RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023166, 2023. e-ISSN: 1982-5587

DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.16155 1

FORMAÇÃO INICIAL E CONTINUADA: A ELABORAÇÃO DE TAREFAS DE

APRENDIZAGEM PROFISSIONAL PARA O ESTUDO DO CONCEITO DE

FUNÇÃO

FORMACIÓN INICIAL Y CONTINUA: LA ELABORACIÓN DE TAREAS DE

APRENDIZAJE PROFESIONAL PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN

INITIAL AND CONTINUING TEACHER EDUCATION: THE DEVELOPMENT OF

PROFESSIONAL LEARNING TASKS FOR THE STUDY OF THE CONCEPT OF

FUNCTION

Caroline Miranda Pereira LIMA1

e-mail: caroll_mpl@hotmail.com

Vinícius PAZUCH2

e-mail: vinicius.pazuch@ufabc.edu.br

Como referenciar este artigo:

LIMA, C. M. P. L.; PAZUCH, V. Formação inicial e continuada: A

elaboração de tarefas de aprendizagem profissional para o estudo do

conceito de função. Revista Ibero-Americana de Estudos em

Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023166, 2023. e-ISSN: 1982-

5587. DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.17242

| Submetido em: 15/08/2023

| Revisões requeridas em: 07/09/2023

| Aprovado em: 11/10/2023

| Publicado em: 28/12/2023

Editor:

Prof. Dr. José Luís Bizelli

Editor Adjunto Executivo:

Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz

Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André – SP – Brasil. Mestra em Ensino e História das Ciências

e Matemática.

Universidade Federal do ABC (UFABC), Santo André – SP – Brasil. Doutor em Ensino de Ciências e Matemática

pela ULBRA. Docente do Centro de Matemática, Computação e Cognição da Universidade Federal do ABC.

Formação inicial e continuada: A elaboração de tarefas de aprendizagem profissional para o estudo do conceito de função

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RESUMO: O presente artigo visa apresentar as Tarefas de Aprendizagem Profissional

elaboradas sobre o conceito de função como um recurso para possibilitar oportunidades de

aprendizagem profissional vinculadas aos conhecimentos matemáticos e didáticos dos

professores e futuros docentes de matemática. Para a elaboração das tarefas foi escolhido o

modelo Professional Learning Opportunities for Teachers, utilizando as componentes da

dimensão conceitual estabelecidas com base nos conceitos fundamentais e nos aspectos de

aprendizagem do conteúdo de funções, definidos pelo material de apoio ao trabalho dos

professores. Nesse aspecto, o instrumento formativo elaborado indica elementos de estruturas

e possibilidades para o desenvolvimento inicial e contínuo da aprendizagem do professor

fundamentada na prática, sendo que, para este artigo, não se apresenta resultados empíricos,

visto que não houve coleta de dados, apenas a elaboração das tarefas.

PALAVRAS-CHAVE: Conceito de função. Tarefas de aprendizagem profissional. Tarefas

matemáticas. Modelo PLOT. Conhecimento do professor.

RESUMEN: Este artículo tiene como objetivo presentar las Tareas de Aprendizaje Profesional

elaboradas sobre el concepto de función como recurso para posibilitar oportunidades de

aprendizaje profesional vinculadas al conocimiento matemático y didáctico de los docentes

que imparten clases de matemática y futuros docentes de esta disciplina. Para la elaboración

de las tareas fue elegido el modelo Professional Learning Opportunities for Teachers, que

utiliza los componentes de la dimensión conceptual establecidos sobre la base de los conceptos

fundamentales y los aspectos de aprendizaje del contenido de funciones, definidos por el

material de apoyo al trabajo de los profesores. En este aspecto, el instrumento formativo

elaborado indica elementos de estructuras y posibilidades para el desarrollo inicial y continuo

del aprendizaje del profesor fundamentada en la práctica, este artículo no presenta resultados

empíricos, pues no hubo recolección de datos, únicamente la elaboración de las tareas.

PALABRAS CLAVE: Concepto de función. Tareas de aprendizaje profesional. Tareas

matemáticas. Modelo PLOT. Conocimiento del profesor.

ABSTRACT: This article aims to present the Professional Learning Tasks elaborated on the

concept of function as a resource to enable professional learning opportunities linked to

mathematical and didactic knowledge for teachers and future teachers of mathematics. For the

elaboration of the tasks was chosen the model Professional Learning Opportunities for

Teachers, that uses the components of the conceptual dimension established based on the

fundamental concepts and learning aspects of the content of functions, defined by the material

to support the work of teachers. In this regard, the training instrument developed indicates

elements of structures and possibilities for the initial and continuous development of teacher

learning grounded in practice, whereas, for this article does not present empirical results,

because there was no data collection, only the preparation of tasks.

KEYWORDS: Concept of function. Professional learning tasks. Mathematical tasks. PLOT

Model. Teacher’s knowledge.

Caroline Miranda Pereira LIMA e Vinícius PAZUCH

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Introdução

A formação inicial de professores ocorre em cursos de graduação de Licenciatura e

Pedagogia e por meio de outras atividades extracurriculares que compõem momentos de

aprendizagem docente. Tal aprendizagem não pode se dissociar da formação inicial e da

continuada, visto que a prática pedagógica representa o elemento que interliga os processos

formativos docentes através de discussões teóricas e exercícios práticos – o que expressa a

indissociabilidade dos distintos períodos de formação do professor (PIMENTA, 2012;

TARDIF, 2014).

