RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 1
CONCEITO FORÇA: UMA GRANDEZA VETORIAL MOBILIZADA PELA
MECÂNICA E BASE DOS CURSOS DE ENGENHARIA
CONCEPTO DE FUERZA: UNA GRANDEZA VECTORIAL MOVILIZADA POR LA
MECÁNICA Y BASE DE LOS CURSOS DE INGENIERÍA
FORCE CONCEPT: A VECTOR GREATNESS MOBILIZED BY MECHANICS AND
THE BASE OF ENGINEERING COURSES
Viviane RONCAGLIO1
e-mail: roncaglioviviane@gmail.com
Cátia Maria NEHRING2
e-mail: catia@unijui.edu.br
Isabel Koltermann BATTISTI3
e-mail: isabel.battisti@unijui.edu.br
Como referenciar este artigo:
RONCAGLIO, V.; NEHRING, C. M.; BATTISTI, I. Conceito
força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos
cursos de engenharia. Revista Ibero-Americana de Estudos em
Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-
5587. DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208
| Submetido em: 31/01/2022
| Revisões requeridas em: 23/05/2022
| Aprovado em: 04/12/2022
| Publicado em: 01/01/2023
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Editor Adjunto Executivo:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Integrante do
GEEM. Doutorado em Educação nas Ciências.
2
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Professora.
Líder do GEEM. Doutorado em Educação (UFSC).
3
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Professora.
Integrante do GEEM. Doutorado em Educação nas Ciências (UNIJUÍ).
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
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RESUMO: Esse estudo tem por objetivo, a partir de uma revisão bibliográfica, constituir um
aporte teórico que possibilita a compreensão do conceito Força como uma grandeza vetorial, a
partir do campo e das relações conceituais que o constituem. Para tanto, consideramos como
material de análise as definições de força apresentadas em capítulos de livros da bibliografia
básica das disciplinas de Física I e Mecânica Geral I de um Curso de Engenharia Civil. A
fundamentação teórica que sustenta a escrita é a Teoria Histórico-Cultural. O percurso
metodológico utilizado é a Análise Textual Discursiva de Moraes e Galiazzi (2016), a partir da
qual constituímos as unidades de significado, as categorias e as proposições. A partir das
análises realizadas, concluímos que a abordagem dada ao conceito força está fortemente
relacionada a uma grandeza vetorial e às noções intuitivas de empurrar ou puxar.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria histórico-cultural. Apropriação conceitual. Aprendizagem.
Conceito matemático. Engenharia Civil.
RESUMEN: Este escrito tiene por objetivo, a partir de una revisión bibliográfica, constituir
un aporte teórico que posibilite la comprensión del concepto Fuerza como una de las
magnitudes vectoriales, desde el campo y las relaciones conceptuales que lo constituyen. Para
ello, consideramos como material de análisis las definiciones de fuerza presentadas en
capítulos de libros de la bibliografía básica de las asignaturas de Física I y Mecánica General
I de una carrera de Ingeniería Civil. La fundamentación teórica que sustenta la escrita es la
Teoría Histórico-Cultural. El enfoque metodológico utilizado es el Análisis Textual Discursivo
de Moraes y Galiazzi (2016), a partir del cual constituimos las unidades de sentido, categorías
y proposiciones. A partir de los análisis realizados concluimos que el abordaje aplicado al
concepto de fuerza está fuertemente relacionado con una magnitud vectorial y las nociones
intuitivas de empujar o tirar.
PALABRAS CLAVE: Teoría histórico-cultural. Apropiación conceptual. Aprendizaje.
Concepto matemático. Ingeniería Civil.
ABSTRACT: This writing aims, from a bibliographic review, to constitute a theoretical
contribution that makes possible the understanding of the Force concept as a vector quantity,
from the field and the conceptual relationships that constitute it. In order to do so, we
considered as material for analysis the force definitions presented in book chapters of the basic
bibliography of the Physics I and General Mechanics I disciplines of a Civil Engineering
Course. The theoretical foundation that supports this writing is the Historical-Cultural Theory.
The methodological approach used is the Discursive Textual Analysis of Moraes and Galiazzi
(2016), from which we constitute the units of meaning, categories and propositions. From the
analyzes carried out, we concluded that the approach given to the force concept is strongly
related to a vector quantity and the intuitive notions of pushing or pulling.
KEYWORDS: Historical-cultural theory. Conceptual appropriation. Learning. Mathematical
concept. Civil Engineering.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 3
Introdução
A sociedade está em constante evolução, o que possibilita o surgimento de novas
tecnologias e de meios de comunicação que permitam o acesso a todo e qualquer tipo de
informação. O que exige capacidades/habilidades de análise e síntese, de forma a permitir que
cada sujeito compreenda e intervenha nesse contexto cada vez mais complexo e,
consequentemente, cada vez mais competitivo. O trabalho compreendido como atividade
humana (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021) exige profissionais capacitados, com
habilidades diversas, com conhecimentos teóricos e práticos essenciais para atender as
demandas da sociedade contemporânea e, para tanto, é necessária uma formação profissional
qualificada que atenda a tais expectativas e necessidades. Nessa perspectiva, a educação
superior é um processo formal de ensino responsável pela formação profissional, capaz de
permitir o desenvolvimento de competências e habilidades que possibilitam ao sujeito atuar de
forma eficiente e consciente em diferentes realidades.
Nos processos de formação profissional, o Curso de Engenharia Civil, foco deste estudo,
necessita promover nos estudantes o desenvolvimento de competências e habilidades
específicas, voltadas a sua área de atuação, tais como: supervisão, coordenação e orientação
técnica; estudo de viabilidade técnico-econômica; assistência, assessoria e consultoria; direção
de obra e serviço técnico; vistoria, perícia, arbitramento, laudo e parecer técnico; elaboração de
orçamento; execução e finalização de obra e serviço técnico; desempenho de cargo e função
técnica; condução de trabalho técnico e condução de equipe de instalação, montagem, operação
reparo ou manutenção; execução de desenho técnico (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING,
2021). Estas competências necessitam de conhecimentos teóricos e práticos que precisam ser
apreendidos pelos futuros engenheiros no decorrer do curso de formação profissional.
A relação do sujeito com a realidade que sua profissão abrange não é uma relação direta,
é mediada por diferentes conceitos apreendidos a partir de processos que envolvem a
significação. A apropriação de tais conceitos amplia fortemente as condições da constituição
profissional do sujeito. No caso da profissão de engenheiro, destacamos duas ciências
fundamentais, a Matemática e a Física, sendo os conceitos discutidos por tais ciências base do
estudo das Engenharias. Na Matemática, o conceito Vetor é tratado com abordagens do campo
da aritmética, da geometria e da álgebra. Na Física, o conceito Força é uma grandeza vetorial
que necessita de um módulo, de um sentido e de uma direção para ser representada, ou seja,
necessita do conceito Vetor para sua representação. Estas duas ciências correlacionam-se entre
si, a Física utiliza a Matemática como uma ferramenta que permite explicar e/ou representar
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
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fenômenos físicos, como é o caso do conceito de Força e do conceito Vetor.
Nesse sentido, considerando as atribuições de um curso de formação em nível superior,
bem como da importância da apreensão dos conceitos científicos, como elementos mediadores,
pelos estudantes, os conceitos que integram o programa curricular das disciplinas precisam ser
compreendidos com e a partir do campo e das relações hierárquicas das quais fazem parte.
Diante do exposto, a presente escrita, que integra uma pesquisa maior, tem como objetivo:
constituir um aporte teórico que possibilita a compreensão do conceito Força, como uma
grandeza vetorial, a partir do campo e das relações conceituais que o constituem. Este objetivo
é delimitado a partir da seguinte questão: Qual é a abordagem dada ao conceito Força nos livros
da bibliografia básica das disciplinas Física I e Mecânica Geral I, as quais introduzem e
discutem tal conceito nos Cursos de Engenharia?
A apropriação de conceitos na perspectiva histórico-cultural
Com base na abordagem histórico-cultural, entendemos o conhecimento como resultado
da atividade humana em experiências com o meio físico e social, e que o aprendizado humano
tem, assim, uma natureza social. Nessa perspectiva, o aspecto social e a apropriação de
conceitos científicos pelos sujeitos são de extrema importância, uma vez que o desenvolvimento
humano depende das interações estabelecidas mediadas por signos e instrumentos.
Quando o sujeito se apropria do significado de um conceito científico, a relação que
estabelece com este é mediada por outros conceitos. Na perspectiva histórico-cultural, um
conceito não se forma sozinho, mas sim em relação com outros, inserido em um sistema
conceitual. Para Vigotsky (2008, p. 104):
[...] um conceito é mais do que a soma de certas conexões associativas
formadas pela memória, é mais do que um simples hábito mental; é um ato
real e complexo de pensamento que não pode ser ensinado por meio de
treinamento, só podendo ser realizado quando o próprio desenvolvimento
mental da criança já tiver atingido o nível necessário.
Nesta perspectiva, a significação de um conceito está intimamente relacionada a
processos de abstração e de generalização e corresponde à evolução de níveis de apreensão e
significação das palavras. A apropriação dos conceitos acontece por meio de abstrações e
generalizações, as quais relacionam-se à mobilização de diferentes tipos de representação de
um conceito expressas por um sistema de signos. Para Vigotski (2008, p. 104), um conceito
expresso por uma palavra representa um ato de generalização.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
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Quando uma palavra nova é apreendida pela criança, o seu desenvolvimento
mal começou: a palavra é primeiramente uma generalização do tipo mais
primitivo; à medida que o intelecto da criança se desenvolve, é substituído por
generalizações de um tipo cada vez mais elevado – processo este que acaba
por levar a formação dos verdadeiros conceitos. O desenvolvimento dos
conceitos, ou dos significados das palavras, pressupõe o desenvolvimento de
muitas funções intelectuais: atenção deliberada, memória lógica, abstração,
capacidade de comparar e diferenciar.
Sendo assim, a apropriação do significado de um conceito pelo acadêmico envolve o
desenvolvimento de funções mentais superiores e estas estão relacionadas à estrutura do
conceito, à sua formação, ao sentido produzido em diferentes contextos e no estabelecimento
de relações conceituais. A apropriação pelo estudante de Engenharia do conceito de Vetor
amplia as condições de atribuição de novos sentidos para o seu mundo, ou seja, para o contexto
da profissão, amplia seus horizontes de percepções e possibilita modificar a forma de interação
com a realidade que o cerca. Essa internalização ou apropriação do conceito pelo estudante
ocorre de fora para dentro, do social para o individual, sendo um processo complexo que
necessita de uma interação deliberada e intencional. Não basta apresentar o conceito ao
estudante, este necessita compreender o contexto histórico e cultural, significa apropriar-se das
experiências sociais construídas historicamente pela humanidade. Uma vez internalizado, este
conceito faz parte das aquisições do desenvolvimento dos sujeitos, podendo tornar-se uma
ferramenta de seu pensamento. Na Teoria Histórico-Cultural, a apropriação dos conceitos
envolve “[...] a reconstrução interna de uma operação externa” (VIGOTSKY, 1994, p. 74), que
consiste numa série de transformações, que são:
a) Uma operação que inicialmente representa uma atividade externa é
reconstruída e começa a ocorrer internamente. É de particular importância
para o desenvolvimento dos processos mentais superiores a transformação da
atividade que utiliza signos, cuja história e características são ilustradas pelo
desenvolvimento da inteligência prática, da atenção voluntária e da memória.
b) Um processo interpessoal é transformado num processo intrapessoal. Todas
as funções no desenvolvimento da criança aparecem duas vezes: primeiro, no
nível social, e, depois, no nível individual; primeiro, entre pessoas
(interpsicológica), e, depois, no interior da criança (intrapsicológica). Isso se
aplica igualmente para a atenção voluntária, para a memória lógica e para a
formação de conceitos. Todas as funções superiores originam-se das relações
reais entre indivíduos humanos.
c) A transformação de um processo interpessoal num processo intrapessoal é
o resultado de uma longa série de eventos ocorridos ao longo do
desenvolvimento. O processo, sendo transformado, continua a existir e a
mudar como uma forma externa de atividade por um longo período de tempo,
antes de internalizar-se definitivamente (VIGOTSKY, 1994, p. 75).
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
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No decorrer desse processo ocorrem aprendizagens que possibilitam transformações nas
funções psíquicas superiores e, consequentemente, o desenvolvimento do sujeito. O
aprendizado aqui é considerado fundamental para o processo de desenvolvimento das funções
psicológicas superiores; para Vigotsky (1994, p. 108), a aprendizagem gera desenvolvimento:
“O aprendizado é mais do que a aquisição da capacidade para pensar; é a aquisição de muitas
capacidades especializadas para pensar sobre várias coisas”. Neste sentido:
[...] aprendizado não é desenvolvimento; entretanto, o aprendizado
adequadamente organizado resulta em desenvolvimento mental e põe em
movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma, seriam
impossíveis de acontecer. Assim, o aprendizado é um processo de
desenvolvimento das funções psicológicas culturalmente organizadas e
especificamente humanas (VIGOTSKY, 1994, p. 118).
Para Vigotsky (1994), o aprendizado é um aspecto necessário para o desenvolvimento
das funções psicológicas superiores, as quais são organizadas pela cultura e se caracterizam
como especificamente humanas. Desse modo, o desenvolvimento humano está intrinsecamente
relacionado à interação sociocultural do homem, ou seja, a formação do psiquismo humano, de
capacidades mentais, afetivas, psicomotoras, antes de serem desenvolvidas pelo homem, já se
encontram disponíveis na sociedade, por meio da cultura. Assim sendo, o desenvolvimento fica
impedido de acontecer na ausência de situações propícias ao aprendizado – necessita da ação
pedagógica intencional, a aprendizagem ocorre a partir de interações com o outro. Porém, vale
destacar que a aprendizagem resulta em desenvolvimento do sujeito quando este mobilizar
operações mentais superiores, a partir de processos de análise e síntese, em diferentes contextos.
Procedimentos metodológicos
A pesquisa aqui apresentada se constitui a partir do referencial metodológico da Análise
Textual Discursiva - ATD - de Moraes e Galiazzi (2016). A ATD se estrutura em três etapas, a
unitarização, a categorização e o metatexto. A primeira etapa da ATD, a unitarização, é o
movimento inicial da análise, que exige uma leitura cautelosa e profunda dos dados. É marcada
pela desordem, o momento de desconstrução dos dados, na qual o pesquisador ao analisar os
dados realiza várias interpretações. Deste movimento emergem as unidades de significados.
Consideramos, como material de análise, as definições apresentadas em capítulos dos
livros da bibliografia básica proposta no Plano de Ensino das disciplinas de Física I e Mecânica
Geral I, do Curso de Engenharia Civil da instituição em que a primeira autora desenvolveu seus
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 7
estudos de doutoramento e que as outras duas pesquisadoras atuam como docentes. O Quadro
1 apresenta as referidas bibliografias.
Optamos por analisar capítulos dos livros, por considerar que este é um instrumento que
serve como guia para o docente e como um recurso na aprendizagem do estudante. Os livros
elencados na bibliografia básica têm o sentido de orientar o professor no que será proposto, sua
ênfase, abordagem na disciplina, e pode apresentar elementos que sustentam a organização do
ensino. Já para os estudantes, amplia, certamente, as condições de estudo, envolvendo os
conceitos e procedimentos estruturantes e necessários à sua formação.
Consideramos as disciplinas de Física I e de Mecânica Geral I por estas iniciarem as
discussões sobre Mecânica e sobre o conceito Força no Curso de Engenharia Civil, além disso,
a disciplina de Mecânica Geral I é a primeira disciplina específica dos Cursos de Engenharia
que mobiliza o Conceito Vetor. Vale destacar que tais disciplinas fazem parte do programa
curricular de todas as Engenharias da Universidade considerada neste estudo, sendo
denominadas de disciplinas do núcleo comum, ou disciplina do núcleo básico dos referidos
cursos.
Nesta produção, estamos considerando as definições e os conceitos apresentados nos
livros da bibliografia básica de ambas as disciplinas, citadas anteriormente, relacionados ao
conceito Força. Nessa perspectiva, entendemos ser possível elaborar um aporte teórico que
possibilita a compreensão em relação a este conceito como uma grandeza vetorial, a partir do
campo e das relações conceituais que o constituem.
Quadro 1 – Referência dos livros de Física I e de Mecânica Geral I, analisados nesta
produção
Disciplinas
Bibliografias
Física I
Livro F1: HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física: Mecânica. 9. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2012. v. 1.
Livro F2: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 1: Mecânica. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blucher, 1981.
Livro F3: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Sears e Zemansky – Física 1: Mecânica. 12. ed.
São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.
Mecânica
Geral I
Livro M1: BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: AMGH,
2012.
Livro M2: HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2015.
Livro M3: MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: estática. Rio de Janeiro:
LTC, 2013. v. 1.
Fonte: Produção da pesquisa
A partir da análise realizada neste primeiro movimento, na unitarização dos dados,
definimos as seguintes unidades de significado, Mecânica – princípios e conceitos
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 8
fundamentais da Mecânica e Força – conceito fundamental da mecânica. Definidas as unidades
de significado, chegamos à segunda etapa da ATD, a categorização, onde é realizado um
movimento construtivo.
