RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 1
ESPECIFICIDADES DO CONHECIMENTO INTERPRETATIVO DO PROFESSOR
E DAS TAREFAS PARA A FORMAÇÃO COMO ELEMENTOS PARA PRÁTICAS
CRIATIVAS E MATEMATICAMENTE INOVADORAS
ESPECIFICIDADES DE LOS CONOCIMIENTOS INTERPRETATIVOS Y LAS
TAREAS FORMATIVAS DEL DOCENTE COMO ELEMENTOS PARA PRÁCTICAS
CREATIVAS Y MATEMÁTICAMENTE INNOVADORAS
SPECIFICITIES OF TEACHER'S INTERPRETATIVE KNOWLEDGE AND TASKS
FOR TEACHER EDUCATION AS ELEMENTS FOR CREATIVE AND INNOVATIVE
MATHEMATICAL PRACTICES
Miguel RIBEIRO1
e-mail: cmribas78@gmail.com
Caroline SILVA2
e-mail: caroldesouza86@gmail.com
Como referenciar este artigo:
RIBEIRO, M.; SILVA, C. Especificidades do Conhecimento
Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como
elementos para práticas criativas e matematicamente inovadoras.
Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara,
v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553
| Submetido em: 06/10/2023
| Revisões requeridas em: 24/01/2024
| Aprovado em: 11/03/2024
| Publicado em: 20/07/2024
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Editor Adjunto Executivo:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brasil. Professor. Doutorado em
Investigación en la Enseñanza y el Aprendizaje de las Ciencias Experimental (UHU/Espanha).
2
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brasil. Doutoranda do Programa da Pós-
graduação Multiunidades em Ensino de Ciências e Matemática (PECIM/UNICAMP).
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 2
RESUMO: No contexto da formação de professores com foco nas especificidades do conhecimento
especializado do professor, é evidente a necessidade de uma formação inovadora e, cientificamente,
sustentada para desenvolver pesquisas com abordagens replicáveis que foquem as dimensões
fundamentais para melhorar a qualidade das discussões e das aprendizagens matemáticas dos
alunos. Considerando as especificidades da prática profissional do professor que possibilitam o
entendimento dos alunos, a partir do conhecimento que possuem, é requerido um conhecimento
especializado que permita escutar o Pensar matemático dos alunos – denominado Conhecimento
Interpretativo – e esse conhecimento não se desenvolve na prática de sala de aula, requerendo
contextos formativos com esse fito. Neste artigo, discutimos inovação associada às abordagens
teóricas e metodológicas de pesquisa, à conceitualização das Tarefas para a Formação especializada
(no âmbito das Transformações Geométricas Isométricas) e à abordagem metodológica associada à
sua implementação em contextos imbricando formação e pesquisa.
PALAVRAS-CHAVE: Conhecimento Interpretativo. Tarefas para a Formação. Transformações
Geométricas Isométricas.
RESUMEN: En el contexto de la formación docente con un enfoque en las especificidades del
conocimiento especializado del docente, se evidencia la necesidad de una formación innovadora y
científicamente sustentada para desarrollar investigaciones con enfoques replicables que se
centren en las dimensiones fundamentales para mejorar la calidad de las discusiones y el
aprendizaje matemático de los estudiantes. Considerando las especificidades de la práctica
profesional docente que posibilitan la comprensión de los estudiantes, a partir de los conocimientos
que poseen, se requiere un conocimiento especializado que permita escuchar el pensamiento
matemático de los estudiantes – llamado Conocimiento Interpretativo – y este conocimiento no se
desarrolla en la práctica del aula, requiriendo contextos formativos con este propósito. En este
artículo, discutimos la innovación asociada a los enfoques teóricos y metodológicos de la
investigación, la conceptualización de las Tareas para la Formación Especializada (en el ámbito
de las Transformaciones Geométricas Isométricas) y el enfoque metodológico asociado a su
implementación en contextos que entrelazan la formación y la investigación.
PALABRAS CLAVE: Conocimientos interpretativos. Tareas para la formación.
Transformaciones geométricas isométricas.
ABSTRACT: In the context of teacher education focusing on the specificities of teachers’
specialized knowledge, it’s evident the need for innovative and scientifically supported proposals
for research with replicable approaches focusing on the foundational dimensions to improve the
quality of discussions and students’ mathematical learning. Considering the specificities of
teacher's practices that enable students to understand, in order to be able to assume has a starting
point the students’ knowledge, a specialized knowledge that allows listening to students'
mathematical thinking is required – called Interpretive Knowledge. This specialized knowledge is
not developed during practice, requiring teacher education contexts with such a purpose. In this
paper, we discuss innovation associated with theoretical and methodological research approaches,
the conceptualization of Tasks for Teacher Education (within the scope of Isometric Geometric
Transformations) and the methodological approach associated with its implementation in contexts
intertwining teacher education and research.
KEYWORDS: Interpretive Knowledge. Tasks for Teacher Education. Isometric Geometric
Transformations.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
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Introdução
Pensar e fazer inovação – em termos de resultados ou de processos – tem de estar
associado a efetuar algo que ainda não foi feito, a fazer de forma diferente do usual, ou ambos.
No contexto da Educação Matemática que busca uma melhoria dos resultados dos alunos em
matemática, a inovação não pode ser entendida como mudar abordagens pedagógicas e
continuar no mesmo espaço de discussão matemática, mas demanda considerar como prioritário
mudar formas de pensar e desenvolver o conhecimento matemático dos alunos. Essa inovação
requer uma prática profissional especializada e matematicamente inovadora.
A prática do professor de matemática é sustentada em tarefas, em prepará-las e
implementá-las com os alunos (Mason; Johnston-Wilder, 2006). Cada tipo de tarefas (Ponte,
2005), porém, associa-se a diferentes objetivos e à determinada forma de entender o papel do
professor e dos alunos (Stein et al., 2000; Watson; Sullivan, 2008). Dentre a diversidade de
tipos e de formas de tarefas – de introdução, de consolidação, de revisão, de avaliação,
envolvendo exercícios, resolução de problemas, formulação de problemas, ou investigações –
a nossa priorização para pensar e fazer inovação direciona-se a tarefas de introdução de tópicos
- por serem os momentos em que o professor mobiliza de forma mais acessível o seu
conhecimento (Ribeiro, 2013; Ribeiro; Carrillo; Monteiro, 2012; Shoenfeld, 2000) – e
associadas à resolução e formulação de problemas (ou investigações) por serem os contextos
que levam a que os alunos tenham de pensar matematicamente de forma nunca antes feita, ou
não seriam verdadeiros problemas.
Considera-se também um paralelismo entre a prática do professor com os alunos e a
prática formativa do formador, tanto em termos metodológicos de possibilitar que o professor
vivencie o que se espera que possa, posteriormente, propiciar aos seus alunos (assumimos que
o conhecimento pedagógico não se ensina, vivencia-se) como em termos matemáticos, pois o
professor tem de passar a entender matemática e a pensar matematicamente de modo que seja
possível, posteriormente, propor tarefas e efetuar discussões que permitam desenvolver as
formas de pensar matematicamente dos alunos, e isso demanda fazer diferente do que tem sido
feito, ou não seria necessário esse foco na formação. Para desenvolver uma formação
especializada de professores especializados, consideramos as denominadas Tarefas para a
Formação – TpF (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) como um recurso pedagógico
especializante e especializado, tendo em vista o modo como assumimos o nosso papel enquanto
professores, o papel dos alunos e o papel dos formadores. Cada TpF é acompanhada de um
conjunto de outros três documentos (que, em conjunto, os quatro constituem as Tarefas
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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Formativas) que sustentam e apoiam a formação especializada que persegue objetivos de
desenvolver o conhecimento especializado do professor e a transformação das suas práticas
matemáticas em algo pedagogicamente emocionante e matematicamente inovador,
possibilitando que os alunos tenham prazer em aprender, pois entendem o que fazem e por que
o fazem, a cada momento e com conexões futuras. Esse foco prioritário da formação no
conhecimento especializado do professor considera o fato de esse conhecimento ser, de entre
os fatores controláveis, aquele que mais impacta nas aprendizagens e resultados dos alunos
(Baumert et al., 2010; Grossman, 2010; Nye; Konstantopoulos; Hedges, 2004).
Dentre a panóplia de formas de considerar o conhecimento do professor – desde uma
perspectiva que foca as generalidades (Ribeiro, 2018) até uma que concebe as especificidades,
assumimos esta última. Nesse sentido, buscamos romper com vários dos pressupostos
instituídos e implementados ainda hoje na formação de professores – generalidades, tais como
a de que basta ter sido aluno da etapa educativa que se vai ensinar e replicar a experiência para
ensinar (ausência de qualquer discussão na formação inicial sobre os tópicos que terão de ser
ensinados); a de que é suficiente saber fazer (formação de futuros professores e de futuros
matemáticos comuns) e com caráter instrumental (Lopes et al., 2022); a de que, para melhorar
os resultados, é suficiente mudar as metodologias para as mais “atrativas” (formações com foco
nas metodologias “da moda” sem discussão matemática) – e assumimos o conhecimento do
professor como especializado na perspectiva das conceitualizações teóricas do Mathematics
Teacher’s Specialised Knowledge
3
– MTSK (Carrillo et al., 2018) e Conhecimento
Interpretativo – CI (Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020; Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014;
Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013).
Assumimos, de forma associada, uma perspectiva de inovação também em termos
metodológicos de implementação das TpF em contextos formativos e para a pesquisa,
assumidas de forma imbricada. Considera-se como abordagens metodológicas de
implementação das TpF os ciclos formativos Individual-Coletivo-Individual – ICI (Pacelli et
al., 2020) ou Pequeno grupo-Coletivo-Pequeno grupo – Pg-C-Pg (Jakobsen; Ribeiro; Mellone,
2022; Mellone et al., 2023), como um processo que permite que a inovação em termos de
resultados seja concretizada pelo foco dos diferentes tipos de discussões individual-coletiva.
Neste texto, efetuamos uma discussão teórica sustentada em exemplos de propostas para
a pesquisa e para a formação, ambas especializadas, não discutindo a abordagem metodológica
3
Optamos por utilizar a nomenclatura em inglês por esta já ser reconhecida internacionalmente e a tradução poder
acarretar uma dessignificação, que se encontra associada a cada uma das dimensões da conceitualização.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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de pesquisa que desenvolvemos, mas focando aqui a atenção nas dimensões da inovação
educacional que se consideram. Discutimos inovação em três dimensões: (i) teóricas (formas
de entender o conhecimento do professor); (ii) de recursos para coleta de informações (Tarefas
para a Formação) e de desenvolvimento do conhecimento especializado do professor (Tarefas
para a Formação e Tarefas Interpretativas); e (iii) abordagem metodológica de implementação
das Tarefas para a Formação e de conceitualização das Tarefas Formativas para maximizar a
qualidade das discussões e a sustentabilidade do desenvolvimento do conhecimento
especializado do professor. Para essa discussão, trazemos um exemplo de uma Tarefa
Formativa e a TpF associada à transformação isométrica rotação. Esse exemplo serve como
ente gerador de discussão e promotor de entendimento, pois a experiência mostra que qualquer
inovação demanda romper com as correntes que nos restringem (Ribeiro, 2013) e fazer o que
ainda não foi feito e, ao apresentar exemplos concretos que permitem sustentar as discussões,
espera-se que possa levar o leitor a, partindo dessa especificação, chegar a uma generalização
das ideias apresentadas.
Algumas discussões teóricas
Os alunos têm dificuldades em vários tópicos matemáticos (Clements; Sarama, 2020;
Kieren, 1976; Ma, 1999) e, de forma mais geral, dificuldades em Pensar e em Pensar
matematicamente. Dentre os temas em que revelam maiores dificuldades está a Geometria e,
dentro desta, as transformações geométricas isométricas assumem um lugar de destaque, não
só pelas dificuldades (ver por exemplo, Bairral; Silva, 2010; Gaspar; Cabrita, 2014;
Küchemann, 1981), mas pelas conexões que podem (e deveriam) ser estabelecidas com outros
temas e tópicos matemáticos e extra matemáticos, de modo a potenciar o desenvolvimento desse
Pensar matematicamente em termos de entender a estrutura matemática e os elementos que
sustentam a demonstração e a generalização.
A rotação é uma das três transformações geométricas isométricas (as outras são reflexão
e translação) e por ser isométrica preserva distâncias (Lima, 1992) e amplitude de ângulos, o
que acarreta a congruência entre a figura original e a imagem transformada. Dentre as
transformações isométricas é considerada a mais difícil para os alunos compreenderem (Gomes,
2012; Moyer, 1978), principalmente, quando o centro de rotação é externo à figura (Gaspar;
Cabrita, 2014; Küchemann, 1981); porém, seu entendimento é essencial para o
desenvolvimento do Pensamento Geométrico, incluindo a imaginação intuitiva (Jones, 2020),
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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a percepção visual e o raciocínio espacial (Gomes, 2012), o que contribui para que os alunos
interpretem o mundo ao seu redor.
Quando pensamos nas formas como os alunos aprendem, compreendemos que essas
aprendizagens ocorrem associadas a tarefas para os alunos, que podem ser entendidas de
diferentes formas, de acordo com os diferentes tipos de tarefas (Ponte, 2005) – abertas,
fechadas, problemas, investigações. Em relação aos problemas (e as investigações, como
problemas mais amplos), podemos considerar uma estrutura de quatro etapas para a sua
resolução (Polya, 1975). É essencial que estes tipos de tarefas e de etapas para a resolução de
problemas seja discutida na formação de professores para que possam passar a ser algo natural
nas práticas do professor e, uma vez que, ainda hoje, quase 50 anos depois dos estudos de Polya,
essa ideia da prática sustentada na resolução de problemas pode ser entendida como uma
inovação, inclusive diante das dificuldades dos alunos para resolver problemas em diferentes
tópicos matemáticos (Francioli; Silva, 2021).
Considerando que a prática matemática do professor sustenta-se na implementação e
discussão de tarefas matemáticas (ver, por exemplo, Mason e Johnston-Wilder, 2006; Ribeiro,
Mellone e Jakobsen, 2016) e a necessidade de que os professores tenham o mesmo tipo de
experiências que se espera que possam facultar aos seus alunos, é essencial que a formação de
professores se desenvolva no mesmo espaço de práticas que se espera que venha a ser
implementadas com os alunos (Ribeiro; Carrillo; Monteiro, 2012) e, portanto, que se sustente
na preparação, implementação e discussão de tarefas que contribuam para desenvolver as
especificidade do conhecimento do professor para a sua prática profissional. Torna-se, assim,
fundamental que a formação de professores possibilite a criação de pontes que diminuam a
distância entre a matemática que os professores aprenderam e a matemática que se espera que
eles possam ensinar aos seus alunos (Zaslavsky; Leikin, 2004). Essas tarefas e oportunidades
associadas necessitam considerar um foco nos processos matemáticos (Biza et al., 2015) com
o objetivo de possibilitar que os professores possam transformar o seu conhecimento
matemático em práticas matemáticas pedagogicamente orientadas (Wasserman et al., 2022).
Nesse sentido, é essencial um conjunto de abordagens inovadoras que considerem um
foco nas questões da gestão matemática da sala de aula possibilitando que as discussões em
contexto formativo se aproximem de um cenário autêntico de ensino e de aprendizagem
esperado, perseguindo o objetivo de garantir que sejam priorizadas as aprendizagens
matemáticas dos alunos e não o conteúdo matemáticos por si mesmo (Mitchell; Marin, 2015)
ou as questões pedagógicas gerais sem qualquer relação com as aprendizagens (Ribeiro, 2018).
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
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Considerando a centralidade das tarefas nas aprendizagens matemáticas dos alunos, também a
formação de professores deverá assumir essa centralidade e considerar as especificidades da
“prática profissional” de cada um dos envolvidos (alunos e professores) e das especificidades
do conhecimento profissional do professor para essa prática matemática de possibilitar que os
alunos entendam matemática.
Essas especificidades da prática do professor têm sido entendidas desde uma perspectiva
que assume a centralidade do conhecimento pedagógico geral – sem qualquer referência aos
conteúdos abordados (ver Shulman, 1986, 1987) – e que pode ser entendido como uma forma
de diferenciar o “cluster professor” de todos os outros “clusters profissionais”, mas ficar nestas
generalidades pouco ou nada ajuda a pensar as especificidades da prática do professor de
matemática em relação aos outros professores de outras área de conhecimento (Ribeiro, 2018).
No sentido de direcionar a atenção para essas especificidades, é essencial considerar o que torna
única a prática profissional do professor de matemática. Essa unicidade está associada ao seu
conhecimento profissional para ensinar matemática e ao fato de esse conhecimento ser
considerado único e específico para essa atuação profissional – algumas das perspectivas
teóricas que assumem essa ideia são, por exemplo, o Mathematical Knowledge for Teaching –
MKT (Ball; Thames; Phelps, 2008), o Knowledge Quartet – KQ (Rowland et al., 2009), o
Mathematics for Teaching – MfT (Davis; Simmt, 2006), o Mathematics Teacher’s Specialised
Knowledge – MTSK (Carrillo et al., 2018) e o Conhecimento Interpretativo – CI (Jakobsen;
Ribeiro; Mellone, 2014). No escopo deste trabalho, assumimos as conceitualizações
Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge e o Conhecimento Interpretativo, que partem
do princípio de que o conhecimento do professor é especializado no domínio matemático e
pedagógico.
O MTSK é uma conceitualização do conhecimento do professor de matemática e
permite (busca) caracterizar detalhadamente as especificidades do conteúdo desse
conhecimento considerando dois domínios: Mathematical Knowledge (MK) e Pedagogical
Content Knowledge (PCK). Discutiremos aqui apenas o conteúdo do MK
4
que é subdividido
em três subdomínios: Knowledge of Topics (KoT), Knowledge of the Structure of Mathematics
(KSM) e Knowledge of Practices in Mathematics (KPM). Para trazer exemplos do conteúdo
desse conhecimento, optamos por focar a rotação, por ser um tópico problemático nos aspectos
4
Para mais informações sobre o conteúdo do PCK nesta conceitualização ver, por exemplo, Ribeiro e Almeida
(2022) e Ribeiro, Alves e Gibim (2023) que ilustram também uma perspectiva inovadora em termos da forma e
foco de discussão de diálogo da pesquisa e propostas para os professores.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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relativos ao ensino e à aprendizagem (ver, por exemplo, Gaspar e Cabrita, 2014 ou Küchemann,
1981).
O KoT corresponde ao conhecimento matemático do professor relativo aos tópicos
matemáticos a serem ensinados, incluindo o conhecimento procedimental e conceitual, bem
como das proposições, exemplos, conexões intraconceituais, fórmulas e algoritmos,
consequentemente das suas demonstrações e os significados que se associam ao conhecimento
da fenomenologia de cada tópico (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). Consideram-se quatro
categorias de conhecimento: (i) procedimentos; (ii) definições, propriedades e fundamentos;
(iii) registros de representação; (iv) fenomenologia e aplicações.
(i) procedimentos, referem-se ao conjunto de ações sequenciais efetuadas para se obter
uma resposta a um determinado problema, podendo ser por meio de algoritmos (convencionais
ou alternativos) ou valendo-se de outras estratégias. No âmbito da rotação, por exemplo,
relaciona-se a conhecer que, para identificar o centro de rotação de uma figura já transformada,
é necessário traçar a mediatriz entre um ponto da figura original e seu correspondente na
imagem, repetindo esse procedimento (pelo menos) duas vezes, de modo a obter o ponto de
intersecção das mediatrizes traçadas, que corresponde ao centro de rotação.
As (ii) definições contemplam o conhecimento sobre o conjunto mínimo de
propriedades do tópico que permitem identificá-lo univocamente (Liñan; Contreras; Barrera,
2016). Envolve conhecer que uma possível definição de rotação é:
Sejam O um ponto tomado no plano Π e 
um ângulo de vértice O. A
rotação de ângulo em torno do ponto O é a função  assim
definida: 󰇛󰇜 e, para todo ponto em Π, 󰇛󰇜  é o
ponto do plano Π tal que
󰇛 󰇜 󰇛󰆒 󰇜
󰆒
e o “sentido de rotação” de A para B é o mesmo de X para X’ (Lima, 1996, p.
21-22).
Ao considerar as (ii) propriedades, assume-se o conhecimento do professor associado a
conhecer o conjunto de todos os atributos matemáticos que são comuns ao tópico. Incluí
conhecer que a composição de duas rotações de mesmo centro de rotação é comutativa, bem
como a composição de duas rotações de centros distintos não é comutativa (Breda et al., 2011).
Os (ii) fundamentos relacionam-se com o conhecimento sobre o conjunto de atributos
matemáticos que “sustentam” o tópico e conectam conceitos (Camacho; Guerrero, 2019).
Relativamente à rotação, refere-se a conhecer que seus fundamentos são a figura original, o
centro e o ângulo de rotação (amplitude e sentido).
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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Nos (iii) registros de representação, incluem conhecer os diferentes modos de
representar um tópico, conceito, processo ou procedimento (Liñan; Contreras; Barrera, 2016),
podendo ser registros aritmético, concreto, gráfico, pictórico, envolvendo linguagem verbal ou
simbólica (Duval, 1996). Envolve conhecer que a rotação de um triângulo com vértices X, Y e
Z com centro de rotação em O a partir de um ângulo de 60° no sentido anti-horário pode ser
representada algebricamente por 󰇟󰇛 󰇜󰇠.
A (iv) fenomenologia e aplicações relaciona-se a conhecer os conceitos associados a um
determinado tópico e aos diferentes fenômenos que o envolvem, bem como o significado de
cada uma das possíveis manifestações e interpretações desses fenômenos, conforme os
diferentes contextos para ensiná-lo (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). Como exemplo de
conhecimento relativo à fenomenologia da rotação, tem-se que a rotação é uma transformação
geométrica isométrica em que se efetua uma transformação (fenômeno) na figura.
O subdomínio KSM refere-se ao conhecimento das diferentes conexões entre tópicos
matemáticos (Carrillo et al., 2018), considerando os aspectos temporais de sequenciação
matemática: (i) conexões de complexificação e (ii) conexões de simplificação; e os aspectos de
cada tópico: (iii) conexões transversais e (iv) conexões auxiliares (Montes; Climent, 2016).
As conexões (i) de complexificação envolvem o conhecimento que possibilita ao
professor, efetuar relações com outros tópicos matemáticos mais avançados do que é requerido
pelo contexto escolar. No âmbito da rotação, refere-se a conhecer a conexão de complexificação
entre rotação e círculo trigonométrico, uma vez que, por meio da rotação do triângulo retângulo
no círculo trigonométrico, é possível reduzir as razões trigonométricas do 3.º quadrante para o
1.º quadrante.
As (ii) conexões de simplificação referem-se ao conhecimento que permite o professor
incluir na discussão um tópico ou conceito mais simples do que é requerido pelo contexto
escolar. Envolve conhecer a conexão entre rotação e ângulo, na qual rotacionar uma figura a
partir de um ângulo de 90° equivale a um giro de
de volta na figura.
No que se refere às (iii) conexões transversais, essas relacionam-se com o conhecimento
da natureza de alguns conceitos, que emergem ao abordar diferentes conceitos ao longo da
matemática escolar. Como exemplo de conexão transversal entre rotação e simetria tem-se que
a imagem obtida após a transformação é simétrica, pois a simetria é um conceito transversal às
transformações geométricas isométricas.
Em relação às (iv) conexões auxiliares, referem-se às conexões matemáticas envolvendo
diferentes tópicos, que não são foco da discussão, acrescentando um elemento para contribuir
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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e sustentar a discussão matemática. Como exemplo, a conexão auxiliar entre rotação e
localização de pontos envolve conhecer que, para efetuar a rotação, é preciso identificar o centro
de rotação, que é um ponto que pode estar localizado no plano cartesiano.
O KPM refere-se ao conhecimento da prática de produzir matemática, seu
funcionamento e não a como ensiná-la, envolvendo a classificação e planejamento, as formas
de validação e demonstração, o papel dos símbolos, da linguagem formal e as condições
necessárias e suficientes para gerar definições (Carrillo et al., 2018). Inclui o conhecimento do
uso e funcionamento dos exemplos e contraexemplos (Flores-Medrano, 2016) e como
demonstrar, justificar, fazer deduções e induções (Carrillo et al., 2018). No âmbito da rotação,
refere-se a conhecer que um contraexemplo de rotação é a reflexão axial, pois a reflexão axial
é efetuada em relação a uma reta denominada eixo de reflexão e não de acordo com um ângulo.
Assim, os procedimentos utilizados para efetuar a reflexão são diferentes dos procedimentos
utilizados para efetuar a rotação.
Este conhecimento matemático fundamenta a prática profissional do professor de
matemática que busca possibilitar que os alunos entendam o que fazem e por que o fazem a
cada momento e, na perspectiva que assumimos, isso demanda considerar como ponto de
partida o que e como os alunos conhecem de cada um dos tópicos matemáticos a que têm o
direito e dever de conhecer e entender. O conhecimento matemático especializado para essa
prática interpretativa é denominado de Conhecimento Interpretativo – CI (Ribeiro; Mellone;
Jakobsen, 2013; Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020; Mellone et al., 2020).