Nesse aspecto, estudos com foco na conexão entre a formação inicial e a continuada de

professores têm sido pouco realizados (ROLDÃO, 2007), de modo que não articulam ambos os

campos de investigação, o que diverge da concepção do desenvolvimento profissional como

um continuum

(NÓVOA, 1991). À formação inicial do futuro professor de matemática cabe

desenvolver conhecimentos e concepções a respeito dos conceitos matemáticos e dos

conhecimentos pedagógicos para o exercício da docência. Dessa forma, dado que o

desenvolvimento profissional docente se baseia no contínuo, a formação continuada envolve a

experiência docente ‒ de maneira que os professores que ensinam matemática possam

aperfeiçoar o seu repertório de conhecimento do conteúdo e do estudante ‒ e auxilia na

superação de obstáculos evidenciados no ambiente da sala de aula (ZUFFI; PACCA, 2002).

Pesquisas de Gorzoni e Davis (2017) e de Rangel, Giraldo e Maculan Filho (2015)

evidenciam o estímulo e a proposta de ambientes colaborativos em que professores possam

refletir a respeito de sua prática à luz de um referencial teórico, de maneira que o processo de

formação não seja isolado. É um caminho para estabelecer a colaboração ao longo da formação

de professores e a utilização de Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP) (BALL; COHEN,

1999; SMITH, 2001; SWAN, 2007), que explicitam artefatos da prática, como materiais

curriculares, vídeos, episódios de aula e trabalhos dos estudantes.

As TAP, segundo as concepções sobre aprendizagem profissional de Ball e Cohen

(1999), indicam que as discussões coletivas são a base para a aprendizagem profissional, pois,

pelo diálogo, professores podem ampliar suas próprias oportunidades de aprender ao

compreenderem, compararem e (re)formularem suas próprias incertezas. A utilização das TAP

como recurso didático pedagógico para a formação inicial e continuada de professores

concentra três pilares: os artefatos de prática, os desdobramentos fundamentados nas referidas

Segundo Nóvoa (1991), um desenvolvimento continuum implica a formação permanente do professor, a fim de

que ocorra um processo continuado de crescimento do profissional, que envolve a formação inicial e a continuada.

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TAP e o papel do formador de professores — mediador das oportunidades de aprendizagem

profissional e de novas práticas letivas ao longo do processo formativo.

Com a exploração de um conteúdo matemático específico para ser implementado nas

TAP, este artigo tem como foco a apresentação e a discussão das TAP elaboradas para o estudo

do conceito de função na formação inicial e continuada de professores de matemática. Nessa

perspectiva, o elo entre o estudante e o saber é estabelecido através do professor

, assim, além

de auxiliar na compreensão do conhecimento que está presente no pensamento dos estudantes,

ancorados em aprender na prática e com a prática, o uso das TAP pode possibilitar a construção

dos conhecimentos de maneira ativa, a fim de estabelecer as mais diversas relações

(desequilíbrios, novas hipóteses e interpretações) que envolvem o conceito função.

Fundamentação teórica

Tarefas Matemáticas (TM) e Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP)

A elaboração das TAP terá suporte nas pesquisas de Ponte (2014), Ball e Cohen (1999)

e Silver et al. (2007) no que diz respeito à sua estruturação. No contexto de sala de aula, a

palavra “tarefa” pode ser entendida como um produto usualmente elaborado pelo professor,

mas não necessariamente. Ponte (2014) com o propósito de mobilizar conhecimentos e

concentrar a atenção dos estudantes para uma ideia matemática (STEIN et al., 2009), que pelo

seu lado, refere-se a uma atividade matemática para resolver (CUNHA, 2000; PONTE, 2014).

Portanto, a tarefa é uma ação exterior ao estudante e a atividade é uma ação efetuada por ele.

Segundo Boavida et al. (2008), o professor pode utilizar diferentes tipos de tarefas ao

considerar o contexto de aprendizagem, sejam aquelas que conduzem à memorização e à prática

procedural ou as orientadas para pensamentos mais elaborados. Com relação a isso, Ponte

(2005) aponta quatro diferentes tipos de tarefas: o exercício, o problema, a exploração e a

investigação, como sugeridas na Figura 1. A estrutura horizontal se refere ao grau de clareza

do conteúdo, isto é, aos tipos de raciocínios requeridos divididos entre o aberto e o fechado,

enquanto a estrutura vertical está relacionada à percepção da dificuldade da tarefa, e os níveis

de demanda cognitiva variam entre o reduzido e o elevado.

A relação mencionada entre professor - saber - estudante refere-se ao triângulo da didática de D’Amore (2007).

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Figura 1 – Relação entre tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de abertura

Desafio reduzido

Fechado

Exercício

Exploração

Aberto

Problema

Investigação

Desafio elevado

Fonte: adaptado de Ponte (2005)

Essa relação entre diversos tipos de tarefas ajuda a classificar as Tarefas Matemáticas

(TM), entendidas como

[...] tarefas que pedem aos alunos a execução de um procedimento

memorizado, de maneira rotineira, representam um certo tipo de oportunidade

para os alunos pensarem; tarefas que exigem que os alunos pensem

conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões representam um tipo

diferente de oportunidade para os alunos pensarem (STEIN; SMITH, 2009, p.

22).

Por outro lado, com objetivo de ampliar os domínios do conhecimento do professor

(BALL; THAMES; PHELPS, 2008), as TAP representam uma oportunidade para a

aprendizagem profissional do professor (BALL; COHEN, 1999; RIBEIRO; PONTE, 2020;

SILVER et al., 2007), pois agregam elementos que proporcionam seu aprimoramento: (Figura

2).