A categorização é momento de síntese e organização de um conjunto de
informações relativas aos fenômenos investigados. Essas sínteses são as
teorizações do pesquisador, produzidas a partir de perspectivas teóricas
implícitas dos sujeitos da pesquisa e do próprio pesquisador, sempre em
interlocução com outros teóricos. Requerem contínuo aperfeiçoamento,
adequação e refinamento no decorrer do processo da análise e produção
escrita. O processo de categorização constitui estratégia de movimento da
pesquisa que vai do empírico ao abstrato, dos dados coletados para as teorias
construídas ou reconstruídas pelo pesquisador. (MORAES; GALIAZZI, 2016,
p. 112-113)
Ou seja, considerando tal referencial metodológico, produz-se as categorias de análise
que deram corpo a este estudo. O Quadro 2 apresenta a unidade de significado e as categorias
considerando o referencial da ATD, e para melhor examinar a intencionalidade da pesquisa
apresenta-se, ainda, as proposições (terceira etapa da ATD), definidas a partir do corpus
analisado. A proposição se estrutura a partir do captar o emergente em que a nova compreensão
é comunicada e validada, considerando a relação empiria/teoria. É a construção de um
metatexto pelo pesquisador realizando considerações em relação às categorias de análise que
construiu e às unidades de significado identificado nos dados produzidos. É uma escrita que
busca apresentar de forma clara e objetiva o entendimento do pesquisador em relação à análise
dos dados relacionados com a fundamentação que sustenta o estudo.
Quadro 2 – Unidades de significado, categorias e proposições do corpus
Unidades de significado
Categorias
Proposições
Mecânica – princípios e
conceitos fundamentais da
Mecânica.
Mecânica como um ramo da Física.
Mecânica – um ramo da Física que
mobiliza a grandeza vetorial força.
Força – conceito
fundamental da Mecânica.
Abordagem Conceitual de Força em
livros da bibliografia básica da
disciplina de Física I.
O conceito força integra um sistema
conceitual.
Vetor, uma ferramenta Matemática para
a representação de força.
Fonte: Produção da pesquisa
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 9
Mecânica: princípios e conceitos fundamentais
Mecânica como um ramo da Física
Nessa categoria, buscamos trazer o entendimento de Mecânica a partir da abordagem
dada nos livros da bibliografia básica da disciplina Mecânica Geral I, primeira disciplina
específica dos Cursos de Engenharia que discute Força e que consequentemente mobiliza Vetor.
Além disso, discute conceitos fundamentais relacionados à Engenharia que são abordados em
outras disciplinas específicas do curso. Para tanto, apresentamos discussões a partir da seguinte
proposição: “Mecânica – um ramo da Física que mobiliza a grandeza vetorial Força”.
Mecânica: um ramo da Física que mobiliza a grandeza vetorial força
A Mecânica pode ser definida como um ramo da Física que descreve e prevê as
condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. Pode ser compreendida a
partir da mecânica dos corpos rígidos, da mecânica dos corpos deformáveis e da mecânica dos
fluidos. A mecânica dos corpos rígidos é subdividida em duas partes, a estática e a dinâmica. A
estática estuda os corpos em repouso, sendo parte essencial da mecânica, muito utilizada por
engenheiros, uma vez que é aplicada em situações que envolvem, por exemplo, o cálculo do
peso que um guindaste pode levantar, ou então o cálculo da força sobre um ponto em uma ponte
e se a sua estrutura poderá suportar tal força, ou ainda para determinar a força exercida pela
água que uma represa em um rio precisa suportar, ou quanta força uma locomotiva precisa para
parar um trem de carga, dentre outras aplicações. Já a dinâmica estuda os corpos em movimento,
como por exemplo, projetar uma edificação para resistir a terremotos, ou então para calcular
quanta força é necessária para acelerar um navio cruzeiro de 300 mil toneladas ou a força para
colocar um satélite em órbita. Na mecânica dos corpos rígidos, os corpos considerados são
perfeitamente rígidos, ou seja, não sofrem nenhum tipo de deformação (BEER et al., 2012).
A mecânica dos corpos deformáveis estuda os corpos que se deformam sob ação de
forças. É a parte da mecânica que analisa estruturas e materiais, considerando a resistência sob
forças ou cargas que podem causar deformações. A mecânica dos fluidos é subdividida em
estática dos fluidos – que estuda o comportamento dos fluidos em deslocamento e velocidade
constante, ou seja, em repouso, e a dinâmica dos fluidos – que estuda o comportamento dos
fluidos em movimento. Esta parte da mecânica estuda situações do tipo equilíbrio de corpos
flutuantes – embarcações, ou ação do vento sobre as construções civis, ou cálculo de instalações
hidráulicas –, instalação de recalque em edifícios, ou instalações de vapor – caldeiras, ou ainda
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
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ações de fluidos sobre superfícies submersas – barragens, dentre várias outras situações. Na
Engenharia Civil, constitui base do estudo de fenômenos de transporte e hidráulica.
De acordo com Beer et al. (2012), o propósito da mecânica é explicar e prever
fenômenos físicos, estabelecendo os fundamentos ou as ferramentas para as aplicações nas
Engenharias. Os conceitos básicos utilizados na mecânica são espaço, tempo, massa e força,
dos quais destaca-se o conceito Força (foco deste estudo), uma grandeza vetorial, de modo
geral, definida pelas bibliografias analisadas, como uma ação de um corpo sobre outro. Pode
ser exercida por contato direto ou a distância, e é caracterizada pela sua intensidade, pelo ponto
de aplicação e pela sua direção, representada por um vetor. Força é um conceito físico
fundamental no estudo da mecânica, um ramo essencial nos Cursos de Engenharia. Meriam e
Kraige (2013, p. VII) contribuem com a discussão ao apontarem que o objetivo:
[...] fundamental do estudo da Mecânica na Engenharia é desenvolver a
capacidade de prever efeitos de forças e movimentos ao desempenhar funções
criativas de projeto de Engenharia. Esta capacidade requer mais do que o
simples conhecimento dos princípios físicos e matemáticos da mecânica;
também é requerida a habilidade de visualizar configurações físicas em termos
de materiais reais, restrições verdadeiras e limitações práticas que norteiam o
comportamento de máquinas e estruturas.
Ou seja, o estudo da mecânica envolve uma gama de conceitos que são necessários para
sua compreensão, uma rede de conceitos articulados a partir de relações, que definem e, quando
considerados, ampliam as condições de apropriação de tal conhecimento por parte dos sujeitos
que a investigam, como indicado na Figura 1.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
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Figura 1 – Mapa das relações no estudo de mecânica em Cursos de Engenharia
Fonte: Elaborado pelas autoras
O mapa das relações constitutivas de uma rede conceitual apresentado na Figura 1 marca
um ponto importante abordado pela fundamentação teórica deste estudo, o qual defende que
um conceito se forma a partir da relação com outros, sendo inserido em um sistema conceitual,
pois um conceito nunca se constitui sozinho, de forma isolada ou fragmentada. Ou seja, o mapa
apresenta, na forma de síntese, as relações observadas no estudo da mecânica, na perspectiva
do Curso de Engenharia. Vale destacar que a construção do mapa teve como base a análise dos
livros da bibliografia básica da disciplina Mecânica Geral I.
O mapa das relações no estudo de mecânica nos Cursos de Engenharia deixa claro a
importância do entendimento e da apropriação da grandeza vetorial Força para o trabalho com
as definições de mecânica. A compreensão desta grandeza é fundamental pelo fato de a
mecânica explorar essencialmente situações que envolvem força. Nesse sentido, a próxima
categoria de análise busca apresentar essa grandeza vetorial, que é um conceito físico, a partir
da Física, que é responsável por introduzir conceitos básicos e essenciais nos Cursos de
Engenharia.
Conceito força: Uma grandeza vetorial mobilizada pela mecânica e base dos cursos de engenharia
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Força: conceito fundamental da mecânica
Abordagem conceitual de força em livros da bibliografia básica da disciplina
de Física I
Esta categoria apresenta definições relacionadas ao conceito Força abordada em livros
da bibliografia básica da disciplina de Física I. Entendemos que a forma como tal conceito é
apresentado em alguns capítulos nos livros desta disciplina interfere significativamente no
processo de apreensão conceitual por parte dos estudantes, lembrando que tal disciplina é
responsável pela introdução de conceitos básicos que são explorados no estudo de mecânica e
consequentemente em várias disciplinas específicas dos Cursos de Engenharia, em especial,
nos Cursos de Engenharia Civil. Para tanto, a seguir apresentamos a discussão a partir de duas
proposições: a primeira o conceito força integra um sistema conceitual, e a segunda Vetor, uma
ferramenta Matemática para a representação de força.
O conceito força integra um sistema conceitual
Considerando as análises realizadas com objetivo de identificar as definições
apresentadas para o conceito força, encontramos no livro F1 a menção inicial de força
apresentada da seguinte forma:
Vamos agora definir a unidade de força. Sabemos que uma força pode causar
a aceleração de um corpo. Assim, definimos a unidade de força em termos da
aceleração que uma força imprime a um corpo de referência [...]. A esse corpo
foi atribuída, exatamente e por definição, uma massa de 1 kg. Colocamos o
corpo-padrão sobre uma mesa horizontal sem atrito e o puxamos para direita
até que, por tentativa e erro, adquira uma aceleração de 1 m/s2. Declaramos
então, a título de definição, que a força que estamos exercendo sobre o corpo-
padrão tem um módulo de 1 newton (1N). Uma força é medida, portanto, pela
aceleração que produz. Entretanto, a aceleração é uma grandeza vetorial pois
possui, um módulo e uma orientação. A força também é uma grandeza
vetorial? Podemos facilmente atribuir uma orientação à força (basta atribuir-
lhe a orientação da aceleração), mas isso não é suficiente. Devemos provar
experimentalmente que as forças são grandezas vetoriais. Na realidade, isso
foi feito há muito tempo. As forças são realmente grandezas vetoriais:
possuem um módulo e uma orientação e se combinam de acordo com as regras
vetoriais (HALLIDAY; RESNICK, 2012, p. 92).
No livro F1, o conceito Força é relacionado com a aceleração de um corpo, que ocorre,
no caso específico apresentado pelo livro, por um “empurrão” e a ideia de grandeza vetorial.
Além da noção intuitiva de Força, o livro apresenta uma abordagem conceitual ao definir este
conceito como uma grandeza vetorial e ao destacar que o trabalho com estas grandezas segue
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as regras vetoriais, ou seja, a partir de uma abordagem Matemática. Fato este que marca nosso
entendimento em relação à necessidade do conceito Vetor como objeto matemático a ser
considerado nas tratativas da grandeza vetorial Força.
Já o livro F2 apresenta o conceito a partir de uma relação com a ideia intuitiva do esforço
muscular, ou seja, uma forma de definir Força, considerando que é um conceito universal e que
pode ter inúmeras interpretações.
[...] Sabemos todos por experiência que o movimento é afetado pela ação que
costumamos chamar de “forças”. Nossa ideia intuitiva de forças está
relacionada com o esforço muscular, e sabemos que, exercendo “forças” desse
tipo, somos capazes de colocar objetos em movimento ou, mais geralmente,
alterar seu estado de movimento. [...] Uma força produz efeitos diferentes
conforme a direção e sentido e que é aplicada, o que sugere uma representação
do tipo vetorial (NUSSENZVEIG, 1981, p. 89-90).
Como podemos observar, no livro F2, este estabelece relação com noções intuitivas do
conceito, além da abordagem em nível conceitual quando traz os elementos constitutivos da
grandeza vetorial (direção e sentido), destacando a necessidade do conceito Vetor para a
representação de Força, “uma representação do tipo vetorial”. O F3 relaciona o conceito Força
com a ideia de esforço muscular, puxar ou empurrar. Além disso, aponta que tal conceito é uma
grandeza vetorial, afinal podemos empurrar ou puxar um objeto em diferentes posições, o que
marca uma abordagem conceitual.
Na linguagem cotidiana, exercer uma força significa puxar ou empurrar. Uma
definição melhor é a de que uma força é uma interação entre dois corpos ou
entre o corpo e seu ambiente. Por isso, sempre nos referimos à força que um
corpo exerce sobre outro. Quando você empurra um carro atolado na neve,
você exerce uma força sobre ele; um cabo de aço exerce uma força sobre a
viga que ele sustenta em uma construção; e assim por diante. [...] força é uma
grandeza vetorial; você pode empurrar ou puxar um corpo em direções
diferentes (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 106).
Ambos os conceitos apresentados nos livros não apresentam uma definição formal para
o conceito físico: a noção conceitual do que significa Força não consta nos livros analisados. O
que os livros apresentam são ideias constitutivas do conceito força, como a ideia de grandeza
vetorial, de necessidade de sentido, direção e intensidade, elementos estes que constituem o
sistema conceitual.
As relações apresentadas partem de uma noção intuitiva de um esforço que gera um
movimento de um corpo ou objeto, como empurrar e puxar. Força é um conceito científico, na
área da Física, é uma ação que causa movimento – aceleração, deslocamento de objetos, ou
deformações. Além disso, existem diversos tipos de força, como por exemplo, a força normal,
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a força de atrito, a força de tensão, a força centrípeta, a força de inércia, dentre outras que a
Física considera.
Os três livros, ao se referirem ao conceito Força, fazem a relação do mesmo a uma
grandeza vetorial, ou seja, a Força é definida de acordo com seu módulo (representa a sua
intensidade), direção (direções nas quais as forças se aplicam) e sentido (positivo, negativo,
para cima e para baixo, direita e esquerda...). Citam as leis de Newton como as leis que definem
o comportamento das forças: a primeira Lei – Lei da Inércia (se um corpo está em repouso tende
a permanecer em repouso, se está em movimento tende a permanecer em movimento com
velocidade constante), a segunda Lei – Princípio Fundamental da Dinâmica (a força resultante
que age sobre um corpo é igual ao produto da aceleração de um corpo pela sua massa) e a
terceira Lei – Lei da Ação e Reação (as forças de ação e reação sempre possuem o mesmo
módulo e atuam na mesma direção, porém, apresentam sentidos opostos).
As Leis de Newton descrevem as causas que podem alterar o estado de movimento de
um corpo e configuram-se como base para a compreensão da Mecânica, um ramo da Física
responsável pelos estudos dos movimentos, como vimos no item. Além disso, destacamos aqui
novamente a Força como agente responsável pela mudança no estado de movimento de um
corpo, alterando a sua velocidade. Ou seja, Força é um conceito central na Física, é a partir dele
que muitos fenômenos físicos podem ser analisados e aprimorados, e consequentemente
contribuiu de forma significativa para que a humanidade pudesse evoluir. É um conceito base
para o estudo de grande parte da Física e, assim como outros conceitos, também faz parte de
um sistema conceitual, conforme apresenta a Figura 2 a seguir.
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Figura 2 – Mapa das relações no estudo de força na disciplina de Física I
Fonte: Elaborado pelas autoras
O conceito Força permitiu o surgimento das Leis de Newton e é base no estudo da
Mecânica, é uma grandeza vetorial, e para ser representada, necessita do conceito matemático
Vetor: só é possível representar força utilizando Vetor. Os conceitos abordados nos livros aqui
analisados e que foram base para construção do mapa conceitual, ao apresentar tal conceito,
fazem esta relação, destacam Força como uma grandeza vetorial e sugerem uma representação
do tipo vetorial, ou seja, a partir de vetores.
De modo geral, Força é um conceito físico, uma grandeza vetorial, fundamental na
Física e base do estudo de Mecânica. É mobilizado na mecânica para explorar situações e/ou
analisar fenômenos, além de permitir definir variáveis e resolver problemas. Porém, isso só é
possível por meio da representação geométrica ou algébrica do conceito Força. Ou seja, por
meio do Vetor, considerando a representação geométrica e/ou algébrica das situações que
envolvem Força, é possível explorar, analisar, definir variáveis, encontrar o problema e/ou
apontar soluções. Sendo assim, Vetor é um conceito essencial neste processo, é o conceito que
permite a representação das situações que envolvem Força.
Então dizemos que Força é um conceito físico base na mecânica e que necessita do
Vetor, um conceito matemático que permite, por meio de sua representação geométrica, que
este processo de representação geométrica de Força ocorra. Para compreender melhor este
conceito matemático e sua importância no processo de formação profissional do engenheiro
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apresenta-se a seguir um item que trata do conceito Vetor como uma ferramenta Matemática
para a representação de Força.
Vetor, uma ferramenta Matemática para a representação de força
Vetor é um conceito matemático que de acordo com o estudo já desenvolvido
(RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021), é discutido inicialmente na disciplina de
Geometria Analítica e Vetores ou então na disciplina de Álgebra Linear, sendo estas as
disciplinas responsáveis por introduzirem este conceito na educação superior, especialmente
nos cursos das áreas das Ciências Exatas, como é o caso da Matemática e das Engenharias. Tal
conceito é explorado nos primeiros semestres dos cursos, geralmente no segundo ou terceiro
semestre. Roncaglio, Battisti e Nehring (2021), corroboram com a discussão ao apresentarem
um quadro com disciplinas dos Cursos de Engenharia (Civil, Elétrica e Mecânica) que
introduzem o conceito Vetor. O quadro apresentado pelas autoras reforça a ideia de núcleo
comum de disciplinas que discutem e introduzem o conceito Vetor, e marcam este conceito
como básico na formação profissional.
Nesse sentido, na pesquisa (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021) é reforçada
a ideia de Vetor como conceito base fundamental para a formação profissional do Engenheiro,
uma vez que este destaca as disciplinas específicas do Curso de Engenharia Civil que mobiliza
Vetor. Além disso, algumas das disciplinas citadas no referido Artigo fazem parte do núcleo
comum dos cursos e, portanto, apontam para a mobilização deste conceito em todos os Cursos
de Engenharia. Sendo assim, Vetor é um conceito matemático base dos Cursos de Engenharia
e essencial para a constituição profissional dos Engenheiros.
Matematicamente, Vetor é definido por Santos (2007, p. 2-3) como:
Definição 1 – Diremos que o segmento orientado AB é equipolente ao
segmento orientado A’B’ se uma das três afirmações a seguir for verificada:
1. A = B e A’ = B’.
2. AB e A’B’ estão situados sobre uma mesma reta e é possível deslizar A’B’
sobre essa reta de maneira que A’ coincida com A e B’ coincida com B.
3. A figura obtida ligando-se os pontos A a B, B a B’, B’ a A’ e A’ a A é um
paralelogramo.