A importância de assumir como ponto de partida o que e como os alunos conhecem
como premissa do CI é essencial para uma efetiva discussão ética em sala de aula (Mellone et
al., 2023), sendo esse um dos desafios do campo da Educação Matemática (Radford, 2021), e
envolve fazer com que às discussões matemáticas se associem as oportunidades de inclusão,
compromisso e respeito, na mesma perspectiva da ética comunitária (Radford, 2021), para uma
abordagem de ensino direcionado para o entendimento da matemática.
Segundo a Enciclopédia Springer Nature, o Conhecimento Interpretativo:
Refere-se ao conhecimento matemático amplo e profundo que permite aos
professores apoiarem os alunos no desenvolvimento de seu próprio
conhecimento matemático tendo como ponto de partida seus próprios
raciocínios e produções, independentemente de serem não standard ou
incorretas. O CI complementa o conhecimento de erros típicos ou estratégias
dos alunos, com o conhecimento de possíveis origens de erros típicos e
atípicos e o conhecimento do uso dos erros como uma efetiva fonte de
aprendizagem (Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020, p. 426, tradução nossa).
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O CI proporciona ao professor entender a matemática que sustenta os raciocínios e
formas de Pensar dos alunos presentes em suas produções, de modo a explorar os erros,
entendidos como oportunidades de aprendizagem (Borasi, 1987) e realizar orientações com
base no significado atribuído. Nesse Conhecimento que sustenta a prática matemática
interpretativa, consideram-se duas noções centrais: espaço solução e feedback.
O espaço solução refere-se ao conjunto de múltiplas formas e representações que cada
indivíduo concebe quando é solicitado que resolva um problema – mesmo que esse problema
possua uma única solução (Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014). É essencial que o professor
conheça diversas maneiras de proceder para resolver um problema para que, ao se deparar com
uma produção de aluno diferente da sua, não possua dificuldades em interpretá-la e não a
considere como incorreta apenas por ser diferente da sua – cumpre-nos deter, portanto, um
espaço solução com uma multiplicidade de elementos.
Após entender e interpretar a produção, o professor deve propor uma orientação ao
aluno, que se configura como um feedback – forma de comunicação e interação entre professor
e aluno (ver, por exemplo, Black e William, 1998 ou Hattie e Timperley, 2007). Existem
diferentes tipos de feedback e, quando o professor objetiva explorar o raciocínio matemático
presente na produção (Santos; Pinto, 2009), propondo orientações claras que estimulem o aluno
rever sua produção, repensar as estratégias utilizadas e desenvolver seu entendimento
matemático, trata-se de um feedback construtivo (Di Martino et al., 2017). Outros tipos de
feedback (Galleguillos; Ribeiro, 2019) são: (i) feedback sobre como resolver o problema –
orientações instrutivas de procedimentos a serem seguidos para resolverem um problema
específico; (ii) feedback confuso – apesar de correto é incompreensível para o aluno devido à
complexidade das orientações; (iii) contraexemplo como feedback – contém um exemplo
explicativo do porquê a resolução do aluno é incorreta; (iv) feedback superficial – orientação
insuficiente ou inconsistente, que não ajuda o aluno entender seus erros.
As categorias (i) e (ii) associam-se a uma prática instrutiva, explicitando ao aluno como
proceder, o que não requer que o professor atribua significado ao Pensar matemático dos alunos,
impondo a sua forma de fazer. As categorias (iii) e (iv) estão associadas a práticas avaliativas e
focam em explicar por que a produção dos alunos contém erros, porém demandam do professor
uma interpretação correta da produção, requerendo um conhecimento matemático que permita
ao professor abordar um problema de diferentes maneiras e envolve que ele conheça diversos
exemplos para que possa explicar o porquê de alguns modos de proceder serem incorretos.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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No âmbito da rotação, considerando uma tarefa em que é solicitado identificar algum
ponto que se mantém fixo, quando se efetua o movimento (rotação) e uma produção de aluno
que expressa “não tem pontos fixos” (Silva; Ribeiro, 2023), um exemplo de feedback avaliativo
envolve o professor apenas avaliar a produção como incorreta, pois não identificou o ponto fixo
que é o centro de rotação e indicar na produção o ponto correto. Um feedback construtivo tem
de considerar identificar o centro de rotação, propondo, por exemplo, ao aluno, uma orientação
para traçar algumas mediatrizes entre alguns pontos da figura e seus correspondentes na
imagem, com o intuito de que ele reveja sua produção e identifique o centro de rotação,
encontrando-se essa orientação associada a questionamentos sobre o que acontece com todas
as mediatrizes e se elas se intersectam, possibilitando assim que o aluno possa perceber que
elas se intersectam em um único ponto comum, que é o centro de rotação.
Este feedback está associado, e é condicionado, pelo nível de conhecimento que o
professor detém e sobre o qual, no CI, define-se três níveis (Mellone et al., 2017): (i)
interpretação avaliativa; (ii) interpretação para a prática letiva; (iii) interpretação como
pesquisa.
A (i) interpretação avaliativa associa-se ao nível mais baixo de CI que leva o professor
a estabelecer uma correspondência entre a sua produção e a do aluno, considerando apenas seu
modo de proceder como correto e toda produção que difere da sua é avaliada como incorreta.
A (ii) interpretação para a prática letiva sustenta-se em um nível intermediário de CI e
corresponde ao professor considerar o que é expresso na produção do aluno, para realizar o
planejamento das próximas discussões a serem propostas e alcançar os objetivos de
aprendizagens matemáticas; logo, assume como ponto de partida o que e como os alunos
revelam conhecer. Considerando um nível mais elevado de CI, temos a (iii) interpretação como
pesquisa que se refere ao professor rever sua própria formalização matemática, fazendo da
produção do aluno uma fonte de pesquisa, ainda que essas produções pareçam diferentes do
que é tradicionalmente ensinado nas escolas, uma vez que, nessa prática interpretativa, o
professor pode discutir com os colegas a produção do aluno e, inclusive, pesquisar outras
formas de proceder, o que possibilita passar a conhecer outros modos de fazer matemático e
resolver um determinado problema, acarretando na ampliação do seu espaço solução.
Para propor um feedback construtivo é requerido do professor um elevado nível de CI,
sendo que o desenvolvimento do conhecimento especializado do professor demanda de
contextos formativos (Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013) em que se implementam e discutem
Tarefas para a Formação (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021).
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Existem diferentes perspectivas sobre Tarefa para os professores, como as Tarefas de
Aprendizagem Profissional (Smith, 2001; Ribeiro; Ponte, 2020) ou as tarefas formativas
(Martín et al., 2023). Uma vez que o nosso foco é no desenvolvimento de conhecimento do
professor e não nas suas aprendizagens, as tarefas são compreendidas como um recurso
especializante para a prática profissional, logo as denominadas Tarefas para a Formação – TpF
(Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) são específicas para o desenvolvimento desse conhecimento
especializado do professor.
As TpF formam parte de um conjunto de documentos que são elaborados para sustentar
a formação a ser realizada e que corresponde, na conceitualização desenvolvida no grupo
CIEspMat
5
, a denominada Tarefa Formativa (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) que é composta
por quatro documentos: (i) Tarefa para a Formação; (ii) documento com as cinco dimensões
centrais para a implementação da tarefa em sala de aula; (iii) documento do professor e (iv)
documento do formador.
(i) Tarefa para a Formação: tarefa a ser entregue aos professores em contextos
formativos e conceitualizada para aceder e desenvolver o Conhecimento Interpretativo e
Especializado dos formandos. Para a sua conceitualização, consideram-se os mais recentes
resultados de pesquisa e resultados das provas nacionais e internacionais, que identificam os
tópicos matemáticos mais problemáticos para os alunos (e, portanto, também para os
professores) – em que, por exemplo, a resolução e formulação de problemas não são tópicos,
mas considerados contextos de e para discussão dos tópicos matemáticos, e é estruturada em
duas ou três partes. Todas as partes associam-se a objetivos de aceder e desenvolver o
conhecimento do professor, sendo que esse aceder relaciona-se com a abordagem pedagógica
especializada de implementação e com a pesquisa que sempre ocorre nos contextos formativos,
considerando pesquisa e formação de forma imbricada. A parte Preliminar foca alguma
dimensão do conhecimento matemático ou pedagógico e busca estabelecer um ponto de partida
para as discussões a serem efetuadas – o que e como o professor conhece do tópico, o que já
faz na sua prática matemática e como faz. A parte I é estruturada a partir de uma tarefa para o
aluno a qual que se espera que o professor possa implementar na sua prática, mas contempla
também um conjunto de questões emergentes das problemáticas identificadas na literatura sobre
5
O CIEspMat é um grupo de Pesquisa e Formação que desenvolve trabalhos focados no desenvolvimento do
Conhecimento Interpretativo e Especializado do professor e futuro professor de e que ensina matemática – desde
a Educação Infantil ao Ensino Médio. Disponível em: www.ciespmat.com.br. Acesso em: 10 dez. 2023.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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o conhecimento do professor e que são formuladas alinhadas ao conteúdo de determinado(s)
subdomínio(s) do MTSK de modo a possibilitar focar as discussões.
É importante notar que esta é uma opção formativa que permite direcionar
prioritariamente o foco de atenção para as especificidades da prática matemática e do
conhecimento especializado que sustenta essa prática, e que, apesar desse foco direcional, a
implementação da TpF possibilita que, pela experiência vivenciada, os professores possam
efetuar discussões envolvendo todos os subdomínios do seu conhecimento especializado.
Quando a TpF contém uma parte II tem por objetivo desenvolver o Conhecimento
Interpretativo e denomina-se de Tarefa Interpretativa – TI (Mellone et al., 2020). Nessa parte
II, incluem-se alguns contextos de produções de alunos ou de professores (escritas, em vídeo,
discussões de sala de aula, discussões em contextos formativos) escolhidas por se mostrarem
matematicamente potentes para desenvolver o CI e pela atribuição de significado às formas de
pensar que sustentam essas produções e proposição de um feedback construtivo.
(ii) documento com as cinco dimensões: conjunto de indicações centrais para o
professor implementar, discutir e atingir os objetivos de aprendizagens matemáticas da tarefa
para o aluno (por exemplo Ribeiro e Torrezan, 2022 ou Silva e Ribeiro, 2023): (1) Objetivo de
aprendizagens matemáticas que se persegue com a tarefa; (2) Recursos necessários e forma(s)
de trabalho dos alunos; (3) Habilidade da Base Nacional Comum Curricular (Brasil, 2018)
associada à tarefa; (4) Possíveis dificuldades dos alunos; (5) Comentários para a implementação
e discussões matemáticas associadas.
(iii) documento do professor: engloba todos os elementos centrais do conhecimento
matemático especializado do tópico, considerando a conceitualização do MTSK, abordado na
TpF que se almeja desenvolver nos professores participantes da formação.
(iv) documento do formador: contém um conjunto de orientações para que o formador
possa implementar a TpF minimizando os desvios dos objetivos formativos que se encontram,
associados à sua conceitualização, considerando a intencionalidade de pesquisa associada.
Contém, portanto, os objetivos formativos e de pesquisa, bem como um conjunto de indicações
relativas às especificidades da formação que se pretende realizar, detalhando os objetivos de
cada questão da TpF e o Conhecimento Especializado e Interpretativo que se espera
desenvolver, bem como indicações pedagógicas específicas de implementação que se associam
a possibilidades de replicabilidade em contextos de prática com os alunos – ou brincadeiras
com as crianças da Educação Infantil. Inclui também exemplos de perguntas e possíveis
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respostas do conhecimento envolvido e requerido e das discussões a serem realizadas em cada
etapa
6
.
Esta tríade central para a inovação que consideramos na pesquisa, prática e formação é
composta por estes dois blocos anteriores de Conhecimento (formas de entender o
conhecimento do professor e as suas especificidades para a prática, formação e pesquisa) e de
recursos para a prática, formação e coleta de informação para pesquisa, apenas fica completa
com uma abordagem pedagógica de implementação e metodológica que maximize e potencie a
qualidade das discussões, a sustentabilidade do desenvolvimento do conhecimento
especializado do professor e a pesquisa associada.
Essa abordagem pedagógica e metodológica especializada que temos desenvolvido e
que impacta os focos de discussão que se consideram, assume dois tipos de estrutura replicável:
Ciclo Individual-Coletivo-Individual – ICI (Pacelli et al., 2020) ou Ciclo Pequeno grupo-
Coletivo-Pequeno grupo – Pg-C-Pg (Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2022; Mellone et al., 2023).
A diferença entre essas estruturas está na forma de trabalho de resolução da TpF, pois no Ciclo
ICI os professores resolvem uma parte da TpF individualmente, ocorre posteriormente uma
discussão coletiva em grande grupo que busca sintetizar as formas de Pensar que emergiram
individualmente e em que todos se tornam responsáveis pelo conhecimento desenvolvido nesse
contexto e, posteriormente, cerca de um mês, os participantes devem enviar as suas respostas
“revistas e melhoradas” para a mesma TpF para que possam ser identificados alguns elementos
ainda necessários de aprofundamento e efetuada uma análise do conhecimento desenvolvido.
Uma adaptação a essa abordagem considera o fato de a resolução individual da TpF não,
necessariamente, potenciar o desenvolvimento de um amplo e profundo Conhecimento
Interpretativo (Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2022). Assim, no Ciclo Pg-C-Pg, os professores são
organizados em grupos (idealmente quatro participantes) para discutirem, refletirem e resolvem
a TpF e os dois momentos posteriores seguem a mesma estrutura anterior. Esta opção associa-
se também à necessidade de possibilitar que os professores possam experienciar o trabalho em
grupo na primeira pessoa de modo que possam efetivar nas suas práticas o mesmo tipo de
discussão com os seus alunos.
6
Para alguns exemplos consultar Ribeiro, Alves e Gibim (2023) ou Ribeiro e Torrezan (2022).
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Um exemplo de uma Tarefa para a Formação (Interpretativa) associada às inovações
As Tarefas para a Formação podem apresentar diferentes estruturas e aqui focamos a
nossa atenção nas Tarefas Interpretativas (TI) que buscam desenvolver de forma mais específica
o Conhecimento Interpretativo dos (futuros) professores. Este exemplo pretende ilustrar a
conceitualização do recurso para a formação e instrumento para a coleta de informações de
pesquisa, e para isso apresentamos uma TI no âmbito da rotação e, posteriormente, efetuamos
uma discussão dos motivos que levam à inclusão das questões e produções dos alunos –
considerando as três dimensões de inovação: teórica, de recursos, de implementação.
Figura 1 – Tarefa Interpretativa no âmbito da rotação
Tarefa: Rotacionado cartas7
(Deve explicar sempre o seu raciocínio descrevendo o processo que usar para responder à questão.
Pode fazê-lo usando esquemas, palavras, cálculos, ...)
Observe as Situações com cartas do baralho “dama”:
7
Adaptado de Paques e Oliveira (2012).
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a) Registre o que chamou a atenção ao observar as cartas de cada uma das Situações.
b) Na Situação 1, consegue identificar qual o movimento efetuado para construir a carta toda
a partir de uma de suas partes? Justifique.
c) Na Situação 2:
i) Consegue identificar qual o movimento efetuado para obter a nova carta? Se sim,
descreva-o. Se não, justifique.
ii) Explique os procedimentos que se podem efetuar para obter a nova imagem.
d) Em cada situação, consegue identificar algum ponto que se mantém fixo, quando se efetua
o movimento? Justifique.
Situação 2
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Fonte: Elaborado pelos autores
Na parte preliminar, incluem-se aqui duas questões direcionadas a aceder e desenvolver
o conteúdo do KoT do professor. Na questão 1, tem-se por objetivo aceder (e desenvolver pelas
discussões subsequentes) ao conhecimento do professor associado à fenomenologia do tópico
rotação – situando a questão em um contexto “não educacional típico” tem por objetivo tirar o
professor de um contexto de “explicar como faria em sala de aula”, pois o intuito é aceder ao
seu conhecimento matemático especializado e não as suas abordagens pedagógicas.
Já na questão 2, o foco é o conhecimento do professor associado ao que ele assume ser
uma definição matemática (Zazkis; Leikin, 2008) – matematicamente válida – e que seja
compreensível a seus alunos. Busca promover também uma reflexão crítica sobre as “pseudo
definições” que se encontram em muitos materiais pedagógicos (aqui livros didáticos) e sobre
a necessidade de um conhecimento que permita melhorar essas propostas pedagógicas para
discussão em sala de aula, além disso por meio da discussão dessa questão, conhecer que há
diferentes definições matemáticas para um mesmo ente matemático. Esta inclusão considera a
necessidade de se levar em conta que os alunos apresentam dificuldades em interpretar e utilizar
definições (Mariotti; Fischbein, 1997; Zazkis; Leikin, 2008), sendo essencial que o professor
escolha definições didaticamente adequadas à faixa etária dos alunos e ao contexto de ensino,
tendo como ponto de partida definições que contemplem o que os alunos já conhecem.
Na parte I, inclui-se, dentro de um retângulo, uma tarefa para alunos do 7.º ano (12 ou
13 anos) – de acordo com os documentos curriculares oficiais brasileiros (Brasil, 2018) e três
questões para os professores. Essa tarefa para os alunos persegue o objetivo de aprendizagens
matemáticas (parte das cinco dimensões): desenvolver o entendimento dos alunos sobre a
transformação geométrica isométrica rotação, no que se refere a identificar seus elementos
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constituintes e procedimentos realizados para efetuar a rotação, a partir de imagens
rotacionadas.
Convém ressaltar que as tarefas para os alunos sempre são formuladas considerando as
maiores dificuldades identificadas em resultados de pesquisa. Apesar de, no âmbito da rotação,
essas dificuldades se associarem, por exemplo, a identificar o centro de rotação, principalmente,
quando ele não pertence à figura (Gaspar; Cabrita, 2014; Küchemann, 1981), nesta tarefa, por
ser de introdução (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) e de assumir como ponto de partida algo
que os professores conhecem – tarefa “típica de material didático” – tomou-se a opção de incluir
exemplos cujos centros de rotação pertencem à figura, pois o objetivo não é dificultar a tarefa
para o aluno, mas desenvolver o seu entendimento matemático e suas formas de Pensar
matematicamente.
Nas questões para o professor, ao solicitar que resolvam a tarefa por si mesmos (questão
(i)) pretende-se aceder ao conhecimento matemático no nível do conhecimento dos alunos
(resolver a mesma tarefa que se espera que os alunos resolvam). Neste caso concreto, associa-
se a identificar corretamente o movimento efetuado a)); os procedimentos realizados para obter
a imagem por meio da rotação b) e c) - i)); diferenciar a rotação das demais transformações
isométricas c) – ii)); procedimentos associados a rotação e os elementos constituintes que
determinam essa transformação d)).
Ao solicitar que os professores identifiquem as maiores dificuldades matemáticas dos
alunos para resolver esta tarefa (questão (ii)), pretende-se iniciar o movimento de levar os
professores a instituírem o hábito mental de antecipar as possíveis respostas dos seus alunos
considerando-as para o planejamento e implementação das discussões matemáticas. Essa
antecipação está associada também ao foco que se pretende na parte II de modo a contribuir
para identificar e atribuir significados aos erros dos alunos e as suas formas de pensar
matematicamente. Com a questão (iii), visa-se aceder e desenvolver o conhecimento do
professor relativo ao que os alunos conhecem (o que e como conhecem ou deveriam conhecer)
que fundamentaria a realização da tarefa (questão 1 – iii)). Inclui-se, aqui, por exemplo,
conhecer a noção de ângulo, associada à amplitude e ao sentido do ângulo de rotação e, a partir
disso, discutir com os alunos os procedimentos a serem realizados para medir a amplitude de
um ângulo, o que possivelmente, incluiria retomar e questionar os alunos o que conhecem a
respeito do uso do transferidor, sempre numa perspectiva de indagações e não em “dar a regra”.
Ainda, se os alunos já conhecerem a reflexão central, o professor pode problematizar a
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equivalência entre reflexão central e a rotação de 180º (Bairral; Silva, 2010) considerando a
Situação 1 da tarefa para o aluno.
Na parte II, foca-se o Conhecimento Interpretativo do professor. Com esse fito, nesta
tarefa, incluem-se várias produções de alunos para a tarefa do aluno da parte I e solicita-se que
o professor interprete e atribua significado às formas de pensar e proceder em matemática que
sustentam essas produções fornecendo um feedback construtivo para cada aluna. As questões
buscam aceder ao nível de Conhecimento Interpretativo e, pelas discussões posteriores,
promover uma mudança de nível desse conhecimento. Associado à implementação da TI
implementando o Ciclo Pg-C-Pg temos um documento breve que discute o que é e o que não é
um feedback construtivo, pois o tipo e natureza desse feedback associa-se aos níveis de CI
revelados pelos professores. Notemos que a forma como concebemos o papel e conhecimento
do professor (Almeida; Ribeiro; Fiorentini, 2021) se relaciona com entendimento de como o
próprio formador planeja e implementa as suas práticas formativas (Ferreira; Behrens; Teixeira,
2019), que podem ser generalistas ou direcionadas a desenvolver as especificidades do
conhecimento do professor.
Nesta parte, as produções dos alunos que se incluem são de fundamental importância e
a sua seleção (ou elaboração a partir de resultados de pesquisa) está associada as especificidades
da intencionalidade formativa que se considera. Cada uma delas é incluída por se associar a
uma discussão matemática específica e, simultaneamente, em conjunto, essas produções
necessitam possibilitar uma mudança de nível de conhecimento que demanda desenvolver o
entendimento do fenômeno da rotação. Estas produções das alunas, aqui focando os erros,
associa-se a uma mudança de concepções relativas ao erro (Borasi, 1987) e sua utilização
pedagógica como ponto de partida para o desenvolvimento de conhecimento dos alunos e o
contexto associa-se ao desenvolvimento do hábito de desenvolver uma prática matemática
interpretativa sustentada em atribuir significado aos motivos matemáticos que sustentam as
produções dos alunos, sejam elas inadequadas ou contenham abordagens não esperadas
8
por
forma que o professor repense sua própria formalização matemática e amplie o seu espaço
solução (Ribeiro, 2024), – possa incorporar nesse espaço solução uma maior quantidade de
elementos.
A produção de Aline para a questão c) foi incluída, pois apresenta uma resposta
incompleta para o movimento efetuado, expressando a rotação apenas como um deslocamento
8
Por exemplo, em Jakobsen, Ribeiro e Mellone (2014) apresentam-se e discutem-se algumas produções não
esperadas (que não fazem parte do espaço solução usual dos professores) no âmbito dos racionais.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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(em i)), sem especificar que esse deslocamento é em relação a um ângulo, sendo que o termo
deslocamento pode ser utilizado para se referir também a translação; considera o movimento
como duas translações (questão ii)), possibilitando discutir a diferença entre as transformações
geométricas isométricas – para além dos nome –, como sejam, os procedimentos (algoritmos)
envolvidos e o resultado obtido (imagem). Em d) não identifica que foi realizado um
movimento para obter a carta toda a partir de uma de suas metades, o que possibilita trazer para
a discussão a dificuldade relativa a visualizar a rotação já efetuada e a falta de entendimento de
que as transformações geométricas isométricas se associam à ideia de um movimento rígido
que mantém distâncias e amplitude de ângulos implicando que a figura original e a imagem
pela transformação sejam congruentes.
A produção de Camila para a questão c) foi incluída, pois associa-se a um entendimento
da rotação como uma volta, mas não especifica a amplitude nem o sentido do ângulo de rotação,
sendo esses dois elementos fundamentais para o entendimento da rotação. Possibilita também
uma discussão associada aos procedimentos para efetuar a rotação e a possibilidade de sua
generalização – configurando-se, portanto, a existência de um algoritmo. Na questão d), a
produção possibilita discutir a dificuldade e problemática em identificar o centro de rotação
como o único ponto que se mantém fixo ao efetuar a rotação – em ambas as Situações pertence
à figura –, mas sendo essencial uma discussão associada a como identificar o centro de rotação
por meio da determinação das mediatrizes entre os pontos da figura original e seus
correspondentes na imagem.
Ao solicitar que os professores forneçam um feedback construtivo (questão b)),
pretende-se situar o professor no contexto de uma prática interpretativa, incitando-o a propor
um feedback construtivo (Di Martino et al., 2017; Mellone et al., 2020), indo além de uma
perspectiva meramente avaliativa (ver, por exemplo, Ribeiro, 2024). Isso requer que o professor
efetivamente “escute” o Pensar matemático das alunas, o que vai muito além de uma leitura e
descrição direta do que foi registrado (cópia) ou de uma “escuta sensorial”, e exige uma escuta
que, de fato, considere como ponto de partida o que e como os alunos revelam conhecer e, a
partir dessa escuta ativa, propor orientações claras e objetivas que auxiliam os alunos a
desenvolverem seu entendimento matemático.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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Alguns comentários finais
Para inovar é necessário pensar e fazer distinto do que foi feito até então, e esse fazer
diferente de formas inovadoras indicia outras possibilidades e caminhos que não tinham sido
até então perspectivados, mas que se mostram possíveis e impactantes para os contextos e
objetivos associados. No nosso contexto, essas formas e abordagens inovadoras revelam já
resultados em pesquisas pontuais anteriores que buscam identificar o que ocorre em
determinado momento – tirar as fotos de o que ocorre a cada instante (ver, por exemplo, Couto
e Ribeiro, 2019; Ribeiro, Jakobsen e Mellone 2022) –, que indiciam um conjunto de
possibilidades de “olhar cada frame” e entender o que leva a que o conhecimento seja
desenvolvido e possibilitando que esses motivos e abordagens possam ser generalizadas a
outros temas e tópicos.
