC (BRASIL, 2018), a more dynamic alternative, which places students as protagonists in the knowledge appropriation process.
Modeling has been present in our civilization since the beginning, it is considered as old as Mathematics itself. We start our reflection with the concept of Mathematical Modeling anchored in Bassanezi (2011), which uses it to transform reality problems into mathematical problems and solve them by interpreting their solutions in the language of the real world.
The Mathematical Modeling of a situation or problem presented to students presents a sequence of steps that will be visualized in the diagram in the figure below:
6 – Application
IV – Resolution
4 – Validation
II – Experimental Data
5 – Modification
3 – Solving: Analytical
and Numerical Study
Experimentation
III – Mathematical Model
2 – Abstraction
I – Non-mathematical
problem
Source: Bassanezi (2011, p. 27)
The steps proposed by Bassanezi (2011) are: experimentation, abstraction, resolution, validation and modification, which will help students in the teaching and learning process, also helping the teaching practice.
According to Bassanezi (1999), Modeling consists of the process of elaborating realistic models defined by the action strategies of each individual on a given reality, impregnated with the interpretations and intersubjectivities peculiar to each modeler.
We will continue with Biembengut (1999). In his view, Mathematical Modeling is a means in which two disjoint sets interact: Mathematics and reality. It is the process that involves obtaining a model, thus awakening in students the interest in learning mathematics content that they did not know before.
Mathematical Modeling
Model
Mathematics
Real situation
Source: Adapted from Biembengut (1999)
Biembengut (1999) divides these procedures into three stages, called by the author interaction with the subject, mathematization and, finally, the so-called Mathematical Model. These three steps will be subdivided into six sub-steps that we will see next.
In this approach, it is necessary to recognize the problem-situation and become familiar with the subject to be modeled. In this first step, the subject to be studied is defined. In the second stage, the mathematization consists of the sub-steps formulation of the problem (the hypotheses) and the resolution of the exposed problem. It is a stage that will challenge the student. The creativity and experiences that students bring from their lives are of paramount importance in this translation of the real problem into mathematical language. The third and last step, called the Mathematical Model, has as sub-steps the interpretation of the solution and its validation, since it is necessary to check whether the solution found satisfies the conditions of the problem exposed, if not, the process must return to the second step, being reorganized.
Dionísio Burak (2004) understands Mathematical Modeling as an alternative methodology for teaching Mathematics, centered on the interest of those involved in the process. Furthermore, Burak (2004) suggests as a suggestion that modeling activities be carried out considering five different stages: choice of theme; exploratory research; survey of problems; resolution of the problem(s) and the development of Mathematics related to the theme; critical analysis of the solution(s). The author says that:
Mathematical Modeling is a set of procedures whose objective is to build a parallel to try to explain, mathematically, the phenomena present in the daily life of human beings, helping them to make predictions and make their decisions (BURAK, 1992, p. 62, our translation).
Barbosa (2004) and Barbosa, Caldeira and Araújo (2007) underline that Mathematical Modeling is in the sense of being a learning environment in which students will be invited to investigate and problematize situations of reality through Mathematics. For these authors, an action to be called Mathematical Modeling needs to present two characteristics: the first is to be a realistic problem, of great interest to students, about which students have no previous scheme for resolution, needing to elaborate it. in the process of modeling itself; the second is that such a problem is external to mathematics, that is, the modeling deals with problems that are a priori external to this discipline.
One of the points to highlight about modeling is that students will not only solve the proposed problems but will participate in the development of and in the learning processes,
leading the students to a greater interest in the discipline, more than that, also showing the role of Mathematics in society.
Barbosa (2004, p. 04, our translation) adds that: “Students have a little more participation, as they bring the problem and integrate in all stages to solve the problem, that is, they seek information that enables the creation of the model, as well as its validation”.
We agree with the author, as the Mathematical Modeling process is only possible if there is student engagement. It is an authorial work, which contemplates what the BNCC prescribes (BRASIL, 2018), in the sense of promoting student protagonism through active teaching methodologies.
In this third section, we seek to articulate the concepts already presented from Vygotskian thought with Mathematical Modeling, as an alternative proposal both for teacher planning and for classroom practices.
The teacher who teaches Mathematics needs to consider the assumption that the student is the result of the historical-cultural context in relation to the environment in which they live. Thus, we cannot understand that all students learn in the same way and at the same pace (BRASIL, 2018). Culture and socialization play a crucial role in its development because, for Vygotsky, there is only learning from the other. In the absence of the other, man does not build himself as a man. From this perspective, formation takes place in the relationship between the subject and the society around him. In this way, the individual changes the environment and the environment change it back.