Observe que dois pontos (quando considerados como segmentos orientados)
são sempre equipolentes. O leitor pode mostrar facilmente que a relação de
equipolência satisfaz às seguintes propriedades:
I – Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si
mesmo.
II – Simetria: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento
orientado A’B’, então A’B’ é equipolente a AB.
III – Transitividade: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento
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orientado A’B’ e se A’B’ é equipolente ao segmento orientado A”B”, então
AB é equipolente a A”B”.
Em virtude das três propriedades mencionadas, é usual dizer-se que a
equipolência é uma relação de equivalência.
Definição 2 – O vetor determinado por um segmento orientado AB é o
conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao
segmento orientado AB.
O vetor determinado por AB será indicado por AB; o segmento orientado AB
é um representante do vetor AB. É conveniente representar tanto o segmento
orientado AB como o vetor AB por uma seta com origem em A e extremidade
em B. O leitor deve, entretanto, não se esquecer de que isso é um abuso de
notação: o segmento orientado AB e o vetor AB são objetos matemáticos
distintos, pois AB é um segmento orientado (isto é, um conjunto de pontos),
enquanto AB é um conjunto de segmentos orientados.
Observe que os segmentos orientados AB e CD representam o mesmo vetor
se, e somente se, esses segmentos são equipolentes. Portanto, um mesmo vetor
pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados distintos.
Na verdade, se AB é um segmento orientado e P, um ponto qualquer do
espaço, o leitor pode ver facilmente que existe um, e somente um, segmento
orientado PQ, com origem em P, tal que PQ é equipolente a AB. Segue-se,
assim, que o vetor AB tem exatamente um representante em cada ponto do
espaço.
Relação de equipolência, relação de equivalência, segmentos orientados, são conceitos
que estruturam o conceito Vetor e sustentam as operações envolvendo este conceito. Por
exemplo, quando realizamos a adição de dois vetores em sua representação geométrica,
podemos fazer considerando duas regras, a lei do polígono – utilizada quando a origem de um
vetor é a extremidade do outro, o vetor soma nesse caso é o que fecha o triângulo, conforme à
esquerda na Figura 3.
Figura 3 – Lei do polígono (à direita) e lei do paralelogramo (à esquerda)
Fonte: Elaborado pelas autoras
E a lei do paralelogramo, conforme à direita na Figura 3, é utilizada quando os vetores
a serem adicionados possuem a mesma origem, na qual a imagem geométrica de cada um dos
vetores é posicionada nas extremidades dos vetores, formando assim um paralelogramo, o vetor
soma é dado pela diagonal do paralelogramo. Na Matemática, somar os vetores utilizando a lei
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do polígono ou do paralelogramo é a mesma coisa, independente do contexto matemático que
se utilizar, ambas as leis são convenientes e representam o mesmo vetor resultante.
Na Física e na Engenharia, por sua vez, a utilização das leis é considerada dependendo
do contexto, ou seja, dependendo do que esses vetores estão representando, faz mais sentido
utilizar uma lei do que a outra. Por exemplo, se o contexto envolve deslocamento, faz mais
sentido utilizar a lei do polígono, já se o contexto envolve a soma de forças, faz mais sentido
utilizar a lei do paralelogramo. Não existe uma definição científica quanto à utilização destas
leis que corrobora essa ideia: é uma construção “artificial” utilizada por estudiosos que vêm
sendo utilizada por gerações.
Porém, para que os procedimentos de ambas as regras sejam realizados mediante
processos de compreensão, é necessário que as relações de equipolência e equivalência estejam
internalizadas por parte dos estudantes, uma vez que a imagem geométrica a que nos referimos
anteriormente na regra do paralelogramo considera a relação de equivalência do Vetor que está
sendo deslocado para formar o paralelogramo. Isso acontece em várias situações de operação
com vetores quando este se apresenta em sua forma geométrica ou, então, quando é necessário
a representação geométrica do Vetor para que a operação seja desenvolvida de forma correta.
Como já discutido em Roncaglio, Battisti e Nehring (2021, p. 286):
Diferentemente do contexto matemático, na Física e consequentemente nas
Engenharias existem três tipos de vetores que são necessários serem definidos
devido a especificação Física e o contexto no qual este o vetor está sendo
mobilizado, ou seja, são estruturantes para compreensões em contextos
específicos da Física, são eles o vetor fixo, o vetor deslizante e o vetor livre.
São as relações estabelecidas com os conceitos que fazem parte do sistema conceitual
Vetor que possibilitam a mobilização deste conceito em diferentes situações e em outras áreas
do conhecimento. A Matemática possui uma linguagem que possibilita a articulação de diversos
registros de representação semiótica e a Física utiliza-se desta linguagem. Como por exemplo,
a linguagem vetorial para representar fenômenos como força, deslocamento, velocidade e
aceleração, grandezas que para serem definidas necessitam de um módulo, de um sentido e de
uma direção.
O Vetor é um conceito matemático utilizado como uma linguagem pela Física e pelas
Engenharias para descrever fenômenos que para serem definidos necessitam de um sentido, de
uma direção e de um módulo (intensidade), geralmente utilizado para descrever um
deslocamento ou então situações que envolvem grandezas vetoriais, como é o caso da grandeza
vetorial força. Uma grandeza vetorial é definida pelo seu sentido, módulo e direção, elementos
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estes que constituem o vetor, que necessitam ser significados no processo de ensino e
aprendizagem e que marcam o delimitador da grandeza escalar e a necessidade de uma grandeza
vetorial.
A linguagem dos vetores empresta ao conceito de força sua estruturação para
que ele possa ser definido enquanto conceito físico. A flecha colocada acima
da letra indica que se trata de uma grandeza com direção e sentido. A
linguagem vetorial dispõe de uma gramática, sintaxe e ortografia próprias que
são os axiomas, teoremas, lemas, regras de aplicação etc. Um conceito como
a Força, ao ser identificado à grandeza vetorial, passa a se submeter a todas as
suas regras de linguagem. Torna-se difícil expressá-lo de outra forma, por
exemplo, através da linguagem escrita comum. Os livros didáticos refletem as
dificuldades desta empreitada, sendo uma espécie de dicionário entre a
linguagem comum e a linguagem dos vetores.
A Matemática se constitui numa linguagem dentre várias outras linguagens a
nossa disposição para estruturar nosso pensamento. Ela provou, ao longo dos
séculos, sua excepcional capacidade de dar suporte ao nosso pensamento
sobre o mundo (PIETROCOLA, 2002, p. 105).
Sendo assim, destacamos a importância da Matemática como área do conhecimento
responsável por disponibilizar ferramentas intelectuais que permitem a descrição e análise de
situações problemas nas mais diversas áreas, em especial na área da Engenharia, nosso foco de
estudo. E nesse contexto, o conceito vetor como conceito essencial para a formação profissional
do engenheiro. Nesse sentido, considerando a Matemática como uma ciência que possui uma
linguagem a qual permite ao sujeito estruturar o pensamento com o intuito de se apropriar dos
conhecimentos construídos pelo homem, o processo de ensino e aprendizagem deve propiciar
o desenvolvimento desta habilidade.
Considerando o processo de ensino e aprendizagem do conceito matemático Vetor,
entende-se que este processo deve articular as relações que envolvem tal conceito, como por
exemplo, os elementos de formação do vetor, módulo, sentido e direção. Significar estes
elementos de formação, assim como segmento de reta, relação de equipolência, dentre outros
que se relacionam com Vetor, por meio da atribuição de sentidos, possibilitam aos estudantes
a apropriação de uma rede de generalização envolvendo vários conceitos matemáticos. Esta
relação pode ser observada no mapa conceitual desenvolvido por Battisti e Nehring (2020),
apresentado a seguir.
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Figura 4 – Mapa conceitual do conceito de vetor
Fonte: Battisti e Nehring (2020, p. 133)
Como mostra o mapa, são inúmeras relações que podem ser realizadas considerando o
conceito Vetor, os elementos de formação do Vetor possuem especificidades e estão inseridos
em uma rede de generalizações.
São as relações de generalidade que vão possibilitar ao acadêmico uma
elaboração conceitual, como também a evolução nos níveis dessa
conceituação. Apropriar-se do significado de conceitos científicos por meio
de processos de análise (abstração) e de síntese (generalização) implica que o
acadêmico coloque o conceito vetor em uma determinada rede de
significações, como também que considere que cada conceito tem estruturas
específicas, com pensamentos e raciocínios específicos (BATTISTI;
NEHRING, 2020, p. 132-133).
Davis e Hersh (1985, p. 173) contribuem com a discussão ao apontarem que: “Um
objeto matemático considerado isoladamente não tem sentido. Sua significação provém de uma
estrutura, e ele representa seu papel dentro de uma estrutura”. Deste modo, destacamos a
importância de se considerar tais relações no processo de ensino e de aprendizagem de Vetor,
aspecto que vale para o processo de ensino e de aprendizagem de qualquer conceito matemático.
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Considerações finais
Este estudo apresenta um aporte teórico em relação ao conceito Força, a partir das
definições apresentadas em capítulos de livros indicados na bibliografia básica de disciplinas
de Física I e Mecânica Geral I: a compreensão do conceito Força como uma grandeza vetorial,
considerando o campo e as relações conceituais que o constituem. A partir disso concluímos
que: a disciplina Mecânica Geral I é a primeira disciplina específica dos Cursos de Engenharia
que mobiliza o Vetor e a Força. Tal disciplina exige que os estudantes tenham claro conceitos
bases, como é o caso de Vetor e Força, ou seja, é uma disciplina que discute situações do campo
profissional do Engenheiro por meio de situações de dimensionamento de vigas, de cargas, de
análise de estruturas, dentre outras situações. Nesta disciplina os estudantes precisam mobilizar
conhecimentos teóricos da Matemática, em relação à aplicação do conceito Vetor apreendido
na disciplina de Geometria Analítica e Vetores, e da Física, em relação à aplicação do conceito
Força estudado na disciplina de Física I.
Porém, para que os conceitos básicos de mecânica sejam apreendidos por parte dos
estudantes, é necessário que os mesmos mobilizem o conceito físico força, conceito central na
disciplina Mecânica Geral I. A disciplina Física I é a responsável por introduzir o conceito
Força, definir e caracterizá-lo como um conceito necessário e importante aplicado em várias
disciplinas específicas dos Cursos de Engenharia. Como vimos nas definições apresentadas em
relação ao conceito força em capítulos dos livros da bibliografia básica da disciplina de Física
I, os mesmos apresentam o conceito como uma grandeza vetorial, pois necessita de um módulo,
de um sentido e de uma direção para ser definida. O conceito Força como uma grandeza vetorial
exige o uso do Vetor para sua representação, seja ela algébrica e/ou geométrica.
O conceito Vetor é introduzido nos cursos nos primeiros semestres, geralmente no
primeiro ou no segundo semestre como uma disciplina básica, é uma disciplina que trabalha
com um dos conceitos estruturantes do curso e que serve de base para outras disciplinas
específicas. O conceito Vetor surge para representar grandezas que não podem ser definidas
apenas por um valor numérico, mas que dependem de outras características, como módulo,
sentido e direção. Nos Cursos de Engenharia são inúmeras as grandezas que necessitam destas
características para serem representadas, e a grandeza força é uma delas, uma das principais.
Vetor é o conceito que permite o trabalho com essa e várias outras grandezas vetoriais,
mobilizadas em diversas áreas. Porém, para que o referido conceito seja mobilizado de forma
efetiva, existem algumas relações que precisam ser consideradas, especialmente quando
envolvem operações com tais grandezas, relações como a de equipolência, de equivalência,
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além de outros conceitos constitutivos do vetor, como pudemos observar na Figura 3. É um
conceito matemático que pertence a uma rede de conceitos, os quais se relacionam entre si,
dando sustentação e estrutura ao Vetor: é a partir das propriedades Matemáticas que se explicam
todas as relações envolvendo este conceito.
A apropriação dos conceitos Vetor e Força constituem-se como ferramentas cognitivas
necessárias no desenvolvimento de competências e habilidades relacionadas ao campo de
atuação do engenheiro. São conceitos que assim como vários outros estão fortemente
articulados. A Mecânica necessita do conceito Força para explicar e representar situações,
problemas e traçar soluções: a força é uma grandeza vetorial e como tal necessita do conceito
vetor para ser representada e das operações com vetores para explorar situações, resolver
problemas e encontrar soluções.
Nesse sentido, a partir das análises realizadas, podemos afirmar que a abordagem dada
ao conceito Força está fortemente relacionada a uma grandeza vetorial e às noções intuitivas de
algum tipo de força muscular, como por exemplo, empurrar ou puxar. E, nesse contexto, o
conceito Vetor é abordado para representar geométrica e/ou algebricamente, situações que
envolvem força. Porém, salienta-se que no contexto matemático Vetor é entendido como vetor
livre, já que pode ser representado em qualquer lugar do plano ou do espaço por meio de seus
representantes. Na Física e Engenharia o Vetor pode ser entendido como vetor deslizante,
quando envolve forças que são aplicadas ao longo de uma reta suporte, ou então como vetor
fixo quando o contexto envolve a aplicação de uma força pontual.
No decorrer das análises realizadas é possível perceber a ideia das relações conceituais
que envolvem o conceito aqui discutido, conceito força. Considerando a teoria que embasa este
estudo, Teoria Histórico-Cultural, a qual defende que um conceito não se forma sozinho, mas
sim nas relações com outros conceitos, ficou evidente, no decorrer desta escrita, a partir dos
mapas conceituais apresentados no decorrer das análises, as relações conceituais atribuídas ao
conceito força.
AGRADECIMENTOS: CAPES.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING e Isabel Koltermann BATTISTI
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RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 24
CRediT Author Statement
Reconhecimentos: À minha orientadora, Cátia Maria Nehring, e coorientadora, Isabel
Koltermann Battisti, pela confiança conferida a mim, pela dedicação, pelo apoio, por
acreditar no desenvolvimento desta pesquisa, pela paciência e incentivo. Esta pesquisa deve
muito a paciência, dedicação, sabedoria e competência de vocês.
Financiamento: CAPES.
Conflitos de interesse: Os autores declaram que não há conflitos de interesse.
Aprovação ética: O trabalho passou pela comissão de ética da instituição e foi aprovado
sob número do parecer do CEP: 825.339.
Disponibilidade de dados e material: Não aplicável.
Contribuições dos autores: Viviane Roncaglio: Conceitualização, Metodologia,
Investigação, Redação - Rascunho Original, Visualização, Validação. Isabel Koltermann
Battisti: Conceitualização, Metodologia, Redação - revisão e edição, análise formal,
Supervisão, Aquisição de financiamento. Cátia Maria Nehring: Conceitualização,
Metodologia, Redação - revisão e edição, Análise formal, Supervisão, Administração do
projeto, Aquisição de financiamento.
Processamento e editoração: Editora Ibero-Americana de Educação.
Revisão, formatação, normalização e tradução.
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-5587
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CONCEPTO DE FUERZA: UNA GRANDEZA VECTORIAL MOVILIZADA POR LA
MECÁNICA Y BASE DE LOS CURSOS DE INGENIERÍA
CONCEITO FORÇA: UMA GRANDEZA VETORIAL MOBILIZADA PELA MECÂNICA
E BASE DOS CURSOS DE ENGENHARIA
FORCE CONCEPT: A VECTOR GREATNESS MOBILIZED BY MECHANICS AND
THE BASE OF ENGINEERING COURSES
Viviane RONCAGLIO1
e-mail: roncaglioviviane@gmail.com
Cátia Maria NEHRING2
e-mail: catia@unijui.edu.br
Isabel Koltermann BATTISTI3
e-mail: isabel.battisti@unijui.edu.br
Cómo hacer referencia a este artículo:
RONCAGLIO, V.; NEHRING, C. M.; BATTISTI, I. Concepto de
fuerza: Una grandeza vectorial movilizada por la mecánica y base
de los cursos de ingeniería. Revista Ibero-Americana de Estudos
em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN:
1982-5587. DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208
| Presentado en: 31/01/2022
| Revisiones requeridas en: 23/05/2022
| Aprobado en: 04/12/2022
| Publicado en: 01/01/2023
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Editor Adjunto Ejecutivo:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Universidad Regional del Noroeste del Estado de Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Miembro del
GEEM. Doctorado en Educación de la Ciencias.
2
Universidad Regional del Noroeste del Estado de Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Profesora.
Líder del GEEM. Doctorado en Educación (UFSC).
3
Universidad Regional del Noroeste del Estado de Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brasil. Profesora.
Miembro del GEEM. Douctorado en Educación em las Ciencias (UNIJUÍ).
Concepto de fuerza: Una grandeza vectorial movilizada por la mecánica y base de los cursos de ingeniería
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RESUMO: Esse estudo tem por objetivo, a partir de uma revisão bibliográfica, constituir um
aporte teórico que possibilita a compreensão do conceito Força como uma grandeza vetorial, a
partir do campo e das relações conceituais que o constituem. Para tanto, consideramos como
material de análise as definições de força apresentadas em capítulos de livros da bibliografia
básica das disciplinas de Física I e Mecânica Geral I de um Curso de Engenharia Civil. A
fundamentação teórica que sustenta a escrita é a Teoria Histórico-Cultural. O percurso
metodológico utilizado é a Análise Textual Discursiva de Moraes e Galiazzi (2016), a partir da
qual constituímos as unidades de significado, as categorias e as proposições. A partir das
análises realizadas, concluímos que a abordagem dada ao conceito força está fortemente
relacionada a uma grandeza vetorial e às noções intuitivas de empurrar ou puxar.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria histórico-cultural. Apropriação conceitual. Aprendizagem.
Conceito matemático. Engenharia Civil.