As formas de entender o conhecimento do professor especificamente relacionado com
a sua prática profissional e possibilitar que os alunos entendam matemática e desenvolvem as
suas formas de pensar matematicamente (incluídas aqui em (i) inovações teóricas) é algo que
quebra com um conjunto de práticas de pesquisa e de formação que assumem prioritariamente
o conhecimento do professor no âmbito das generalidades (Shulman, 1987; Ribeiro, 2018) e
focam a formação em questões do conhecimento pedagógico geral sem a necessária discussão
do conhecimento matemático especificamente relacionado com a prática profissional do
professor (Fiorentini; Crecci, 2017) que possibilitará mudar o foco e objetivos dessa prática
para objetivos a médio e longo prazo.
Por outro lado, os recursos têm sido um foco de atenção em diversas pesquisas (e
formação) em Educação Matemática (Grando, 2015), mas também aí o foco tem sido, com
muita frequência no recurso por si e não nas discussões matemáticas que cada um desses
recursos potencia ou impossibilita e os seus impactos nas discussões e aprendizagens
matemáticas dos alunos. Ao considerarmos as próprias Tarefas para a Formação que são
conceitualizadas a partir das maiores dificuldades matemáticas dos alunos e focando as
especificidades do conhecimento do professor como um recurso para a própria formação e a
pesquisa, almejamos que os resultados estejam direcionados as aprendizagens matemáticas e
ao desenvolvimento do conhecimento especializado do professor. A TpF que se apresentou
ilustrou essa perspectiva de (ii) inovação de recursos para a formação e coleta de informação.
Inovação de recursos para a formação pois, apesar de se considerar uma tarefa para os alunos o
objetivo da formação não é o “como implementar com os alunos em sala de aula”, mas a
discussão prioriza desenvolver o conhecimento matemático especializado que possibilitará
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discussões matemáticas de um nível superior daquelas que ocorreriam se esse conhecimento
matemático se limitasse a um “saber fazer”. A multiplicidade de formas e possibilidades de
como implementar a tarefa com os alunos (conhecimento pedagógico especializado) é algo que
se aborda de forma transversal e assumindo uma perspectiva de que esse conhecimento
pedagógico especializado “não se ensina, vive-se”, tal como não se ensina a Pensar, mas
promovem-se formas de desenvolver esse pensamento.
De forma associada às discussões de vivenciar o conhecimento pedagógico encontram-
se as abordagens para a coleta de informação que buscam contribuir para, de forma imbricada,
desenvolver o conhecimento especializado de forma sustentada – associadas ao terceiro tipo de
inovação (iii) das abordagem metodológica de implementação das Tarefas para a Formação e
de conceitualização das Tarefas Formativas – correspondendo as abordagens metodológicas
ICI e Pg-G-Pg. Aqui, pela etapa em que a pesquisa associada as Transformações Geométricas
Isométricas e simetria se encontra
9
(exemplo da TpF apresentada), não trazemos exemplos do
impacto destas abordagens metodológicas na riqueza das informações coletadas para aceder e
discutir as especificidades do Conhecimento Interpretativo e Especializado, mas deixamos
algumas questões em aberto que podem ser foco de pesquisa que nos ajude a avançar no
conhecimento que detemos sobre o tópico e o conhecimento e prática matemática do professor.
Assim, algumas questões emergentes e que podem abrir uma agenda de pesquisa com
este foco especializado no conhecimento, tarefas e abordagens metodológicas são:
(i) Que Conhecimento Interpretativo revelam professores ao interpretarem e
atribuírem significado a produções dos alunos?
(ii) Que níveis de Conhecimento Interpretativo podemos identificar ao longo de uma
formação e como esses níveis se vão alterando ao longo do ano com relação as Tarefas para a
Formação e discussões desenvolvidas?
(iii) Quais as características das Tarefas para a Formação que maximizam o
desenvolvimento das especificidades do conhecimento do professor?
AGRADECIMENTOS: O presente trabalho forma parte do projeto de pesquisa financiado
pelo CNPq “Desenvolvimento do Conhecimento Interpretativo e Especializado do professor e
9
Esta pesquisa entrou agora na etapa da coleta de informações em um contexto formativo desenhado associado a
estes três tipos de inovação, pelo que em breve teremos resultados sobre a aplicabilidade e impacto das três
dimensões para a pesquisa e para a formação.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
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suas relações com as Tarefas para a Formação no âmbito da Medida, e do Pensamento
Algébrico, Geométrico e Estatístico” (404959/2021-0).
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, M.; RIBEIRO, M.; FIORENTINI, D. Mathematical Specialized Knowledge of a
Mathematics Teacher Educator for Teaching Divisibility. PNA Revista de Investigación en
Didáctica de la Matemática, v. 15, p. 187-210, 2021. Disponível em:
https://revistaseug.ugr.es/index.php/pna/article/view/15778. Acesso em: 10 ago. 2023.
BAIRRAL, M. A.; SILVA, M. A. Instrumentação do Ensino da Geometria. 2. ed. Rio de
Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
BALL, D.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: What Makes It
Special? Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, p. 389-407, 2008. Disponível em:
https://www.researchgate.net/publication/255647628_Content_Knowledge_for_Teaching_W
hat_Makes_It_Special. Acesso em: 10 ago. 2024.
BAUMERT, J.; KUNTER, M.; BLUM, W.; BRUNNER, M; VOSS, T.; JORDAN, A.;
KLUSMANN, U.; KRAUSS, S.; NEUBRAND, M.; TSAI, Y. Teachers’ Mathematical
Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American
Educational Research Journal, v. 47, n. 1, p. 133-180, 2010. Disponível em:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/0002831209345157. Acesso em: 12 ago. 2024.
BIZA, I.; KAYALI, L.; MOUSTAPHA-CORRÊA, B.; NARDI, E.; THOMA, A. Afinando o
Foco em Matemática: Desenho, Implementação e Avaliação de Atividades MathTASK para a
Formação de Professores de Matemática. Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n.
35, p. 1-41, 3 ago. 2021. Disponível em:
https://periodicos.ufms.br/index.php/pedmat/article/view/13407. Acesso em: 10 ago. 2024.
BLACK, P.; WILIAM, D. Assessment and Classroom Learning. Assessment in Education:
Principles, Policy & Practice, v. 5, n. 1, p. 7-74, 1998. Disponível em:
https://www.gla.ac.uk/t4/learningandteaching/files/PGCTHE/BlackandWiliam1998.pdf.
Acesso em: 17 ago. 2023.
BORASI, R. Exploring Mathematics through the Analysis of Errors. For the Learning of
Mathematics, v. 7, n. 3, p. 2-8, 1987. Disponível em:
https://www.semanticscholar.org/paper/Exploring-Mathematics-through-the-Analysis-of-
Borasi/ecbdbeff03db2c2b54b735133a399d88cad3cbeb. Acesso em: 10 ago. 2023.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Brasília, DF: Ministério
da Educação, 2018.
BREDA, A.; SERRAZINA, L.; MENEZES, L.; SOUSA, H.; OLIVEIRA, P. Geometria e
Medida no Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação, Direcção Geral de Inovação e
Desenvolvimento Curricular, 2011.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 25
CAMACHO, A. M. R.; GUERRERO, L. S. Conocimiento especializado del profesor de
primaria en formación: un estudio de caso de la enseñanza de la noción de razón. Quadrante,
v. 28, n. 2, p. 100-124, 2019. Disponível em: https://quadrante.apm.pt/article/view/23029.
Acesso em: 10 ago. 2023.
CARRILLO, J.; CLIMENT, N.; MONTES, M.; CONTRERAS, L.C.; FLORES-MEDRANO,
E; ESCUDERO-ÁVILA, D.; VASCO, D.; ROJAS, N.; FLORES, P.; AGUILAR-
GONZÁLEZ, A.; RIBEIRO, M.; MUÑOZ -CATALÃN, M.C. The mathematics teacher’s
specialised knowledge (MTSK) model, Research in Mathematics Education, v. 20. n. 3, p.
236-253, 2018.
CLEMENTS, D. H.; SARAMA, J. Learning and Teaching Early Math: the learning
trajectory approach. 3. ed. London: Routledge, 2020.
COUTO, S.; RIBEIRO, M. Conhecimento especializado de futuros professores da educação
infantil e dos anos iniciais quanto às dificuldades de aprendizagem de alunos cegos e videntes
sobre paralelismo. ACTIO: Docência em Ciências, v. 4, n. 3, p. 701-721, 2019. Disponível
em: https://periodicos.utfpr.edu.br/actio/article/view/10544/7383. Acesso em: 10 ago. 2023.
DAVIS, B.; SIMMT, E. Mathematics-for-teaching: An ongoing investigation of the
mathematics that teachers (need to) know. Educational studies in mathematics, v. 61, p.
293-319, 2006. Disponível em: https://link.springer.com/article/10.1007/s10649-006-2372-4.
Acesso em: 10 ago. 2023.
DI MARTINO, P.; MELLONE, M; MINICHINI, C.; RIBEIRO, M. Prospective teachers'
interpretative knowledge: giving sense to subtraction algorithms. In: Proceedings of Third
ERME Topic Conference on Mathematics Teacher Education. p. 66-75. 2017.
DI MARTINO, P.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. Interpretative Knowledge. In: LERMAN,
S. (ed.). Encyclopedia of Mathematics Education. Cham: Springer International Publishing,
p. 424-428, 2020.
DUVAL, R. Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? Recherches en
didactique des mathématiques (Revue), v. 16, n. 3, p. 349-382, 1996. Disponível em:
https://revue-rdm.com/1996/quel-cognitif-retenir-en/. Acesso em: 10 ago. 2023.
FERREIRA, J.L.; BEHRENS, M. A.; TEIXEIRA, A. M. Formação de professores para atuar
no ensino superior, tecnológico e técnico. Revista Ibero-Americana de Estudos em
Educação, Araraquara, v. 14, n. 1, p.123-137, jan./mar., 2019. Disponível em:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/11132. Acesso em: 10 ago. 2023.
FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Pressupostos psicológicos e didáticos para a
resolução de problemas matemáticos. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação,
Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2648-2662, out./dez. 2021. Disponível em:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/13612. Acesso em: 10 ago. 2023.
FIORENTINI, D.; CRECCI, V. Metassíntese de pesquisas sobre conhecimentos/saberes na
formação continuada de professores que ensinam matemática. Zetetiké, v. 25, p. 164-185,
2017. Disponível em:
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 26
https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike/article/view/8647773. Acesso em: 10
ago. 2023.
FLORES-MEDRANO, E. Conocimiento de la practica matematica (KPM). In: CARRILLO,
J.; CONTRERAS, L.C.; MONTES, M. (eds.). Reflexionando sobre el conocimiento del
profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Huelva. SGSE: Huelva, 2016.
GALLEGUILLOS, J.; RIBEIRO, M. Prospective mathematics teachers’ interpretative
knowledge: focus on the provided feedback. In: Eleventh Congress of the European Society
for Research in Mathematics Education. Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME,
p. 1-8, 2019.
GASPAR, J. M. P.; CABRITA, I. GeoGebra e ferramentas tradicionais – Uma conjugação
favorável à apropriação das isometrias. Atas do XXV Seminário de Investigação em
Educação Matemática. Braga: APM., 169-190. 2014.
GOMES, A. Transformações geométricas: conhecimentos e dificuldades de futuros
professores. In: Atas do XXIII Seminário de Investigação em Educação Matemática.
Lisboa: APM p. 233-243, 2012.
GRANDO, R. C. Recursos Didáticos na Educação Matemática: Jogos e Materiais
Manipulativos. Revista Eletrônica Debates em Educação Científica e Tecnológica, v. 5, n.
02, p. 393-416, 2015. Disponível em: https://ojs.ifes.edu.br/index.php/dect/article/view/117.
Acesso em: 10 ago. 2023.
GROSSMAN, P. Learning to practice: The design of clinical experience in teacher
preparation. Policy Brief, p. 1-8, 2010.
HATTIE, J.; TIMPERLEY, H. The Power of Feedback. Review of Educational Research, v.
77, n. 1, p. 81-112, 2007. Disponível em:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/003465430298487. Acesso em: 10 ago. 2023.
JAKOBSEN, A.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. A methodological approach to the
development of prospective teachers’ interpretative knowledge. In: CERME12. Italy: Bozen-
Bolzano, 2022.
JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; MELLONE, M. Norwegian prospective teachers’ MKT
when interpreting pupils’ productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics
Education, v. 19, p. 135-150, 2014. Disponível em:
https://www.researchgate.net/publication/307558474_Norwegian_prospective_teachers'_MK
T_when_interpreting_pupils'_productions_on_a_fraction_task. Acesso em: 10 ago. 2023.
JONES, K. Re-imagining geometry education in schools. In: SILLER, H.; WEIGEL, W.;
WÖRLER, J. F. (org.). Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 auf der 54
Jahrestagung der Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik (GDM): WTM-Verlag. [S.
l.: s. n.], 2020. p. 31-38.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 27
KIEREN, T. E. On the mathematical, cognitive and instructional. In: Number and
measurement: papers from a research workshop. Columbus, OH: ERIC/SMEAC, p. 101-
144, 1976.
KÜCHEMANN, D. Reflections and rotations. In: HART, K. (ed.). Childrens understanding
of mathematics. London: John Murray, 1981.
LIMA, E. L. Coordenadas no plano: geometria analítica, vetores e transformações
geométricas. 2 ed. Rio de Janeiro: GRAFTEX Comunicação Visual, 1992.
LIMA, E. L. Isometrias. SBM, 1996.
LIÑAN, M. M.; CONTRERAS, L. C.; BARRERA, V. Conocimiento de los Temas (KoT). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. p. 12-20.
LOPES, Q. V; TIROLI, L. G.; SANTOS, A. R. J.; FAVINHA, M. E. S. A praxis enquanto
categoria fundante na constituição da formação de professores sob a perspectiva da pedagogia
histórico-crítica. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 17, n.
esp. 1, p. 967-980, mar. 2022.
MA, L. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of
Fundamental Mathematics in China and the United States (Studies in Mathematical Thinking
and Learning Series). 1999.
MARIOTTI, M. A.; FISCHBEIN, E. Defining in Classroom Activities. Educational Studies
in Mathematics, v. 34, n. 3, p. 219-248, 1997.
MARTÍN, M. I. P.; RODRÍGUEZ, N. C.; VALCARCE, M.C; DÍAZ, J. P. M.; GONZÁLEZ,
L. C. C. Tareas en la formación inicial de maestros para la construcción de conocimiento
especializado para la enseñanza de las matemáticas. Revista Interuniversitaria de
Formación del Profesorado. Continuación de la antigua Revista de Escuelas Normales,
v. 98, n. 37.2, 2023.
MASON, J.; JOHNSTON-WILDER, S. Designing and using mathematical tasks. St
Albans: Tarquin, 2006.
MELLONE, M.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; PARLATI, A. Ethical dimension in the use
of interpretative tasks in mathematics teacher education: division of fractions. In: CERME
13. Budapest, Hungary, 2023.
MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A.; CAROTENUTO, G.; ROMANO, P.;
PACELLI, T. Mathematics teachers’ interpretative knowledge of students’ errors and non-
standard reasoning. Research in Mathematics Education, v. 22, n. 2, p. 154-167, 2020.
MELLONE, M.; TORTORA, R.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M. Prospective teachers
interpret student responses: Between assessment, educational design and research. In:
CERME 10. Dublin, Ireland, 2017.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 28
MITCHELL, R. N.; MARIN, K. A. Examining the use of a structured analysis framework to
support prospective teacher noticing. Journal of Mathematics Teacher Education, v. 18, p.
551-575, 2015.
MONTES, M.A; CLIMENT, N. Conocimiento de la estructura matematica (KSM). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. P. 21-29.
MOYER, J. C. The relationship between the mathematical structure of Euclidean
transformations and the spontaneously developed cognitive structures of young children.
Journal for Research in Mathematics Education, v. 9, n. 2, p. 83-93, 1978.
NYE, B.; KONSTANTOPOULOS, S.; HEDGES, L. V. How large are teacher effects?
Educational Evaluation and Policy Analysis, v. 26, n. 3, p. 237-257, 2004.
PACELLI, T.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A. Collective discussions for the
development of interpretative knowledge in mathematics teacher education. In: BORKO, H;
PORTARI, D (ed.). Proceedings of The Twenty-Fifth ICMI Study, Teachers of
Mathematics Working and Learning in Collaborative Groups. Lisbon: University of
Lisbon, 2020. p. 388-395.
PAQUES, O. T. W., OLIVEIRA, S. R. Oferenda musical de Bach. Série Matemática na
Escola. Guia do professor, versão para tela, p. 9. 2012. Disponível em
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143. Acesso em: 10 dez. 2023.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975.
PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (ed.). O professor e o
desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. p. 11-34.
RADFORD, L. Mathematics teaching and learning as an ethical event. La matematica e la
sua didattica, v. 29, n. 2, p. 185-198, 2021.
RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. da. Um modelo teórico para organizar e compreender as
oportunidades de aprendizagem de professores para ensinar matemática. Zetetike, Campinas,
SP, v. 28, p. e020027, 2020.
RIBEIRO, C. M. Del cero hasta más allá del infinito – algunas perspectivas desde el
comienzo de la tesis doctoral hasta el futuro “también” a largo plazo. In: BERCIANO, A;
GUTIÉRREZ, G; ESTEPA, A; CLIMENT, N (ed.). Investigación en Educación
Matemática XVII. Bilbao: SEIEM, 2013. p. 71-85.
RIBEIRO, M. Conhecimento interpretativo de futuros professores da Educação Infantil e dos
Anos Iniciais ao atribuírem significado a produções de alunos no contexto de abordagens
alternativas ao algoritmo típico da subtração. Debates em Educação, v. 16, n. 38, e16020,
2024.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 29
RIBEIRO, M. Das generalidades às especificidades do conhecimento do professor que ensina
Matemática: metodologias na conceitualização (entender e desenvolver) do conhecimento
interpretativo. In: Abordagens teóricas e metodológicas nas pesquisas em educação
matemática. Biblioteca do Educador. Brasil: SBEM, 2018. v. 13, p. 167-185.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A. Atribuir significado aos sentidos e ao algoritmo da
multiplicação para a melhoria da qualidade das aprendizagens matemáticas. Coleção
CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2022. v. 6.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A.; MELLONE, M. Conceitualizando Tarefas Formativas para
Desenvolver as Especificidades do Conhecimento Interpretativo e Especializado do Professor.
Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n. 35, p. 1-32, 2021.
RIBEIRO, M.; ALVES, C.; GIBIM, G. Entendendo as propriedades da multiplicação e a
estrutura matemtica associada tabuada como contexto para desenvolver o
Pensamento Algbrico. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2023. v. 11.
RIBEIRO, M.; CARRILLO, J.; MONTEIRO, R. Cognições e tipo de comunicação do
professor de matemática. Exemplificação de um modelo de análise num episódio dividido.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 15, p. 277-310,
2012.
RIBEIRO, M.; JAKOBSEN, A.; MELLONE, M. El Conocimiento Interpretativo en el
contexto de la medición In: Investigación sobre conocimiento especializado del profesor
de matemáticas (mtsk): 10 años de camino. 1. ed. Madrid: Editorial DYKINSON, S.L.,
2022. v. 1, p. 277-290.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Characterizing prospective teachers’
knowledge in/for interpreting students’ solutions. In: CONFERENCE OF THE
INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS
EDUCATION, 37., 2013. Proceedings […]. Kiel: PME, 2013. p. 89-96.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Interpreting students’ non
standardreasoning: insights for mathematics teacher education practices. For the Learning of
Mathematics, Fredericton, n. 36, v. 2, p.8-13, 2016.
RIBEIRO, M., TORREZAN, E. Conhecimento e prática matemática do professor para
entender a medida de uma distância. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas:
Cognoscere, 2022. v. 9.
ROWLAND, T; TURNER, F; THWAITES, A; HUCKSTEP, P. Developing primary
mathematics teaching: Reflecting on practice with the knowledge quartet. London: SAGE,
2009.
SANTOS, L.; PINTO, L. Lights and shadows of feedback in mathematics learning. In:
CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FPR THE PSYCHOLOGY OF
MATHEMATICS EDUCATION, 33., 2009, Thessaloníki. Proceedings […]. Thessaloníki,
Greece: PME, 2009. p. 49-56.
Especificidades do Conhecimento Interpretativo do professor e das tarefas para a formação como elementos para práticas criativas e
matematicamente inovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 30
SCHOENFELD, A. H. Models of the Teaching Process. Journal of Mathematical Behavior,
v. 18, n. 3, p. 243-261, 2000.
SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard
educational review, v. 57, n. 1, p. 1-23, 1987.
SHULMAN, L. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational
Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.
SILVA, C.; RIBEIRO, M. Discutindo uma Tarefa para a Formação como recurso para
desenvolver o Conhecimento Interpretativo do professor no âmbito da rotação. In:
SEMINÁRIO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 33., Barcelos. Atas
do [...]. Barcelos: APM., 2023.
SMITH, M. S. Practice-based professional development for teachers of mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics, 2001.
STEIN, M. K.; SMITH, M. S.; HENNINGSEN, M.; SILVER, E. A. Implementing
standards-based mathematics instruction: a Casebook for Professional Development. New
York: Teachers College Press, 2000.
WASSERMAN, N. H.; FUKAWA-CONNELLY, T.; WEBER, K.; MEJA, J. P.; ABBOTT,
S. Understanding analysis and its connections to Secondary mathematics Teaching. [S.
l.]: Springer Nature, 2022.
WATSON, A.; SULLIVAN, P. Teachers learning about tasks and lessons. In: TIROSH, D;
WOOD, T (ed.). Tools and processes in mathematics teacher education. Rotterdam: Sense
Publishers, 2008. p. 109-135.
ZASLAVSKY, O.; LEIKIN, R. Professional development of mathematics teacher educators:
Growth through practice. Journal of mathematics teacher education, v. 7, p. 5-32, 2004.
ZAZKIS, R.; LEIKIN, R. Exemplifying definitions: a case of a square. Educational Studies
in Mathematics, v. 69, p. 131-148, 2008.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 31
Reconhecimentos: O presente trabalho forma parte do projeto de pesquisa financiado pelo
CNPq “Desenvolvimento do Conhecimento Interpretativo e Especializado do professor e
suas relações com as Tarefas para a Formação no âmbito da Medida, e do Pensamento
Algébrico, Geométrico e Estatístico” (404959/2021-0).
Financiamento: CNPQ: (projeto número 404959/2021-0).
Conflitos de interesse: Não aplicável.
Aprovação ética: Essa pesquisa teve aprovação no Comitê de Ética e Pesquisa de CAAE:
60427622.6.0000.8142.
Disponibilidade de dados e material: Não aplicável.
Contribuições dos autores: Os autores contribuíram igualmente na elaboração do artigo.
Processamento e editoração: Editora Ibero-Americana de Educação.
Revisão, formatação, normalização e tradução.
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ESPECIFICIDADES DE LOS CONOCIMIENTOS INTERPRETATIVOS Y LAS
TAREAS FORMATIVAS DEL DOCENTE COMO ELEMENTOS PARA
PRÁCTICAS CREATIVAS Y MATEMÁTICAMENTE INNOVADORAS
ESPECIFICIDADES DO CONHECIMENTO INTERPRETATIVO DO PROFESSOR E
DAS TAREFAS PARA A FORMAÇÃO COMO ELEMENTOS PARA PRÁTICAS
CRIATIVAS E MATEMATICAMENTE INOVADORAS
SPECIFICITIES OF TEACHER'S INTERPRETATIVE KNOWLEDGE AND TASKS
FOR TEACHER EDUCATION AS ELEMENTS FOR CREATIVE AND INNOVATIVE
MATHEMATICAL PRACTICES
Miguel RIBEIRO1
e-mail: cmribas78@gmail.com
Caroline SILVA2
e-mail: caroldesouza86@gmail.com
Cómo hacer referencia a este artículo:
RIBEIRO, M.; SILVA, C. Especificidades de los conocimientos
interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos
para prácticas creativas y matemáticamente innovadoras. Revista
Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n.
esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553
| Enviado en: 06/10/2023
| Revisiones requeridas en: 24/01/2024
| Aprobado el: 11/03/2024
| Publicado el: 20/07/2024
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Editor Adjunto Ejecutivo:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
Universidad Estatal de Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brasil. Professor. Doutorado em Investigación
en la Enseñanza y el Aprendizaje de las Ciencias Experimental (UHU/España).
2
Universidad Estatal de Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brasil. Doctoranda en el Programa de Posgrado
Multiunidad en Enseñanza de la Ciencia y la Matemática (PECIM/UNICAMP).