Figura 2 – Estrutura e possibilidades das TAP para a formação de professores

Fonte: adaptado de Barboza (2019)

A respeito dos elementos elencados por Barboza (2019), destaca-se que essas tarefas

são voltadas à atividade do professor; envolvem conceitos matemáticos; mobilizam

conhecimentos matemáticos e didáticos; abrangem discussões que podem possibilitar reflexões

TAP

Voltada a

atividade do

professor

Elaborada com

registros de

prática

Envolve

conhecimentos

matemáticos

Mobiliza

conhecimentos

matemáticos

Mobiliza

conhecimentos

didáticos

Possibilita

reflexões sobre

a prática

Envolve

discussões

coletivas

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sobre a prática docente e, por fim, são elaboradas com registros de prática

. Assim, as TAP

neste artigo são compostas por TM, destinadas para estudantes da Educação Básica, de maneira

que elas representam registros da prática a serem realizadas pelos estudantes.

Outros componentes que podem oportunizar a aprendizagem profissional para

professores se referem ao papel e às ações do formador (RIBEIRO; PONTE, 2020), de maneira

que a “interação entre os professores e o formador, no uso de TAP, possa ser um fator

importante à promoção de oportunidades de aprendizagem, baseadas na prática” (BARBOZA;

PAZUCH; RIBEIRO, 2021, p. 7). As TAP também permitem visualizar os efeitos dos

planejamentos do formador na construção dos conhecimentos matemáticos e didáticos do

professor.

O estudo de funções na formação de professores

Conceitos matemáticos atuais e mais complexos são elaborados por meio de evoluções

contínuas, uma composição gerada em diferentes períodos históricos por distintas mentes

humanas (ZUFFI; PACCA, 2002). O conceito de função, por exemplo, teve sua primeira

elaboração formal a partir dos estudos de movimentos e de taxas de mudanças de quantidades

variando continuamente, desenvolvidos por Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716)

(SOUSA; MOURA, 2019).

Todavia, a evolução do conceito de função não se estagnou nos trabalhos de Newton e

Leibniz, pelo contrário, ele expressa significados para além da compreensão de fenômenos

naturais, visto que, em Matemática, esse conceito aplica-se às generalizações, à resolução de

problemas e à formalização de outros conceitos matemáticos mais abstratos (SOUSA;

MOURA, 2019). No que tange ao ensino de Funções em território brasileiro, os

direcionamentos curriculares sobre a orientação do que “deve” ser ensinado pelo professor de

matemática aos seus estudantes na Educação Básica são organizados e estruturados por

intermédio da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), já que

[...] currículos tem papéis complementares para assegurar as aprendizagens

essenciais definidas para cada etapa da educação básica, uma vez que tais

aprendizagens só se materializam mediante o conjunto de decisões que

caracterizam o currículo em ação (BRASIL, 2017, p. 12).

Envolvem artefatos da prática, como materiais curriculares, vídeos, episódios de aula e trabalho dos estudantes

(BALL; COHEN, 1999).

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Em relação ao currículo de Matemática, na BNCC o conteúdo de Funções é apresentado

no campo da Álgebra. Neste documento, é definido o conjunto de conhecimentos e habilidades

essenciais que se espera que os estudantes desenvolvam no processo de aprendizagem.

A compreensão de conceitos matemáticos vinculados ao campo da Álgebra requer o

desenvolvimento do pensamento algébrico, que permite “lidar com outras relações e estruturas

matemáticas e usá-las na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros

domínios” (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p. 10). Para Ribeiro e Cury (2015), o

pensamento algébrico representa um processo de generalização realizado por estudantes, cujas

argumentações apresentadas são ideias matemáticas provenientes de observações de um

conjunto de dados particulares.

Assim, Ribeiro e Cury (2015) retomam as concepções sobre pensamento funcional e

referem-se a ele através do ato de generalizar a variação de duas grandezas relacionadas e

explorar a ideia fundamental do conceito matemático de função. Sendo assim, a configuração

do ensino de Função como uma dimensão da Álgebra reforça a articulação entre os campos de

conhecimento, determinados por equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência,

representação, variação e aproximação (BRASIL, 2017).

A construção do conceito de função e respectivos conhecimentos a ele vinculados inicia-

se na Educação Básica, e é ampliado e formalizado na formação inicial de professores. Porém,

é necessário dar seguimento à construção do conceito por meio de processos de formação

continuada, dado que muitos dos conhecimentos profissionais emergem na prática (LAMPERT,

2010). O professor detém um papel significativo para envolver conceitos matemáticos, aspectos

curriculares, pedagógicos e didáticos na sua prática, visto que “os conhecimentos profissionais

se constroem na ação e na interação e só são realmente úteis se forem mobilizáveis na ação”

(PONTE, 1999, p. 16).

Com isso, entende-se que a aprendizagem do docente continua e está fundamentada na

prática dos professores que já se encontram no ambiente de trabalho da sala de aula e dos futuros

professores, que (re)significam seus conhecimentos ao entrarem em contato com experiências

práticas profissionais. A proposta de trabalho do conceito de função com o uso de TAP reforça

a perspectiva de aprender na prática e com a prática, de investigar o ensino no próprio ensino,

de modo a oportunizar momentos de aprendizagem profissional, seja na formação inicial ou na

continuada.

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Procedimentos metodológicos

Elaboração de um quadro de referência

Para a elaboração de um quadro de referência, optou-se por utilizar o modelo

Professional Learning Opportunities for Teachers (PLOT)

, desenvolvido por Ribeiro e Ponte

(2020) para o planejamento e a execução de programas de formação de professores. Esse

modelo foi estabelecido pelos pesquisadores para unificar três domínios presentes nas pesquisas

de formação de professores no campo da Educação Matemática que envolvem o Papel e as

Ações do Formador (PAF), as TAP e as Interações Discursivas entre os Participantes (IDP).