RESUMEN: Este escrito tiene por objetivo, a partir de una revisión bibliográfica, constituir
un aporte teórico que posibilite la comprensión del concepto Fuerza como una de las
magnitudes vectoriales, desde el campo y las relaciones conceptuales que lo constituyen. Para
ello, consideramos como material de análisis las definiciones de fuerza presentadas en
capítulos de libros de la bibliografía básica de las asignaturas de Física I y Mecánica General
I de una carrera de Ingeniería Civil. La fundamentación teórica que sustenta la escrita es la
Teoría Histórico-Cultural. El enfoque metodológico utilizado es el Análisis Textual Discursivo
de Moraes y Galiazzi (2016), a partir del cual constituimos las unidades de sentido, categorías
y proposiciones. A partir de los análisis realizados concluimos que el abordaje aplicado al
concepto de fuerza está fuertemente relacionado con una magnitud vectorial y las nociones
intuitivas de empujar o tirar.
PALABRAS CLAVE: Teoría histórico-cultural. Apropiación conceptual. Aprendizaje.
Concepto matemático. Ingeniería Civil.
ABSTRACT: This writing aims, from a bibliographic review, to constitute a theoretical
contribution that makes possible the understanding of the Force concept as a vector quantity,
from the field and the conceptual relationships that constitute it. In order to do so, we
considered as material for analysis the force definitions presented in book chapters of the basic
bibliography of the Physics I and General Mechanics I disciplines of a Civil Engineering
Course. The theoretical foundation that supports this writing is the Historical-Cultural Theory.
The methodological approach used is the Discursive Textual Analysis of Moraes and Galiazzi
(2016), from which we constitute the units of meaning, categories and propositions. From the
analyzes carried out, we concluded that the approach given to the force concept is strongly
related to a vector quantity and the intuitive notions of pushing or pulling.
KEYWORDS: Historical-cultural theory. Conceptual appropriation. Learning. Mathematical
concept. Civil Engineering.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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Introducción
La sociedad está en constante evolución, lo que posibilita la aparición de nuevas
tecnologías y medios que permiten el acceso a cualquier tipo de información. Esto requiere
habilidades/destrezas analíticas y de síntesis, para permitir que cada sujeto comprenda e
intervenga en este contexto cada vez más complejo y, en consecuencia, cada vez más
competitivo. El trabajo entendido como actividad humana (RONCAGLIO; BATTISTI;
NEHRING, 2021) requiere profesionales calificados con habilidades diversas, con
conocimientos teóricos y prácticos esenciales para satisfacer las demandas de la sociedad
contemporánea y, por lo tanto, se requiere una formación profesional calificada que satisfaga
tales expectativas y necesidades. En esta perspectiva, la educación superior es un proceso
formal de enseñanza responsable de la formación profesional, capaz de permitir el desarrollo
de habilidades y destrezas que permitan al sujeto actuar de manera eficiente y consciente en
diferentes realidades.
En los procesos de formación profesional, el Curso de Ingeniería Civil, foco de este
estudio, necesita promover en los estudiantes el desarrollo de habilidades y destrezas
específicas, enfocadas en su área de actividad, tales como: supervisión, coordinación y
orientación técnica; estudio de viabilidad técnica y económica; asistencia, asesoramiento y
consultoría; dirección de obra y servicio técnico; encuesta, peritaje, arbitraje, informe y opinión
técnica; presupuestación; ejecución y finalización de trabajos y servicio técnico; desempeño del
cargo y función técnica; realizar trabajos técnicos y realizar equipos de instalación, montaje,
operación, reparación o mantenimiento; ejecución técnica de planos (RONCAGLIO;
BATTISTI; NEHRING, 2021). Estas habilidades requieren conocimientos teóricos y prácticos
que deben ser aprendidos por los futuros ingenieros durante el curso de la formación
profesional.
La relación del sujeto con la realidad que abarca su profesión no es una relación directa,
está mediada por diferentes conceptos aprehendidos a partir de procesos que involucran
significado. La apropiación de tales conceptos amplía fuertemente las condiciones de la
constitución profesional del sujeto. En el caso de la profesión de ingeniero, destacamos dos
ciencias fundamentales, Matemáticas y Física, siendo los conceptos discutidos por tales
ciencias básicas del estudio de la Ingeniería. En matemáticas, el Concepto Vectorial se trata con
enfoques del campo de la aritmética, la geometría y el álgebra. En física, el concepto Fuerza es
una magnitud vectorial que requiere un módulo, una orientación y una dirección para ser
representada, es decir, necesita el Concepto Vectorial para su representación. Estas dos ciencias
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se correlacionan entre sí, la física utiliza las matemáticas como una herramienta que permite
explicar y/o representar fenómenos físicos, como es el caso del concepto de Fuerza y el
Concepto Vector.
En este sentido, considerando las atribuciones de un curso de educación superior, así
como la importancia de la aprehensión de conceptos científicos, como elementos mediadores,
por parte de los estudiantes, los conceptos que integran el currículo de las disciplinas necesitan
ser entendidos con y desde el campo y las relaciones jerárquicas de las que forman parte.
En vista de lo anterior, el presente escrito, que forma parte de una investigación más
amplia, tiene como objetivo: constituir una contribución teórica que permita la comprensión del
concepto Fuerza, como vector magnitud, desde el campo y las relaciones conceptuales que lo
constituyen. Este objetivo se delimita a partir de la siguiente pregunta: ¿Cuál es el enfoque dado
al concepto Fuerza en los libros de la bibliografía básica de las disciplinas Física I y Mecánica
General I, que introducen y discuten este concepto en los Cursos de Ingeniería?
La apropiación de conceptos desde la perspectiva histórico-cultural
Partiendo del enfoque histórico-cultural, entendemos el conocimiento como resultado
de la actividad humana en experiencias con el entorno físico y social, y que el aprendizaje
humano tiene así un carácter social. En esta perspectiva, el aspecto social y la apropiación de
conceptos científicos por parte de los sujetos son extremadamente importantes, ya que el
desarrollo humano depende de las interacciones establecidas mediadas por signos e
instrumentos.
Cuando el sujeto se apropia del significado de un concepto científico, la relación que
establece con él está mediada por otros conceptos. En la perspectiva histórico-cultural, un
concepto no se forma solo, sino en relación con otros, insertado en un sistema conceptual. Para
Vigotsky (2008, p. 104, nuestra traducción):
[...] Un concepto es más que la suma de ciertas conexiones asociativas
formadas por la memoria, es más que un simple hábito mental; Es un acto de
pensamiento real y complejo que no se puede enseñar a través del
entrenamiento, y solo se puede realizar cuando el propio desarrollo mental del
niño ya ha alcanzado el nivel necesario.
En esta perspectiva, el significado de un concepto está estrechamente relacionado con
los procesos de abstracción y generalización y corresponde a la evolución de los niveles de
aprehensión y significado de las palabras. La apropiación de conceptos ocurre a través de
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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abstracciones y generalizaciones, que están relacionadas con la movilización de diferentes tipos
de representación de un concepto expresado por un sistema de signos. Para Vigotski (2008, p.
104, nuestra traducción), un concepto expresado por una palabra representa un acto de
generalización.
Cuando el niño se apodera de una nueva palabra, su desarrollo apenas ha
comenzado: la palabra es principalmente una generalización del tipo más
primitivo; A medida que el intelecto del niño se desarrolla, es reemplazado
por generalizaciones de un tipo cada vez más alto, un proceso que
eventualmente conduce a la formación de conceptos verdaderos. El desarrollo
de conceptos, o significados de palabras, presupone el desarrollo de muchas
funciones intelectuales: atención deliberada, memoria lógica, abstracción,
capacidad de comparar y diferenciar.
Así, la apropiación del significado de un concepto por parte del académico implica el
desarrollo de funciones mentales superiores y estas están relacionadas con la estructura del
concepto, su formación, el significado producido en diferentes contextos y el establecimiento
de relaciones conceptuales. La apropiación por parte del estudiante de ingeniería del concepto
vectorial expande las condiciones de atribución de nuevos significados a su mundo, es decir, al
contexto de la profesión, amplía sus horizontes de percepciones y permite modificar la forma
de interacción con la realidad que la rodea. Esta interiorización o apropiación del concepto por
parte del alumno se produce de afuera hacia adentro, de lo social a lo individual, siendo un
proceso complejo que requiere una interacción deliberada e intencional. No basta con presentar
el concepto al estudiante, necesita comprender el contexto histórico y cultural, significa
apropiarse de las experiencias sociales históricamente construidas por la humanidad. Una vez
interiorizado, este concepto forma parte de las adquisiciones del desarrollo de los sujetos, y
puede convertirse en una herramienta de su pensamiento. En la Teoría Histórico-Cultural, la
apropiación de conceptos implica "[...] la reconstrucción interna de una operación externa"
(VIGOTSKY, 1994, p. 74, nuestra traducción), que consiste en una serie de transformaciones,
que son:
a) Una operación que inicialmente representa una actividad externa se
reconstruye y comienza a ocurrir internamente. Es de particular importancia
para el desarrollo de procesos mentales superiores a la transformación de la
actividad que utiliza signos, cuya historia y características se ilustran con el
desarrollo de la inteligencia práctica, la atención voluntaria y la memoria.
b) un proceso interpersonal se transforma en un proceso intrapersonal. Todas
las funciones en el desarrollo del niño aparecen dos veces: primero, a nivel
social, y luego a nivel individual; Primero, entre personas (interpsicológico),
y luego dentro del niño (intrapsicológico). Esto también se aplica a la atención
voluntaria, la memoria lógica y la formación de conceptos. Todas las
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funciones superiores se originan en las relaciones reales entre los individuos
humanos.
c) La transformación de un proceso interpersonal en un proceso intrapersonal
es el resultado de una larga serie de eventos que ocurrieron a lo largo del
desarrollo. El proceso, transformándose, continúa existiendo y cambiando
como una forma externa de actividad durante un largo período de tiempo,
antes de interiorizarse permanentemente (VIGOTSKY, 1994, p. 75, nuestra
traducción).
En el curso de este proceso, hay aprendizajes que permiten transformaciones en las
funciones psíquicas superiores y, en consecuencia, el desarrollo del sujeto. El aprendizaje aquí
se considera fundamental para el proceso de desarrollo de funciones psicológicas superiores;
para Vigotsky (1994, p. 108, nuestra traducción), el aprendizaje genera desarrollo: "Aprender
es más que adquirir la capacidad de pensar; es la adquisición de muchas capacidades
especializadas para pensar en varias cosas". Em este sentido:
[...] El aprendizaje no es desarrollo; Sin embargo, el aprendizaje
adecuadamente organizado da como resultado el desarrollo mental y pone en
marcha varios procesos de desarrollo que de otro modo serían imposibles de
suceder. Por lo tanto, el aprendizaje es un proceso de desarrollo de funciones
psicológicas culturalmente organizadas y específicamente humanas
(VIGOTSKY, 1994, p. 118, nuestra traducción).
Según Vigotsky (1994), el aprendizaje es un aspecto necesario para el desarrollo de
funciones psicológicas superiores, que están organizadas por la cultura y se caracterizan como
específicamente humanas. Así, el desarrollo humano está intrínsecamente relacionado con la
interacción sociocultural del hombre, es decir, la formación de la psique humana, de las
capacidades mentales, afectivas y psicomotoras, antes de ser desarrolladas por el hombre, ya
están disponibles en la sociedad, a través de la cultura. Por lo tanto, se impide que el desarrollo
ocurra en ausencia de situaciones propicias para el aprendizaje: requiere una acción pedagógica
intencional, el aprendizaje se produce a partir de interacciones con el otro. Sin embargo, vale
la pena mencionar que el aprendizaje resulta en el desarrollo del sujeto cuando moviliza
operaciones mentales superiores, basadas en procesos de análisis y síntesis, en diferentes
contextos.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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Procedimientos metodológicos
La investigación aquí presentada se constituye a partir del marco metodológico del
Análisis Textual Discursivo - ATD - de Moraes y Galiazzi (2016). ATD está estructurado en
tres etapas, unitarización, categorización y metatexto. La primera etapa de ATD, la
unitarización, es el movimiento inicial del análisis, que requiere una lectura cuidadosa y
profunda de los datos. Está marcado por el trastorno, el momento de la deconstrucción de los
datos, en el que el investigador al analizar los datos realiza diversas interpretaciones. De este
movimiento emergen las unidades de significado.
Consideramos, como material de análisis, las definiciones presentadas en capítulos de
los libros de la bibliografía básica propuesta en el Plan Docente de las disciplinas de Física I y
Mecánica General I, del Curso de Ingeniería Civil de la institución en la que la primera autora
desarrolló sus estudios de doctorado y que los otros dos investigadores actúan como profesores.
La Tabla 1 presenta estas bibliografías.
Se optó por analizar capítulos de libros, considerando que este es un instrumento que
sirve de guía para el profesor y como recurso en el aprendizaje de los estudiantes. Los libros
enumerados en la bibliografía básica tienen el significado de guiar al maestro en lo que se
propondrá, su énfasis, enfoque en la disciplina, y pueden presentar elementos que apoyen la
organización de la enseñanza. Para los estudiantes, ciertamente amplía las condiciones de
estudio, involucrando los conceptos estructurantes y los procedimientos necesarios para su
formación.
Consideramos las disciplinas de Física I y Mecánica General I porque inician
discusiones sobre Mecánica y sobre el concepto Fuerza en el Curso de Ingeniería Civil, además,
la disciplina de Mecánica General I es la primera disciplina específica de los Cursos de
Ingeniería que moviliza el Concepto Vectorial. Vale la pena mencionar que tales disciplinas
forman parte del plan de estudios de todas las Ingenierías Universitarias consideradas en este
estudio, denominándose disciplinas del núcleo común, o disciplina del núcleo básico de estos
cursos.
En esta producción, estamos considerando las definiciones y conceptos presentados en
los libros de la bibliografía básica de ambas disciplinas, mencionadas anteriormente,
relacionadas con el concepto Fuerza. Desde esta perspectiva, entendemos que es posible
Concepto de fuerza: Una grandeza vectorial movilizada por la mecánica y base de los cursos de ingeniería
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elaborar una contribución teórica que permita la comprensión de este concepto como una
magnitud vectorial, desde el campo y las relaciones conceptuales que lo constituyen.
Tabla 1 - Referencia de los libros de Física I y Mecánica General I, analizados en esta
producción
Disciplinas
Bibliografías
Física I
Livro F1: HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física: Mecânica. 9. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2012. v. 1.
Livro F2: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 1: Mecânica. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blucher, 1981.
Livro F3: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Sears e Zemansky – Física 1: Mecânica. 12. ed.
São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.
Mecánica
General I
Livro M1: BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: AMGH,
2012.
Livro M2: HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2015.
Livro M3: MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: estática. Rio de Janeiro:
LTC, 2013. v. 1.
Fuente: Producción de investigación
A partir del análisis realizado en este primer movimiento, en la unitarización de los
datos, definimos las siguientes unidades de significado, Mecánica - principios y conceptos
fundamentales de Mecánica y Fuerza - concepto fundamental de mecánica. Después de
definidas, se definen las unidades de significado, llegamos a la segunda etapa de la ATD, la
categorización, donde se lleva a cabo un movimiento constructivo.
La categorización es un tiempo de síntesis y organización de un conjunto de
información relacionada con los fenómenos investigados. Estas síntesis son
las teorizaciones del investigador, producidas desde perspectivas teóricas
implícitas de los sujetos de investigación y del propio investigador, siempre
en diálogo con otros teóricos. Requieren mejora continua, adecuación y
refinamiento a lo largo del proceso de análisis y producción escrita. El proceso
de categorización constituye una estrategia de movimiento de investigación
que va de lo empírico a lo abstracto, a partir de datos recogidos para las teorías
construidas o reconstruidas por el investigador (MORAES; GALIAZZI, 2016,
p. 112-113, nuestra traducción).
En otras palabras, considerando este marco metodológico, se producen las categorías de
análisis que dieron cuerpo a este estudio. El Gráfico 2 presenta la unidad de significado y las
categorías considerando la referencia ATD, y para examinar mejor la intención de la
investigación, también se presentan las proposiciones (tercera etapa del ATD), definidas a partir
del corpus analizado. La proposición se estructura a partir de la captura de lo emergente en el
que se comunica y valida la nueva comprensión, considerando la relación empírica/teoría. Es
la construcción de un metatexto por parte del investigador haciendo consideraciones en relación
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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con las categorías de análisis que ha construido y las unidades de significado identificadas en
los datos producidos. Es un escrito que busca presentar de manera clara y objetiva la
comprensión del investigador en relación con el análisis de datos relacionados con la fundación
que sustenta el estudio.
Tabla 2 - Unidades de significado, categorías y proposiciones del corpus
Unidades de significado
Categorías
Proposiciones
Mecánica - principios y
conceptos fundamentales de
la Mecánica.
La mecánica como rama de la física.
Mecánica: una rama de la física que
moviliza la fuerza vectorial.
Fuerza - concepto
fundamental de la
mecánica.
Enfoque conceptual de la fuerza en
libros de la bibliografía básica de la
disciplina de Física I.
El concepto fuerzas integra un sistema
conceptual. Vector, una herramienta
matemática para la representación de la
fuerza.
Fonte: Produção da pesquisa
Mecánica: principios y conceptos fundamentales
La mecánica como rama de la física
En esta categoría, buscamos llevar la comprensión de la Mecánica desde el enfoque
dado en los libros de la bibliografía básica de la disciplina Mecánica General I, la primera
disciplina específica de los Cursos de Ingeniería que discute la Fuerza y que consecuentemente
moviliza al Vector. Además, se discuten conceptos fundamentales relacionados con la
Ingeniería que se abordan en otras disciplinas específicas del curso. Con este fin, presentamos
discusiones basadas en la siguiente proposición: "Mecánica – una rama de la física que moviliza
la fuerza de magnitud vectorial".