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 2
RESUMEN: En el contexto de la formación docente con un enfoque en las especificidades del
conocimiento especializado del docente, se evidencia la necesidad de una formación innovadora y
científicamente sustentada para desarrollar investigaciones con enfoques replicables que se centren
en las dimensiones fundamentales para mejorar la calidad de las discusiones y el aprendizaje
matemático de los estudiantes. Considerando las especificidades de la práctica profesional docente
que posibilitan la comprensión de los estudiantes, a partir de los conocimientos que poseen, se
requiere un conocimiento especializado que permita escuchar el pensamiento matemático de los
estudiantes – llamado Conocimiento Interpretativo – y este conocimiento no se desarrolla en la
práctica del aula, requiriendo contextos formativos con este propósito. En este artículo, discutimos
la innovación asociada a los enfoques teóricos y metodológicos de la investigación, la
conceptualización de las Tareas para la Formación Especializada (en el ámbito de las
Transformaciones Geométricas Isométricas) y el enfoque metodológico asociado a su
implementación en contextos que entrelazan la formación y la investigación.
PALABRAS CLAVE: Conocimientos interpretativos. Tareas para la formación. Transformaciones
geométricas isométricas.
RESUMO: No contexto da formação de professores com foco nas especificidades do conhecimento
especializado do professor, é evidente a necessidade de uma formação inovadora e,
cientificamente, sustentada para desenvolver pesquisas com abordagens replicáveis que foquem as
dimensões fundamentais para melhorar a qualidade das discussões e das aprendizagens
matemáticas dos alunos. Considerando as especificidades da prática profissional do professor que
possibilitam o entendimento dos alunos, a partir do conhecimento que possuem, é requerido um
conhecimento especializado que permita escutar o Pensar matemático dos alunos – denominado
Conhecimento Interpretativo – e esse conhecimento não se desenvolve na prática de sala de aula,
requerendo contextos formativos com esse fito. Neste artigo, discutimos inovação associada às
abordagens teóricas e metodológicas de pesquisa, à conceitualização das Tarefas para a
Formação especializada (no âmbito das Transformações Geométricas Isométricas) e à abordagem
metodológica associada à sua implementação em contextos imbricando formação e pesquisa.
PALAVRAS-CHAVE: Conhecimento Interpretativo. Tarefas para a Formação. Transformações
Geométricas Isométricas.
ABSTRACT: In the context of teacher education focusing on the specificities of teachers’
specialized knowledge, it’s evident the need for innovative and scientifically supported proposals
for research with replicable approaches focusing on the foundational dimensions to improve the
quality of discussions and students’ mathematical learning. Considering the specificities of
teacher's practices that enable students to understand, in order to be able to assume has a starting
point the students’ knowledge, a specialized knowledge that allows listening to students'
mathematical thinking is required – called Interpretive Knowledge. This specialized knowledge is
not developed during practice, requiring teacher education contexts with such a purpose. In this
paper, we discuss innovation associated with theoretical and methodological research approaches,
the conceptualization of Tasks for Teacher Education (within the scope of Isometric Geometric
Transformations) and the methodological approach associated with its implementation in contexts
intertwining teacher education and research.
KEYWORDS: Interpretive Knowledge. Tasks for Teacher Education. Isometric Geometric
Transformations.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
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Introducción
Pensar y hacer innovación, en términos de resultados o procesos, tiene que estar
asociado con hacer algo que aún no se ha hecho, hacerlo de manera diferente a lo habitual, o
ambas cosas. En el contexto de la Educación Matemática, que busca mejorar los resultados de
los estudiantes en matemáticas, la innovación no puede ser entendida como cambiar los
enfoques pedagógicos y continuar en el mismo espacio de discusión matemática, sino que exige
considerar como prioridad cambiar las formas de pensar y desarrollar el conocimiento
matemático de los estudiantes. Esta innovación requiere de una práctica profesional
especializada y matemáticamente innovadora.
La práctica del profesor de matemáticas se basa en tareas, preparándolas e
implementándolas con los alumnos (Mason; Johnston-Wilder, 2006). Sin embargo, cada tipo
de tarea (Ponte, 2005) está asociada a objetivos diferentes y a una determinada forma de
entender el papel del profesor y de los alumnos (Stein et al., 2000; Watson; Sullivan, 2008).
Entre la diversidad de tipos y formas de tareas – introducción, consolidación, revisión,
evaluación, ejercicios involucrados, resolución de problemas, formulación de problemas o
investigaciones – nuestra priorización para pensar e innovar se dirige a tareas de introducción
de temas – porque son los momentos en los que el profesor moviliza su conocimiento de una
manera más accesible (Ribeiro, 2013; Arroyo; Carrillo; Monteiro, 2012; Shoenfeld, 2000) – y
se asocian con la resolución y formulación de problemas (o investigaciones) porque son los
contextos que llevan a los estudiantes a tener que pensar matemáticamente de una manera que
nunca se ha hecho antes, o no serían problemas reales.
También se plantea un paralelismo entre la práctica del profesor con los alumnos y la
práctica formativa del formador, tanto en términos metodológicos de permitir al profesor
experimentar lo que se espera que sea capaz de proporcionar posteriormente a sus alumnos
(asumimos que el conocimiento pedagógico no se enseña, se experimenta) como en términos
matemáticos, porque el profesor tiene que empezar a entender las matemáticas y a pensar
matemáticamente para que sea posible. Posteriormente, proponer tareas y realizar discusiones
que permitan el desarrollo de las formas de pensar matemáticamente de los estudiantes, y esto
requiere hacer las cosas de manera diferente a lo que se ha hecho, o no sería necesario enfocarse
en la formación. Con el fin de desarrollar una formación especializada de profesores
especializados, consideramos las denominadas Tareas de Formación – TpF (Ribeiro; Almeida;
Mellone, 2021) como recurso pedagógico especializado y especializado, en vista de la forma
en que asumimos nuestro rol como docentes, el rol de estudiantes y el rol de formadores. Cada
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
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TpF va acompañada de un conjunto de otros tres documentos (que, en conjunto, constituyen las
Tareas Formativas) que sustentan y apoyan la formación especializada que persigue los
objetivos de desarrollar el conocimiento especializado del profesor y la transformación de sus
prácticas matemáticas en algo pedagógicamente apasionante y matemáticamente innovador,
que permita a los estudiantes disfrutar del aprendizaje. Porque entienden lo que hacen y por
qué lo hacen, en cada momento y con conexiones futuras. Este enfoque prioritario de la
formación en el conocimiento especializado del docente considera que este conocimiento es,
entre los factores controlables, el que más impacta en el aprendizaje y los resultados de los
estudiantes (Baumert et al., 2010; Grossman, 2010; Nye; Konstantopoulos; Hedges, 2004).
Entre la panoplia de formas de considerar el conocimiento del docente, desde una
perspectiva que se centra en las generalidades (Ribeiro, 2018) hasta una que concibe las
especificidades, asumimos esta última. En este sentido, se busca romper con varios de los
supuestos instituidos e implementados aún hoy en día en la formación docente – generalidades,
como que basta con haber sido alumno de la etapa educativa que se va a impartir y replicar la
experiencia para poder enseñar (ausencia de discusión en la formación inicial sobre los temas
que se tendrán que enseñar); que basta con saber hacerlo (formación de futuros docentes y
futuros matemáticos comunes) y con carácter instrumental (Lopes et al., 2022); que para
mejorar los resultados, basta con cambiar las metodologías por las más "atractivas" (formación
centrada en metodologías "de moda" sin discusión matemática) – y asumimos el conocimiento
del docente como especializado desde la perspectiva de las conceptualizaciones teóricas de la
Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge
3
– MTSK (Carrillo et al., 2018) y Consulta
Interpretativa – CI (Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020; Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014;
Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013).
Asumimos, de manera asociada, una perspectiva de innovación también en términos
metodológicos de implementación de TpF en contextos formativos y para la investigación,
asumida de manera entrelazada. Se consideran enfoques metodológicos para la implementación
de la TpF los ciclos formativos Individual-Colectivo-Individual – ICI (Pacelli et al., 2020) o
Grupo Pequeño-Colectivo-Grupo Pequeño – Pg-C-Pg (Jakobsen; Arroyo; Mellone, 2022;
Mellone et al., 2023), como un proceso que permite realizar la innovación en términos de
resultados centrándose en diferentes tipos de discusiones individuales-colectivas.
3
Elegimos usar la nomenclatura en inglés porque ya es reconocida internacionalmente y la traducción puede llevar
a una significación errónea, que se asocia con cada una de las dimensiones de la conceptualización.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
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En este texto, realizamos una discusión teórica a partir de ejemplos de propuestas de
investigación y formación, ambas especializadas, no discutiendo el enfoque metodológico de
la investigación que hemos desarrollado, sino centrando aquí la atención en las dimensiones de
la innovación educativa que se consideran. Discutimos la innovación en tres dimensiones: (i)
teórica (formas de entender el conocimiento del docente); (ii) recursos para la recopilación de
información (Tareas de Formación) y el desarrollo de los conocimientos especializados del
profesor (Tareas de Formación y Tareas de Interpretación); y (iii) enfoque metodológico para
la implementación de las Tareas de Capacitación y la conceptualización de las Tareas de
Capacitación para maximizar la calidad de las discusiones y la sostenibilidad del desarrollo del
conocimiento especializado del docente. Para esta discusión, traemos un ejemplo de una Tarea
Formativa y el TpF asociado con la transformación isométrica de rotación. Este ejemplo sirve
como una entidad que genera discusión y promueve la comprensión, pues la experiencia
demuestra que toda innovación requiere romper con las cadenas que nos restringen (Ribeiro,
2013) y hacer lo que aún no se ha hecho y, al presentar ejemplos concretos que nos permitan
sostener las discusiones, se espera que pueda llevar al lector a, a partir de esta especificación,
para llegar a una generalización de las ideas presentadas.
Algunas discusiones teóricas
Los estudiantes tienen dificultades con varios temas matemáticos (Clements; Sarama,
2020; Kieren, 1976; Ma, 1999) y, de manera más general, dificultades para pensar y pensar
matemáticamente. Entre los temas en los que revelan mayores dificultades se encuentra la
Geometría y, dentro de esta, las transformaciones geométricas isométricas asumen un lugar
destacado, no solo por las dificultades (véase, por ejemplo, Bairral; Silva, 2010; Gaspar;
Cabrita, 2014; Küchemann, 1981), sino por las conexiones que pueden (y deben) establecerse
con otros temas y tópicos matemáticos y extramatemáticos, con el fin de potenciar el desarrollo
de este Pensamiento Matemático en términos de comprensión de la estructura matemática y de
los elementos que sustentan la demostración y la generalización.
La rotación es una de las tres transformaciones geométricas isométricas (las otras son la
reflexión y la traslación) y, al ser isométrica, conserva las distancias (Lima, 1992) y la amplitud
angular, lo que conduce a la congruencia entre la figura original y la imagen transformada.
Entre las transformaciones isométricas, se considera la más difícil de entender para los
estudiantes (Gomes, 2012; Moyer, 1978), especialmente cuando el centro de rotación es externo
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
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a la figura (Gaspar; Cabrita, 2014; Küchemann, 1981); sin embargo, su comprensión es esencial
para el desarrollo del pensamiento geométrico, incluyendo la imaginación intuitiva (Jones,
2020), la percepción visual y el razonamiento espacial (Gomes, 2012), lo que contribuye a que
los estudiantes interpreten el mundo que los rodea.
Cuando pensamos en las formas en que los estudiantes aprenden, entendemos que estos
aprendizajes ocurren asociados a tareas para los estudiantes, que pueden ser entendidas de
diferentes maneras, de acuerdo con los diferentes tipos de tareas (Ponte, 2005): abiertas,
cerradas, problemas, investigaciones. En relación con los problemas (y las investigaciones,
como problemas más amplios), podemos considerar un marco de cuatro pasos para su
resolución (Polya, 1975). Es fundamental que este tipo de tareas y pasos de resolución de
problemas sean discutidos en la formación docente para que puedan convertirse en algo natural
en las prácticas docentes y, aún hoy, casi 50 años después de los estudios de Polya, esta idea de
práctica sostenida de resolución de problemas puede entenderse como una innovación. incluso
ante las dificultades de los estudiantes para resolver problemas en diferentes temas matemáticos
(Francioli; Silva, 2021).
Mientras que la práctica matemática del profesor se basa en la implementación y
discusión de tareas matemáticas (véase, por ejemplo, Mason y Johnston-Wilder, 2006; Ribeiro,
Mellone y Jakobsen, 2016) y la necesidad de que los docentes tengan el mismo tipo de
experiencias que se espera que puedan brindar a sus estudiantes, es fundamental que la
formación docente se desarrolle en el mismo espacio de prácticas que se espera implementar
con los estudiantes (Ribeiro; Carrillo; Monteiro, 2012) y, por lo tanto, que se apoye en la
preparación, implementación y discusión de tareas que contribuyan al desarrollo de las
especificidades del conocimiento del docente para su práctica profesional. Por lo tanto, es
fundamental que la formación del profesorado permita crear puentes que reduzcan la distancia
entre las matemáticas que los profesores han aprendido y las matemáticas que se espera que
sean capaces de enseñar a sus alumnos (Zaslavsky; Leikin, 2004). Estas tareas y las
oportunidades asociadas deben considerar un enfoque en los procesos matemáticos (Biza et al.,
2015) para permitir que los docentes transformen sus conocimientos matemáticos en prácticas
matemáticas orientadas pedagógicamente (Wasserman et al., 2022).
En este sentido, es fundamental contar con un conjunto de enfoques innovadores que
consideren un enfoque en los temas de gestión matemática en el aula, posibilitando discusiones
en un contexto formativo para acercarse a un escenario auténtico de enseñanza y aprendizaje
esperado, persiguiendo el objetivo de asegurar que se priorice el aprendizaje matemático de los
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
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estudiantes y no el contenido matemático en sí (Mitchell; Marín, 2015) o cuestiones
pedagógicas generales no relacionadas con el aprendizaje (Ribeiro, 2018). Teniendo en cuenta
la centralidad de las tareas en el aprendizaje matemático de los estudiantes, la formación
docente también debe asumir esta centralidad y considerar las especificidades de la "práctica
profesional" de cada uno de los involucrados (estudiantes y profesores) y las especificidades
del conocimiento profesional del profesor para esta práctica matemática de capacitar a los
estudiantes para comprender las matemáticas.
Estas especificidades de la práctica docente han sido entendidas desde una perspectiva
que asume la centralidad del conocimiento pedagógico general – sin ninguna referencia a los
contenidos abordados (ver Shulman, 1986, 1987) – y que puede entenderse como una forma de
diferenciar el "grupo docente" de todos los demás "grupos profesionales", pero permanecer en
estas generalidades hace poco o nada para pensar en las especificidades de la práctica del
profesor de matemáticas en relación con otros profesores de matemáticas. otras áreas de
conocimiento (Ribeiro, 2018). Para dirigir la atención a estas especificidades, es esencial
considerar qué hace que la práctica profesional de los profesores de matemáticas sea única. Esta
singularidad está asociada a sus conocimientos profesionales para la enseñanza de las
matemáticas y al hecho de que estos conocimientos se consideran únicos y específicos de este
desempeño profesional – algunas de las perspectivas teóricas que asumen esta idea son, por
ejemplo, la Mathematical Knowledge for Teaching – MKT (Ball; Thames; Phelps, 2008), o
Knowledge Quartet – KQ (Rowland et al., 2009), el Mathematics for Teaching – MfT (Davis;
Simmt, 2006), o Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge – MTSK (Carrillo et al., 2018)
y Conocimiento Interpretativo – IC (Jakobsen; Arroyo; Mellone, 2014). En el ámbito de este
trabajo, asumimos las conceptualizaciones Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge y el
Conocimiento Interpretativo, que se basan en el principio de que el conocimiento del profesor
está especializado en el dominio matemático y pedagógico.
El MTSK es una conceptualización del conocimiento del profesor de matemáticas y
permite (busca) caracterizar en detalle las especificidades del contenido de este conocimiento
considerando dos dominios: Mathematical Knowledge (MK) y Pedagogical Content
Knowledge (PCK). Discutiremos aquí solo el contenido de MK
4
, que se subdivide en tres
subdominios: Knowledge of Topics (KoT), Knowledge of the Structure of Mathematics (KSM)
4
Para más información sobre el contenido del PCK en esta conceptualización, véase, por ejemplo, Ribeiro y
Almeida (2022) y Ribeiro, Alves y Gibim (2023) quienes también ilustran una perspectiva innovadora en cuanto
a la forma y el enfoque de la discusión del diálogo de investigación y las propuestas para los docentes.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
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y Knowledge of Practices in Mathematics (KPM). Para dar ejemplos del contenido de estos
conocimientos, optamos por centrarnos en la rotación, ya que es un tema problemático en
aspectos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje (véase, por ejemplo, Gaspar y Cabrita,
2014 o Küchemann, 1981).
El KoT corresponde a los conocimientos matemáticos del docente relacionados con los
temas matemáticos a enseñar, incluyendo los conocimientos procedimentales y conceptuales,
así como las proposiciones, ejemplos, conexiones intraconceptuales, fórmulas y algoritmos, en
consecuencia, de sus demostraciones y los significados que se asocian al conocimiento de la
fenomenología de cada tema (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). Se consideran cuatro categorías
de conocimientos: (i) procedimientos; (ii) definiciones, propiedades y fundamentos; (iii)
registros de representación; (iv) fenomenología y aplicaciones.
(i) procedimientos, se refieren al conjunto de acciones secuenciales que se llevan a cabo
para obtener una respuesta a un problema determinado, que puede ser a través de algoritmos
(convencionales o alternativos) o utilizando otras estrategias. En el contexto de la rotación, por
ejemplo, se relaciona con saber que, para identificar el centro de rotación de una figura ya
transformada, es necesario trazar la mediadora entre un punto de la figura original y su
contraparte en la imagen, repitiendo este procedimiento (al menos) dos veces, para obtener el
punto de intersección de las mediadoras trazadas, que corresponde al centro de rotación.
(ii) las definiciones contemplan el conocimiento sobre el conjunto mínimo de
propiedades del tema que permiten identificarlo de manera unívoca (Liñan; Contreras; Barrera,
2016). Implica saber que una posible definición de rotación es:
Sea O un punto tomado en el plano Π y un ángulo de vértice
O.
Ángulo de rotación alrededor del punto O es la función  Se
define de la siguiente manera: 󰇛󰇜 y, para cada punto en Π,
󰇛󰇜  es el punto del plano Π tal que
󰇛 󰇜 󰇛󰆒 󰇜
󰆒
y el "sentido de rotación" de A hasta B es el mismo que el de X a X' (Lima,
1996, p. 21-22, nuestra traducción).
Al considerar las (ii) propiedades, se asume que el conocimiento del profesor está
asociado con el conocimiento del conjunto de todos los atributos matemáticos que son comunes
al tema. Incluye saber que la composición de dos rotaciones del mismo centro de rotación es
conmutativa, al igual que la composición de dos rotaciones de diferentes centros no es
conmutativa (Breda et al., 2011).
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
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(ii) los fundamentos se relacionan con el conocimiento sobre el conjunto de atributos
matemáticos que "sustentan" el tema y conectan conceptos (Camacho; Guerrero, 2019). En
cuanto a la rotación, se refiere a saber que sus cimientos son la figura original, el centro y el
ángulo de rotación (amplitud y dirección).
En (iii) los registros de representación incluyen conocer las diferentes formas de
representar un tema, concepto, proceso o procedimiento (Liñan; Contreras; Barrera, 2016), que
puede ser aritmética, concreta, gráfica, pictórica, que involucra lenguaje verbal o simbólico
(Duval, 1996). Implica saber que la rotación de un triángulo con vértices X, Y y Z con centro
de rotación en O desde un ángulo de 60° en sentido contrario a las agujas del reloj se puede
representar algebraicamente mediante 󰇟󰇛 󰇜󰇠.
(iv) la fenomenología y sus aplicaciones se relaciona con el conocimiento de los
conceptos asociados a un tema determinado y los diferentes fenómenos que lo involucran, así
como el significado de cada una de las posibles manifestaciones e interpretaciones de estos
fenómenos, según los diferentes contextos en los que se enseñan (Liñan; Contreras; Barrera,
2016). Como ejemplo de conocimiento relacionado con la fenomenología de la rotación, la
rotación es una transformación geométrica isométrica en la que se lleva a cabo una
transformación (fenómeno) en la figura.
El subdominio KSM se refiere al conocimiento de las diferentes conexiones entre temas
matemáticos (Carrillo et al., 2018), considerando los aspectos temporales de la secuenciación
matemática: (i) conexiones de complejización y (ii) conexiones de simplificación; y los
aspectos de cada tema: (iii) conexiones transversales y (iv) conexiones auxiliares (Montes;
Climent, 2016).
Las conexiones (i) de la complejización involucran el conocimiento que permite al
docente establecer relaciones con otros temas matemáticos más avanzados de lo que requiere
el contexto escolar. En el contexto de la rotación, se refiere a conocer la conexión de
complejización entre la rotación y el círculo trigonométrico, ya que, al rotar el triángulo
rectángulo en el círculo trigonométrico, es posible reducir las relaciones trigonométricas del
3er cuadrante al 1er cuadrante.
(ii) las conexiones de simplificación se refieren al conocimiento que permite al docente
incluir en la discusión un tema o concepto que es más simple que lo requerido por el contexto
escolar. Implica conocer la conexión entre rotación y ángulo, en el que rotar una figura desde
un ángulo de 90° equivale a una rotación de
De vuelta a la imagen.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
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En cuanto a (iii) las conexiones transversales, estas se relacionan con el conocimiento
de la naturaleza de algunos conceptos, que emergen al abordar diferentes conceptos a lo largo
de la matemática escolar. Como ejemplo de conexión transversal entre rotación y simetría, la
imagen obtenida después de la transformación es simétrica, ya que la simetría es un concepto
transversal a las transformaciones geométricas isométricas.
En cuanto a (iv) conexiones auxiliares, se refieren a conexiones matemáticas que
involucran diferentes temas, que no son el foco de la discusión, agregando un elemento para
contribuir y sustentar la discusión matemática. A modo de ejemplo, la conexión auxiliar entre
la rotación y la ubicación de los puntos implica saber que, para realizar la rotación, es necesario
identificar el centro de rotación, que es un punto que se puede ubicar en el plano cartesiano.
El KPM se refiere al conocimiento de la práctica de producir matemáticas, su
funcionamiento y no cómo enseñarlas, involucrando la clasificación y planificación, las formas
de validación y demostración, el papel de los símbolos, el lenguaje formal y las condiciones
necesarias y suficientes para generar definiciones (Carrillo et al., 2018). Incluye el
conocimiento del uso y funcionamiento de ejemplos y contraejemplos (Flores-Medrano, 2016)
y de cómo demostrar, justificar, hacer deducciones e inducciones (Carrillo et al., 2018). En el
contexto de la rotación, se refiere a saber que un contraejemplo de rotación es la reflexión axial,
porque la reflexión axial se realiza con respecto a una línea llamada eje de reflexión y no según
un ángulo. Por lo tanto, los procedimientos utilizados para realizar la reflexión son diferentes
de los procedimientos utilizados para realizar la rotación.
Este conocimiento matemático sustenta la práctica profesional del profesor de
matemáticas que busca capacitar a los estudiantes para comprender qué hacen y por qué lo
hacen en cada momento y, en la perspectiva que asumimos, esto requiere considerar como punto
de partida qué y cómo saben los estudiantes sobre cada uno de los temas matemáticos que tienen
el derecho y el deber de conocer y comprender. El conocimiento matemático especializado para
esta práctica interpretativa se denomina Conocimiento Interpretativo – IC (Ribeiro; Mellone;
Jakobsen, 2013; Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020; Mellone et al., 2020).
La importancia de asumir como punto de partida qué y cómo saben los estudiantes como
premisa del CI es esencial para una discusión ética efectiva en el aula (Mellone et al., 2023), lo
cual es uno de los retos en el ámbito de la Educación Matemática (Radford, 2021), e implica
asociar las discusiones matemáticas con oportunidades de inclusión, compromiso y respeto,
desde la misma perspectiva de la ética comunitaria (Radford, 2021), por un enfoque pedagógico
dirigido a la comprensión de las matemáticas.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 11
De acuerdo con la Enciclopedia Springer Nature, Conocimiento Interpretativo:
Se refiere al conocimiento matemático amplio y profundo que permite a los
docentes apoyar a los estudiantes en el desarrollo de sus propios
conocimientos matemáticos basados en sus propios razonamientos y
producciones, independientemente de si son no estándar o incorrectos. El CI
complementa el conocimiento de los estudiantes de los errores o estrategias
típicas con el conocimiento de los posibles orígenes de los errores típicos y
atípicos y el conocimiento del uso de los errores como fuente efectiva de
aprendizaje (Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020, p. 426, nuestra traducción).
El CI permite al docente comprender las matemáticas que sustentan el razonamiento y
las formas de pensar de los estudiantes presentes en sus producciones, con el fin de explorar los
errores, entendidos como oportunidades de aprendizaje (Borasi, 1987) y realizar orientaciones
a partir del significado asignado. En este conocimiento, que sustenta la práctica matemática
interpretativa, se consideran dos nociones centrales: espacio, solución y feedback.
El espacio de solución se refiere al conjunto de múltiples formas y representaciones que
cada individuo concibe cuando se le pide que resuelva un problema, incluso si ese problema
tiene una única solución (Jakobsen; Arroyo; Mellone, 2014). Es fundamental que el profesor
conozca varias formas de proceder para resolver un problema para que, ante la producción de
un alumno diferente a la suya, no tenga dificultades para interpretarla y no la considere
incorrecta por el hecho de ser diferente a la suya, por lo que es necesario que tengamos un
espacio de solución con multiplicidad de elementos.