O modelo PLOT, ao associar oportunidades de aprendizagem do professor em sua

estrutura, visa conceber uma perspectiva interativa e interconectada aos processos de formação

de professores (RIBEIRO; PONTE, 2020). A estrutura de cada domínio do modelo PLOT é

composta por quatro componentes divididas entre a dimensão conceitual, caracterizada pela

estrutura e bases teóricas, e a dimensão operacional, que manifesta as orientações para a forma

de aplicação do modelo, como pode ser verificado no Quadro 1. A ação conjunta de ambas as

dimensões tem como viés a organização de um processo de formação de professores, a

identificação e a compreensão de como surgem oportunidades de aprendizagem profissional

para os professores e se elas aparecem (RIBEIRO; PONTE, 2020).

Quadro 1 – Dimensões, componentes e características do modelo PLOT em três domínios

Dimensão conceitual

Dimensão operacional

Componente

Característica

Componente

Característica

Papel e Ações do

Formador (PAF)

Aproximação

Favorecer a aproximação da

Matemática Acadêmica

(MA) à Matemática Escolar

(ME) e vice-versa.

Gestão

Promover o gerenciamento de

um ambiente de ensino-

aprendizagem exploratório,

com as diferentes fases dessa

abordagem.

Articulação

Estimular a articulação entre

as dimensões matemática e

didática do conhecimento

profissional para ensinar.

Orquestração

Preparar e desenvolver a

orquestração de discussões

matemáticas e didáticas entre

todos os participantes.

Tarefas de

Aprendizagem

Profissional (TAP)

Conhecimento

profissional

Explorar os conhecimentos

matemáticos e didáticos dos

professores, relacionados à/s

TME.

Tarefa

Matemática

Contemplar tarefa/s

matemática/s dos estudantes

(TME), de alto nível

cognitivo.

Ensino

Exploratório

Possuir estrutura que

propicie um ambiente de

ensino-aprendizagem

exploratório.

Registros de

Prática

Envolver diferentes tipos de

registros de prática,

organizados em forma de

Vignettes.

O modelo PLOT foi concebido a fim de atender à demanda de desenvolvimento de estruturas compartilhadas

para o estudo da aprendizagem dos professores mediante uma perspectiva interativa e interconectada.

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Interações

Discursivas entre

os Participantes

(IDP)

Discussões

Matemáticas e

Didáticas

Contemplar, de forma

articulada, as discussões

matemáticas e didáticas

relacionados às TME.

Linguagem

mobilizada

Contemplar a utilização de

linguagem matemática e

didática adequada e pertinente

ao nível de ensino das TME.

Argumentação

Justificação

Envolver argumentação e

justificação matemáticas e

didáticas válidas.

Comunicação

dialógica

Promover a comunicação

dialógica e integrativa entre

todos os participantes.

Fonte: Ribeiro e Ponte (2020)

Neste artigo, foi considerado exclusivamente o domínio de TAP com suas respectivas

componentes, com abordagem da dimensão conceitual através do conhecimento profissional e

do ensino exploratório e da dimensão operacional por meio das tarefas matemáticas e dos

registros de prática.

Quadro 2 – Dimensões, componentes e características no domínio da TAP com foco no

ensino do conceito de função para diferentes níveis de ensino da Educação Básica

Dimensão Conceitual

Dimensão operacional

Componente

Característica

Componente

Característica

Anos Iniciais

do Ensino

Fundamental

Conhecimento

profissional

Trabalho com sequências de

funções de variável natural.

Tarefa

matemática

Identificação e

seguimento de um

padrão de sequência.

Ensino

exploratório

A cada número (ordem)

realizar uma correspondência

com um dado termo, que pode

ser um número, um objeto

geométrico ou outro objeto

qualquer.

Registro de

prática

Tarefa matemática a ser

fornecida para os

estudantes dos Anos

Iniciais.

Anos Finais

do Ensino

Fundamental

Conhecimento

profissional

Correspondências entre duas

variáveis, representadas em

tabelas, gráficos e diagramas.

Não se aborda a definição

formal do conceito de função.

Tarefa

matemática

Resolução de um

problema com foco na

variação da área de um

polígono em função de

uma dada distância.

Ensino

exploratório

Ênfase na resolução de

problemas relativos a situações

de proporcionalidade direta,

que envolvem relações

funcionais.

Registro de

prática

Tarefa matemática a ser

fornecida para os

estudantes dos Anos

Finais, com um roteiro,

para a construção do

polígono do problema no

software Geogebra.

Ensino

Médio

Conhecimento

profissional

Abordagem do conceito de

função de forma explícita, além

da transição entre distintas

representações de uma função.

Tarefa

matemática

Análise de domínio e

imagem de uma função a

partir de seu gráfico e

expressão algébrica.

Ensino

exploratório

Os estudantes podem:

- Definir o que é uma função

Registro de

prática

Tarefa matemática a ser

fornecida para os

estudantes do Ensino

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(conceito e noção7);

- Identificar relações definidas

como funções e não funções;

- Indicar domínio, imagem e

contradomínio;

- Reconhecer as representações

tabular, diagrama, algébrica,

generalização de padrões,

gráfica e formal;

- Usar o conceito na resolução

de problemas e modelagem de

situações reais.

Médio, com duas

resoluções incorretas

mais comuns entre os

estudantes.

Fonte: Elaborado pelos autores

O Quadro 2 apresenta a estruturação da TAP com foco no ensino do conceito de função

para cada nível de ensino da Educação Básica, sintetizando direcionamentos curriculares e

didáticos para o ensino. A caracterização de cada componente foi estabelecida através da análise

do capítulo “Funções”, da obra Álgebra no Ensino Básico

, de Ponte, Branco e Matos (2009).

De acordo com as fundamentações conceituais e os aspectos de aprendizagem, apresentados

em Ponte, Branco e Matos (2009), foram determinados os conhecimentos profissionais a serem

mobilizados na ação e os direcionamentos do ensino exploratório, assim, as características das

componentes de dimensão operacional foram estipuladas consoante as componentes da

dimensão conceitual.