Mecánica: una rama de la física que moviliza la fuerza vectorial
La mecánica se puede definir como una rama de la física que describe y predice las
condiciones de descanso o movimiento de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas. Se puede
entender a partir de la mecánica de cuerpos rígidos, la mecánica de cuerpos deformables y la
mecánica de fluidos. La mecánica de los cuerpos rígidos se subdivide en dos partes, estática y
dinámica. La estática estudia los cuerpos en reposo, siendo una parte esencial de la mecánica,
ampliamente utilizada por los ingenieros, ya que se aplica en situaciones que implican, por
ejemplo, el cálculo del peso que una grúa puede levantar, o bien el cálculo de la fuerza sobre
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un punto en un puente y si su estructura puede soportar dicha fuerza, o para determinar la fuerza
ejercida por el agua que una presa en un río necesita soportar, o cuánta fuerza necesita una
locomotora para detener un tren de carga, entre otras aplicaciones. La dinámica, por otro lado,
estudia cuerpos en movimiento, como diseñar un edificio para resistir terremotos, o calcular
cuánta fuerza se necesita para acelerar un crucero de 300,000 toneladas o la fuerza para poner
un satélite en órbita. En la mecánica de cuerpos rígidos, los cuerpos considerados son
perfectamente rígidos, es decir, no sufren ningún tipo de deformación (BEER et al., 2012).
La mecánica de los cuerpos deformables estudia los cuerpos que se deforman bajo la
acción de la fuerza. Es la parte de la mecánica que analiza estructuras y materiales, considerando
la resistencia bajo fuerzas o cargas que pueden causar deformaciones. La mecánica de fluidos
se subdivide en estática de fluidos, que estudia el comportamiento de los fluidos a
desplazamiento y velocidad constantes, es decir, en reposo, y dinámica de fluidos, que estudia
el comportamiento de los fluidos en movimiento. Esta parte de la mecánica estudia situaciones
del tipo equilibrio de cuerpos flotantes – embarcaciones, o acción del viento en construcciones
civiles, o cálculo de instalaciones hidráulicas – instalación de recalque en edificios, o
instalaciones de vapor – calderas, o incluso acciones de fluidos en superficies sumergidas –
presas, entre varias otras situaciones. En Ingeniería Civil, es la base del estudio del transporte
y los fenómenos hidráulicos.
Según Beer et al. (2012), el propósito de la mecánica es explicar y predecir fenómenos
físicos, estableciendo las bases o herramientas para aplicaciones en ingeniería. Los conceptos
básicos utilizados en mecánica son espacio, tiempo, masa y fuerza, de los cuales destaca el
concepto Fuerza (foco de este estudio), una magnitud vectorial, en general, definida por las
bibliografías analizadas, como una acción de un cuerpo sobre otro. Puede ejercerse por contacto
directo o distancia, y se caracteriza por su intensidad, el punto de aplicación y su dirección,
representada por un vector. La fuerza es un concepto físico fundamental en el estudio de la
mecánica, una rama esencial en los cursos de ingeniería. Meriam y Kraige (2013, p. VII, nuestra
traducción) contribuyen a la discusión señalando que el objetivo:
[...] fundamental del estudio de la Mecánica en Ingeniería es desarrollar la
capacidad de predecir efectos de fuerzas y movimientos al realizar es creativas
de diseño de ingeniería. Esta habilidad requiere más que el simple
conocimiento de los principios físicos y matemáticos de la mecánica; También
se requiere la capacidad de visualizar configuraciones físicas en términos de
materiales reales, restricciones reales y limitaciones prácticas que guían el
comportamiento de máquinas y estructuras.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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Es decir, el estudio de la mecánica involucra una gama de conceptos que son necesarios
para su comprensión, una red de conceptos articulados a partir de relaciones, que definen y,
cuando se consideran, amplían las condiciones de apropiación de dicho conocimiento por parte
de los sujetos que lo investigan, como se indica en la Figura 1.
Figura 1 – Mapa de relaciones en el estudio de la mecánica en los cursos de ingeniería
Fuente: Preparada por las autoras
El mapa de las relaciones constitutivas de una red conceptual presentado en la Figura 1
marca un punto importante abordado por la fundamentación teórica de este estudio, que sostiene
que un concepto se forma a partir de la relación con otros, siendo insertado en un sistema
conceptual, porque un concepto nunca se constituye solo, de manera aislada o fragmentada. Es
decir, el mapa presenta, en forma de síntesis, las relaciones observadas en el estudio de la
mecánica, desde la perspectiva del Curso de Ingeniería. Cabe mencionar que la construcción
del mapa se basó en el análisis de los libros de la bibliografía básica de la disciplina Mecánica
General I.
El mapa de las relaciones en el estudio de la mecánica en los cursos de ingeniería deja
clara la importancia de la comprensión y apropiación de la fuerza de magnitud vectorial para el
trabajo con las definiciones de mecánica. Comprender esta grandeza es fundamental porque la
mecánica esencialmente explora situaciones que involucran fuerza. En este sentido, la siguiente
categoría de análisis busca presentar esta magnitud vectorial, que es un concepto físico, desde
la física, que se encarga de introducir conceptos básicos y esenciales en los cursos de ingeniería.
Concepto de fuerza: Una grandeza vectorial movilizada por la mecánica y base de los cursos de ingeniería
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Fuerza: concepto fundamental de la mecánica
Enfoque conceptual de la fuerza en libros de la bibliografía básica de la
disciplina física I
Esta categoría presenta definiciones relacionadas con el concepto Fuerza abordado en
libros de la bibliografía básica de la disciplina de Física I. Entendemos que la forma en que este
concepto se presenta en algunos capítulos de los libros de esta disciplina interfiere
significativamente en el proceso de aprehensión conceptual por parte de los estudiantes,
recordando que dicha disciplina es responsable de la introducción de conceptos básicos que se
exploran en el estudio de la mecánica y, en consecuencia, en diversas disciplinas. cursos de
ingeniería, especialmente en cursos de ingeniería civil. Para ello, presentamos la discusión a
partir de dos proposiciones: la primera el concepto fuerzas integra un sistema conceptual, y la
segunda Vector, una herramienta matemática para la representación de la fuerza.
El concepto fuerzas integra un sistema conceptual
Considerando los análisis realizados para identificar las definiciones presentadas para
el concepto fuerza, encontramos en el libro F1 la mención inicial de fuerza presentada de la
siguiente manera:
Definamos ahora la unidad de fuerza. Sabemos que una fuerza puede hacer
que un cuerpo acelere. Por lo tanto, definimos la unidad de fuerza en términos
de la aceleración que una fuerza imprime a un cuerpo de referencia [...]. A este
cuerpo se le asignó, exactamente y por definición, una masa de 1 kg.
Colocamos el cuerpo estándar sobre una mesa horizontal sin fricción y tiramos
de él hacia la derecha hasta que, por ensayo y error, adquiere una aceleración
de 1 m/s2. Entonces declaramos, a modo de definición, que la fuerza que
estamos ejerciendo sobre el cuerpo estándar tiene un módulo de 1 newton
(1N). Una fuerza se mide, por lo tanto, por la aceleración que produce. Sin
embargo, la aceleración es una magnitud vectorial porque tiene un módulo y
una orientación. ¿Es la fuerza también un vector de grandeza? Podemos
asignar fácilmente una guía a la fuerza (simplemente asignarle la guía de
aceleración), pero eso no es suficiente. Debemos probar experimentalmente
que las fuerzas son cantidades vectoriales. En realidad, eso se hizo hace mucho
tiempo. Las fuerzas son realmente cantidades vectoriales: tienen un módulo y
una orientación y se combinan de acuerdo con las reglas del vector
(HALLIDAY; RESNICK, 2012, p. 92, nuestra traducción).
En el libro F1, el concepto Fuerza está relacionado con la aceleración de un cuerpo, que
se produce, en el caso específico presentado por el libro, por un "empuje" y la idea de grandeza
vectorial. Además de la noción intuitiva de Fuerza, el libro presenta un enfoque conceptual
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definiendo este concepto como una grandeza vectorial y destacando que el trabajo con estas
cantidades sigue reglas vectoriales, es decir, desde un enfoque matemático. Este hecho marca
nuestra comprensión de la necesidad del concepto vectorial como un objeto matemático a
considerar en las relaciones de la fuerza de magnitud vectorial.
El libro F2 presenta el concepto desde una relación con la idea intuitiva del esfuerzo
muscular, es decir, una forma de definir la Fuerza, considerando que es un concepto universal
y que puede tener numerosas interpretaciones.
[...] Todos sabemos por experiencia que el movimiento se ve afectado por la
acción que a menudo llamamos "fuerzas". Nuestra idea intuitiva de las fuerzas
está relacionada con el esfuerzo muscular, y sabemos que al ejercer "fuerzas"
de este tipo, podemos poner objetos en movimiento o, más generalmente,
cambiar su estado de movimiento. [...] Una fuerza produce efectos diferentes
según la dirección y la dirección y la que se aplica, lo que sugiere una
representación de tipo vectorial (NUSSENZVEIG, 1981, p. 89-90, nuestra
traducción).
Como podemos observar, en el libro F2, esto establece una relación con las
comprensiones intuitivas del concepto, además del enfoque conceptual cuando trae los
elementos constitutivos de la grandeza vectorial (dirección y dirección), destacando la
necesidad del concepto Vector para la representación de la Fuerza, "una representación del tipo
vectorial". F3 relaciona el concepto de Fuerza con la idea de esfuerzo muscular, tirar o empujar.
Además, señala que tal concepto es una grandeza vectorial, después de todo podemos empujar
o tirar de un objeto en diferentes posiciones, lo que marca un enfoque conceptual.
En el lenguaje cotidiano, ejercer una fuerza significa tirar o empujar. Una
mejor definición es que una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre
el cuerpo y su entorno. Por lo tanto, siempre nos referimos a la fuerza que un
cuerpo ejerce sobre otro. Cuando empujas un coche tirado en la nieve, ejerces
una fuerza sobre él; un cable de acero ejerce una fuerza sobre la viga que
sostiene en una construcción; y así sucesivamente. [...] la fuerza es una
magnitud vectorial; puede empujar o tirar de un cuerpo en diferentes
direcciones (YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 106, nuestra traducción).
Ambos conceptos presentados en los libros no presentan una definición formal para el
concepto físico: la noción conceptual de lo que significa Fuerza no está incluida en los libros
analizados. Lo que los libros presentan son ideas que constituyen la fuerza conceptual, como la
idea de grandeza vectorial, de necesidad de dirección, dirección e intensidad, elementos que
constituyen el sistema conceptual.
Las relaciones presentadas parten de una noción intuitiva de un esfuerzo que genera un
movimiento de un cuerpo u objeto, como empujar y tirar. La fuerza es un concepto científico,
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en el área de la física, es una acción que causa movimiento: aceleración, desplazamiento de
objetos o deformaciones. Además, hay varios tipos de fuerza, como fuerza normal, fricción,
aunque fuerza, fuerza de tensión, fuerza centrípeta, fuerza inercial, entre otros que la física
considera.
Los tres libros, al referirse al concepto Fuerza, lo relacionan con una magnitud vectorial,
es decir, la Fuerza se define según su módulo (representa su intensidad), dirección (direcciones
en las que se aplican las fuerzas) y dirección (positiva, negativa, arriba y abajo, derecha e
izquierda...). Citan las leyes de Newton como las leyes que definen el comportamiento de las
fuerzas: la primera Ley – Ley de Inercia (si un cuerpo está en reposo tiende a permanecer en
reposo, si está en movimiento tiende a permanecer en movimiento con velocidad constante), la
segunda Ley – Principio Fundamental de la Dinámica (la fuerza resultante que actúa sobre un
cuerpo es igual al producto de la aceleración de un cuerpo por su masa) y la tercera Ley – Ley
Acción y Reacción (las fuerzas de acción y reacción siempre tienen el mismo módulo y actúan
en la misma dirección, pero presentan direcciones opuestas).
Las Leyes de Newton describen las causas que pueden alterar el estado de movimiento
de un cuerpo y se configuran como base para la comprensión de la Mecánica, una rama de la
física responsable de los estudios de los movimientos, como vimos en el ítem. Además,
destacamos aquí de nuevo a la Fuerza como agente responsable de cambiar el estado de
movimiento de un cuerpo, cambiando su velocidad. Es decir, la Fuerza es un concepto central
en la física, es a partir de ella que muchos fenómenos físicos pueden ser analizados y mejorados,
y en consecuencia contribuyeron significativamente para que la humanidad pudiera
evolucionar. Es un concepto básico para el estudio de gran parte de la física y, al igual que otros
conceptos, también forma parte de un sistema conceptual, como se muestra en la Figura 2 a
continuación.
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Figura 2 – Mapa de relaciones en el estudio de la fuerza en la disciplina física I
Fuente: Preparado por las autoras
El concepto Fuerza permitió el surgimiento de las Leyes de Newton y se basa en el
estudio de la Mecánica, es una magnitud vectorial, y para ser representada, necesita el concepto
matemático Vector: solo es posible representar la fuerza usando Vector. Los conceptos
discutidos en los libros aquí analizados y que fueron la base para la construcción del mapa
conceptual, al presentar este concepto, hacen esta relación, resaltan la Fuerza como una
magnitud vectorial y sugieren una representación del tipo vectorial, es decir, a partir de
vectores.
En general, la Fuerza es un concepto físico, una grandeza vectorial, fundamental en
física y la base del estudio de la Mecánica. Se moviliza en mecánica para explorar situaciones
y/o analizar fenómenos, además de permitir definir variables y resolver problemas. Sin
embargo, esto sólo es posible a través de la representación geométrica o algebraica del concepto
de Fuerza. Es decir, a través del Vector, considerando la representación geométrica y/o
algebraica de situaciones que involucran Fuerza, es posible explorar, analizar, definir variables,
encontrar el problema y/o señalar soluciones. Así, Vector es un concepto esencial en este
proceso, es el concepto que permite la representación de situaciones que involucran Fuerza.
Por eso decimos que la Fuerza es un concepto físico basado en la mecánica y que
necesita del Vector, un concepto matemático que permite, a través de su representación
geométrica, que ocurra este proceso de representación geométrica de la Fuerza. Para
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comprender mejor este concepto matemático y su importancia en el proceso de formación
profesional del ingeniero, el siguiente es un elemento que trata el concepto de vector como una
herramienta matemática para la representación de la fuerza.
Vector, una herramienta matemática para la representación de la fuerza
Vector es un concepto matemático que según el estudio ya desarrollado (RONCAGLIO;
BATTISTI; NEHRING, 2021), se discute inicialmente en la disciplina de Geometría Analítica
y Vectores o bien en la disciplina de Álgebra Lineal, siendo estas las disciplinas responsables
de introducir este concepto en la educación superior, especialmente en los cursos de las áreas
de Ciencias Exactas, como Matemáticas e Ingeniería. Este concepto se explora en los primeros
semestres de los cursos, generalmente en el segundo o tercer semestre. Roncaglio, Battisti y
Nehring (2021), corroboran la discusión presentando una tabla con disciplinas de cursos de
ingeniería (Civil, Eléctrica y Mecánica) que introducen el concepto Vector. La tabla presentada
por las autoras refuerza la idea de un núcleo común de disciplinas que discuten e introducen el
concepto Vector, y marcan este concepto como básico en la formación profesional.
En este sentido, en la investigación (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021) la
idea de Vector se refuerza como concepto base fundamental para la formación profesional del
Ingeniero, ya que destaca las disciplinas específicas del Curso de Ingeniería Civil que moviliza
Vector. Además, algunas de las disciplinas mencionadas en este artículo forman parte del
núcleo común de los cursos y, por lo tanto, apuntan a la movilización de este concepto en todos
los cursos de ingeniería. Por lo tanto, Vector es un concepto matemático básico de los cursos
de ingeniería y esencial para la constitución profesional de los ingenieros.
Matemáticamente, Vector es definido por Santos (2007, p. 2-3, nuestra traducción)
como:
Definición 1 – Diremos que el segmento orientado a AB está equipado con el
segmento orientado a A'B' si se verifica una de las siguientes tres
afirmaciones:
1. A = B y A' = B'.
2. AB y A'B' están situados en la misma recta y es posible deslizar A'B' sobre
esa línea de modo que A' coincida con A y B' coincida con B.
3. La cifra obtenida al vincular los puntos A a B, B a B', B' a A' y A' a A es un
paralelogramo. Tenga en cuenta que dos puntos (cuando se consideran
segmentos orientados) son siempre equilocuentes. El lector puede demostrar
fácilmente que la lista de equipamiento satisface las siguientes propiedades:
I - Reflexividad: cada segmento orientado del espacio es equisolente en sí
mismo.
II – Simetría: si el AB orientado al SEGMENTO es equial al segmento
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orientado A'B', entonces A'B' es equisolente a AB.
III – Transitividad: si el AB ORIENTADO AL SEGMENTO está equipado
con el segmento orientado A'B' y si A'B' está equipado con el segmento
orientado A"B", entonces AB es equilente a A"B". Debido a las tres
propiedades mencionadas, es común decir que la equiplencia es una relación
de equivalencia.
Definición 2 – El vector determinado por un segmento orientado AB es el
conjunto de todos los segmentos orientados al espacio que están equipando el
segmento orientado AB.
El vector determinado por AB será indicado por AB; el segmento orientado a
AB es un representante del vector AB. Es apropiado representar tanto el
segmento orientado a AB como el vector AB mediante una flecha con un
origen en A y un final en B. El lector debe, sin embargo, olvidar que esto es
un abuso de notación: el segmento orientado a AB y el vector AB son objetos
matemáticos distintos, porque AB es un segmento orientado (es decir, un
conjunto de puntos), mientras que AB es un conjunto de segmentos
orientados.
Tenga en cuenta que los segmentos orientados a AB y CD representan el
mismo vector si, y solo si, esos segmentos son equisolentes. Por lo tanto, el
mismo vector puede ser representado por una multitud de segmentos
orientados distintos.
De hecho, si AB es un segmento orientado y P, cualquier punto del espacio,
el lector puede ver fácilmente que hay uno, y solo uno, segmento orientado a
PQ, con origen en P, tal que PQ es equisolente a AB. Se deduce, por lo tanto,
que el vector AB tiene exactamente un representante en cada punto del
espacio.