Después de comprender e interpretar la producción, el profesor debe proponer una
orientación al alumno, que se configura como feedback, una forma de comunicación e
interacción entre profesor y alumno (véase, por ejemplo, Black y William, 1998 o Hattie y
Timperley, 2007). Existen diferentes tipos de feedback y, cuando el docente pretende explorar
el razonamiento matemático presente en la producción (Santos; Pinto, 2009), proponiendo
lineamientos claros que incentiven a los estudiantes a revisar su producción, repensar las
estrategias utilizadas y desarrollar su comprensión matemática, es un feedback constructiva (Di
Martino et al., 2017). Otros tipos de feedback (Galleguillos; Ribeiro, 2019) son: (i) feedback
sobre cómo resolver el problema: pautas instructivas sobre los procedimientos a seguir para
resolver un problema específico; (ii) retroalimentación confusa: aunque correcta, es
incomprensible para el estudiante debido a la complejidad de las pautas; (iii) contraejemplo
como feedback: contiene un ejemplo explicativo de por qué la resolución del estudiante es
incorrecta; (iv) feedback superficial : orientación insuficiente o inconsistente, que no ayuda al
estudiante a comprender sus errores.
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Las categorías (i) y (ii) se asocian a una práctica instructiva, explicando al alumno cómo
proceder, que no requiere que el profesor atribuya sentido al pensamiento matemático de los
alumnos, imponiendo su forma de hacer. Las categorías (iii) y (iv) se asocian a prácticas
evaluativas y se centran en explicar por qué la producción de los estudiantes contiene errores,
pero exigen del docente una correcta interpretación de la producción, requiriendo
conocimientos matemáticos que permitan al docente abordar un problema de diferentes
maneras e implica que conozca varios ejemplos para que pueda explicar por qué algunas formas
de proceder son incorrectas.
En el contexto de la rotación, considerando una tarea en la que se solicita identificar
algún punto que permanece fijo, cuando se realiza el movimiento (rotación) y la producción de
un estudiante que expresa "no tiene puntos fijos" (Silva; Ribeiro, 2023), Un ejemplo de
feedback evaluativo implica que el profesor solo evalúe la producción como incorrecta, porque
no identificó el punto fijo que es el centro de rotación e indicó el punto correcto en la
producción. Un feedback constructivo tiene que considerar la identificación del centro de
rotación, proponiendo, por ejemplo, al estudiante, una orientación para trazar algo de mediatría
entre algunos puntos de la figura y sus contrapartes en la imagen, con el fin de que revise su
producción e identifique el centro de rotación, encontrando esta orientación asociada a
preguntas sobre qué sucede con todas las mediatrices y si se cruzan, permitiendo así al
estudiante percibir que se cruzan en un único punto común, que es el centro de rotación.
Este feedback está asociada, y condicionada por, el nivel de conocimientos que posee el
docente y sobre el cual, en el CI, se definen tres niveles (Mellone et al., 2017): (i) interpretación
evaluativa; (ii) interpretación para la práctica docente; (iii) la interpretación como investigación.
(i) la interpretación evaluativa se asocia al nivel más bajo de CI que lleva al docente a
establecer una correspondencia entre su producción y la del alumno, considerando solo como
correcta su forma de proceder y cualquier producción que difiera de la suya es evaluada como
incorrecta. (ii) la interpretación para la práctica docente se basa en un nivel intermedio de CI y
corresponde al docente considerar lo que se expresa en la producción del estudiante, con el fin
de planificar las próximas discusiones a proponer y alcanzar los objetivos del aprendizaje
matemático; Por lo tanto, toma como punto de partida qué y cómo los estudiantes revelan que
saben. Considerando un nivel superior de CI, tenemos (iii) la interpretación como investigación
que se refiere a que el profesor revisa su propia formalización matemática, haciendo de la
producción del estudiante una fuente de investigación, aunque estas producciones parezcan
diferentes a lo que tradicionalmente se enseña en las escuelas, ya que, en esta práctica
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interpretativa, el profesor puede discutir con colegas la producción del estudiante y, También
es necesario investigar otras formas de proceder, lo que permite conocer otras formas de hacer
matemáticas y resolver un problema determinado, lo que resulta en la ampliación de su espacio
de solución.
Para proponer una retroalimentación constructiva, se requiere un alto nivel de CI por
parte del profesor, y el desarrollo de los conocimientos especializados del profesor requiere
contextos formativos (Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013) en el que se implementan y discuten
las Tareas de Capacitación (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021).
Existen diferentes perspectivas sobre la Tarea para los docentes, como las Tareas de
Aprendizaje Profesional (Smith, 2001; Arroyo; Ponte, 2020) o tareas formativas (Martín et al.,
2023). Dado que nuestro foco está en el desarrollo del conocimiento del docente y no en su
aprendizaje, las tareas son entendidas como un recurso especializado para la práctica
profesional, de ahí las llamadas Tareas para la Formación – TpF (Ribeiro; Almeida; Mellone,
2021) son específicas para el desarrollo de este conocimiento especializado del docente.
Los TpF forman parte de un conjunto de documentos que se elaboran para apoyar la
formación a realizar y que corresponde, en la conceptualización desarrollada en el grupo
CIEspMat
5
, a la denominada Tarea de Formación (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) que se
compone de cuatro documentos: (i) Tarea de Capacitación; (ii) documento con las cinco
dimensiones centrales para la implementación de la tarea en el aula; (iii) documento del profesor
y (iv) documento del formador.
(i) Tarea de Formación: tarea que se asignará a los docentes en contextos de formación
y se conceptualizará para acceder y desarrollar los Conocimientos Interpretativos y
Especializados de los alumnos. Para su conceptualización, se consideran los resultados de
investigaciones más recientes y los resultados de pruebas nacionales e internacionales, que
identifican los temas matemáticos más problemáticos para los estudiantes (y por lo tanto
también para los profesores) – en los que, por ejemplo, la resolución y formulación de
problemas no son temas, sino considerados contextos de y para la discusión de temas
matemáticos, y está estructurado en dos o tres partes. Todas las Partes están asociadas a los
objetivos de acceso y desarrollo del conocimiento del docente, y este acceso se relaciona con
el enfoque pedagógico especializado de la implementación y con la investigación que siempre
5
CIEspMat es un grupo de Investigación y Formación que desarrolla trabajos centrados en el desarrollo del
Conocimiento Interpretativo y Especializado del maestro y futuro docente de y que enseña matemáticas – desde
Educación Infantil hasta Bachillerato. Disponible en: www.ciespmat.com.br. Accedido: 10 dic. 2023.
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matemáticamente innovadoras
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se lleva a cabo en contextos de formación, considerando la investigación y la formación de
manera entrelazada. La Parte Preliminar se enfoca en alguna dimensión del conocimiento
matemático o pedagógico y busca establecer un punto de partida para las discusiones a realizar:
qué y cómo sabe el docente sobre el tema, qué ya hace en su práctica matemática y cómo lo
hace. La Parte I se estructura a partir de una tarea para el estudiante que se espera que sea
implementada por el profesor en su práctica, pero también incluye un conjunto de cuestiones
que emergen de los problemas identificados en la literatura sobre el conocimiento del profesor
y que se formulan alineados con el contenido de ciertos subdominios del MTSK con el fin de
centrar las discusiones.
Es importante señalar que se trata de una opción formativa que permite dirigir el foco
de atención principalmente a las especificidades de la práctica matemática y al conocimiento
especializado que sustenta esta práctica, y que, a pesar de este enfoque direccional, la
implementación de TpF posibilita que los docentes mantengan discusiones que involucren
todos los subdominios de su conocimiento especializado.
Cuando el TpF contiene una Parte II, tiene como objetivo desarrollar el Conocimiento
Interpretativo y se denomina Tarea Interpretativa – TI (Mellone et al., 2020). En esta Parte II,
se incluyen algunos contextos de producciones de estudiantes o docentes (escritos, video,
discusiones en el aula, discusiones en contextos formativos) elegidos por ser matemáticamente
potentes para el desarrollo del CI y por atribuir significado a las formas de pensar que sustentan
estas producciones y la propuesta de feedback constructiva.
(ii) documento con las cinco dimensiones: conjunto de indicaciones centrales para que
el docente implemente, discuta y logre los objetivos de aprendizaje matemático de la tarea para
el estudiante (e.g., Ribeiro y Torrezan, 2022 o Silva y Ribeiro, 2023): (1) Objetivo de
aprendizaje matemático que se persigue con la tarea; (2) Recursos necesarios y forma(s) del
trabajo de los estudiantes; (3) Capacidad de la Base Curricular Común Nacional (Brasil, 2018)
asociada a la tarea; (4) Posibles dificultades de los estudiantes; (5) Comentarios sobre la
implementación y las discusiones matemáticas asociadas.
(iii) documento del docente: engloba todos los elementos centrales del conocimiento
matemático especializado del tema, considerando la conceptualización del MTSK, abordado en
el TpF, que pretende ser desarrollado en los docentes participantes de la capacitación.
(iv) documento del formador: contiene un conjunto de directrices para que el formador
pueda implementar el TPF, minimizando las desviaciones de los objetivos formativos que se
asocian a su conceptualización, considerando la intencionalidad de la investigación asociada.
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Contiene, por tanto, los objetivos formativos y de investigación, así como un conjunto de
indicaciones relativas a las especificidades de la formación que se pretende llevar a cabo,
detallando los objetivos de cada pregunta de TpF y los Conocimientos Especializados e
Interpretativos que se espera desarrollar, así como indicaciones pedagógicas específicas para
su implementación que se asocian a posibilidades de replicabilidad en contextos de práctica con
estudiantes – o de juego con niños en Educación Infantil. También incluye ejemplos de
preguntas y posibles respuestas de los conocimientos implicados y requeridos, así como de las
discusiones que se llevarán a cabo en cada etapa
6
.
Esta tríada central para la innovación que consideramos en la investigación, la práctica
y la formación está compuesta por estos dos bloques previos de Conocimiento (formas de
entender el conocimiento del docente y sus especificidades para la práctica, la formación y la
investigación) y los recursos para la práctica, formación y recopilación de información para la
investigación, solo se completa con un enfoque pedagógico de implementación y metodología
que maximice y potencie la calidad de las discusiones. la sostenibilidad del desarrollo del
conocimiento especializado del docente y de la investigación asociada.
Este enfoque pedagógico y metodológico especializado que hemos desarrollado y que
impacta en el foco de discusión que se considera, asume dos tipos de estructura replicable: Ciclo
Individual-Colectivo-Individual – ICI (Pacelli et al., 2020) o Ciclo Grupo Pequeño-Colectivo-
Grupo Pequeño – Pg-C-Pg (Jakobsen; Arroyo; Mellone, 2022; Mellone et al., 2023). La
diferencia entre estas estructuras está en la forma de trabajar para resolver el TpF, pues en el
Ciclo ICI los docentes resuelven una parte del TpF de manera individual, posteriormente hay
una discusión colectiva en un grupo grande que busca sintetizar las formas de pensar que
surgieron individualmente y en el que cada uno se hace responsable del conocimiento
desarrollado en este contexto y, posteriormente, después de aproximadamente un mes, los
participantes deben enviar sus respuestas "revisadas y mejoradas" al mismo TPF para que se
puedan identificar algunos elementos que aún deben profundizarse y se pueda realizar un
análisis de los conocimientos desarrollados.
Una adaptación a este enfoque considera el hecho de que la resolución individual de la
TpF no necesariamente potencia el desarrollo de un Conocimiento Interpretativo amplio y
profundo (Jakobsen; Arroyo; Mellone, 2022). Así, en el Ciclo Pg-C-Pg, los docentes se
organizan en grupos (idealmente cuatro participantes) para discutir, reflexionar y resolver el
TpF y los dos momentos posteriores siguen la misma estructura anterior. Esta opción también
6
Para algunos ejemplos, véase Ribeiro, Alves y Gibim (2023) o Ribeiro y Torrezan (2022).
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se asocia a la necesidad de que los docentes puedan experimentar el trabajo en grupo en primera
persona para que puedan llevar a cabo el mismo tipo de discusión con sus alumnos en sus
prácticas.
Un ejemplo de una Tarea de Entrenamiento (Interpretativa) asociada a innovaciones
Las Tareas Formativas pueden tener diferentes estructuras y aquí centramos nuestra
atención en las Tareas Interpretativas (TI) que buscan desarrollar más específicamente el
Conocimiento Interpretativo de los (futuros) docentes. Este ejemplo pretende ilustrar la
conceptualización del recurso para la formación y un instrumento para la recolección de
información de investigación, y para ello se presenta una TI en el ámbito de la rotación y,
posteriormente, se hace una discusión de las razones que llevan a la inclusión de las preguntas
y producciones de los estudiantes – considerando las tres dimensiones de la innovación: teórica,
de recursos, implementación.
Figura 1 – Tarea interpretativa en el ámbito de la rotación
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Tarea: Cartas rotadas7
(Siempre debes explicar tu razonamiento describiendo el proceso que utilizas para responder a la
pregunta. Puedes hacerlo usando esquemas, palabras, cálculos, ...)
Fíjate en las situaciones con cartas de la baraja de la "reina"”:
a) Registra lo que te llamó la atención mientras mirabas las tarjetas de cada una de las
situaciones.
b) En la Situación 1, ¿puedes identificar qué movimiento se hizo para construir toda la tarjeta
a partir de una de sus partes? Justificar.
c) En la situación 2:
i) ¿Puedes identificar qué movimiento se hizo para obtener la nueva tarjeta? Si es así,
descríbelo. Si no es así, justifique.
ii) Explicar los trámites que se pueden realizar para obtener la nueva imagen.
d) En cada situación, ¿puedes identificar un punto que permanezca fijo cuando se realiza el
movimiento? Justificar.
7
Adaptado de Paques y Oliveira (2012).
Situación 2
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Fuente: Elaboración propia
En la Parte Preliminar se incluyen dos preguntas orientadas a acceder y desarrollar los
contenidos KoT del profesor. En la pregunta 1, el objetivo es acceder (y desarrollar a través de
discusiones posteriores) el conocimiento del docente asociado a la fenomenología de la rotación
temática – situar la pregunta en un contexto "típicamente no educativo" pretende sacar al
docente de un contexto de "explicar cómo lo haría en el aula", ya que la intención es acceder a
sus conocimientos matemáticos especializados y no a sus enfoques pedagógicos.
En la pregunta 2, la atención se centra en el conocimiento del profesor asociado a lo que
supone que es una definición matemática (Zazkis; Leikin, 2008) – matemáticamente válido – y
eso es comprensible para sus estudiantes. También se busca promover una reflexión crítica
sobre las "pseudo definiciones" que se encuentran en muchos materiales pedagógicos (aquí
libros de texto) y sobre la necesidad de conocimientos que permitan mejorar estas propuestas
pedagógicas para la discusión en el aula, además, a través de la discusión de este tema, saber
que existen diferentes definiciones matemáticas para una misma entidad matemática. Esta
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inclusión considera la necesidad de tener en cuenta que los estudiantes tienen dificultades en la
interpretación y uso de las definiciones (Mariotti; Fischbein, 1997; Zazkis; Leikin, 2008), y es
fundamental que el docente elija definiciones que sean didácticamente adecuadas al grupo
etario de los estudiantes y al contexto de enseñanza, teniendo como punto de partida
definiciones que contemplen lo que los estudiantes ya saben.
En la Parte I, una tarea para estudiantes de 7º grado (12 o 13 años) se incluye dentro de
un rectángulo, de acuerdo con los documentos oficiales del currículo brasileño (Brasil, 2018) y
tres preguntas para los docentes. Esta tarea para los estudiantes persigue el objetivo del
aprendizaje matemático (parte de las cinco dimensiones): desarrollar la comprensión de los
estudiantes sobre la rotación de transformación geométrica isométrica, en lo que respecta a la
identificación de sus elementos constitutivos y los procedimientos realizados para realizar la
rotación, a partir de imágenes giradas.
Cabe destacar que las tareas para los estudiantes siempre se formulan considerando las
mayores dificultades identificadas en los resultados de la investigación. Aunque, en el contexto
de la rotación, estas dificultades se asocian, por ejemplo, a la identificación del centro de
rotación, sobre todo cuando no pertenece a la figura (Gaspar; Cabrita, 2014; Küchemann, 1981),
en esta tarea, ya que se trata de una introducción (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) y para
tomar como punto de partida algo que los docentes conocen -tarea "propia del material
didáctico"- se optó por incluir ejemplos cuyos centros de rotación pertenezcan a la figura, ya
que el objetivo no es dificultar la tarea al alumno, sino desarrollar su comprensión matemática
y sus formas de pensar matemáticamente.
En las preguntas para el profesor, al pedirles que resuelvan la tarea por sí mismos
(pregunta (i)) se pretende acceder a conocimientos matemáticos al nivel de los conocimientos
de los alumnos (resolver la misma tarea que se espera que resuelvan los alumnos). En este caso
concreto, se asocia a la correcta identificación del movimiento realizado (a)); los
procedimientos realizados para la obtención de la imagen mediante rotación b) y c) - i));
diferenciar la rotación de las otras transformaciones isométricas (c) – (ii)); procedimientos
asociados a la rotación y los elementos constitutivos que determinan esta transformación d)).
Al pedir a los profesores que identifiquen las mayores dificultades matemáticas de los
alumnos para resolver esta tarea (pregunta (ii)), se pretende iniciar el movimiento de los
profesores líderes para instituir el hábito mental de anticipar las posibles respuestas de sus
alumnos, considerándolos para la planificación y puesta en práctica de las discusiones
matemáticas. Esta anticipación también se asocia con el enfoque que se pretende en la Parte II
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para contribuir a identificar y atribuir significados a los errores de los estudiantes y a sus formas
de pensar matemáticamente. La pregunta (iii) tiene como objetivo acceder y desarrollar el
conocimiento del profesor sobre lo que los estudiantes saben (qué y cómo saben o deberían
saber) que apoyaría el cumplimiento de la tarea (pregunta 1 – iii)). Esto incluye, por ejemplo,
conocer la noción de ángulo, asociada a la amplitud y dirección del ángulo de rotación y, en
base a esto, discutir con los estudiantes los procedimientos a realizar para medir la amplitud de
un ángulo, lo que posiblemente incluiría retomar y cuestionar a los estudiantes lo que saben
sobre el uso del transportador. siempre desde una perspectiva de indagación y no en "dar la
regla". Además, si los alumnos ya conocen la reflexión central, el profesor puede problematizar
la equivalencia entre la reflexión central y la rotación de 180º (Bairral; Silva, 2010)
considerando la Situación 1 de la tarea para el estudiante.
En la Parte II, la atención se centra en el conocimiento interpretativo del profesor. Con
este fin, en esta tarea, se incluyen varias producciones de los estudiantes para la Tarea del
Estudiante en la Parte I y se le pide al profesor que interprete y asigne significado a las formas
de pensar y proceder en matemáticas que sustentan estas producciones proporcionando un
feedback constructiva para cada alumno. Las preguntas buscan acceder al nivel de
Conocimiento Interpretativo y, a través de discusiones posteriores, promover un cambio en el
nivel de este conocimiento. Asociado a la implementación de TI implementando el Ciclo Pg-
C-Pg, tenemos un breve documento que discute qué es y qué no es un feedback constructiva,
por el tipo y la naturaleza de esta feedback se asocia con los niveles de CI revelados por los
profesores. Cabe destacar que la forma en que concebimos el rol y el conocimiento del docente
(Almeida; Arroyo; Fiorentini, 2021) se relaciona con la comprensión de cómo el propio
formador planifica e implementa sus prácticas formativas (Ferreira; Behrens; Teixeira, 2019),
que puede ser generalista o dirigida a desarrollar las especificidades del conocimiento del
docente.
En esta Parte, las producciones de los estudiantes que se incluyen son de fundamental
importancia y su selección (o elaboración a partir de los resultados de la investigación) está
asociada a las especificidades de la intencionalidad formativa que se considera. Cada uno de
ellos se incluye porque está asociado a una discusión matemática específica y, simultáneamente,
en conjunto, estas producciones necesitan posibilitar un cambio en el nivel de conocimiento
que demanda el desarrollo de la comprensión del fenómeno de rotación. Estas producciones de
los estudiantes, aquí centradas en los errores, se asocian a un cambio en las concepciones
relacionadas con el error (Borasi, 1987) y su uso pedagógico como punto de partida para el
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desarrollo del conocimiento de los estudiantes y el contexto se asocia con el desarrollo del
hábito de desarrollar una práctica matemática interpretativa basada en la atribución de
significado a los motivos matemáticos que sustentan las producciones de los estudiantes. sí son
inadecuadas o contienen enfoques inesperados
8
para que el profesor repiense su propia
formalización matemática y amplíe su espacio de solución (Ribeiro, 2024), – pueda incorporar
un mayor número de elementos a este espacio de solución.
Se incluyó la producción de Aline para la pregunta c), ya que presenta una respuesta
incompleta al movimiento realizado, expresando la rotación solo como un desplazamiento (en
i)), sin especificar que este desplazamiento está en relación con un ángulo, y el término
desplazamiento también puede usarse para referirse a la traslación; considera el movimiento
como dos traslaciones (pregunta II)), lo que permite discutir la diferencia entre las
transformaciones geométricas isométricas -además de los nombres-, como los procedimientos
(algoritmos) involucrados y el resultado obtenido (imagen). En d) no se identifica que se realizó
un movimiento para obtener la carta completa de una de sus mitades, lo que permite traer a la
discusión la dificultad relacionada con visualizar la rotación ya realizada y la falta de
comprensión de que las transformaciones geométricas isométricas están asociadas a la idea de
un movimiento rígido que mantiene distancias y amplitud de ángulos, lo que implica que la
figura original y la imagen por transformación son congruentes.
Se incluyó la producción de Camila para la pregunta c), ya que se asocia a una
comprensión de la rotación como una revolución, pero no especifica la amplitud ni la dirección
del ángulo de rotación, que son dos elementos fundamentales para la comprensión de la
rotación. También permite una discusión asociada a los procedimientos para realizar la rotación
y la posibilidad de su generalización, configurando así la existencia de un algoritmo. En la
pregunta d), la producción permite discutir la dificultad y el problema de identificar el centro
de rotación como el único punto que permanece fijo al realizar la rotación – en ambas
situaciones pertenece a la figura – pero es esencial discutir cómo identificar el centro de rotación
determinando las mediadoras entre los puntos de la figura original y sus contrapartes en la
imagen.
Pidiéndoles a los maestros que proporcionen un feedback constructiva (pregunta b)), se
pretende situar al docente en el contexto de una práctica interpretativa, animándole a proponer
un feedback constructivas (Di Martino et al., 2017; Mellone et al., 2020), yendo más allá de
8
Por ejemplo, en Jakobsen, Ribeiro y Mellone (2014) se presentan y discuten algunas producciones inesperadas
(que no forman parte del espacio habitual de solución de los docentes) en el contexto de los racionales.
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una perspectiva meramente evaluativa (véase, por ejemplo, Ribeiro, 2024). Esto requiere que
el profesor "escuche" efectivamente el pensamiento matemático de los alumnos, que va mucho
más allá de una lectura directa y descripción de lo grabado (copia) o de una "escucha sensorial",
y requiere una escucha que, de hecho, considere como punto de partida qué y cómo los alumnos
se revelan a conocer y, a partir de esta escucha activa, Proponer pautas claras y objetivas que
ayuden a los estudiantes a desarrollar su comprensión matemática.
Algunos comentarios finales
Para innovar, es necesario pensar y hacer de manera diferente a lo que se ha hecho hasta
ahora, y este hacer diferente de manera innovadora indica otras posibilidades y caminos que no
se habían previsto hasta entonces, pero que son posibles e impactantes para los contextos y
objetivos asociados. En nuestro contexto, estas formas y enfoques innovadores ya revelan
resultados en investigaciones específicas previas que buscan identificar lo que sucede en un
momento dado, tomando fotos de lo que sucede en cada momento (véase, por ejemplo, Couto
y Ribeiro, 2019; Ribeiro, Jakobsen y Mellone 2022), que indican un conjunto de posibilidades
para "mirar cada marco" y comprender qué conduce al desarrollo del conocimiento y permitir
que estos motivos y enfoques se generalicen a otros temas y tópicos.
Las formas de entender el conocimiento del profesor específicamente relacionadas con
su práctica profesional y que permiten a los estudiantes comprender las matemáticas y
desarrollar sus formas de pensar matemáticamente (incluidas aquí en (i) innovaciones teóricas)
es algo que rompe con un conjunto de prácticas de investigación y formación que asumen
primordialmente el conocimiento del profesor en el ámbito de las generalidades (Shulman,
1987; Ribeiro, 2018) y focalizar la formación en cuestiones de conocimientos pedagógicos
generales sin la necesaria discusión de conocimientos matemáticos específicamente
relacionados con la práctica profesional del docente (Fiorentini; Crecci, 2017) que permitirá
cambiar el enfoque y los objetivos de esta práctica a objetivos de mediano y largo plazo.