Elaboração de um quadro de referência

Totalizando três TAP, elas são identificadas como: TAP ‒ EFI, que é composta de duas

TM (TM1 e TM2) para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental; TAP ‒ EFF, que detém uma

TM (TM3) para os Anos Finais do Ensino Fundamental; e TAP ‒ EM que apresenta a TM4,

cujo conhecimento matemático vincula-se ao currículo do Ensino Médio.

Seguindo as orientações do Quadro 2, foram selecionadas e adaptadas TM cujos

objetivos vinculam-se às características das componentes da dimensão conceitual e, a partir do

uso das cores apresentadas na Figura 2, o Quadro 3 representa uma legenda para os elementos

da TAP presentes (direta ou indiretamente) em sua estrutura.

▪ Objetivo(s) TM1: Identificar e desenvolver o padrão da sequência de cores de

uma centopeia;

Relação entre variáveis e correspondência unívoca entre dois conjuntos.

Material de apoio ao trabalho dos professores no âmbito do Programa de Matemática do Ensino Básico.

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▪ Objetivo(s) TM2: Identificar e analisar o padrão de sequência de peões por meio

de uma imagem;

▪ Objetivo(s) TM3: Analisar a variação da área do polígono BCDP, em função da

distância do segmento AP = x, a fim de determinar o gráfico que descreve esse comportamento;

▪ Objetivo(s) TM4: Analisar o domínio e a imagem da função f(x) = ax+3 a partir

da sua expressão algébrica e de seu gráfico.

Quadro 3 – Legenda de cores dos elementos de estrutura e possibilidades da TAP

Cor do elemento

Estrutura e

elementos da TAP

Atividade do

professor

Envolvimento de conceitos

matemáticos

Mobilização de conhecimentos

didáticos

Cor do elemento

Estrutura e

elementos da TAP

Registros de

prática

Mobilização de

conhecimentos matemáticos

Possibilidade

de reflexão

Discussão coletiva

Fonte: Elaborado pelos autores

Em relação à sua estrutura, as TAP foram divididas em duas partes: Parte 1 composta

por um registro de prática (TM e/ou registro de estudante), e nela cabe ao formador orientar a

respeito dos conhecimentos matemáticos e didáticos que podem ser mobilizados nessa seção;

Parte 2 faz referência à prática dos professores, e a análise da Parte 1 é feita em paralelo às

discussões e reflexões mediadas pelo professor formador. As discussões são essenciais para que

ocorram mudanças na comunicação matemática no que diz respeito ao estudo de um conceito

por meio de sua definição (TABACH; NACHLIELI, 2015), e é importante frisar que nem todas

as discussões apresentam potencial para uma mudança relativa na prática (BARBOZA;

PAZUCH; RIBEIRO, 2021; TABACH, NACHLIELI, 2015).

A discussão se desenvolve a partir da apresentação das TAP elaboradas, que se

enquadram como materiais para a coleta de dados. Neste artigo não será feita uma descrição

sobre o processo de execução de uma TAP em sala de aula. Portanto, não haverá inclusão de

elementos empíricos, apesar de representar um recurso em potencial para desenvolver

momentos formativos colaborativos.

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Discussão e apresentação das TAP

As TAP são apresentadas em duas figuras, a Parte 1 (Figura 3) referente às TM e a Parte

2 (Figura 4) com as questões para análise e reflexão. Ressalta-se que elas podem abordar o

conceito de função de diferentes maneiras, a depender das discussões e reflexões realizadas

pelos professores e futuros professores e da ação do professor formador (BARBOZA;

PAZUCH; RIBEIRO, 2021; RIBEIRO; PONTE, 2020).

Figura 3 – Parte 1: TAP – EFI / TAP – EFF / TAP – EM

TM1: Cores da centopeia

Material necessário: Massa de modelar, pedaço de barbante (ou similar) e miçangas ou contas de diferentes cores.

Desenvolvimento:

Etapa 1: Criar uma centopeia com massa de modelar para que os estudantes, em roda, identifiquem como as

cores se repetem no corpo da centopeia, ou seja, o padrão da sequência. Em seguida, solicita aos estudantes

que continuem a desenvolver o padrão, aumentando o corpo da centopeia.

Etapa 2: Em duplas, os estudantes criam centopeias com um motivo de repetição para o colega descobrir e

continuar.

Etapa 3: As crianças poderão fazer o registro de uma das sequências elaboradas por elas.

Fonte: ADAPTADO de http://www.educacao.pe.gov.br/portal/

TM2: As estripulias de Pedrinho

Material necessário: Pode-se fornecer objetos aos estudantes de modo que estes representem os piões.

Desenvolvimento:

Pedrinho é um garoto muito esperto e brincalhão. Ele também gosta de inventar mistérios para os amigos descobrirem. Vejam a ideia que

ele teve:

Apresentar as perguntas abaixo aos estudantes para que comentem e registrem conclusões a respeito da

ideia de Pedrinho:

a) Nessas imagens, o que observam?

b) Os piões são todos iguais?

c) Os piões se repetem em alguma ordem? O que você descobriu?

d) Qual foi esse segredo que Pedrinho usou?

e) Usando o segredo que você descobriu, quais seriam as próximas figuras?

Fonte: ADAPTADO da Coleção SBEM (Volume 12, 2018)

TM3: QUESTÃO OBMEP 2007:

Qual dos gráficos abaixo descreve a variação da área do polígono BCDP em função da distância x=AP?