Relación de equipación, relación de equivalencia, segmentos orientados, son conceptos
que estructuran el concepto de vector y sostienen las operaciones que involucran este concepto.
Por ejemplo, cuando hacemos la suma de dos vectores en su representación geométrica,
podemos hacerlo considerando dos reglas, la ley del polígono – utilizada cuando el origen de
un vector es el final del otro, la suma vectorial en este caso es la que cierra el triángulo, como
se deja en la Figura 3.
Figura 3 – Ley de polígonos (derecha) y ley de paralelogramo (izquierda)
Fuente: Preparado por las autoras
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Y la ley del paralelogramo, como a la derecha en la Figura 3, se usa cuando los vectores
a sumar tienen el mismo origen, en el que la imagen geométrica de cada uno de los vectores se
posiciona en los extremos de los vectores, formando así un paralelogramo, el vector suma viene
dado por la diagonal del paralelogramo. En matemáticas, sumar los vectores usando la ley del
polígono o paralelogramo es lo mismo, independientemente del contexto matemático que se
utilice, ambas leyes son convenientes y representan el mismo vector resultante.
En Física e Ingeniería, a su vez, el uso de leyes se considera dependiendo del contexto,
es decir, dependiendo de lo que estos vectores estén representando, tiene más sentido usar una
ley que la otra. Por ejemplo, si el contexto implica desplazamiento, tiene más sentido usar la
ley del polígono, ya que, si el contexto involucra la suma de fuerzas, tiene más sentido usar la
ley del paralelogramo. No existe una definición científica sobre el uso de estas leyes que
corrobore esta idea: es una construcción "artificial" utilizada por los estudiosos que se ha
utilizado durante generaciones.
Sin embargo, para que los procedimientos de ambas reglas se realicen a través de
procesos de comprensión, es necesario que las relaciones de equipamiento y equivalencia sean
interiorizadas por los estudiantes, ya que la imagen geométrica a la que nos referimos
anteriormente en la regla del paralelogramo considera la relación de equivalencia del Vector
que se está desplazando para formar el paralelogramo. Esto sucede en diversas situaciones de
operación con vectores cuando se presenta en su forma geométrica o, entonces, cuando es
necesaria la representación geométrica del Vector para que la operación se desarrolle
correctamente. Como ya se discutió en Roncaglio, Battisti y Nehring (2021, p. 286, nuestra
traducción):
A diferencia del contexto matemático, en física y consecuentemente en
ingeniería existen tres tipos de vectores que son necesarios definir debido a la
especificación física y al contexto en el que se está movilizando este vector,
es decir, están estructurando para entendimientos en contextos específicos de
la física, son el vector fijo, el vector deslizante y el vector libre.
Son las relaciones establecidas con los conceptos que forman parte del sistema
conceptual Vector las que permiten la movilización de este concepto en diferentes situaciones
y en otras áreas del conocimiento. Las matemáticas tienen un lenguaje que permite la
articulación de varios registros de representación semiótica y la física utiliza este lenguaje.
Como, por ejemplo, el lenguaje vectorial para representar fenómenos como la fuerza, el
desplazamiento, la velocidad y la aceleración, cantidades que para ser definidas requieren un
módulo, una dirección y una dirección.
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Vector es un concepto matemático utilizado como lenguaje por la Física y la Ingeniería
para describir fenómenos que para ser definidos requieren un significado, una dirección y un
módulo (intensidad), generalmente utilizado para describir un desplazamiento o situaciones que
involucran cantidades vectoriales, como la fuerza de magnitud vectorial. Una magnitud
vectorial se define por su significado, módulo y dirección, elementos que constituyen el vector,
que necesitan ser significados en el proceso de enseñanza y aprendizaje y que marcan el
delimitador de la magnitud escalar y la necesidad de una grandeza vectorial.
El lenguaje de los vectores presta al concepto de fuerza su estructuración para
que pueda definirse como un concepto físico. La flecha colocada encima de la
letra indica que es una grandeza con dirección y dirección. El lenguaje
vectorial tiene su propia gramática, sintaxis y ortografía que son los axiomas,
teoremas, lemas, reglas de aplicación, etc. Un concepto como la Fuerza,
cuando se identifica con la grandeza vectorial, comienza a someterse a todas
sus reglas de lenguaje. Se hace difícil expresarlo de otra manera, por ejemplo,
a través del lenguaje escrito común. Los libros de texto reflejan las dificultades
de este proyecto, siendo una especie de diccionario entre el lenguaje común y
el lenguaje de los vectores. Las matemáticas son un lenguaje entre varios otros
lenguajes a nuestra disposición para estructurar nuestro pensamiento. A lo
largo de los siglos, ha demostrado su capacidad excepcional para apoyar
nuestro pensamiento sobre el mundo (PIETROCOLA, 2002, p. 105, nuestra
traducción).
Por lo tanto, destacamos la importancia de las Matemáticas como un área de
conocimiento responsable de proporcionar herramientas intelectuales que permitan la
descripción y análisis de situaciones problemáticas en las más diversas áreas, especialmente en
el área de Ingeniería, nuestro foco de estudio. Y en este contexto, el concepto vector como
concepto esencial para la formación profesional del ingeniero. En este sentido, considerando
las Matemáticas como una ciencia que tiene un lenguaje que permite al sujeto estructurar el
pensamiento para apropiarse del conocimiento construido por el hombre, el proceso de
enseñanza y aprendizaje debe proporcionar el desarrollo de esta habilidad.
Considerando el proceso de enseñanza y aprendizaje del concepto matemático Vector,
se entiende que este proceso debe articular las relaciones que involucran dicho concepto, tales
como los elementos de formación vectorial, módulo, dirección y dirección. Es decir, estos
elementos de formación, así como el segmento recto, relación de equialência, entre otros que
se relacionan con Vector, a través de la atribución de significados, permiten a los estudiantes
apropiarse de una red de generalización que involucra diversos conceptos matemáticos. Esta
relación se puede observar en el mapa conceptual desarrollado por Battisti y Nehring (2020),
que se presenta a continuación.
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Figura 4 – Mapa conceptual vectorial conceptual
Fuente: Battisti e Nehring (2020, p. 133)
Como muestra el mapa, hay numerosas relaciones que se pueden realizar considerando
el concepto de vector, los elementos de formación de vectores tienen especificidades y se
insertan en una red de generalizaciones.
Son las relaciones de generalidad las que permitirán al académico tener una
elaboración conceptual, así como la evolución en los niveles de esta
conceptualización. Apropiarse del significado de los conceptos científicos a
través de procesos de análisis (abstracción) y síntesis (generalización) implica
que el académico coloca el concepto vectorial en una determinada red de
significados, así como considerar que cada concepto tiene estructuras
específicas, con pensamientos y razonamientos específicos (BATTISTI;
NEHRING, 2020, p. 132-133, nuestra traducción).
Davis y Hersh (1985, p. 173, nuestra traducción) contribuyen a la discusión señalando
que: "Un objeto matemático considerado aisladamente no tiene significado. Su significado
proviene de una estructura, y representa su papel dentro de una estructura". Así, destacamos la
importancia de considerar este tipo de relaciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje de
Vector, un aspecto que se aplica al proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier concepto
matemático.
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Consideraciones finales
Este estudio presenta una contribución teórica en relación con el concepto Fuerza, a
partir de las definiciones presentadas en capítulos de libros indicados en la bibliografía básica
de disciplinas de Física I y Mecánica General I: la comprensión del concepto Fuerza como
vector magnitud, considerando el campo y las relaciones conceptuales que lo constituyen. De
esto concluimos que: la disciplina Mecánica General I es la primera disciplina específica de los
Cursos de Ingeniería que moviliza el Vector y la Fuerza. Esta disciplina requiere que los
estudiantes tengan claros conceptos básicos, como Vector y Fuerza, es decir, es una disciplina
que discute situaciones en el campo profesional del Ingeniero a través de situaciones de
dimensionamiento de vigas, cargas, análisis de estructuras, entre otras situaciones. En esta
disciplina los estudiantes necesitan movilizar conocimientos teóricos de Matemáticas, en
relación con la aplicación del concepto Vector captado en la disciplina de Geometría Analítica
y Vectores, y física, en relación con la aplicación del concepto Fuerza estudiado en la disciplina
de Física I.
Sin embargo, en la forma en que los conceptos básicos de la mecánica son aprehendidos
por los estudiantes, es necesario que movilicen el concepto físico fuerza, un concepto central
en la disciplina Mecánica General I. La disciplina física I es responsable de introducir el
concepto Fuerza, definiéndolo y caracterizándolo como un concepto necesario e importante
aplicado en varias disciplinas específicas de los Cursos de Ingeniería. Como hemos visto en las
definiciones presentadas en relación con el concepto fuerza en capítulos de los libros de la
bibliografía básica de la disciplina de Física I, presentan el concepto como una grandeza
vectorial, porque necesita un módulo, un significado y una dirección para ser definido. El
concepto Fuerza como magnitud vectorial requiere el uso del Vector para su representación, ya
sea algebraica y/o geométrica.
El concepto Vector se introduce en los cursos en los primeros semestres, generalmente
en el primer o segundo semestre como disciplina básica, es una disciplina que trabaja con uno
de los conceptos estructurantes del curso y que sirve de base para otras disciplinas específicas.
El concepto vectorial parece representar cantidades que no pueden definirse solo por un valor
numérico, sino que dependen de otras características, como el módulo, la dirección y la
dirección. En los cursos de ingeniería son innumerables las cantidades que necesitan estas
características para ser representadas, y la grandeza de la fuerza es una de ellas, una de las
principales.
Vector es el concepto que permite trabajar con esta y varias otras cantidades vectoriales,
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movilizadas en varias áreas. Sin embargo, para que este concepto se movilice de manera
efectiva, hay algunas relaciones que deben considerarse, especialmente cuando involucran
operaciones con tales cantidades, relaciones como el equipamiento, la equivalencia y otros
conceptos constitutivos del vector, como se observa en la Figura 3. Es un concepto matemático
que pertenece a una red de conceptos, que se relacionan entre sí, dando soporte y estructura al
Vector: es a partir de las propiedades matemáticas que se explican todas las relaciones que
involucran este concepto.
La apropiación de los conceptos Vector y Fuerza son herramientas cognitivas necesarias
en el desarrollo de habilidades y destrezas relacionadas con el campo de acción del ingeniero.
Estos son conceptos que, como muchos otros, están fuertemente articulados. La mecánica
necesita el concepto Fuerza para explicar y representar situaciones, problemas y esbozar
soluciones: la fuerza es una magnitud vectorial y, como tal, requiere que se represente el
concepto y las operaciones vectoriales exploren situaciones, resuelvan problemas y encuentren
soluciones.
En este sentido, a partir de los análisis realizados, podemos afirmar que el enfoque dado
al concepto Fuerza está fuertemente relacionado con una magnitud vectorial y con los sentidos
intuitivos de algún tipo de fuerza muscular, como empujar o tirar. Y en este contexto, el
concepto de vector se aborda para representar geométricamente y / o algebraicamente,
situaciones que involucran fuerza. Sin embargo, se enfatiza que en el contexto matemático
Vector se entiende como un vector libre, ya que puede ser representado en cualquier parte del
plano o espacio a través de sus representantes. En Física e Ingeniería el Vector puede entenderse
como un vector deslizante, cuando involucra fuerzas que se aplican a lo largo de un soporte
recto, o como un vector fijo cuando el contexto implica la aplicación de una fuerza puntual.
En el curso de los análisis realizados es posible percibir la idea de relaciones
conceptuales que involucran el concepto discutido aquí, concepto fuerza. Considerando la
teoría que subyace a este estudio, la Teoría Histórico-Cultural, que sostiene que un concepto no
se forma solo, sino en las relaciones con otros conceptos, fue evidente, en el curso de este
escrito, a partir de los mapas conceptuales presentados en el curso de los análisis, las relaciones
conceptuales atribuidas al concepto fuerza.
GRACIAS: CAPES.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING y Isabel Koltermann BATTISTI
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Concepto de fuerza: Una grandeza vectorial movilizada por la mecánica y base de los cursos de ingeniería
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DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208 24
CRediT Author Statement
Reconocimientos: A mi asesora, Cátia Maria Nehring, y a la co-supervisora, Isabel
Koltermann Battisti, por la confianza que me han dado, por la dedicación, por el apoyo, por
creer en el desarrollo de esta investigación, por la paciencia y el aliento. Esta investigación
debe mucho a su paciencia, dedicación, sabiduría y competencia.
Financiamiento: CAPES.
Conflictos de intereses: Los autores declaran que no existen conflictos de intereses.
Aprobación ética: El estudio pasó por el comité de ética de la institución y fue aprobado
bajo la opinión del CEP: 825.339.
Disponibilidad de datos y material: No aplicable.
Contribuciones de los autores: Viviane Roncaglio: Conceptualización, Metodología,
Investigación, Redacción - Borrador Original, Visualización, Validación. Isabel
Koltermann Battisti: Conceptualización, Metodología, Redacción - Revisión y Edición,
Análisis Formal, Supervisión, Adquisición de Financiamiento. Cátia Maria Nehring:
Conceptualización, Metodología, Redacción - Revisión y Edición, Análisis Formal,
Supervisión, Gestión de Proyectos, Adquisición de Financiamiento.
Procesamiento y edición: Editora Iberoamericana de Educación - EIAE.
Corrección, formateo, normalización y traducción.
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FORCE CONCEPT: A VECTOR GREATNESS MOBILIZED BY MECHANICS AND
THE BASE OF ENGINEERING COURSES
CONCEITO FORÇA: UMA GRANDEZA VETORIAL MOBILIZADA PELA MECÂNICA
E BASE DOS CURSOS DE ENGENHARIA
CONCEPTO DE FUERZA: UNA GRANDEZA VECTORIAL MOVILIZADA POR LA
MECÁNICA Y BASE DE LOS CURSOS DE INGENIERÍA
Viviane RONCAGLIO1
e-mail: roncaglioviviane@gmail.com
Cátia Maria NEHRING2
e-mail: catia@unijui.edu.br
Isabel Koltermann BATTISTI3
e-mail: isabel.battisti@unijui.edu.br
How to reference this paper:
RONCAGLIO, V.; NEHRING, C. M.; BATTISTI, I. Force
concept: A vector greatness mobilized by mechanics and the base
of engineering courses. Revista Ibero-Americana de Estudos em
Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023010, 2023. e-ISSN: 1982-
5587. DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16208.
| Submitted: 31/01/2022
| Revisions required: 23/05/2022
| Approved: 04/12/2022
| Published: 01/01/2023
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Deputy Executive Editor:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Regional University of the Northwest of the State of Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brazil. Member
of GEEM. Doctorate in Science Education.
2
Regional University of the Northwest of the State of Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brazil. Teacher.
Leader of the GEEM. Doctorate in Education (UFSC).
3
Regional University of the Northwest of the State of Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), Ijuí – RS – Brazil. Professor.
Member of GEEM. Doctorate in Science Education (UNIJUÍ).
Force concept: A vector greatness mobilized by mechanics and the base of engineering courses
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ABSTRACT: This writing aims, from a bibliographic review, to constitute a theoretical
contribution that makes possible the understanding of the Force concept as a vector quantity,
from the field and the conceptual relationships that constitute it. In order to do so, we considered
as material for analysis the force definitions presented in book chapters of the basic
bibliography of the Physics I and General Mechanics I disciplines of a Civil Engineering
Course. The theoretical foundation that supports this writing is the Historical-Cultural Theory.
The methodological approach used is the Discursive Textual Analysis of Moraes and Galiazzi
(2016), from which we constitute the units of meaning, categories and propositions. From the
analyzes carried out, we concluded that the approach given to the force concept is strongly
related to a vector quantity and the intuitive notions of pushing or pulling.
KEYWORDS: Historical-cultural theory. Conceptual appropriation. Learning. Mathematical
concept. Civil Engineering.
RESUMO: Esse estudo tem por objetivo, a partir de uma revisão bibliográfica, constituir um
aporte teórico que possibilita a compreensão do conceito Força como uma grandeza vetorial,
a partir do campo e das relações conceituais que o constituem. Para tanto, consideramos como
material de análise as definições de força apresentadas em capítulos de livros da bibliografia
básica das disciplinas de Física I e Mecânica Geral I de um Curso de Engenharia Civil. A
fundamentação teórica que sustenta a escrita é a Teoria Histórico-Cultural. O percurso
metodológico utilizado é a Análise Textual Discursiva de Moraes e Galiazzi (2016), a partir
da qual constituímos as unidades de significado, as categorias e as proposições. A partir das
análises realizadas, concluímos que a abordagem dada ao conceito força está fortemente
relacionada a uma grandeza vetorial e às noções intuitivas de empurrar ou puxar.
PALAVRAS-CHAVE: Teoria histórico-cultural. Apropriação conceitual. Aprendizagem.
Conceito matemático. Engenharia Civil.
RESUMEN: Este escrito tiene por objetivo, a partir de una revisión bibliográfica, constituir
un aporte teórico que posibilite la comprensión del concepto Fuerza como una de las
magnitudes vectoriales, desde el campo y las relaciones conceptuales que lo constituyen. Para
ello, consideramos como material de análisis las definiciones de fuerza presentadas en
capítulos de libros de la bibliografía básica de las asignaturas de Física I y Mecánica General
I de una carrera de Ingeniería Civil. La fundamentación teórica que sustenta la escrita es la
Teoría Histórico-Cultural. El enfoque metodológico utilizado es el Análisis Textual Discursivo
de Moraes y Galiazzi (2016), a partir del cual constituimos las unidades de sentido, categorías
y proposiciones. A partir de los análisis realizados concluimos que el abordaje aplicado al
concepto de fuerza está fuertemente relacionado con una magnitud vectorial y las nociones
intuitivas de empujar o tirar.