Por otro lado, los recursos han sido foco de atención en varias investigaciones (y
formación) en Educación Matemática (Grando, 2015), pero también allí el foco ha estado a
menudo en el recurso en sí mismo y no en las discusiones matemáticas que cada uno de estos
recursos potencia o imposibilita y sus impactos en las discusiones y el aprendizaje matemático
de los estudiantes. Al considerar las propias Tareas Formativas, que se conceptualizan en
función de las mayores dificultades matemáticas de los estudiantes, y centrándose en las
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especificidades del conocimiento del profesor como recurso para la formación y la propia
investigación, esperamos que los resultados se dirijan al aprendizaje matemático y al desarrollo
del conocimiento especializado del profesor. El TpF que se presentó ilustró esta perspectiva de
(ii) innovación de recursos para la formación y recolección de información. Innovación de
recursos para la formación porque, aunque se considera una tarea para los estudiantes, el
objetivo de la formación no es "cómo implementarla con los estudiantes en el aula", sino que
la discusión prioriza el desarrollo de conocimientos matemáticos especializados que permitan
discusiones matemáticas de un nivel superior a las que se producirían si estos conocimientos
matemáticos se limitaran al "saber hacer". La multiplicidad de formas y posibilidades de cómo
implementar la tarea con los estudiantes (conocimientos pedagógicos especializados) es algo
que se aborda de manera transversal y asumiendo una perspectiva de que este conocimiento
pedagógico especializado "no se enseña, se vive", así como no se enseña a pensar, sino que se
promueven formas de desarrollar este pensamiento.
Asociados a las discusiones sobre la vivencia del conocimiento pedagógico se
encuentran enfoques de recolección de información que buscan contribuir, de manera
entrelazada, al desarrollo del conocimiento especializado de manera sostenida – asociado al
tercer tipo de innovación (iii) el enfoque metodológico para la implementación de las Tareas
para la Formación y la conceptualización de las Tareas Formativas – correspondientes a los
enfoques metodológicos ICI y Pg-G-Pg. Debido a la etapa en la que se encuentra la
investigación asociada a las Transformaciones Geométricas Isométricas y la simetría (
9
ejemplo
de la TpF presentada), no traemos ejemplos del impacto de estos enfoques metodológicos en la
riqueza de la información recolectada para acceder y discutir las especificidades del
Conocimiento Interpretativo y Especializado, pero dejamos abiertas algunas preguntas que
pueden ser el foco de investigación que nos ayude a avanzar en el conocimiento que tenemos
sobre el tema y el conocimiento y la práctica Matemáticas del profesor.
Así, algunas cuestiones emergentes que pueden abrir una agenda de investigación con
este enfoque especializado en conocimientos, tareas y enfoques metodológicos son:
(i) ¿Qué conocimientos interpretativos revelan los docentes al interpretar y atribuir
significado a las producciones de los estudiantes?
9
Esta investigación ha entrado ahora en la fase de recogida de información en un contexto formativo diseñado
asociado a estos tres tipos de innovación, por lo que pronto tendremos resultados sobre la aplicabilidad e impacto
de las tres dimensiones para la investigación y la formación.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
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(ii) ¿Qué niveles de Conocimiento Interpretativo podemos identificar a lo largo de
una capacitación y cómo cambian estos niveles a lo largo del año en relación con las Tareas de
Capacitación y las discusiones desarrolladas?
(iii) ¿Cuáles son las características de las Tareas Formativas que maximizan el
desarrollo de las especificidades de los conocimientos del docente?
AGRADECIMIENTOS: El presente trabajo forma parte del proyecto de investigación
financiado por el CNPq "Desarrollo del Conocimiento Interpretativo y Especializado del
profesor y sus relaciones con las Tareas de Formación en el ámbito de la Medición y el
Pensamiento Algebraico, Geométrico y Estadístico" (404959/2021-0).
REFERENCIAS
ALMEIDA, M.; RIBEIRO, M.; FIORENTINI, D. Mathematical Specialized Knowledge of a
Mathematics Teacher Educator for Teaching Divisibility. PNA Revista de Investigación en
Didáctica de la Matemática, v. 15, p. 187-210, 2021. Disponible en:
https://revistaseug.ugr.es/index.php/pna/article/view/15778. Acceso en: 10 agosto 2023.
BAIRRAL, M. A.; SILVA, M. A. Instrumentação do Ensino da Geometria. 2. ed. Rio de
Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
BALL, D.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: What Makes It
Special? Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, p. 389-407, 2008. Disponible en:
https://www.researchgate.net/publication/255647628_Content_Knowledge_for_Teaching_W
hat_Makes_It_Special. Acceso en: 10 agosto 2024.
BAUMERT, J.; KUNTER, M.; BLUM, W.; BRUNNER, M; VOSS, T.; JORDAN, A.;
KLUSMANN, U.; KRAUSS, S.; NEUBRAND, M.; TSAI, Y. Teachers’ Mathematical
Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American
Educational Research Journal, v. 47, n. 1, p. 133-180, 2010. Disponible en:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/0002831209345157. Acceso en: 12 agosto
2024.
BIZA, I.; KAYALI, L.; MOUSTAPHA-CORRÊA, B.; NARDI, E.; THOMA, A. Afinando o
Foco em Matemática: Desenho, Implementação e Avaliação de Atividades MathTASK para a
Formação de Professores de Matemática. Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n.
35, p. 1-41, 3 agosto 2021. Disponible en:
https://periodicos.ufms.br/index.php/pedmat/article/view/13407. Acceso en: 10 agosto 2024.
BLACK, P.; WILIAM, D. Assessment and Classroom Learning. Assessment in Education:
Principles, Policy & Practice, v. 5, n. 1, p. 7-74, 1998. Disponible en:
https://www.gla.ac.uk/t4/learningandteaching/files/PGCTHE/BlackandWiliam1998.pdf.
Acceso en: 17 agosto 2023.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 25
BORASI, R. Exploring Mathematics through the Analysis of Errors. For the Learning of
Mathematics, v. 7, n. 3, p. 2-8, 1987. Disponible en:
https://www.semanticscholar.org/paper/Exploring-Mathematics-through-the-Analysis-of-
Borasi/ecbdbeff03db2c2b54b735133a399d88cad3cbeb. Acceso en: 10 agosto 2023.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Brasília, DF: Ministério
da Educação, 2018.
BREDA, A.; SERRAZINA, L.; MENEZES, L.; SOUSA, H.; OLIVEIRA, P. Geometria e
Medida no Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação, Direcção Geral de Inovação e
Desenvolvimento Curricular, 2011.
CAMACHO, A. M. R.; GUERRERO, L. S. Conocimiento especializado del profesor de
primaria en formación: un estudio de caso de la enseñanza de la noción de razón. Quadrante,
v. 28, n. 2, p. 100-124, 2019. Disponible en: https://quadrante.apm.pt/article/view/23029.
Acceso en: 10 agosto 2023.
CARRILLO, J.; CLIMENT, N.; MONTES, M.; CONTRERAS, L.C.; FLORES-MEDRANO,
E; ESCUDERO-ÁVILA, D.; VASCO, D.; ROJAS, N.; FLORES, P.; AGUILAR-
GONZÁLEZ, A.; RIBEIRO, M.; MUÑOZ -CATALÃN, M.C. The mathematics teacher’s
specialised knowledge (MTSK) model, Research in Mathematics Education, v. 20. n. 3, p.
236-253, 2018.
CLEMENTS, D. H.; SARAMA, J. Learning and Teaching Early Math: the learning
trajectory approach. 3. ed. London: Routledge, 2020.
COUTO, S.; RIBEIRO, M. Conhecimento especializado de futuros professores da educação
infantil e dos anos iniciais quanto às dificuldades de aprendizagem de alunos cegos e videntes
sobre paralelismo. ACTIO: Docência em Ciências, v. 4, n. 3, p. 701-721, 2019. Disponible
en: https://periodicos.utfpr.edu.br/actio/article/view/10544/7383. Acceso en: 10 agosto 2023.
DAVIS, B.; SIMMT, E. Mathematics-for-teaching: An ongoing investigation of the
mathematics that teachers (need to) know. Educational studies in mathematics, v. 61, p.
293-319, 2006. Disponível em: https://link.springer.com/article/10.1007/s10649-006-2372-4.
Acesso em: 10 agosto 2023.
DI MARTINO, P.; MELLONE, M; MINICHINI, C.; RIBEIRO, M. Prospective teachers'
interpretative knowledge: giving sense to subtraction algorithms. In: Proceedings of Third
ERME Topic Conference on Mathematics Teacher Education. p. 66-75. 2017.
DI MARTINO, P.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. Interpretative Knowledge. In: LERMAN,
S. (ed.). Encyclopedia of Mathematics Education. Cham: Springer International Publishing,
p. 424-428, 2020.
DUVAL, R. Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? Recherches en
didactique des mathématiques (Revue), v. 16, n. 3, p. 349-382, 1996. Disponible en:
https://revue-rdm.com/1996/quel-cognitif-retenir-en/. Acceso en: 10 agosto 2023.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 26
FERREIRA, J.L.; BEHRENS, M. A.; TEIXEIRA, A. M. Formação de professores para atuar
no ensino superior, tecnológico e técnico. Revista Ibero-Americana de Estudos em
Educação, Araraquara, v. 14, n. 1, p.123-137, jan./mar., 2019. Disponible en:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/11132. Acceso en: 10 agosto
2023.
FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Pressupostos psicológicos e didáticos para a
resolução de problemas matemáticos. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação,
Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2648-2662, out./dez. 2021. Disponible en:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/13612. Acceso en: 10 agosto
2023.
FIORENTINI, D.; CRECCI, V. Metassíntese de pesquisas sobre conhecimentos/saberes na
formação continuada de professores que ensinam matemática. Zetetiké, v. 25, p. 164-185,
2017. Disponible en:
https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike/article/view/8647773. Acceso en: 10
agosto 2023.
FLORES-MEDRANO, E. Conocimiento de la practica matematica (KPM). In: CARRILLO,
J.; CONTRERAS, L.C.; MONTES, M. (eds.). Reflexionando sobre el conocimiento del
profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Huelva. SGSE: Huelva, 2016.
GALLEGUILLOS, J.; RIBEIRO, M. Prospective mathematics teachers’ interpretative
knowledge: focus on the provided feedback. In: Eleventh Congress of the European Society
for Research in Mathematics Education. Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME,
p. 1-8, 2019.
GASPAR, J. M. P.; CABRITA, I. GeoGebra e ferramentas tradicionais – Uma conjugação
favorável à apropriação das isometrias. Atas do XXV Seminário de Investigação em
Educação Matemática. Braga: APM., 169-190. 2014.
GOMES, A. Transformações geométricas: conhecimentos e dificuldades de futuros
professores. In: Atas do XXIII Seminário de Investigação em Educação Matemática.
Lisboa: APM p. 233-243, 2012.
GRANDO, R. C. Recursos Didáticos na Educação Matemática: Jogos e Materiais
Manipulativos. Revista Eletrônica Debates em Educação Científica e Tecnológica, v. 5, n.
02, p. 393-416, 2015. Disponible en: https://ojs.ifes.edu.br/index.php/dect/article/view/117.
Acceso en: 10 agosto 2023.
GROSSMAN, P. Learning to practice: The design of clinical experience in teacher
preparation. Policy Brief, p. 1-8, 2010.
HATTIE, J.; TIMPERLEY, H. The Power of Feedback. Review of Educational Research, v.
77, n. 1, p. 81-112, 2007. Disponible en:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/003465430298487. Acceso en: 10 agosto 2023.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 27
JAKOBSEN, A.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. A methodological approach to the
development of prospective teachers’ interpretative knowledge. In: CERME12. Italy: Bozen-
Bolzano, 2022.
JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; MELLONE, M. Norwegian prospective teachers’ MKT
when interpreting pupils’ productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics
Education, v. 19, p. 135-150, 2014. Disponible en:
https://www.researchgate.net/publication/307558474_Norwegian_prospective_teachers'_MK
T_when_interpreting_pupils'_productions_on_a_fraction_task. Acceso en: 10 agosto 2023.
JONES, K. Re-imagining geometry education in schools. In: SILLER, H.; WEIGEL, W.;
WÖRLER, J. F. (org.). Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 auf der 54
Jahrestagung der Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik (GDM): WTM-Verlag. [S.
l.: s. n.], 2020. p. 31-38.
KIEREN, T. E. On the mathematical, cognitive and instructional. In: Number and
measurement: papers from a research workshop. Columbus, OH: ERIC/SMEAC, p. 101-
144, 1976.
KÜCHEMANN, D. Reflections and rotations. In: HART, K. (ed.). Childrens understanding
of mathematics. London: John Murray, 1981.
LIMA, E. L. Coordenadas no plano: geometria analítica, vetores e transformações
geométricas. 2 ed. Rio de Janeiro: GRAFTEX Comunicação Visual, 1992.
LIMA, E. L. Isometrias. SBM, 1996.
LIÑAN, M. M.; CONTRERAS, L. C.; BARRERA, V. Conocimiento de los Temas (KoT). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. p. 12-20.
LOPES, Q. V; TIROLI, L. G.; SANTOS, A. R. J.; FAVINHA, M. E. S. A praxis enquanto
categoria fundante na constituição da formação de professores sob a perspectiva da pedagogia
histórico-crítica. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 17, n.
esp. 1, p. 967-980, mar. 2022.
MA, L. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of
Fundamental Mathematics in China and the United States (Studies in Mathematical Thinking
and Learning Series). 1999.
MARIOTTI, M. A.; FISCHBEIN, E. Defining in Classroom Activities. Educational Studies
in Mathematics, v. 34, n. 3, p. 219-248, 1997.
MARTÍN, M. I. P.; RODRÍGUEZ, N. C.; VALCARCE, M.C; DÍAZ, J. P. M.; GONZÁLEZ,
L. C. C. Tareas en la formación inicial de maestros para la construcción de conocimiento
especializado para la enseñanza de las matemáticas. Revista Interuniversitaria de
Formación del Profesorado. Continuación de la antigua Revista de Escuelas Normales,
v. 98, n. 37.2, 2023.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 28
MASON, J.; JOHNSTON-WILDER, S. Designing and using mathematical tasks. St
Albans: Tarquin, 2006.
MELLONE, M.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; PARLATI, A. Ethical dimension in the use
of interpretative tasks in mathematics teacher education: division of fractions. In: CERME
13. Budapest, Hungary, 2023.
MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A.; CAROTENUTO, G.; ROMANO, P.;
PACELLI, T. Mathematics teachers’ interpretative knowledge of students’ errors and non-
standard reasoning. Research in Mathematics Education, v. 22, n. 2, p. 154-167, 2020.
MELLONE, M.; TORTORA, R.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M. Prospective teachers
interpret student responses: Between assessment, educational design and research. In:
CERME 10. Dublin, Ireland, 2017.
MITCHELL, R. N.; MARIN, K. A. Examining the use of a structured analysis framework to
support prospective teacher noticing. Journal of Mathematics Teacher Education, v. 18, p.
551-575, 2015.
MONTES, M.A; CLIMENT, N. Conocimiento de la estructura matematica (KSM). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. P. 21-29.
MOYER, J. C. The relationship between the mathematical structure of Euclidean
transformations and the spontaneously developed cognitive structures of young children.
Journal for Research in Mathematics Education, v. 9, n. 2, p. 83-93, 1978.
NYE, B.; KONSTANTOPOULOS, S.; HEDGES, L. V. How large are teacher effects?
Educational Evaluation and Policy Analysis, v. 26, n. 3, p. 237-257, 2004.
PACELLI, T.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A. Collective discussions for the
development of interpretative knowledge in mathematics teacher education. In: BORKO, H;
PORTARI, D (ed.). Proceedings of The Twenty-Fifth ICMI Study, Teachers of
Mathematics Working and Learning in Collaborative Groups. Lisbon: University of
Lisbon, 2020. p. 388-395.
PAQUES, O. T. W., OLIVEIRA, S. R. Oferenda musical de Bach. Série Matemática na
Escola. Guia do professor, versão para tela, p. 9. 2012. Disponible en
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143. Acceso en: 10 dic. 2023.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975.
PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (ed.). O professor e o
desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. p. 11-34.
RADFORD, L. Mathematics teaching and learning as an ethical event. La matematica e la
sua didattica, v. 29, n. 2, p. 185-198, 2021.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 29
RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. da. Um modelo teórico para organizar e compreender as
oportunidades de aprendizagem de professores para ensinar matemática. Zetetike, Campinas,
SP, v. 28, p. e020027, 2020.
RIBEIRO, C. M. Del cero hasta más allá del infinito – algunas perspectivas desde el
comienzo de la tesis doctoral hasta el futuro “también” a largo plazo. In: BERCIANO, A;
GUTIÉRREZ, G; ESTEPA, A; CLIMENT, N (ed.). Investigación en Educación
Matemática XVII. Bilbao: SEIEM, 2013. p. 71-85.
RIBEIRO, M. Conhecimento interpretativo de futuros professores da Educação Infantil e dos
Anos Iniciais ao atribuírem significado a produções de alunos no contexto de abordagens
alternativas ao algoritmo típico da subtração. Debates em Educação, v. 16, n. 38, e16020,
2024.
RIBEIRO, M. Das generalidades às especificidades do conhecimento do professor que ensina
Matemática: metodologias na conceitualização (entender e desenvolver) do conhecimento
interpretativo. In: Abordagens teóricas e metodológicas nas pesquisas em educação
matemática. Biblioteca do Educador. Brasil: SBEM, 2018. v. 13, p. 167-185.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A. Atribuir significado aos sentidos e ao algoritmo da
multiplicação para a melhoria da qualidade das aprendizagens matemáticas. Coleção
CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2022. v. 6.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A.; MELLONE, M. Conceitualizando Tarefas Formativas para
Desenvolver as Especificidades do Conhecimento Interpretativo e Especializado do Professor.
Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n. 35, p. 1-32, 2021.
RIBEIRO, M.; ALVES, C.; GIBIM, G. Entendendo as propriedades da multiplicação e a
estrutura matemtica associada tabuada como contexto para desenvolver o
Pensamento Algbrico. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2023. v. 11.
RIBEIRO, M.; CARRILLO, J.; MONTEIRO, R. Cognições e tipo de comunicação do
professor de matemática. Exemplificação de um modelo de análise num episódio dividido.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 15, p. 277-310,
2012.
RIBEIRO, M.; JAKOBSEN, A.; MELLONE, M. El Conocimiento Interpretativo en el
contexto de la medición In: Investigación sobre conocimiento especializado del profesor
de matemáticas (mtsk): 10 años de camino. 1. ed. Madrid: Editorial DYKINSON, S.L.,
2022. v. 1, p. 277-290.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Characterizing prospective teachers’
knowledge in/for interpreting students’ solutions. In: CONFERENCE OF THE
INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS
EDUCATION, 37., 2013. Proceedings […]. Kiel: PME, 2013. p. 89-96.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Interpreting students’ non
standardreasoning: insights for mathematics teacher education practices. For the Learning of
Mathematics, Fredericton, n. 36, v. 2, p.8-13, 2016.
Especificidades de los conocimientos interpretativos y las tareas formativas del docente como elementos para prácticas creativas y
matemáticamente innovadoras
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 30
RIBEIRO, M., TORREZAN, E. Conhecimento e prática matemática do professor para
entender a medida de uma distância. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas:
Cognoscere, 2022. v. 9.
ROWLAND, T; TURNER, F; THWAITES, A; HUCKSTEP, P. Developing primary
mathematics teaching: Reflecting on practice with the knowledge quartet. London: SAGE,
2009.
SANTOS, L.; PINTO, L. Lights and shadows of feedback in mathematics learning. In:
CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FPR THE PSYCHOLOGY OF
MATHEMATICS EDUCATION, 33., 2009, Thessaloníki. Proceedings […]. Thessaloníki,
Greece: PME, 2009. p. 49-56.
SCHOENFELD, A. H. Models of the Teaching Process. Journal of Mathematical Behavior,
v. 18, n. 3, p. 243-261, 2000.
SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard
educational review, v. 57, n. 1, p. 1-23, 1987.
SHULMAN, L. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational
Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.
SILVA, C.; RIBEIRO, M. Discutindo uma Tarefa para a Formação como recurso para
desenvolver o Conhecimento Interpretativo do professor no âmbito da rotação. In:
SEMINÁRIO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 33., Barcelos. Atas
do [...]. Barcelos: APM., 2023.
SMITH, M. S. Practice-based professional development for teachers of mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics, 2001.
STEIN, M. K.; SMITH, M. S.; HENNINGSEN, M.; SILVER, E. A. Implementing
standards-based mathematics instruction: a Casebook for Professional Development. New
York: Teachers College Press, 2000.
WASSERMAN, N. H.; FUKAWA-CONNELLY, T.; WEBER, K.; MEJA, J. P.; ABBOTT,
S. Understanding analysis and its connections to Secondary mathematics Teaching. [S.
l.]: Springer Nature, 2022.
WATSON, A.; SULLIVAN, P. Teachers learning about tasks and lessons. In: TIROSH, D;
WOOD, T (ed.). Tools and processes in mathematics teacher education. Rotterdam: Sense
Publishers, 2008. p. 109-135.
ZASLAVSKY, O.; LEIKIN, R. Professional development of mathematics teacher educators:
Growth through practice. Journal of mathematics teacher education, v. 7, p. 5-32, 2004.
ZAZKIS, R.; LEIKIN, R. Exemplifying definitions: a case of a square. Educational Studies
in Mathematics, v. 69, p. 131-148, 2008.
Miguel RIBEIRO y Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 31
Reconocimientos: El presente trabajo forma parte del proyecto de investigación financiado
por el CNPq "Desarrollo del Conocimiento Interpretativo y Especializado del docente y sus
relaciones con las Tareas de Capacitación en el ámbito de la Medición, y el Pensamiento
Algebraico, Geométrico y Estadístico" (404959/2021-0).
Financiación: CNPQ: (número de proyecto 404959/2021-0).
Conflictos de intereses: No aplicable.
Aprobación ética: Esta investigación fue aprobada por el Comité de Ética en Investigación
del CAAE: 60427622.6.0000.8142.
Disponibilidad de datos y material: No aplicable.
Contribuciones de los autores: Los autores también contribuyeron a la preparación del
artículo.
Procesamiento y edición: Editora Iberoamericana de Educación - EIAE.
Corrección, formateo, normalización y traducción.
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 1
SPECIFICITIES OF TEACHER'S INTERPRETATIVE KNOWLEDGE AND TASKS
FOR TEACHER EDUCATION AS ELEMENTS FOR CREATIVE AND
INNOVATIVE MATHEMATICAL PRACTICES
ESPECIFICIDADES DO CONHECIMENTO INTERPRETATIVO DO PROFESSOR E
DAS TAREFAS PARA A FORMAÇÃO COMO ELEMENTOS PARA PRÁTICAS
CRIATIVAS E MATEMATICAMENTE INOVADORAS
ESPECIFICIDADES DE LOS CONOCIMIENTOS INTERPRETATIVOS Y LAS
TAREAS FORMATIVAS DEL DOCENTE COMO ELEMENTOS PARA PRÁCTICAS
CREATIVAS Y MATEMÁTICAMENTE INNOVADORAS
Miguel RIBEIRO1
e-mail: cmribas78@gmail.com
Caroline SILVA2
e-mail: caroldesouza86@gmail.com
How to reference this article:
RIBEIRO, M.; SILVA, C. Specificities of teacher's interpretative
knowledge and tasks for teacher education as elements for creative
and innovative mathematical practices. Revista Ibero-Americana
de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073,
2024. e-ISSN: 1982-5587. DOI:
https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553
| Submitted: 06/10/2023
| Revisions required: 24/01/2024
| Approved: 11/03/2024
| Published: 20/07/2024
Editor:
Prof. Dr. José Luís Bizelli
Deputy Executive Editor:
Prof. Dr. José Anderson Santos Cruz
1
State University of Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brazil. Professor. PhD in Research in Enseñanza
y el Aprendizaje de las Ciencias Experimental (UHU/Spain).
2
State University of Campinas (UNICAMP), Campinas – SP – Brazil. PhD student of the Multiunit Postgraduate
Program in Science and Mathematics Teaching (PECIM/UNICAMP).
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 2
ABSTRACT: In the context of teacher education focusing on the specificities of teachers’
specialized knowledge, it’s evident the need for innovative and scientifically supported proposals
for research with replicable approaches focusing on the foundational dimensions to improve the
quality of discussions and students’ mathematical learning. Considering the specificities of teacher's
practices that enable students to understand, in order to be able to assume has a starting point the
students’ knowledge, a specialized knowledge that allows listening to students' mathematical
thinking is required – called Interpretive Knowledge. This specialized knowledge is not developed
during practice, requiring teacher education contexts with such a purpose. In this paper, we discuss
innovation associated with theoretical and methodological research approaches, the
conceptualization of Tasks for Teacher Education (within the scope of Isometric Geometric
Transformations) and the methodological approach associated with its implementation in contexts
intertwining teacher education and research.
KEYWORDS: Interpretive Knowledge. Tasks for Teacher Education. Isometric Geometric
Transformations.