Para a realização desta tarefa matemática será utilizado

o software dinâmico Geogebra. Abaixo segue o roteiro

para a construção do polígono BCDP, elaborado por um

professor:

Fonte: http://www.obmep.org.br/provas.htm

ROTEIRO:

Os alunos devem trabalhar

em duplas ou trios para

realizarem a construção e,

em seguida, explorarem a

construção e registrarem

suas conclusões para

encontrar a resposta.

- Criar os pontos A e B, sobre uma mesma horizontal, e depois determinar o segmento AB.

- Traçar duas perpendiculares ao segmento AB, pelos pontos A e B.

- Marcar um ponto C sobre a perpendicular por B, utilizando a ferramenta “Ponto em objeto”.

- Por C, traçar uma perpendicular à reta BC e criar o ponto D, com a ferramenta “Interseção de dois

objetos”, na interseção com a outra perpendicular.

- Ocultar as retas e construir os segmentos BC, CD e DA.

- Construir a diagonal AC e inserir um ponto P sobre ela.

- Com a ferramenta “Polígono”, construir BCDP: clicar seguidamente em B, C, D, P e novamente em B

para fechar o ciclo.

- Ao clicar com o botão direito do mouse sobre o polígono, em “Propriedades”, alterar para “Exibir

Rótulo – Valor”, para exibir na tela o valor numérico da área do polígono.

- Construir o segmento AP e nomear como “x” a legenda e exibi-la (através do menu “Propriedades").

- Clicar na Janela de Visualização 2 (para que o ponto Q, a ser construído, apareça nesta nova janela) e

entrar com o seguinte comando na barra de entrada: Q = (n, pol1), onde n é o nome do segmento AP

e pol1 é a identificação da área do polígono BCDP.

Caroline Miranda Pereira LIMA e Vinícius PAZUCH

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Obs: verificar a Janela de Álgebra para certificar-se que o nome está correto.

- Movimentar o ponto P na Janela 1 e verificar o ponto Q percorrer uma trajetória na Janela 2.

- Com o botão direito sobre o ponto Q, clicar em “Habilitar Rastro” e com o botão direito sobre o ponto

P, clicar em “Animar”.

TM4: Teste de múltipla escolha

Seja uma função com domínio e imagem

reais dada por f(x) = ax+3. Qual é o valor

de f(9)?

a) 6

b) 9

c) 10

d) 15

e) 18

Abaixo são apresentados os dois tipos mais

frequentes de resoluções incorretas dos

estudantes:

R1:

f(x) = a.x + 3

f(3) = 3a + 3

f(3) = 3.5 + 3

f3 = 15 + 3 = 18

f = 18/3

f = 6

R2:

f(x) = a.x + 3

f(9) = a. -3 + 3

f(9) = a

f = 9/a

f = 9

Fonte: Adaptada de Bortoli (2011, p. 45-46)

Figura 4 – Parte 2: TAP – EFI / TAP – EFF / TAP – EM

Parte 2: Análise das Tarefas Matemáticas (TM1, TM2, TM3 e TM4)

1) Resolvam as tarefas propostas e registrem todos os procedimentos utilizados.

2) Para qual ano indicariam a aplicação da TM1, TM2, TM3 e TM4? O que está sendo estudado (conteúdo)?

3) Qual(is) a(s) dificuldade(s) os estudantes podem apresentar ao realizarem esta tarefa?

4) Qual(is) o(s) objetivo(s) matemático(s) podem ser considerados para a utilização da TM1 e TM2?

5) Considerando o que responderam nos itens anteriores, utilizariam esta tarefa em uma aula de matemática? Como podem desenvolvê-la?

Fariam modificações/adaptações?

Análise exclusiva para TM3)

6) Considerando os itens abaixo:

- Apresentar correspondências entre duas variáveis que se podem representar em tabelas, gráficos e diagramas.

- Proporcionar a resolução de problemas.

Tomando os itens como objetivos didáticos, como tais objetivos poderiam ser trabalhados em sala de aula?

7) Em outra perspectiva de abordagem do problema, o professor detém do arquivo Obmep_2007.ggb, representado na Figura abaixo.

Figura - Obmep_2007.ggb. / Fonte: a autora.

7a) Como avaliam o roteiro elaborado pelo professor

no que diz respeito a compreensão dos alunos sobre o

passo a passo apresentado?

7b) Como utilizariam o arquivo Obmep_2007.ggb

nas suas aulas?

7c) Como podem realizar a abordagem e discussão da

resolução do problema, caso não fosse fornecido o

roteiro aos estudantes e eles tivessem de utilizar o

Geogebra para encontrar a solução?

Análise exclusiva para TM4)

6) Expliquem sobre o que pode ter levado os estudantes a cometerem tais equívocos em suas respostas? Comentem e dêem uma devolutiva

para as respostas equivocadas, pontuando quais as semelhanças e diferenças entre as resoluções.

Explicação sobre as respostas incorretas

Semelhanças

Diferenças

Devolutiva

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7) Como a utilização de recursos tecnológicos, mais especificamente o Geogebra, pode auxiliar na resolução do problema e na compreensão

da definição de função?

Fonte: Elaborado pelos autores

A TAP‒ EFI possibilita a utilização de materiais manipuláveis diversificados, como

massas de modelar, blocos lógicos, barras Cuisenaire, blocos de encaixe, coleções diversas,

entre outros. O recurso dos materiais manipuláveis pode ser usado para compor sequências

fisicamente. Segundo Murari (2011), a utilização desses recursos permite um movimento mais

dinâmico ao ser acompanhada da discussão entre estudantes e professores, e a representação

visual — de padrões de sequências, nesse caso — é a ilustração da resolução de um problema.