PALABRAS CLAVE: Teoría histórico-cultural. Apropiación conceptual. Aprendizaje.
Concepto matemático. Ingeniería Civil.
Viviane RONCAGLIO; Cátia Maria NEHRING and Isabel Koltermann BATTISTI
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Introduction
Society is in constant evolution, which enables the emergence of new technologies and
means of communication that allow access to all and any kind of information. This requires
skills of analysis and synthesis, in order to allow each individual to understand and intervene
in this increasingly complex and, consequently, increasingly competitive context. The work
understood as a human activity (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021) requires trained
professionals with diverse skills, with theoretical and practical knowledge essential to meet the
demands of contemporary society and, therefore, a qualified professional training that meets
these expectations and needs is required. From this perspective, higher education is a formal
process of teaching responsible for professional training, capable of allowing the development
of competencies and skills that enable the subject to act efficiently and consciously in different
realities.
In the professional education processes, the Civil Engineering course, which is the focus
of this study, needs to promote in the students the development of specific competences and
abilities, focused on their area of work, such as supervision, coordination, and technical
guidance; technical and economic feasibility study; assistance, consulting, and advising;
direction of works and technical services; survey, expertise, arbitration, reports, and technical
opinions; budgeting; execution and completion of works and technical services; performance
of technical positions and functions; technical work and team leadership in installation,
assembly, operation, repair, or maintenance; execution of technical drawings (RONCAGLIO;
BATTISTI; NEHRING, 2021). These competences require theoretical and practical knowledge
that needs to be learned by future engineers during their professional training course.
The relationship of the subject with the reality that his profession encompasses is not a
direct relationship, it is mediated by different concepts apprehended from processes that involve
signification. The appropriation of such concepts strongly enhances the conditions of the
subject's professional constitution. In the case of the engineering profession, we highlight two
fundamental sciences, Mathematics and Physics, and the concepts discussed by these sciences
are the basis for the study of Engineering. In Mathematics, the concept Vector is treated with
approaches from the fields of arithmetic, geometry and algebra. In Physics, the concept Force
is a vectorial quantity that needs a module, a direction and a sense to be represented, that is, it
needs the concept Vector for its representation. These two sciences correlate with each other,
Physics uses Mathematics as a tool to explain and/or represent physical phenomena, as is the
case of the concept of Force and the concept Vector.
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In this sense, considering the attributions of a higher education course, as well as the
importance of the apprehension of scientific concepts, as mediating elements, by the students,
the concepts that integrate the curricular program of the disciplines need to be understood with
and from the field and the hierarchical relations of which they are part. Given the above, the
present writing, which is part of a larger research, aims to: constitute a theoretical contribution
that enables the understanding of the concept of force, as a vector quantity, from the field and
the conceptual relations that constitute it. This objective is delimited from the following
question: What is the approach given to the concept of Force in the books of the basic
bibliography of the disciplines Physics I and General Mechanics I, which introduce and discuss
this concept in the Engineering Courses?
The appropriation of concepts in the historical-cultural perspective
Based on the historical-cultural approach, we understand knowledge as a result of
human activity in experiences with the physical and social environment, and that human
learning has, therefore, a social nature. In this perspective, the social aspect and the
appropriation of scientific concepts by the subjects are extremely important, since human
development depends on established interactions mediated by signs and instruments.
When the subject appropriates the meaning of a scientific concept, the relationship
established with it is mediated by other concepts. In the historical-cultural perspective, a
concept is not formed alone, but in relation to others, inserted in a conceptual system. For
Vygotsky (2008, p. 104, our translation):
[...] a concept is more than the sum of certain associative connections formed
by memory, it is more than a mere mental habit; it is a real and complex act
of thought that cannot be taught by training, but can only be realized when the
child's own mental development has already reached the necessary level (our
translation).
From this perspective, the meaning of a concept is closely related to abstraction and
generalization processes and corresponds to the evolution of levels of apprehension and
meaning of words. The appropriation of concepts happens through abstractions and
generalizations, which are related to the mobilization of different types of representation of a
concept expressed by a system of signs. For Vigotski (2008, p. 104, our translation), a concept
expressed by a word represents an act of generalization.
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When a new word is grasped by the child, its development has barely begun:
the word is first a generalization of the most primitive kind; as the child's
intellect develops, it is replaced by generalizations of an increasingly higher
kind - a process which eventually leads to the formation of true concepts. The
development of concepts, or of the meanings of words, presupposes the
development of many intellectual functions: deliberate attention, logical
memory, abstraction, the ability to compare and differentiate.
Thus, the appropriation of the meaning of a concept by the academic involves the
development of superior mental functions and these are related to the structure of the concept,
its formation, the meaning produced in different contexts and the establishment of conceptual
relations. The appropriation by the Engineering student of the concept of Vector expands the
conditions for attributing new meanings to his world, that is, to the context of the profession,
broadens his horizons of perceptions and makes it possible to modify the form of interaction
with the reality that surrounds him. This internalization or appropriation of the concept by the
student occurs from the outside in, from the social to the individual, being a complex process
that requires a deliberate and intentional interaction. It is not enough to present the concept to
the student, he needs to understand the historical and cultural context, it means appropriating
the social experiences built historically by humanity. Once internalized, this concept is part of
the acquisitions of the subjects' development, and can become a tool of their thinking. In
Historical-Cultural Theory, the appropriation of concepts involves “[...] the internal
reconstruction of an external operation” (VIGOTSKY, 1994, p. 74, our translation), which
consists of a series of transformations, which are:
a) An operation that initially represents an external activity is reconstructed
and begins to occur internally. Of particular importance for the development
of higher mental processes is the transformation of the activity that uses signs,
whose history and characteristics are illustrated by the development of
practical intelligence, voluntary attention, and memory.
b) An interpersonal process is transformed into an intrapersonal process. All
functions in the child's development appear twice: first on the social level, and
then on the individual level; first between people (interpsychological), and
then within the child (intrapsychological). This applies equally to voluntary
attention, logical memory, and the formation of concepts. All higher functions
originate in real relations between human individuals.
c) The transformation of an interpersonal process into an intrapersonal process
is the result of a long series of events occurring throughout development. The
process, being transformed, continues to exist and change as an external form
of activity for a long period of time before it becomes definitively internalized.
(VIGOTSKY, 1994, p. 75, our translation)
During this process, learning occurs, which enables transformations in the higher
psychic functions and, consequently, the development of the subject. Learning here is
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considered fundamental to the process of development of the higher psychological functions;
for Vygotsky (1994, p. 108, our translation), learning generates development. "Learning is more
than the acquisition of the ability to think; it is the acquisition of many specialized abilities to
think about various things." In this respect:
[...] learning is not development; however, properly organized learning results
in mental development and sets in motion various developmental processes
that would otherwise be impossible to occur. Thus, learning is a process of
development of culturally organized and specifically human psychological
functions (VIGOTSKY, 1994, p. 118, our translation).
For Vigotsky (1994), learning is a necessary aspect for the development of superior
psychological functions, which are organized by culture and are characterized as specifically
human. In this way, human development is intrinsically related to the sociocultural interaction
of man, that is, the formation of the human psyche, of mental, affective, psychomotor capacities,
before being developed by man, are already available in society, through culture. Therefore,
development is prevented from happening in the absence of situations conducive to learning –
it requires intentional pedagogical action, learning occurs from interactions with the other.
However, it is worth noting that learning results in the development of the subject when he
mobilizes superior mental operations, based on analysis and synthesis processes, in different
contexts.
Methodological procedures
The research presented here is based on the methodological framework of Textual
Discourse Analysis - TDA - by Moraes and Galiazzi (2016). The TDA is structured in three
stages: unitarization, categorization and metatext. The first stage of TDA, unitarization, is the
initial movement of the analysis, which requires a careful and deep reading of the data. It is
marked by disorder, the moment of data deconstruction, in which the researcher, while
analyzing the data, performs several interpretations. From this movement emerge the units of
meaning.
We considered, as material for analysis, the definitions presented in chapters of the
books of the basic bibliography proposed in the Teaching Plan of the subjects Physics I and
General Mechanics I of the Civil Engineering Course of the institution where the first author
developed her doctoral studies and where the other two researchers work as teachers. Table 1
presents the referred bibliographies.
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We chose to analyze chapters of the books, as we consider that this is an instrument that
serves as a guide for the teacher and as a resource for student learning. The books listed in the
basic bibliography are intended to guide the teacher in what will be proposed, its emphasis, and
approach in the discipline, and may present elements that support the organization of teaching.
As for the students, it certainly broadens the study conditions, involving the structuring
concepts and procedures necessary for their education.
We considered the subjects Physics I and General Mechanics I because they initiate
discussions about Mechanics and about the concept of Force in the Civil Engineering Course.
It is worth mentioning that these subjects are part of the curricular program of all the
Engineering courses at the University considered in this study, and are called common core
subjects, or basic core subjects of the referred courses.
In this production, we are considering the definitions and concepts presented in the basic
bibliography books of both disciplines, mentioned above, related to the concept of Force. In
this perspective, we understand that it is possible to elaborate a theoretical contribution that
enables the understanding of this concept as a vectorial quantity, from the field and the
conceptual relations that constitute it.
Chart 1 – Reference of the books of Physics I and General Mechanics I, analyzed in this
production
Subjects
Bibliography
Physics I
Livro F1: HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física: Mecânica. 9. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2012. v. 1.
Livro F2: NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 1: Mecânica. 3. ed. São Paulo: Edgard
Blucher, 1981.
Livro F3: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Sears e Zemansky – Física 1: Mecânica. 12. ed.
São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.
General
Mechanics I
Livro M1: BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. Porto Alegre: AMGH,
2012.
Livro M2: HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2015.
Livro M3: MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: estática. Rio de Janeiro:
LTC, 2013. v. 1.
Source: Research production
From the analysis performed in this first movement, in the unitarization of data, we
defined the following meaning units, Mechanics - fundamental principles and concepts of
Mechanics and Force - fundamental concept of mechanics. Once the meaning units were
defined, we reached the second stage of TDA, the categorization, where a constructive
movement is performed.
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Categorization is the moment of synthesis and organization of a set of
information related to the investigated phenomena. These syntheses are the
theorizations of the researcher, produced from implicit theoretical
perspectives of the research subjects and the researcher himself, always in
dialogue with other theorists. They require continuous improvement,
adequacy, and refinement during the process of analysis and written
production. The categorization process is a research movement strategy that
goes from the empirical to the abstract, from the data collected to the theories
constructed or reconstructed by the researcher (MORAES; GALIAZZI, 2016,
p. 112-113, our translation).
That is, considering this methodological reference, the categories of analysis that gave
body to this study are produced. Table 2 presents the unit of meaning and the categories
considering the referential of the TDA, and to better examine the intentionality of the research,
it is also presented the propositions (third stage of the TDA), defined from the analyzed corpus.
The proposition is structured from the capture of the emergent in which the new understanding
is communicated and validated, considering the empirical/theoretical relationship. It is the
construction of a metatext by the researcher making considerations in relation to the categories
of analysis he has built and the units of meaning identified in the data produced. It is a writing
that seeks to present in a clear and objective way the researcher's understanding of the data
analysis related to the rationale that supports the study.
Chart 2 – Meaning units, categories and propositions of the corpus
Meaning units
Categories
Propositions
Mechanics - fundamental
principles and concepts of
Mechanics.
Mechanics as a branch of physics.
Mechanics - a branch of Physics that
mobilizes the vector quantity force.
Force - a fundamental
concept in Mechanics.
Conceptual Approach to Force in
books from the basic bibliography of
Physics I.
The concept force integrates a
conceptual system.
Vector, a mathematical tool for the
representation of force.
Source: Research production
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Mechanics: Fundamental principles and concepts
Mechanics as a branch of Physics
In this category, we seek to bring the understanding of Mechanics from the approach
given in the books of the basic bibliography of the discipline General Mechanics I, the first
specific discipline of Engineering Courses that discusses Force and consequently mobilizes
Vector. Moreover, it discusses fundamental concepts related to Engineering that are covered in
other specific disciplines of the course. To do so, we present discussions based on the following
proposition: "Mechanics - a branch of Physics that mobilizes the vectorial quantity Force”.
Mechanics: a branch of Physics that mobilizes the vectorial quantity force
Mechanics can be defined as a branch of physics that describes and predicts the
conditions of rest or motion of bodies under the action of forces. It can be understood from the
mechanics of rigid bodies, the mechanics of deformable bodies, and the mechanics of fluids.
The mechanics of rigid bodies is subdivided into two parts, statics and dynamics. Static
mechanics studies bodies at rest, and is an essential part of mechanics, widely used by
engineers, since it is applied in situations involving, for example, the calculation of how much
weight a crane can lift, or the calculation of the force on a point on a bridge and whether its
structure can support such force, or to determine the force exerted by the water that a dam in a
river needs to support, or how much force a locomotive needs to stop a freight train, among
other applications. Dynamics, on the other hand, studies bodies in motion, such as designing a
building to resist earthquakes, or calculating how much force is needed to accelerate a 300,000-
ton cruise ship or the force to put a satellite in orbit. In rigid body mechanics, the bodies
considered are perfectly rigid, i.e., they do not undergo any kind of deformation (BEER et al.,
2012).
The mechanics of deformable bodies studies bodies that deform under the action of
forces. It is the part of mechanics that analyzes structures and materials, considering resistance
under forces or loads that can cause deformation. Fluid mechanics is subdivided into fluid
statics, which studies the behavior of fluids in motion and at constant speed, i.e., at rest, and
fluid dynamics, which studies the behavior of fluids in motion. This part of mechanics studies
situations such as the equilibrium of floating bodies - ships, or the wind's action on civil
constructions, or the calculation of hydraulic installations - pumping installations in buildings,
or steam installations - boilers, or even the action of fluids on submerged surfaces - dams,
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among several other situations. In Civil Engineering, the study of transport phenomena and
hydraulics is based on.
According to Beer et al. (2012), the purpose of mechanics is to explain and predict
physical phenomena, establishing the foundations or tools for applications in Engineering. The
basic concepts used in mechanics are space, time, mass, and force, among which Force (the
focus of this study), a vectorial quantity, is generally defined in the analyzed bibliographies as
an action of one body over another. It can be exerted by direct contact or at a distance, and is
characterized by its intensity, the point of application, and its direction, represented by a vector.
Force is a fundamental physical concept in the study of mechanics, an essential branch in
Engineering Courses. Meriam and Kraige (2013, p. VII, our translation) contribute to the
discussion by pointing out that the goal:
[...] fundamental of the study of Mechanics in Engineering is to develop the
ability to predict effects of forces and motions when performing creative
engineering design functions. This ability requires more than just knowledge
of the physical and mathematical principles of mechanics; it also requires the
ability to visualize physical configurations in terms of real materials, real
constraints, and practical limitations that guide the behavior of machines and
structures.
That is, the study of mechanics involves a range of concepts that are necessary for its
understanding, a network of concepts articulated from relationships, which define and, when
considered, expand the conditions of appropriation of such knowledge by the subjects that
investigate it, as indicated in Figure 1.
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Figure 1 – Map of Relationships in the Study of Mechanics in Engineering Courses
Source: Prepared by the authors
The map of constituent relations of a conceptual network presented in Figure 1 marks
an important point addressed by the theoretical foundation of this study, which argues that a
concept is formed from the relationship with others, being inserted into a conceptual system,
because a concept is never constituted alone, in an isolated or fragmented way. In other words,
the map presents, in the form of a synthesis, the relationships observed in the study of
mechanics, from the perspective of the Engineering Course. It is worth mentioning that the
construction of the map was based on the analysis of the General Mechanics I textbooks.
The map of relationships in the study of mechanics in Engineering courses makes clear
the importance of understanding and appropriation of the vectorial quantity Force to work with
mechanical definitions. The understanding of this quantity is fundamental because mechanics
essentially explores situations involving force. In this sense, the next category of analysis seeks
to present this vectorial magnitude, which is a physical concept, from Physics, which is
responsible for introducing basic and essential concepts in Engineering Courses.
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Force: fundamental concept of mechanics
Conceptual approach to force in books from the basic bibliography of
Physics I
This category presents definitions related to the concept of Force addressed in books of
the basic bibliography of the subject of Physics I. We understand that the way this concept is
presented in some chapters in the books of this subject interferes significantly in the process of
conceptual apprehension by the students, remembering that this subject is responsible for the
introduction of basic concepts that are explored in the study of mechanics and consequently in
several specific disciplines of Engineering Courses, especially in Civil Engineering Courses.
To this end, we present below the discussion based on two propositions: the first, the concept
of force integrates a conceptual system, and the second, vector, a mathematical tool for the
representation of force.
The concept force integrates a conceptual system
Considering the analyses performed in order to identify the definitions presented for the
concept of force, we found in book F1 the initial mention of force presented as follows:
We shall now define the unit of force. We know that a force can cause a body
to accelerate. So, we define the unit of force in terms of the acceleration that
a force gives to a reference body [...]. This body has been assigned, exactly
and by definition, a mass of 1 kg. We place the standard body on a frictionless
horizontal table and pull it to the right until, by trial and error, it acquires an
acceleration of 1 m/s2. We then state, by way of definition, that the force we
are exerting on the standard body has a modulus of 1 newton (1N). A force is
therefore measured by the acceleration it produces. However, acceleration is
a vector quantity because it has a modulus and an orientation. Is force also a
vector quantity? We can easily assign an orientation to the force (it is enough
to assign the orientation of the acceleration), but this is not enough. We must
prove experimentally that forces are vector quantities. In fact, this was done a
long time ago. Forces are indeed vector quantities: they have a modulus and
an orientation and they combine according to the vector rules (HALLIDAY;
RESNICK, 2012, p. 92, our translation).