RESUMO: No contexto da formação de professores com foco nas especificidades do conhecimento
especializado do professor, é evidente a necessidade de uma formação inovadora e,
cientificamente, sustentada para desenvolver pesquisas com abordagens replicáveis que foquem as
dimensões fundamentais para melhorar a qualidade das discussões e das aprendizagens
matemáticas dos alunos. Considerando as especificidades da prática profissional do professor que
possibilitam o entendimento dos alunos, a partir do conhecimento que possuem, é requerido um
conhecimento especializado que permita escutar o Pensar matemático dos alunos – denominado
Conhecimento Interpretativo – e esse conhecimento não se desenvolve na prática de sala de aula,
requerendo contextos formativos com esse fito. Neste artigo, discutimos inovação associada às
abordagens teóricas e metodológicas de pesquisa, à conceitualização das Tarefas para a
Formação especializada (no âmbito das Transformações Geométricas Isométricas) e à abordagem
metodológica associada à sua implementação em contextos imbricando formação e pesquisa.
PALAVRAS-CHAVE: Conhecimento Interpretativo. Tarefas para a Formação. Transformações
Geométricas Isométricas.
RESUMEN: En el contexto de la formación docente con un enfoque en las especificidades del
conocimiento especializado del docente, se evidencia la necesidad de una formación innovadora y
científicamente sustentada para desarrollar investigaciones con enfoques replicables que se
centren en las dimensiones fundamentales para mejorar la calidad de las discusiones y el
aprendizaje matemático de los estudiantes. Considerando las especificidades de la práctica
profesional docente que posibilitan la comprensión de los estudiantes, a partir de los conocimientos
que poseen, se requiere un conocimiento especializado que permita escuchar el pensamiento
matemático de los estudiantes – llamado Conocimiento Interpretativo – y este conocimiento no se
desarrolla en la práctica del aula, requiriendo contextos formativos con este propósito. En este
artículo, discutimos la innovación asociada a los enfoques teóricos y metodológicos de la
investigación, la conceptualización de las Tareas para la Formación Especializada (en el ámbito
de las Transformaciones Geométricas Isométricas) y el enfoque metodológico asociado a su
implementación en contextos que entrelazan la formación y la investigación.
PALABRAS CLAVE: Conocimientos interpretativos. Tareas para la formación.
Transformaciones geométricas isométricas.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 3
Introduction
Thinking and carrying out innovation – in terms of results or processes – must be
associated with doing something that has not yet been done, doing it differently than usual, or
both. In the context of Mathematics Education that seeks to improve student results in
mathematics, innovation cannot be understood as changing pedagogical approaches and
continuing in the same space of mathematical discussion, but demands considering changing
ways of thinking and developing mathematical knowledge of students as a priority. This
innovation requires specialized and mathematically innovative professional practice.
The mathematics teacher's practice is based on tasks, preparing them and implementing
them with students (Mason; Johnston-Wilder, 2006). Each type of task (Ponte, 2005), however,
is associated with different objectives and a specific way of understanding the role of the teacher
and students (Stein et al., 2000; Watson; Sullivan, 2008). Among the diversity of types and
forms of tasks – introduction, consolidation, review, evaluation, involving exercises, problem
solving, problem formulation, or investigations – our prioritization for thinking and carrying
out innovation is directed towards tasks introduction of topics - as these are the moments in
which the teacher mobilizes his knowledge in a more accessible way (Ribeiro, 2013; Ribeiro;
Carrillo; Monteiro, 2012; Shoenfeld, 2000) - and associated with the resolution and formulation
of problems (or investigations) because they are the contexts that lead students to have to think
mathematically in a way they have never done before, or they would not be real problems.
It is also considered a parallelism between the teacher's practice with students and the
trainer's formative practice, both in methodological terms of enabling the teacher to experience
what is expected to be able, subsequently, to provide to their students (we assume that
pedagogical knowledge it is not taught, it is experienced) as in mathematical terms, as the
teacher has to start to understand mathematics and think mathematically so that it is possible,
later, to propose tasks and carry out discussions that allow students to develop their ways of
thinking mathematically, and this requires doing something different from what has been done,
or this focus on training would not be necessary. To develop specialized training for specialized
teachers, we consider the so-called Training Tasks – TpF (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021)
as a specializing and specialized pedagogical resource, taking into account the way in which
we assume our role as teachers, the role of students and the role of trainers. Each TpF is
accompanied by a set of other three documents (which, together, constitute the Formative
Tasks) that sustain and support specialized training that pursues the objectives of developing
the teacher's specialized knowledge and transforming their mathematical practices into
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
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something pedagogically exciting and mathematically innovative, enabling students to enjoy
learning, as they understand what they do and why they do it, at each moment and with future
connections. This priority focus of training on the teacher's specialized knowledge considers
the fact that this knowledge is, among the controllable factors, the one that most impacts
students' learning and results (Baumert et al., 2010; Grossman, 2010; Nye; Konstantopoulos;
Hedges, 2004).
Among the panoply of ways of considering teacher knowledge – from a perspective that
focuses on generalities (Ribeiro, 2018) to one that conceives specificities, we assume the latter.
In this sense, we seek to break with several of the assumptions established and implemented
today in teacher training - generalities, such as that it is enough to have been a student in the
educational stage to teach and replicate the experience to teach (absence of any discussion in
training) information about the topics that will need to be taught); that it is enough to know how
to do it (training of future teachers and future ordinary mathematicians) and with an
instrumental character (Lopes et al., 2022); that, to improve results, it is enough to change the
methodologies to the more “attractive” ones (training focusing on “fashionable” methodologies
without mathematical discussion) – and we assume the teacher’s knowledge as specialized from
the perspective of the theoretical conceptualizations of Mathematics Teacher's Specialized
Knowledge
3
– MTSK (Carrillo et al., 2018) and Interpretive Knowledge – CI (Di Martino;
Mellone; Ribeiro, 2020; Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014; Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013).
We assume, in an associated way, a perspective of innovation also in methodological
terms of implementing TpF in training and research contexts, assumed in an overlapping
manner. The Individual-Collective-Individual – ICI (Pacelli et al., 2020) or Small group-
Collective-Small group – Pg - C-Pg training cycles are considered as methodological
approaches for implementing TpF (Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2022; Mellone et al., 2023), as
a process that allows innovation in terms of results to be achieved through the focus of different
types of individual-collective discussions.
In this text, we carry out a theoretical discussion based on examples of proposals for
research and training, both specialized, not discussing the methodological approach to research
that we developed, but focusing attention here on the dimensions of educational innovation that
are considered. We discuss innovation in three dimensions: (i) theoretical (ways of
understanding teacher knowledge); (ii) resources for collecting information (Training Tasks)
3
We chose to use the nomenclature in English because it is already recognized internationally and the translation
may result in a demeaning , which is associated with each of the dimensions of the conceptualization.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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and developing the teacher's specialized knowledge (Training Tasks and Interpretive Tasks);
and (iii) methodological approach to implementing Training Tasks and conceptualizing
Training Tasks to maximize the quality of discussions and the sustainability of the development
of the teacher's specialized knowledge. For this discussion, we bring an example of a Formative
Task and the TpF associated with the rotation isometric transformation. This example serves as
a generator of discussion and promoter of understanding, as experience shows that any
innovation requires breaking with the chains that restrict us (Ribeiro, 2013) and doing what has
not yet been done and, by presenting concrete examples that allow us to sustain The discussions
are expected to lead the reader, starting from this specification, to reach a generalization of the
ideas presented.
Some theoretical discussions
Students have difficulties in several mathematical topics (Clements; Sarama, 2020;
Kieren, 1976; Ma, 1999) and, more generally, difficulties in Thinking and Thinking
mathematically. Among the themes in which they reveal the greatest difficulties is Geometry
and, within this, isometric geometric transformations assume a prominent place, not only
because of the difficulties (see for example, Bairral; Silva, 2010; Gaspar; Cabrita, 2014;
Küchemann, 1981), but through the connections that can (and should) be established with other
mathematical and extra-mathematical themes and topics, in order to enhance the development
of this Thinking mathematically in terms of understanding the mathematical structure and the
elements that support demonstration and generalization.
Rotation is one of the three isometric geometric transformations (the others are
reflection and translation) and because it is isometric it preserves distances (Lima, 1992) and
range of angles, which leads to congruence between the original figure and the transformed
image. Among the isometric transformations, it is considered the most difficult for students to
understand (Gomes, 2012; Moyer, 1978), especially when the center of rotation is external to
the figure (Gaspar; Cabrita, 2014; Küchemann, 1981); however, its understanding is essential
for the development of Geometric Thinking, including intuitive imagination (Jones, 2020),
visual perception and spatial reasoning (Gomes, 2012), which helps students interpret the world
around them.
When we think about the ways in which students learn, we understand that this learning
occurs associated with tasks for students, which can be understood in different ways, according
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
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to the different types of tasks (Ponte, 2005) – open, closed, problems, investigations. In relation
to problems (and investigations, as broader problems), we can consider a four-step structure for
their resolution (Polya, 1975). It is essential that these types of tasks and steps for problem
solving are discussed in teacher training so that they can become something natural in teacher
practices and, even today, almost 50 years after Polya 's studies, this idea of sustained practice
in problem solving can be understood as an innovation, including in view of students'
difficulties in solving problems in different mathematical topics (Francioli; Silva, 2021).
Considering that the teacher's mathematical practice is based on the implementation and
discussion of mathematical tasks (see, for example, Mason and Johnston-Wilder, 2006; Ribeiro,
Mellone and Jakobsen, 2016) and the need for teachers to have the same type of experiences
that they are expected to provide to their students, it is essential that teacher training takes place
in the same space as practices that are expected to be implemented with students (Ribeiro;
Carrillo; Monteiro, 2012) and, therefore, that is supported by the preparation, implementation
and discussion of tasks that contribute to developing the specificity of the teacher's knowledge
for their professional practice. It is therefore essential that teacher training enables the creation
of bridges that reduce the distance between the mathematics that teachers learned and the
mathematics that they are expected to teach their students (Zaslavsky; Leikin, 2004). These
tasks and associated opportunities need to consider a focus on mathematical processes (Biza et
al., 2015) with the aim of enabling teachers to transform their mathematical knowledge into
pedagogically oriented mathematical practices (Wasserman et al., 2022).
In this sense, a set of innovative approaches is essential that consider a focus on issues
of mathematical management in the classroom, enabling discussions in a formative context to
come closer to an expected authentic teaching and learning scenario, pursuing the objective of
ensuring that they are students' mathematical learning is prioritized and not the mathematical
content itself (Mitchell; Marin, 2015) or general pedagogical issues without any relation to
learning (Ribeiro, 2018). Considering the centrality of tasks in students' mathematical learning,
teacher training must also assume this centrality and consider the specificities of the
“professional practice” of each of those involved (students and teachers) and the specificities
of the teacher's professional knowledge for this practice mathematics to enable students to
understand mathematics.
These specificities of teacher practice have been understood from a perspective that
assumes the centrality of general pedagogical knowledge – without any reference to the
contents covered (see Shulman, 1986, 1987) – and which can be understood as a way of
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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differentiating the “teacher cluster ” of all other “professional clusters”, but staying in these
generalities does little or nothing to help us think about the specificities of mathematics teacher
practice in relation to other teachers from other areas of knowledge (Ribeiro, 2018). In order to
direct attention to these specificities, it is essential to consider what makes the professional
practice of mathematics teachers unique. This uniqueness is associated with their professional
knowledge to teach mathematics and the fact that this knowledge is considered unique and
specific for this professional activity – some of the theoretical perspectives that assume this
idea are, for example, Mathematical Knowledge for Teaching – MKT (Ball; Thames; Phelps,
2008), Knowledge Quartet – KQ (Rowland et al., 2009), Mathematics for Teaching – MfT
(Davis; Simmt, 2006), Mathematics Teacher's Specialized Knowledge – MTSK (Carrillo et al.,
2018) and Interpretive Knowledge – CI ( Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014). In the scope of
this work, we assume the Mathematics conceptualizations Teacher's Specialized Knowledge
and Interpretive Knowledge, which assume that the teacher's knowledge is specialized in the
mathematical and pedagogical domain.
MTSK is a conceptualization of the mathematics teacher's knowledge and allows
(search) to characterize in detail the specificities of the content of this knowledge considering
two domains: Mathematical Knowledge (MK) and Pedagogical Content Knowledge (PCK).
We will discuss here only the content of the MK
4
that is subdivided in three subdomains:
Knowledge of Topics (KoT), Knowledge of the Structure of Mathematics (KSM) and
Knowledge of Practices in Mathematics (KPM). To bring examples of the content of this
knowledge, we chose to focus on rotation, as it is a problematic topic in aspects related to
teaching and learning (see, for example, Gaspar and Cabrita, 2014 or Küchemann, 1981).
KoT corresponds to the teacher's mathematical knowledge regarding the mathematical
topics to be taught, including procedural and conceptual knowledge, as well as propositions,
examples, intraconceptual connections, formulas and algorithms, consequently their
demonstrations and the meanings that are associated with the knowledge of phenomenology of
each topic (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). Four categories of knowledge are considered: (i)
procedures; (ii) definitions, properties and foundations; (iii) representation records; (iv)
phenomenology and applications.
4
For more information on the content of PCK in this conceptualization, see, for example, Ribeiro and Almeida
(2022) and Ribeiro, Alves and Gibim (2023), which also illustrate an innovative perspective in terms of the form
and focus of research dialogue discussion and proposals for teachers.
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
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(i) procedures refer to the set of sequential actions carried out to obtain an answer to a
given problem, which may be through algorithms (conventional or alternative) or using other
strategies. In the context of rotation, for example, it is related to knowing that, to identify the
center of rotation of an already transformed figure, it is necessary to draw the perpendicular
bisector between a point on the original figure and its corresponding point in the image,
repeating this procedure (at least) twice, in order to obtain the point of intersection of the drawn
perpendicular bisectors, which corresponds to the center of rotation.
The (ii) definitions include knowledge about the minimum set of properties of the topic
that allow it to be uniquely identified (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). It involves knowing
that a possible definition of rotation is:
Let O be a point taken in the plane Π and 
a vertex angle O. The angle
rotation around the point O is the function  thus defined:
󰇛󰇜 and, for every point in Π, 󰇛󰇜 is the point in the
plane Π such that
󰇛 󰇜 󰇛󰆒 󰇜
󰆒
and the “direction of rotation” from A to B is the same as from X to X' (Lima,
1996, p. 21-22, our translation).
When considering (ii) properties, the associated teacher's knowledge is assumed to
know the set of all mathematical attributes that are common to the topic. It included knowing
that the composition of two rotations with the same center of rotation is commutative, as well
as the composition of two rotations with different centers is not commutative (Breda et al.,
2011).
The (ii) fundamentals relate to knowledge about the set of mathematical attributes that
“support” the topic and connect concepts (Camacho; Guerrero, 2019). Regarding rotation, it
refers to knowing that its foundations are the original figure, the center and the angle of rotation
(amplitude and direction).
In (iii) representation registers, they include knowing the different ways of representing
a topic, concept, process or procedure (Liñan; Contreras; Barrera, 2016), which can be
arithmetic, concrete, graphic, pictorial registers, involving verbal or symbolic language ( Duval,
1996). It involves knowing that the rotation of a triangle with vertices X, Y and Z with a center
of rotation at O from an angle of 60° in a counterclockwise direction can be represented
algebraically by 󰇟󰇛 󰇜󰇠.
(iv) phenomenology and applications relate to knowing the concepts associated with a
given topic and the different phenomena that involve it, as well as the meaning of each of the
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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possible manifestations and interpretations of these phenomena, according to the different
contexts for teaching it (Liñan; Contreras; Barrera, 2016). As an example of knowledge related
to the phenomenology of rotation, rotation is an isometric geometric transformation in which a
transformation (phenomenon) takes place in the figure.
The KSM subdomain refers to the knowledge of the different connections between
mathematical topics (Carrillo et al., 2018), considering the temporal aspects of mathematical
sequencing: (i) complexification connections and (ii) simplification connections; and the
aspects of each topic: (iii) transversal connections and (iv) auxiliary connections (Montes;
Climent, 2016).
Complexification connections (i) involve knowledge that enables the teacher to make
relationships with other more advanced mathematical topics than is required by the school
context. In the scope of rotation, it refers to knowing the complex connection between rotation
and the trigonometric circle, since, through the rotation of the right triangle in the trigonometric
circle, it is possible to reduce the trigonometric ratios from the 3rd quadrant to the 1st. th
quadrant.
(ii) simplification connections refer to the knowledge that allows the teacher to include
in the discussion a simpler topic or concept than is required by the school context. It involves
knowing the connection between rotation and angle, in which rotating a figure from an angle
of 90° is equivalent to a rotation of
back in the figure.
With regard to (iii) transversal connections, these relate to knowledge of the nature of
some concepts, which emerge when approaching different concepts throughout school
mathematics. As an example of a transversal connection between rotation and symmetry, the
image obtained after the transformation is symmetric, as symmetry is a concept transversal to
isometric geometric transformations.
In relation to (iv) auxiliary connections, they refer to mathematical connections
involving different topics, which are not the focus of the discussion, adding an element to
contribute and support the mathematical discussion. As an example, the auxiliary connection
between rotation and location of points involves knowing that, to perform rotation, it is
necessary to identify the center of rotation, which is a point that can be located in the Cartesian
plane.
KPM refers to knowledge of the practice of producing mathematics, its functioning and
not how to teach it, involving classification and planning, forms of validation and
demonstration, the role of symbols, formal language and necessary and sufficient conditions to
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
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generate definitions (Carrillo et al., 2018). It includes knowledge of the use and functioning of
examples and counterexamples (Flores-Medrano, 2016) and how to demonstrate, justify, make
deductions and inductions (Carrillo et al., 2018). In the context of rotation, it refers to knowing
that a counterexample of rotation is axial reflection, as axial reflection is carried out in relation
to a straight line called the axis of reflection and not according to an angle. Therefore, the
procedures used to perform reflection are different from the procedures used to perform
rotation.
This mathematical knowledge underpins the professional practice of the mathematics
teacher who seeks to enable students to understand what they do and why they do it at each
moment and, from the perspective we assume, this requires considering as a starting point what
and how students know of each of the mathematical topics that they have the right and duty to
know and understand. The specialized mathematical knowledge for this interpretative practice
is called Interpretive Knowledge – CI (Ribeiro; Mellone; Jakobsen, 2013; Di Martino; Mellone;
Ribeiro, 2020; Mellone et al., 2020).
The importance of assuming as a starting point what and how students know as the
premise of IC is essential for an effective ethical discussion in the classroom (Mellone et al.,
2023), which is one of the challenges in the field of Mathematics Education (Radford, 2021),
and involves ensuring that mathematical discussions are associated with opportunities for
inclusion, commitment and respect, from the same perspective of community ethics (Radford,
2021), for a teaching approach aimed at understanding mathematics.
According to the Springer Nature Encyclopedia, Interpretive Knowledge:
It refers to broad and deep mathematical knowledge that allows teachers to
support students in developing their own mathematical knowledge, taking
their own reasoning and productions as a starting point, regardless of whether
they are non-standard or incorrect. CI complements students' knowledge of
typical errors or strategies, with knowledge of possible origins of typical and
atypical errors and knowledge of the use of errors as an effective source of
learning (Di Martino; Mellone; Ribeiro, 2020, p. 426, our translation).
CI allows the teacher to understand the mathematics that supports the students'
reasoning and ways of thinking present in their productions, in order to explore errors,
understood as learning opportunities (Borasi, 1987) and provide guidance based on the meaning
attributed. In this Knowledge that supports interpretative mathematical practice, two central
notions are considered: solution space and feedback.
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The solution space refers to the set of multiple forms and representations that each
individual conceives when asked to solve a problem – even if this problem has a single solution
(Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2014). It is essential that the teacher knows different ways of
proceeding to solve a problem so that, when faced with a student's production that is different
from his own, he does not have difficulties in interpreting it and does not consider it as incorrect
just because it is different from his own - it is necessary, we therefore, have a solution space
with a multiplicity of elements.
After understanding and interpreting the production, the teacher must propose guidance
to the student, which is configured as feedback – a form of communication and interaction
between teacher and student (see, for example, Black and William, 1998 or Hattie and
Timperley, 2007). There are different types of feedback and, when the teacher aims to explore
the mathematical reasoning present in the production (Santos; Pinto, 2009), proposing clear
guidelines that encourage the student to review their production, rethink the strategies used and
develop their mathematical understanding, it is of constructive feedback (Di Martino et al.,
2017). Other types of feedback (Galleguillos; Ribeiro, 2019) are: (i) feedback on how to solve
the problem – instructive guidance on procedures to be followed to solve a specific problem;
(ii) confusing feedback – although correct, it is incomprehensible to the student due to the
complexity of the instructions; (iii) counterexample as feedback – contains an explanatory
example of why the student’s solution is incorrect; (iv) superficial feedback – insufficient or
inconsistent guidance, which does not help the student understand their mistakes.
Categories (i) and (ii) are associated with an instructive practice, explaining to the
student how to proceed, which does not require the teacher to attribute meaning to the students'
mathematical thinking, imposing their way of doing things. Categories (iii) and (iv) are
associated with evaluative practices and focus on explaining why students' production contains
errors, but they demand from the teacher a correct interpretation of the production, requiring
mathematical knowledge that allows the teacher to approach a problem in different ways and
involves him knowing several examples so that he can explain why some ways of proceeding
are incorrect.
In the context of rotation, considering a task in which it is requested to identify some
point that remains fixed, when the movement (rotation) is carried out and a student's production
that expresses “there are no fixed points” (Silva; Ribeiro, 2023), an example of evaluative
feedback involves the teacher simply evaluating the production as incorrect, as he did not
identify the fixed point that is the center of rotation and indicating the correct point in the
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production. Constructive feedback must consider identifying the center of rotation, proposing,
for example, to the student, guidance to draw some perpendicular bisectors between some
points of the figure and their corresponding points in the image, with the aim of having him
review his production and identify the center of rotation, with this orientation associated with
questions about what happens to all the perpendicular bisectors and whether they intersect, thus
enabling the student to realize that they intersect at a single common point, which is the center
of rotation.
This feedback is associated with, and is conditioned by, the level of knowledge that the
teacher holds and on which, in CI, three levels are defined (Mellone et al., 2017): (i) evaluative
interpretation; (ii) interpretation for teaching practice; (iii) interpretation as research.
(i) evaluative interpretation is associated with the lowest level of IC that leads the
teacher to establish a correspondence between his production and that of the student,
considering only his way of proceeding as correct and any production that differs from his is
evaluated as incorrect. (ii) interpretation for teaching practice is based on an intermediate level
of IC and corresponds to the teacher considering what is expressed in the student's production,
to plan the next discussions to be proposed and achieve the mathematical learning objectives;
therefore, it takes as its starting point what and how students reveal they know. Considering a
higher level of IC, we have (iii) interpretation as research that refers to the teacher reviewing
his own mathematical formalization, making the student's production a source of research, even
if these productions seem different from what is traditionally taught in schools, since, in this
interpretative practice, the teacher can discuss the student's production with colleagues and even
research other ways of proceeding, which makes it possible to learn about other ways of doing
mathematics and solving a given problem, resulting in the expansion of your solution space.
To propose constructive feedback, a high level of IC is required from the teacher, and
the development of the teacher's specialized knowledge demands training contexts (Ribeiro;
Mellone; Jakobsen, 2013) in which Training Tasks are implemented and discussed (Ribeiro;
Almeida; Mellone, 2021).
There are different perspectives on Tasks for teachers, such as Professional Learning
Tasks (Smith, 2001; Ribeiro; Ponte, 2020) or formative tasks (Martín et al., 2023). Since our
focus is on the development of the teacher's knowledge and not on their learning, the tasks are
understood as a specializing resource for professional practice, therefore called Tasks for
Training - TpF (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) are specific to the development of this
specialized knowledge of the teacher.
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The TpF form part of a set of documents that are prepared to support the training to be
carried out and which corresponds, in the conceptualization developed in the CIEspMat group
5
,
to the so-called Formative Task (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) which is composed of four
documents: (i) Training Task; (ii) document with the five central dimensions for implementing
the task in the classroom; (iii) teacher's document and (iv) trainer's document.
(i) Training Task: task to be delivered to teachers in training contexts and conceptualized
to access and develop the Interpretive and Specialized Knowledge of trainees. For its
conceptualization, the most recent research results and results of national and international tests
are considered, which identify the most problematic mathematical topics for students (and,
therefore, also for teachers) – in which, for example, the Problem solving and formulation are
not topics, but considered contexts of and for discussion of mathematical topics, and is
structured in two or three parts. All parties are associated with the objectives of accessing and
developing the teacher's knowledge, and this access is related to the specialized pedagogical
approach to implementation and to the research that always occurs in training contexts,
considering research and training in an intertwined way. The Preliminary part focuses on some
dimension of mathematical or pedagogical knowledge and seeks to establish a starting point for
the discussions to be carried out – what and how the teacher knows about the topic, what he
already does in his mathematical practice and how he does it. Part I is structured around a task
for the student which the teacher is expected to implement in their practice, but it also includes
a set of questions emerging from the problems identified in the literature on teacher knowledge
and which are formulated in line with to the content of certain subdomain(s) of MTSK in order
to focus discussions.
It is important to note that this is a training option that allows you to primarily direct the
focus of attention to the specificities of mathematical practice and the specialized knowledge
that supports this practice, and that, despite this directional focus, the implementation of TpF
allows, through the experience, teachers can carry out discussions involving all subdomains of
their specialized knowledge.