In our teaching experience, we observe that, when we teach Mathematics classes through Mathematical Modeling in Kindergarten and early years of Elementary School, children present spontaneous concepts, in which they are not fully aware of their thoughts, their gaze is object-oriented, hence the importance of working with concrete, in the case of counting and mathematical operations.
For elementary school students (final years), high school and college, we can emphasize scientific concepts, as they already have the maturity and level of knowledge necessary for a deeper understanding of the mathematical concepts that will be worked on in modeling activities, for example, the concept of affine function. Hence the importance of the teacher carrying out activities in which the student not only presents the answer, but also manages, in a conscious and critical way, to justify it.
When a teacher makes use of Mathematical Modeling, whatever the level of education, they are helping students to realize that the Mathematics discipline can make sense in their lives, making them more critical and instigating them to search for scientific knowledge.
Vygostky (1987; 2000; 2010), regarding thought and language, can offer important contributions to Mathematical Modeling, in the sense that when the student is solving a problem, preferably collaboratively, in small groups, communication between peers is essential. The use of mother tongue and mathematical language is present in their social interactions in the didactic activity, as Machado (1994) argues, making these students develop skills (BRASIL, 2018) that give them a secure mastery of the mathematical content about the which is interacting with colleagues and with the teacher himself.
The mathematical learning process, through modeling, must be mediated, either by the teacher or even by classmates who have already matured or learned such mathematical concepts. In short, from mathematical concepts that have already matured (real development zone) we can, in/through mediation, contribute to potentialize the next level of development, that is, those that have not yet matured.
Vygotsky (1987; 1996), influenced by Marxist thought, especially regarding historical and dialectical materialism, defines it as a method of interpreting reality, an intrinsically dynamic and contradictory reality, dialectically feeding on new discoveries and new questions. Through these new questions, new knowledge is built individually and collectively. This method implies that our objective reality is historical, diachronic, followed attentively and participatively throughout history. This allows us to analyze our reality as an evolving process. Therefore, it is necessary to understand our experiences in a society that
alienates and is alienated to deconstruct it with and through critical thinking.
Students need to be aware of the society they live in and the capitalist model in which they are inserted and that over time they will no longer be the same, they will be in a process of constant change, considering their constitution as a unconcluded subject, unfinished. In this context, we ask: what is the contribution of these ideas to Mathematical Modeling?
It is necessary that the professors themselves take ownership of these studies and dare, armed and constituted in/by and with the resources of the active methodologies proposed in the BNCC (BRASIL, 2018). D'Ambrosio (2012, p. 95, our translation) asserts that:
When starting the class, the teacher has great freedom of action. Saying you cannot do this or that is an excuse. It is often difficult to do what is intended but falling into a routine is exhausting for the teacher. [...] No professional
should do the same thing for more than four or five years. The apparent acquisition of an execution routine leads to lack of creativity and consequently to inefficiency, but what is more serious is stress [...]. The International Labor Organization indicates that teaching is one of the most stressful professions.
Realistic mathematical problems, contextualized in the universe of students' interests, aligned with the needs of the local community, with the help of modeling, allow for the development of materacia4 (D’AMBROSIO, 2012; SKOVSMOSE, 2014).
The main objective of the teaching and learning processes is to provide conditions for the development of citizens who know their history, who reflect critically (SKOVSMOSE, 2014; 2018) and are capable to fight for the construction of a better society.
We seek to reflect on how Vygotsky's ideas can greatly contribute to help teachers' practices in the field of Mathematical Modeling, a psychologist influenced by Marx's ideas, in relation to historical and dialectical materialism, highlighting his importance for critical mathematics education. We present students with a lively, dynamic Mathematics, centered on their reality, in a way that is meaningful to them, that is, that in and through their relationship with each other they can produce meanings at school and in other social spaces.
We intend, therefore, to contribute to the development of autonomous students, capable of thinking, reflecting, knowing their history and the context in which they live and discussing about and with it, capable of fighting for equity in the capitalist society to which they are inserted and that still glimpse social equality.
Faculty and students need to work collaboratively. We hope that this work will help teachers who teach Mathematics, while planning at all levels of education for a citizenship formation. When a teacher knows the reality of their student, the teaching and learning processes flow more constructively, as the student feels free to share their doubts, emotions, achievements, anxieties and even their fears, which is extremely important in the current context experienced in the world by the COVID-19 pandemic.
The educator and the student need to recognize and assume their roles in society, understanding the relevance of teaching and learning mathematics in this empowerment. We believe, therefore, to contribute to a better acceptance of Mathematics in their lives,
4 D'Ambrosio understands materacia as the ability to interpret and handle signals and codes and to propose and use models in everyday life.
punctually, by understanding its importance at school and in other historical and social contexts.
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