In the book F1, the concept Force is related to the acceleration of a body, which occurs,
in the specific case presented by the book, by a "push" and the idea of vector magnitude. Besides
the intuitive notion of Force, the book presents a conceptual approach by defining this concept
as a vectorial quantity and by highlighting that the work with these quantities follows the
vectorial rules, i.e., from a mathematical approach. This fact marks our understanding regarding
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the need for the concept Vector as a mathematical object to be considered when dealing with
the vectorial magnitude Force.
The book F2 presents the concept from a relation with the intuitive idea of muscular
effort, that is, a way to define Force, considering that it is a universal concept and that it can
have countless interpretations.
[...] We all know from experience that motion is affected by action that we
usually call "forces. Our intuitive idea of forces is related to muscular effort,
and we know that by exerting "forces" of this kind we are able to set objects
in motion or, more generally, to change their state of motion. [...] A force
produces different effects depending on the direction and direction in which it
is applied, which suggests a representation of the vectorial type
(NUSSENZVEIG, 1981, p. 89-90, our translation).
As we can see, the book F2 establishes a relation with intuitive notions of the concept,
besides the approach at a conceptual level when it brings the constitutive elements of the vector
magnitude (direction and sense), highlighting the need of the concept Vector for the
representation of Force, "a representation of the vector type". F3 relates the concept Force to
the idea of muscular effort, pulling or pushing. Moreover, he points out that such concept is a
vectorial quantity, after all we can push or pull an object in different positions, which marks a
conceptual approach.
In everyday language, to exert a force means to pull or to push. A better
definition is that a force is an interaction between two bodies or between a
body and its environment. So, we always refer to the force that one body exerts
on another. When you push a car stuck in the snow, you exert a force on it; a
steel cable exerts a force on the beam it supports in a building; and so on. [...]
force is a vector quantity; you can push or pull a body in different directions
(YOUNG; FREEDMAN, 2008, p. 106, our translation).
Both concepts presented in the books do not present a formal definition for the physical
concept: the conceptual notion of what Force means does not appear in the analyzed books.
What the books present are constituent ideas of the concept force, such as the idea of vectorial
magnitude, the need for sense, direction and intensity, elements that constitute the conceptual
system.
The relationships presented start from an intuitive notion of an effort that generates a
movement of a body or object, such as pushing and pulling. Force is a scientific concept, in the
area of Physics, it is an action that causes motion - acceleration, displacement of objects, or
deformation. In addition, there are several types of force, such as the normal force, frictional
force, tension force, centripetal force, inertial force, among others that Physics considers.
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The three books, when referring to the concept Force, relate it to a vectorial quantity,
that is, Force is defined according to its module (represents its intensity), direction (directions
in which forces apply) and direction (positive, negative, up and down, right and left...). They
cite Newton's laws as the laws that define the behavior of forces: the first law - Law of Inertia
(if a body is at rest it tends to remain at rest, if it is in motion it tends to remain in motion with
constant velocity), the second law - Fundamental Principle of Dynamics (the resultant force
acting on a body is equal to the product of the acceleration of a body by its mass) and the third
law - Law of Action and Reaction (the action and reaction forces always have the same module
and act in the same direction, but have opposite directions).
Newton's Laws describe the causes that can change the state of motion of a body and
are configured as the basis for understanding Mechanics, a branch of Physics responsible for
the study of movements, as we saw in the item. Moreover, we highlight here again Force as the
agent responsible for changing the state of motion of a body, altering its speed. In other words,
Force is a central concept in Physics, it is from it that many physical phenomena can be analyzed
and improved, and consequently it has significantly contributed for mankind to evolve. It is a
basic concept for the study of most of Physics and, like other concepts, it is also part of a
conceptual system, as shown in Figure 2 below.
Figure 2 – Map of relationships in the study of force in Physics I
Source: Prepared by the authors
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The concept Force allowed the appearance of Newton's Laws and is also the basis for
the study of Mechanics, it is a vectorial quantity, and to be represented, it needs the
mathematical concept Vector: it is only possible to represent force using Vector. The concepts
discussed in the books analyzed here and that were the basis for the construction of the concept
map, when presenting such concept, make this relationship, highlight Force as a vectorial
quantity and suggest a representation of the vector type, i.e., from vectors.
In general, Force is a physical concept, a vectorial quantity, fundamental in Physics and
the basis of the study of Mechanics. It is used in mechanics to explore situations and/or analyze
phenomena, as well as to define variables and solve problems. However, this is only possible
through the geometric or algebraic representation of the concept Force. That is, through the
vector, considering the geometric and/or algebraic representation of situations involving force,
it is possible to explore, analyze, define variables, find the problem and/or point solutions. Thus,
Vector is an essential concept in this process, it is the concept that allows the representation of
situations involving Force.
So, we say that Force is a physical concept based in mechanics and that needs the
Vector, a mathematical concept that allows, through its geometric representation, that this
process of geometric representation of Force occurs. To better understand this mathematical
concept and its importance in the engineer's professional education process, we present below
an item that deals with the Vector concept as a mathematical tool for the representation of Force.
Vector, a Mathematical Tool for the Representation of Force
Vector is a mathematical concept that, according to the study already developed
(RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021), is initially discussed in the subject of Analytic
Geometry and Vectors or in the subject of Linear Algebra, which are the disciplines responsible
for introducing this concept in higher education, especially in courses of the Exact Sciences,
such as Mathematics and Engineering. This concept is explored in the first semesters of the
courses, usually in the second or third semester. Roncaglio, Battisti and Nehring (2021),
corroborate the discussion by presenting a table with disciplines of Engineering Courses (Civil,
Electrical and Mechanical) that introduce the concept Vector. The table presented by the authors
reinforces the idea of a common core of disciplines that discuss and introduce the concept
Vector, and mark this concept as basic in professional training.
In this sense, the research (RONCAGLIO; BATTISTI; NEHRING, 2021) reinforces the
idea of Vector as a fundamental basic concept for the professional education of the Engineer,
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since it highlights the specific disciplines of the Civil Engineering Course that mobilizes Vector.
In addition, some of the disciplines mentioned in this article are part of the common core of the
courses and, therefore, point to the mobilization of this concept in all Engineering courses.
Thus, Vector is a basic mathematical concept in Engineering Courses and essential to the
professional constitution of Engineers.
Mathematically, Vector is defined by Santos (2007, p. 2-3, our translation) as:
Definition 1 - We will say that the oriented segment AB is equipollent to the
oriented segment A'B' if one of the following three statements is true:
1. A = B and A' = B'.
2. AB and A'B' are situated on the same line and it is possible to slide A'B' on
this line so that A' coincides with A and B' coincides with B.
3. The figure obtained by connecting the points A to B, B to B', B' to A' and
A' to A is a parallelogram.
Note that two points (when considered as oriented segments) are always
equipollent. The reader can easily show that the equipollence relation satisfies
the following properties:
I - Reflexivity: every oriented segment in space is equipollent to itself.
II - Symmetry: if the oriented segment AB is equipollent to the oriented
segment A'B', then A'B' is equipollent to AB.
III - Transitivity: if the oriented segment AB is equipollent to the oriented
segment A'B' and if A'B' is equipollent to the oriented segment A'B', then AB
is equipollent to A'B'.
Because of the three properties mentioned, it is usual to say that equipollence
is an equivalence relation.
Definition 2 - The vector determined by a prime segment AB is the set of all
prime segments in space that are equipollent to the prime segment AB.
The vector determined by AB will be denoted by AB; the oriented segment
AB is a representative of the vector AB. It is convenient to represent both the
oriented segment AB and the vector AB by an arrow with origin at A and end
at B. The reader should, however, keep in mind that this is an abuse of
notation: the oriented segment AB and the vector AB are distinct
mathematical objects, since AB is an oriented segment (i.e., a set of points),
while AB is a set of oriented segments.
Note that the oriented segments AB and CD represent the same vector if, and
only if, these segments are equipollent. Therefore, the same vector can be
represented by an infinite number of different segments. In fact, if AB is a
prime segment and P is any point in space, the reader can easily see that there
is one, and only one, prime segment PQ, with origin at P, such that PQ is
equipollent to AB. It follows that the vector AB has exactly one representative
at each point in space.
Equipole relationship, equivalence relationship, oriented segments, are concepts that
structure the concept Vector and support the operations involving this concept. For example,
when we perform the addition of two vectors in their geometric representation, we can do so
considering two rules, the polygon law - used when the origin of one vector is the end of the
other, the vector summed in this case is the one that closes the triangle, as shown on the left in
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Figure 3.
Figure 3 – Polygon law (right) and parallelogram law (left))
Source: Prepared by the authors
And the parallelogram law, as shown on the right in Figure 3, is used when the vectors
to be added have the same origin, in which the geometric image of each of the vectors is
positioned at the ends of the vectors, thus forming a parallelogram, the vector sum is given by
the diagonal of the parallelogram. In mathematics, adding vectors using the law of the polygon
or the law of the parallelogram is the same thing, regardless of the mathematical context that is
used, both laws are convenient and represent the same resultant vector.
In Physics and Engineering, on the other hand, the use of the laws is considered
depending on the context, that is, depending on what these vectors are representing, it makes
more sense to use one law than the other. For example, if the context involves displacement, it
makes more sense to use the polygon law, whereas if the context involves the sum of forces, it
makes more sense to use the parallelogram law. There is no scientific definition regarding the
use of these laws that supports this idea: it is an "artificial" construct used by scholars that has
been used for generations.
However, for the procedures of both rules to be carried out through processes of
understanding, it is necessary that equipollence and equivalence relations are internalized by
the students, since the geometric image we referred to earlier in the parallelogram rule considers
the equivalence relation of the vector that is being displaced to form the parallelogram. This
happens in several situations of operations with vectors when the vector is presented in its
geometric form, or when the geometric representation of the vector is necessary for the
operation to be developed correctly.
As already discussed in Roncaglio, Battisti and Nehring (2021, p. 286, our translation):
Unlike the mathematical context, in Physics and consequently in Engineering
there are three types of vectors that are necessary to be defined due to the
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Physical specification and the context in which the vector is being mobilized,
that is, they are structuring for understandings in specific contexts of Physics,
they are the fixed vector, the sliding vector and the free vector.
It is the relationships established with the concepts that are part of the Vector conceptual
system that enable the mobilization of this concept in different situations and in other areas of
knowledge. Mathematics has a language that allows the articulation of several registers of
semiotic representation and Physics uses this language. For example, the vector language to
represent phenomena such as force, displacement, velocity, and acceleration, quantities that, in
order to be defined, need a module, a sense, and a direction.
Vector is a mathematical concept used as a language by Physics and Engineering to
describe phenomena that, in order to be defined, require a sense, a direction and a module
(intensity), usually used to describe a displacement or situations involving vectorial quantities,
as is the case of the vectorial quantity force. A vector quantity is defined by its sense, module
and direction, elements that make up the vector, which need to be meant in the teaching and
learning process and that mark the scalar quantity delimiter and the need for a vector quantity.
The language of vectors lends the concept of force its structure so that it can
be defined as a physical concept. The arrow placed above the letter indicates
that it is a quantity with direction and meaning. The vector language has its
own grammar, syntax and spelling, which are the axioms, theorems, lemmas,
rules of application, etc. A concept such as Force, when identified with a
vector quantity, is subject to all its language rules. It becomes difficult to
express it in any other way, for example, through ordinary written language.
Textbooks reflect the difficulties of this endeavor, being a kind of dictionary
between the common language and the language of vectors.
Mathematics is one language among many others at our disposal to structure
our thinking. It has proven, over the centuries, its exceptional ability to support
our thinking about the world (PIETROCOLA, 2002, p. 105, our translation).
Thus, we highlight the importance of mathematics as an area of knowledge responsible
for providing intellectual tools that allow the description and analysis of problem situations in
various areas, especially in the area of engineering, our focus of study. And in this context, the
concept vector as an essential concept for the professional education of the engineer. In this
sense, considering mathematics as a science that has a language that allows the subject to
structure thought in order to appropriate the knowledge built by man, the teaching and learning
process must provide the development of this ability.
Considering the process of teaching and learning the mathematical concept Vector, it is
understood that this process should articulate the relationships that involve this concept, such
as the elements of vector formation, modulus, direction and sense. To signify these elements of
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formation, as well as line segment, equipollence relation, among others that relate to vector,
through the attribution of meanings, enable students to appropriate a network of generalization
involving various mathematical concepts. This relationship can be observed in the concept map
developed by Battisti and Nehring (2020), presented below.
Figure 4 – Concept map of the vector concept
Source: Battisti and Nehring (2020, p. 133)
As the map shows, there are numerous relationships that can be performed considering
the concept Vector, the Vector's formation elements have specificities and are also inserted in
a network of generalizations.
It is the generality relations that will enable the scholar a conceptual
elaboration, as well as the evolution in the levels of this conceptualization.
Appropriate the meaning of scientific concepts through processes of analysis
(abstraction) and synthesis (generalization) implies that the student places the
concept vector in a given network of meanings, and also considers that each
concept has specific structures, with specific thoughts and reasoning
(BATTISTI; NEHRING, 2020, p. 132-133, our translation).
Davis and Hersh (1985, p. 173) contribute to the discussion by pointing out that: "A
mathematical object considered in isolation has no meaning. Its meaning comes from a
structure, and it represents its role within a structure". Thus, we highlight the importance of
considering these relationships in the process of teaching and learning Vector, an aspect that
holds true for the process of teaching and learning any mathematical concept.
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Final remarks
This study presents a theoretical contribution in relation to the concept of Force, from
the definitions presented in chapters of books indicated in the basic bibliography of subjects of
Physics I and General Mechanics I: the understanding of the concept Force as a vectorial
magnitude, considering the field and conceptual relations that constitute it. From this, we
conclude that: the discipline General Mechanics I is the first specific discipline of the
Engineering Courses that mobilizes the Vector and the Force. This subject requires students to
have clear basic concepts, such as Vector and Force, that is, it is a subject that discusses
situations in the Engineer's professional field by means of situations involving the design of
beams, loads, and the analysis of structures, among other situations. In this subject the students
need to mobilize theoretical knowledge from Mathematics, regarding the application of the
concept Vector learned in Analytic Geometry and Vectors, and from Physics, regarding the
application of the concept Force studied in Physics I.
However, for students to grasp the basic concepts of mechanics, it is necessary that they
mobilize the physical concept of force, a central concept in the subject General Mechanics I.
The subject Physics I is responsible for introducing the concept of Force, defining and
characterizing it as a necessary and important concept applied in several specific disciplines of
Engineering Courses. As we saw in the definitions presented in relation to the concept of force
in chapters of the books of the basic bibliography of Physics I, they present the concept as a
vectorial quantity, because it needs a module, a direction and a sense to be defined. The concept
Force as a vector quantity requires the use of a vector for its representation, be it algebraic
and/or geometric.
The Vector concept is introduced in the courses in the first semesters, usually in the first
or second semester as a basic subject, it is a subject that works with one of the structuring
concepts of the course and serves as a basis for other specific subjects. The concept Vector
arises to represent magnitudes that cannot be defined only by a numerical value, but that depend
on other characteristics, such as modulus, direction and sense. In Engineering courses there are
many magnitudes that need these characteristics to be represented, and the magnitude force is
one of them, one of the main ones.
Vector is the concept that allows working with this and several other vector magnitudes,
mobilized in several areas. However, for this concept to be effectively mobilized, there are
some relations that need to be considered, especially when they involve operations with these
magnitudes, relations such as equipollence, equivalence, and other constituent concepts of the
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vector, as we can see in Figure 3. It is a mathematical concept that belongs to a network of
concepts, which are related to each other, providing support and structure to the vector: it is
from the mathematical properties that all relations involving this concept are explained.
The appropriation of the concepts Vector and Force constitute cognitive tools necessary
for the development of competencies and skills related to the engineer's field of action. They
are concepts that, like several others, are strongly articulated. Mechanics requires the concept
of force to explain and represent situations, problems and solutions: force is a vectorial quantity
and as such requires the concept vector to be represented and the operations with vectors to
explore situations, solve problems and find solutions.
In this sense, from the analyses performed, we can say that the approach given to the
concept Force is strongly related to a vector quantity and to intuitive notions of some kind of
muscular force, such as pushing or pulling. And, in this context, the concept Vector is
approached to represent geometrically and/or algebraically, situations that involve force.
However, it should be noted that in the mathematical context Vector is understood as a free
vector, since it can be represented anywhere in the plane or in space by means of its
representatives. In Physics and Engineering the vector can be understood as a sliding vector,
when it involves forces that are applied along a support line, or as a fixed vector when the
context involves the application of a point force.
In the course of the analyses performed, it is possible to perceive the idea of conceptual
relations that involve the concept discussed here, the concept of force. Considering the theory
that underlies this study, Cultural Historical Theory, which argues that a concept is not formed
alone, but in relationships with other concepts, it became evident during this writing, from the
concept maps presented during the analysis, the conceptual relationships attributed to the
concept of force.
ACKNOWLEDGMENTS: CAPES.
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CRediT Author Statement
Acknowledgments: To my supervisor, Cátia Maria Nehring, and co-supervisor, Isabel
Koltermann Battisti, for the trust given to me, for the dedication, for the support, for
believing in the development of this research, for the patience and incentive. This research
owes much to your patience, dedication, wisdom and competence.
Funding: CAPES.
Conflicts of interest: The authors state that there are no conflicts of interest.
Ethical approval: The study went through the institution's ethics committee and was
approved under the number of the CEP opinion: 825.339.
Data and material availability: Not applicable.
Authors’s contributions: Viviane Roncaglio: Conceptualization, Methodology,
Investigation, Writing - Original draft, Visualization, Validation. Isabel Koltermann
Battisti: Conceptualization, Methodology, Writing - proofreading and editing, formal
analysis, Supervision, Funding Acquisition. Cátia Maria Nehring: Conceptualization,
Methodology, Writing - proofreading and editing, Formal analysis, Supervision, Project
management, Acquisition of funding.
Processing and editing: Editora Ibero-Americana de Educação.
Proofreading, formatting, normalization and translation.