A TM1 e a TM2 na TAP‒EFI trabalham com sequências por meio da disposição do

corpo de uma centopeia e da posição em que se encontram peões. O desenvolvimento do

pensamento algébrico e funcional é favorecido tendo em vista que as atividades realizadas pelos

estudantes potencializam a capacidade de reconhecer padrões de uma sequência ‒ pela

percepção de sua regularidade, pela continuação a uma sequência repetitiva, pela

correspondência de uma sequência de objetos a uma dada posição ‒ e a análise do seu discurso

matemático, que é revelado ao longo do processo de ensino e aprendizagem (RIBEIRO; CURY,

2015).

A TAP ‒ EFF estabelece uma conexão entre o conteúdo de Função do campo da

Álgebra e o do campo da Geometria, pois elenca aspectos históricos do surgimento do conceito

de função (GONÇALVES, 2015; SOUSA; MOURA, 2019), sem abordar sua definição

explicitamente (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). A proposta de utilização da ferramenta

do Geogebra para resolução da TM3 também proporciona a conexão entre a Álgebra e a

Geometria ao “relacionar as informações dadas algebricamente com as representações gráfica

e em tabela e apresentam os objetos matemáticos numa representação mais próxima da usual”

(PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p. 16).

Através da análise da TM3, proposta pela TAP ‒ EFF, professores podem ser instigados

a debater sobre a compreensão do conceito de função através de diversas representações, como

a transição entre gráficos cartesianos, a linguagem algébrica e a linguagem geométrica. Ao

vincular o objetivo de associar o conceito de funções ao estudo das propriedades das diversas

representações, é preciso que o conceito (de função) e seu caráter integrador (a várias

representações) sejam compreendidos por quem vai ensiná-lo, e desenvolvidos de formas

diversificadas no âmbito da sala de aula (GONÇALVES, 2015).

Caroline Miranda Pereira LIMA e Vinícius PAZUCH

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As TAP oportunizam a reflexão sobre problemas pedagógicos. A TAP‒EM agrega

discussões a respeito das resoluções incorretas dos estudantes, com o intuito de caracterizar a

origem das dificuldades de compreensão conceitual que levaram o aluno ao erro. Para a

compreensão da TM4, é essencial entender a definição do conceito de função para a resolução

do problema e percepção dos equívocos cometidos pelo estudante. Possíveis soluções para os

problemas na prática pedagógica podem ser evidenciadas com a utilização das TAP, pois elas

proporcionam um processo de reflexão, de compartilhamento e de construção de

conhecimentos coletivos (SILVER et al., 2007).

Ao analisar as três TAP que foram elaboradas, destaca-se que em todas as TAP há

questões que pedem a resolução das TM e a sua adequação a um dado ano de ensino com o

propósito de determinar os conhecimentos matemáticos e os conhecimentos didáticos do

professor, respectivamente. A partir da identificação por cores das estruturas e possibilidades

da TAP, ressalta-se que pela cor roxa, todas as TAP são passíveis de discussão coletiva, a

depender do modo como o professor formador conduz a aprendizagem profissional do professor

(BALL; COHEN, 1999; SMITH, 2001).

Os registros de práticas (cor laranja) expressam parte essencial dos objetivos da TAP,

pois concentram a temática das possíveis discussões e as consequentes reflexões, que são a base

para a aprendizagem profissional (BALL; COHEN, 1999; BARBOZA, 2019; SILVER et al.,

2007). Referências à atividade do professor (cor verde), às mobilizações de conhecimentos

matemáticos (cor azul) e didáticos (cor cinza) e à possibilidade de reflexão (cor rosa)

concentram-se em sua maioria na segunda parte da TAP, que direciona para a análise de

registros de prática (cor laranja) e da abordagem dos conceitos matemáticos por meio das TM

(cor amarela).

Acerca disso, Barboza (2019) revela que a escolha da estrutura da TAP é central no

processo de aprendizagem do professor, de maneira que este experiencie a “formação de novas

estruturas de conhecimento, combinando várias de suas esferas e potencialmente algum novo

conhecimento, seja individual ou coletivamente” (p. 23). Por outro lado, a autora destaca que

as TAP, intrinsecamente, não detêm a capacidade para (re)significar e mobilizar conhecimentos

matemáticos e didáticos, sendo fundamental o reconhecimento às reflexões do professor que

trabalha com elas, por intermédio dos questionamentos do formador e das discussões

desencadeadas.

Considerando que a dificuldade no ensino e na aprendizagem de funções pelos alunos e

pelos professores é verificada na formalização do conceito de função e nas relações com as

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representações, a elaboração de tarefas pode representar um desafio (GONÇALVES, 2015).

Com isso, elencar oportunidades para que professores evidenciem nas TAP os objetivos

matemáticos e as estratégias didáticas para a aplicação das TM podem ampliar as possibilidades

de desenvolvimento inicial e contínuo da aprendizagem do professor fundamentada na prática.

Considerações finais

Este artigo teve como objetivo apresentar e discutir as TAP elaboradas para o estudo

do conceito de função. Nele foram identificados os elementos da TAP e foi evidenciado que as

discussões e as reflexões sobre a prática ocorrem mediante a análise do registro dessa prática

(BARBOZA, 2019) e sob os questionamentos cujos desdobramentos são orientados pelo

formador (BARBOZA; PAZUCH; RIBEIRO, 2021). A abordagem didática do conceito de

função é, então, adaptada para cada nível de ensino, em busca do desenvolvimento gradativo

do pensamento funcional, da familiaridade com as diferentes representações e da apresentação

formal da definição (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009).

A tentativa de estabelecer uma aproximação entre as componentes da dimensão

conceitual e da dimensão operacional, presentes no Quadro 1, por meio das TAP, visa sanar a

demanda por estruturas compartilhadas de desenvolvimento de estudo da aprendizagem dos

professores. Nesse aspecto, as TAP estabelecem oportunidades para a formação inicial e

continuada de professores ao (re)significarem conhecimentos matemáticos e didáticos mediante

uma perspectiva interativa e interconectada da prática.

A proposta de desenvolver a aprendizagem profissional em um ambiente com perfis

divergentes visa promover a formação do professor de matemática por meio do planejamento

de tarefas, do ensino pela prática e da produção de conhecimento (GUMIERO; PAZUCH,

2019). Para maior compreensão da aprendizagem profissional e efetividade da utilização das

TAP, é necessário utilizá-las como instrumentos de coleta de dados empíricos com um grupo

heterogêneo. Por esta razão, ressalta-se que estabelecer estratégias para a aprendizagem

profissional do professor de matemática exige renovações e novas alternativas à prática do

professor, e a TAP é um meio de refletir, conjuntamente, a respeito da escolha dos recursos

associados aos objetivos e às ideias matemáticas com as quais se deseja trabalhar.

Caroline Miranda Pereira LIMA e Vinícius PAZUCH

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CRediT Author Statement

 Reconhecimentos: Gostaríamos de agradecer ao Programa de Pós-Graduação em Ensino e

História das Ciências e da Matemática da Universidade Federal do ABC, juntamente com

seus docentes, em especial à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior (CAPES), pelos investimentos realizados e pela oportunidade de realização do

curso. Assim como aos colegas e professores do grupo de pesquisa “Formação de

Professores e Tecnologias Digitais em Educação Matemática” (FORTEMAT), pelas

experiências de aprendizagem, críticas construtivas e discussões benéficas partilhadas.

 Financiamento: Esta pesquisa foi financiada pela Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001.

 Conflitos de interesse: Não há conflitos de interesse.

 Aprovação ética: Como a pesquisa não envolve coleta de dados empíricos, tratando-se

apenas de uma pesquisa teórica e bibliográfica, não houve a necessidade de submissão da

mesma a um comitê de ética.

 Disponibilidade de dados e material: A presente pesquisa faz parte de uma dissertação

em formato multipaper, intitulada “O CONCEITO DE FUNÇÃO E A FORMAÇÃO DE

PROFESSORES: UM ESTUDO DA LITERATURA ESPECIALIZADA”, de autoria de

um dos autores deste artigo. Logo, os dados e materiais utilizados estão parcialmente

disponíveis, a fim de garantir a originalidade às revistas nas quais os artigos foram

submetidos.

 Contribuições dos autores: A elaboração da pesquisa responsável pelo desenvolvimento

de Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP) com foco no conceito de função para

formação inicial e continuada de professores que ensinam matemática, assim como este

artigo, foram desenvolvidos de maneira colaborativa entre os autores. Neste aspecto, a

autora Caroline M. P. Lima foi responsável por realizar a revisão sistemática de literatura

e estabelecer os procedimentos metodológicos para a realização da pesquisa e construção

das TAP. Enquanto o autor Vinícius Pazuch atuou na orientação da escolha de

procedimentos e metodologias, assim como na organização da pesquisa. Por fim, ambos

auxiliaram nos direcionamentos e avaliação das considerações finais no que tange aos

aspectos teóricos, metodológicos e didáticos das discussões apresentadas.

Processamento e editoração: Editora Ibero-Americana de Educação.

Revisão, formatação, normalização e tradução.

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FORMACIÓN INICIAL Y CONTINUA: LA ELABORACIÓN DE TAREAS DE

APRENDIZAJE PROFESIONAL PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO DE

FUNCIÓN

FORMAÇÃO INICIAL E CONTINUADA: A ELABORAÇÃO DE TAREFAS DE

APRENDIZAGEM PROFISSIONAL PARA O ESTUDO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

INITIAL AND CONTINUING TEACHER EDUCATION: THE DEVELOPMENT OF

PROFESSIONAL LEARNING TASKS FOR THE STUDY OF THE CONCEPT OF

FUNCTION

Caroline Miranda Pereira LIMA1

e-mail: caroll_mpl@hotmail.com

Vinícius PAZUCH2

e-mail: vinicius.pazuch@ufabc.edu.br

Cómo hacer referencia a este artículo:

LIMA, C. M. P. L.; PAZUCH, V. Formación inicial y continua: La

elaboración de tareas de aprendizaje profesional para el estudio del

concepto de función. Revista Ibero-Americana de Estudos em

Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023166, 2023. e-ISSN: 1982-

5587. DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.17242

| Enviado en: 15/08/2023

| Revisiones requeridas el: 07/09/2023

| Aprobado el: 11/10/2023

| Publicado en: 28/12/2023

Editor:

Prof. Dr. José Luís Bizelli

Editor Adjunto Ejecutivo:

Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz

Universidad Federal del ABC (UFABC), Santo André – SP – Brasil. Máster en Magisterio e Historia de la Ciencia

y las Matemáticas.

Universidad Federal del ABC (UFABC), Santo André – SP – Brasil. Doctor en Ciencias y Didáctica de las

Matemáticas por la ULBRA. Profesor del Centro de Matemáticas, Computación y Cognición de la Universidad

Federal del ABC.

Formación inicial y continua: La elaboración de tareas de aprendizaje profesional para el estudio del concepto de función

RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 18, n. 00, e023166, 2023. e-ISSN: 1982-5587

DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v18i00.17242 2

RESUMEN: Este artículo tiene como objetivo presentar las Tareas de Aprendizaje Profesional

elaboradas sobre el concepto de función como recurso para posibilitar oportunidades de

aprendizaje profesional vinculadas al conocimiento matemático y didáctico de los docentes que

imparten clases de matemática y futuros docentes de esta disciplina. Para la elaboración de las

tareas fue elegido el modelo Professional Learning Opportunities for Teachers, que utiliza los

componentes de la dimensión conceptual establecidos sobre la base de los conceptos