When the TpF contains a part II, its objective is to develop Interpretive Knowledge and
is called Interpretive Task – TI (Mellone et al., 2020). In this part II, some contexts of student
or teacher productions are included (written, video, classroom discussions, discussions in
5
CIEspMat is a Research and Training group that develops work focused on developing the Interpretive and
Specialized Knowledge of teachers and future teachers of and who teaches mathematics – from Early Childhood
Education to High School. Available at: www.ciespmat.com.br. Accessed on: 10 Dec. 2023.
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practices
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training contexts) chosen because they are mathematically powerful for developing IC and for
attributing meaning to the forms of thinking that support these productions and proposing
constructive feedback.
(ii) document with the five dimensions: set of central indications for the teacher to
implement, discuss and achieve the mathematical learning objectives of the task for the student
(for example Ribeiro and Torrezan, 2022 or Silva and Ribeiro, 2023): (1) Mathematical learning
objective pursued with the task; (2) Required resources and way(s) of student work; (3) Skill
from the National Common Curricular Base (Brazil, 2018) associated with the task; (4) Possible
difficulties of students; (5) Comments for implementation and associated mathematical
discussions.
(iii) teacher's document: encompasses all the central elements of the specialized
mathematical knowledge of the topic, considering the conceptualization of MTSK, addressed
in TpF, which aims to develop in teachers participating in the training.
(iv) trainer's document: contains a set of guidelines so that the trainer can implement
TpF, minimizing deviations from the training objectives associated with its conceptualization,
considering the associated research intention. It therefore contains the training and research
objectives, as well as a set of indications relating to the specificities of the training that is
intended to be carried out, detailing the objectives of each TpF question and the Specialized
and Interpretive Knowledge that is expected to be developed, as well as pedagogical indications
implementation specifics that are associated with possibilities of replicability in practice
contexts with students – or games with children in Early Childhood Education. It also includes
examples of questions and possible answers of the knowledge involved and required and the
discussions to be held at each stage
6
.
This central triad for innovation that we consider in research, practice and training is
composed of these two previous blocks of Knowledge (ways of understanding the teacher's
knowledge and its specificities for practice, training and research) and resources for practice,
training and collection of information for research, is only complete with a pedagogical
implementation and methodological approach that maximizes and enhances the quality of
discussions, the sustainability of the development of the teacher's specialized knowledge and
associated research.
This specialized pedagogical and methodological approach that we have developed and
which impacts the foci of discussion that are considered, assumes two types of replicable
6
For some examples, see Ribeiro, Alves and Gibim (2023) or Ribeiro and Torrezan (2022).
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structure: Individual-Collective-Individual Cycle – ICI (Pacelli et al., 2020) or Small Group-
Collective- Small group – Pg - C-Pg (Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2022; Mellone et al., 2023).
The difference between these structures is in the form of TpF resolution work, as in the ICI
Cycle teachers resolve part of the TpF individually, followed by a collective discussion in a
large group that seeks to synthesize the ways of Thinking that emerged individually and in
which everyone become responsible for the knowledge developed in this context and, after
about a month, participants must send their “revised and improved” answers to the same TpF
so that some elements still necessary for further development can be identified and a knowledge
analysis carried out developed.
An adaptation to this approach considers the fact that individual resolution of the TpF
does not necessarily enhance the development of broad and deep Interpretive Knowledge
(Jakobsen; Ribeiro; Mellone, 2022). Thus, in the Pg - C-Pg Cycle, teachers are organized into
groups (ideally four participants) to discuss, reflect and resolve the TpF and the two subsequent
moments follow the same previous structure. This option is also associated with the need to
enable teachers to experience group work in the first person so that they can carry out the same
type of discussion with their students in their practices.
An example of a Training (Interpretive) Task associated with innovations
Training Tasks can have different structures and here we focus our attention on
Interpretive Tasks (IT) that seek to more specifically develop the Interpretive Knowledge of
(future) teachers. This example intends to illustrate the conceptualization of the training
resource and instrument for collecting research information, and for this we present an IT within
the scope of the rotation and, subsequently, we carry out a discussion of the reasons that lead
to the inclusion of students' questions and productions – considering the three dimensions of
innovation: theoretical, resources, implementation.
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Figure 1 – Interpretive Task within the scope of the rotation
Task: Rotated letters7
(You should always explain your reasoning by describing the process you use to answer the
question. You can do this using diagrams, words, calculations, ...)
Observe the Situations with cards from the “queen” deck:
7
Adapted from Paques and Oliveira (2012).
Situação 2
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a) Record what caught your attention when looking at the cards for each of the Situations.
b) In Situation 1, can you identify the movement made to build the entire card from one of
its parts? Justify.
c) In Situation 2:
i) Can you identify the movement made to obtain the new license? If yes, describe it. If
not, justify.
ii) Explain the procedures that can be carried out to obtain the new image.
d) In each situation, can you identify a point that remains fixed when the movement is made?
Justify.
Source: Prepared by the authors
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In the preliminary part, two questions are included here aimed at accessing and
developing the content of the teacher's KoT. In question 1, the aim is to access (and develop
through subsequent discussions) the teacher's knowledge associated with the phenomenology
of the rotation topic - placing the question in a “typical non-educational” context aims to remove
the teacher from a “typical” context explain how you would do it in the classroom”, as the aim
is to access your specialized mathematical knowledge and not your pedagogical approaches.
In question 2, the focus is on the teacher's knowledge associated with what he assumes
to be a mathematical definition (Zazkis; Leikin, 2008) – mathematically valid – and that is
understandable to his students. It also seeks to promote critical reflection on the “ pseudo
definitions” found in many pedagogical materials (here textbooks) and on the need for
knowledge that allows these pedagogical proposals to be improved for discussion in the
classroom, also through discussion this question, knowing that there are different mathematical
definitions for the same mathematical entity. This inclusion considers the need to take into
account that students have difficulties in interpreting and using definitions (Mariotti; Fischbein,
1997; Zazkis; Leikin, 2008), and it is essential that the teacher chooses didactically appropriate
definitions for the students' age group and the teaching context, taking as a starting point
definitions that consider what students already know.
In part I, a task for 7th year students (12 or 13 years old) is included within a rectangle
– in accordance with official Brazilian curriculum documents (Brazil, 2018) and three questions
for teachers. This task for students pursues the objective of mathematical learning (part of the
five dimensions): developing students' understanding of the isometric geometric transformation
rotation, with regard to identifying its constituent elements and procedures carried out to carry
out the rotation, from rotated images.
It is worth noting that tasks for students are always formulated considering the greatest
difficulties identified in research results. Although, in the context of rotation, these difficulties
are associated, for example, with identifying the center of rotation, especially when it does not
belong to the figure (Gaspar; Cabrita, 2014; Küchemann, 1981), in this task, as it is an
introduction (Ribeiro; Almeida; Mellone, 2021) and taking as a starting point something that
teachers know – a “typical teaching material” task – the option was taken to include examples
whose centers of rotation belong to the figure, as the objective is not is to make the task difficult
for the student, but to develop their mathematical understanding and their ways of thinking
mathematically.
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In the questions for the teacher, by asking them to solve the task themselves (question
(i)) the aim is to access mathematical knowledge at the students' level of knowledge (solve the
same task that the students are expected to solve). In this specific case, it is associated with
correctly identifying the movement carried out a)); the procedures carried out to obtain the
image through rotation b) and c) – (i)); differentiate rotation from other isometric
transformations c) – (ii)); procedures associated with rotation and the constituent elements that
determine this transformation (d).
By asking teachers to identify the students' greatest mathematical difficulties in solving
this task (question (ii)), the aim is to start the movement of getting teachers to establish the
mental habit of anticipating their students' possible answers, considering them for the planning
and implementation of mathematical discussions. This anticipation is also associated with the
focus intended in part II in order to help identify and attribute meanings to students' errors and
their ways of thinking mathematically. With question (iii), the aim is to access and develop the
teacher's knowledge regarding what students know (what and how they know or should know)
that would support the completion of the task (question 1 – (iii)). This includes, for example,
knowing the notion of angle, associated with the amplitude and direction of the angle of rotation
and, from this, discussing with students the procedures to be carried out to measure the
amplitude of an angle, which Possibly, it would include revisiting and questioning students
about what they know about the use of the protractor, always from a questioning perspective
and not “giving the rule”. Furthermore, if students already know the central reflection, the
teacher can problematize the equivalence between central reflection and the 180º rotation
(Bairral; Silva, 2010) considering Situation 1 of the task for the student.
In part II, the focus is on the teacher's Interpretive Knowledge. To this end, in this task,
several student productions are included for the student's task in part I and the teacher is asked
to interpret and attribute meaning to the ways of thinking and proceeding in mathematics that
support these productions, providing constructive feedback to each student. The questions seek
to access the level of Interpretive Knowledge and, through subsequent discussions, promote a
change in the level of this knowledge. Associated with the implementation of IT implementing
the Pg - C-Pg Cycle, we have a brief document that discusses what is and is not constructive
feedback, as the type and nature of this feedback is associated with the CI levels revealed by
teachers. Let us note that the way we conceive the role and knowledge of the teacher (Almeida;
Ribeiro; Fiorentini, 2021) is related to the understanding of how the trainer himself plans and
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implements his training practices (Ferreira; Behrens; Teixeira, 2019), which can be generalist
or aimed at developing the specificities of the teacher's knowledge.
In this part, the productions of the students included are of fundamental importance and
their selection (or elaboration based on research results) is associated with the specificities of
the training intentionality that is considered. Each of them is included because it is associated
with a specific mathematical discussion and, simultaneously, together, these productions need
to enable a change in the level of knowledge that demands developing an understanding of the
phenomenon of rotation. These students' productions, here focusing on errors, are associated
with a change in conceptions regarding errors (Borasi, 1987) and their pedagogical use as a
starting point for the development of students' knowledge and the context is associated with the
development of habit of developing an interpretative mathematical practice based on attributing
meaning to the mathematical reasons that support students' productions, whether they are
inadequate or contain unexpected approaches,
8
so that the teacher rethinks their own
mathematical formalization and expands their solution space (Ribeiro, 2024) , – can incorporate
a greater number of elements into this solution space.
Aline's production for question c) was included, as it presents an incomplete answer to
the movement carried out, expressing the rotation only as a displacement (in (i)), without
specifying that this displacement is in relation to an angle, with the The term displacement can
also be used to refer to translation; considers movement as two translations (question (ii)),
making it possible to discuss the difference between isometric geometric transformations – in
addition to the names –, such as the procedures (algorithms) involved and the result obtained
(image). In d) it does not identify that a movement was carried out to obtain the entire letter
from one of its halves, which makes it possible to bring into the discussion the difficulty related
to visualizing the rotation already carried out and the lack of understanding that isometric
geometric transformations are associated with the idea of a rigid movement that maintains
distances and range of angles, implying that the original figure and the image through
transformation are congruent.
Camila's production for question c) was included, as it is associated with an
understanding of rotation as a turn, but does not specify the amplitude or direction of the
rotation angle, these two elements being fundamental for understanding rotation. It also enables
a discussion associated with the procedures for performing the rotation and the possibility of its
8
For example, in Jakobsen , Ribeiro and Mellone (2014) some unexpected productions (which are not part of
teachers' usual solution space) are presented and discussed within the scope of rationals.
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generalization – therefore configuring the existence of an algorithm. In question d), the
production makes it possible to discuss the difficulty and problem in identifying the center of
rotation as the only point that remains fixed when performing the rotation – in both situations
it belongs to the figure –, but a discussion associated with how to identify the center of rotation
by determining the perpendicular bisectors between the points of the original figure and their
corresponding points in the image.
By asking teachers to provide constructive feedback (question (b)), the aim is to place
the teacher in the context of an interpretive practice, encouraging him to propose constructive
feedback (Di Martino et al ., 2017; Mellone et al., 2020), going beyond a merely evaluative
perspective (see, for example, Ribeiro, 2024). This requires the teacher to effectively “listen”
to the students’ mathematical thinking, which goes far beyond a direct reading and description
of what was recorded (copy) or “sensory listening”, and requires listening that, in fact, consider
as a starting point what and how students reveal they know and, based on this active listening,
propose clear and objective guidelines that help students develop their mathematical
understanding.
Some final comments
To innovate, it is necessary to think and do something different from what has been done
until now, and this doing differently in innovative ways indicates other possibilities and paths
that had not been considered until then, but which are possible and impactful for the associated
contexts and objectives. In our context, these innovative forms and approaches already reveal
results in previous specific research that seeks to identify what happens at a given moment –
taking photos of what happens at each moment (see, for example, Couto and Ribeiro, 2019;
Ribeiro, Jakobsen and Mellone 2022) –, which indicate a set of possibilities to “look at each
frame” and understand what leads to knowledge being developed and enabling these reasons
and approaches to be generalized to other themes and topics.
The ways of understanding the teacher's knowledge specifically related to their
professional practice and enabling students to understand mathematics and develop their ways
of thinking mathematically (included here in (i) theoretical innovations) is something that
breaks with a set of teaching practices research and training that prioritize the teacher's
knowledge in general terms (Shulman, 1987; Ribeiro, 2018) and focus training on issues of
general pedagogical knowledge without the necessary discussion of mathematical knowledge
specifically related to the teacher's professional practice (Fiorentini; Creci, 2017) which will
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
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make it possible to change the focus and objectives of this practice to medium and long-term
objectives.
On the other hand, resources have been a focus of attention in several researches (and
training) in Mathematics Education (Grando, 2015), but there too the focus has been, very often
on the resource itself and not on the mathematical discussions that each one of these resources
enhances or hinders its impacts on students' discussions and mathematical learning. When
considering the Training Tasks themselves, which are conceptualized based on the students'
greatest mathematical difficulties and focusing on the specificities of the teacher's knowledge
as a resource for their own training and research, we aim for the results to be directed towards
mathematical learning and development of the teacher's specialized knowledge. The TpF that
was presented illustrated this perspective of (ii) innovation of resources for training and
information collection. Innovation of resources for training because, despite considering it a
task for students, the objective of training is not “how to implement with students in the
classroom”, but the discussion prioritizes developing specialized mathematical knowledge that
will enable mathematical discussions of a higher level than those that would occur if this
mathematical knowledge were limited to “knowing how”. The multiplicity of forms and
possibilities of how to implement the task with students (specialized pedagogical knowledge)
is something that is approached in a transversal way and assuming a perspective that this
specialized pedagogical knowledge “is not taught, it is lived”, just as it is not Thinking is taught,
but ways of developing this thinking are promoted.
Associated with the discussions of experiencing pedagogical knowledge are the
approaches to collecting information that seek to contribute to, in an intertwined way,
developing specialized knowledge in a sustained way – associated with the third type of
innovation (iii) of the methodological approaches of implementation of Training Tasks and
conceptualization of Training Tasks – corresponding to the ICI and Pg -G-Pg methodological
approaches. Here, due to the stage in which the research associated with Isometric Geometric
Transformations and symmetry is at
9
(example of the TpF presented), we do not bring examples
of the impact of these methodological approaches on the wealth of information collected to
access and discuss the specificities of Interpretive and Specialized Knowledge, but we leave
9
This research has now entered the stage of collecting information in a training context designed associated with
these three types of innovation, so we will soon have results on the applicability and impact of the three dimensions
for research and training.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
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some open questions that could be the focus of research that helps us advance the knowledge
we have on the topic and the teacher's mathematical knowledge and practice.
Thus, some emerging questions that can open a research agenda with this specialized
focus on knowledge, tasks and methodological approaches are:
(i) What Interpretive Knowledge do teachers reveal when interpreting and
attributing meaning to students’ productions?
(ii) What levels of Interpretive Knowledge can we identify throughout training and
how do these levels change throughout the year in relation to the Training Tasks and discussions
developed?
(iii) What are the characteristics of the Training Tasks that maximize the
development of the specificities of the teacher's knowledge?
ACKNOWLEDGMENTS: This work forms part of the research project funded by CNPq
“Development of the teacher's Interpretive and Specialized Knowledge and its relations with
Training Tasks in the scope of Measurement, and Algebraic, Geometric and Statistical
Thinking” (404959/2021-0).
REFERENCES
ALMEIDA, M.; RIBEIRO, M.; FIORENTINI, D. Mathematical Specialized Knowledge of a
Mathematics Teacher Educator for Teaching Divisibility. PNA Revista de Investigación en
Didáctica de la Matemática, v. 15, p. 187-210, 2021. Available at:
https://revistaseug.ugr.es/index.php/pna/article/view/15778. Access: 10 Aug. 2023.
BAIRRAL, M. A.; SILVA, M. A. Instrumentação do Ensino da Geometria. 2. ed. Rio de
Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.
BALL, D.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: What Makes It
Special? Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, p. 389-407, 2008. Available at:
https://www.researchgate.net/publication/255647628_Content_Knowledge_for_Teaching_W
hat_Makes_It_Special. Access: 10 Aug. 2024.
BAUMERT, J.; KUNTER, M.; BLUM, W.; BRUNNER, M; VOSS, T.; JORDAN, A.;
KLUSMANN, U.; KRAUSS, S.; NEUBRAND, M.; TSAI, Y. Teachers’ Mathematical
Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American
Educational Research Journal, v. 47, n. 1, p. 133-180, 2010. Available at:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/0002831209345157. Access: 12 Aug. 2024.
BIZA, I.; KAYALI, L.; MOUSTAPHA-CORRÊA, B.; NARDI, E.; THOMA, A. Afinando o
Foco em Matemática: Desenho, Implementação e Avaliação de Atividades MathTASK para a
Formação de Professores de Matemática. Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n.
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 24
35, p. 1-41, 3 ago. 2021. Available at:
https://periodicos.ufms.br/index.php/pedmat/article/view/13407. Access: 10 Aug. 2024.
BLACK, P.; WILIAM, D. Assessment and Classroom Learning. Assessment in Education:
Principles, Policy & Practice, v. 5, n. 1, p. 7-74, 1998. Available at:
https://www.gla.ac.uk/t4/learningandteaching/files/PGCTHE/BlackandWiliam1998.pdf.
Access: 17 Aug. 2023.
BORASI, R. Exploring Mathematics through the Analysis of Errors. For the Learning of
Mathematics, v. 7, n. 3, p. 2-8, 1987. Available at:
https://www.semanticscholar.org/paper/Exploring-Mathematics-through-the-Analysis-of-
Borasi/ecbdbeff03db2c2b54b735133a399d88cad3cbeb. Access: 10 Aug. 2023.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Brasília, DF: Ministério
da Educação, 2018.
BREDA, A.; SERRAZINA, L.; MENEZES, L.; SOUSA, H.; OLIVEIRA, P. Geometria e
Medida no Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação, Direcção Geral de Inovação e
Desenvolvimento Curricular, 2011.
CAMACHO, A. M. R.; GUERRERO, L. S. Conocimiento especializado del profesor de
primaria en formación: un estudio de caso de la enseñanza de la noción de razón. Quadrante,
v. 28, n. 2, p. 100-124, 2019. Available at: https://quadrante.apm.pt/article/view/23029.
Access: 10 Aug. 2023.
CARRILLO, J.; CLIMENT, N.; MONTES, M.; CONTRERAS, L.C.; FLORES-MEDRANO,
E; ESCUDERO-ÁVILA, D.; VASCO, D.; ROJAS, N.; FLORES, P.; AGUILAR-
GONZÁLEZ, A.; RIBEIRO, M.; MUÑOZ -CATALÃN, M.C. The mathematics teacher’s
specialised knowledge (MTSK) model, Research in Mathematics Education, v. 20. n. 3, p.
236-253, 2018.
CLEMENTS, D. H.; SARAMA, J. Learning and Teaching Early Math: the learning
trajectory approach. 3. ed. London: Routledge, 2020.
COUTO, S.; RIBEIRO, M. Conhecimento especializado de futuros professores da educação
infantil e dos anos iniciais quanto às dificuldades de aprendizagem de alunos cegos e videntes
sobre paralelismo. ACTIO: Docência em Ciências, v. 4, n. 3, p. 701-721, 2019. Available at:
https://periodicos.utfpr.edu.br/actio/article/view/10544/7383. Access: 10 Aug. 2023.
DAVIS, B.; SIMMT, E. Mathematics-for-teaching: An ongoing investigation of the
mathematics that teachers (need to) know. Educational studies in mathematics, v. 61, p.
293-319, 2006. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/s10649-006-2372-4.
Access: 10 Aug. 2023.
DI MARTINO, P.; MELLONE, M; MINICHINI, C.; RIBEIRO, M. Prospective teachers'
interpretative knowledge: giving sense to subtraction algorithms. In: Proceedings of Third
ERME Topic Conference on Mathematics Teacher Education. p. 66-75. 2017.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 25
DI MARTINO, P.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. Interpretative Knowledge. In: LERMAN,
S. (ed.). Encyclopedia of Mathematics Education. Cham: Springer International Publishing,
p. 424-428, 2020.
DUVAL, R. Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? Recherches en
didactique des mathématiques (Revue), v. 16, n. 3, p. 349-382, 1996. Available at:
https://revue-rdm.com/1996/quel-cognitif-retenir-en/. Access: 10 Aug. 2023.
FERREIRA, J.L.; BEHRENS, M. A.; TEIXEIRA, A. M. Formação de professores para atuar
no ensino superior, tecnológico e técnico. Revista Ibero-Americana de Estudos em
Educação, Araraquara, v. 14, n. 1, p.123-137, jan./mar., 2019. Available at:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/11132. Access: 10 Aug. 2023.
FRANCIOLI, F. A. S.; SILVA, N. M. M. Pressupostos psicológicos e didáticos para a
resolução de problemas matemáticos. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação,
Araraquara, v. 16, n. 4, p. 2648-2662, out./dez. 2021. Available at:
https://periodicos.fclar.unesp.br/iberoamericana/article/view/13612. Access: 10 Aug. 2023.
FIORENTINI, D.; CRECCI, V. Metassíntese de pesquisas sobre conhecimentos/saberes na
formação continuada de professores que ensinam matemática. Zetetiké, v. 25, p. 164-185,
2017. Available at:
https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike/article/view/8647773. Access: 10
Aug. 2023.
FLORES-MEDRANO, E. Conocimiento de la practica matematica (KPM). In: CARRILLO,
J.; CONTRERAS, L.C.; MONTES, M. (eds.). Reflexionando sobre el conocimiento del
profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Huelva. SGSE: Huelva, 2016.
GALLEGUILLOS, J.; RIBEIRO, M. Prospective mathematics teachers’ interpretative
knowledge: focus on the provided feedback. In: Eleventh Congress of the European Society
for Research in Mathematics Education. Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME,
p. 1-8, 2019.
GASPAR, J. M. P.; CABRITA, I. GeoGebra e ferramentas tradicionais – Uma conjugação
favorável à apropriação das isometrias. Atas do XXV Seminário de Investigação em
Educação Matemática. Braga: APM., 169-190. 2014.
GOMES, A. Transformações geométricas: conhecimentos e dificuldades de futuros
professores. In: Atas do XXIII Seminário de Investigação em Educação Matemática.
Lisboa: APM p. 233-243, 2012.
GRANDO, R. C. Recursos Didáticos na Educação Matemática: Jogos e Materiais
Manipulativos. Revista Eletrônica Debates em Educação Científica e Tecnológica, v. 5, n.
02, p. 393-416, 2015. Available at: https://ojs.ifes.edu.br/index.php/dect/article/view/117.
Access: 10 Aug. 2023.
GROSSMAN, P. Learning to practice: The design of clinical experience in teacher
preparation. Policy Brief, p. 1-8, 2010.
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 26
HATTIE, J.; TIMPERLEY, H. The Power of Feedback. Review of Educational Research, v.
77, n. 1, p. 81-112, 2007. Available at:
https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.3102/003465430298487. Access: 10 Aug. 2023.
JAKOBSEN, A.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M. A methodological approach to the
development of prospective teachers’ interpretative knowledge. In: CERME12. Italy: Bozen-
Bolzano, 2022.
JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; MELLONE, M. Norwegian prospective teachers’ MKT
when interpreting pupils’ productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics
Education, v. 19, p. 135-150, 2014. Available at:
https://www.researchgate.net/publication/307558474_Norwegian_prospective_teachers'_MK
T_when_interpreting_pupils'_productions_on_a_fraction_task. Access: 10 Aug. 2023.
JONES, K. Re-imagining geometry education in schools. In: SILLER, H.; WEIGEL, W.;
WÖRLER, J. F. (org.). Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 auf der 54
Jahrestagung der Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik (GDM): WTM-Verlag. [S.
l.: s. n.], 2020. p. 31-38.
KIEREN, T. E. On the mathematical, cognitive and instructional. In: Number and
measurement: papers from a research workshop. Columbus, OH: ERIC/SMEAC, p. 101-
144, 1976.
KÜCHEMANN, D. Reflections and rotations. In: HART, K. (ed.). Childrens understanding
of mathematics. London: John Murray, 1981.
LIMA, E. L. Coordenadas no plano: geometria analítica, vetores e transformações
geométricas. 2 ed. Rio de Janeiro: GRAFTEX Comunicação Visual, 1992.
LIMA, E. L. Isometrias. SBM, 1996.
LIÑAN, M. M.; CONTRERAS, L. C.; BARRERA, V. Conocimiento de los Temas (KoT). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. p. 12-20.
LOPES, Q. V; TIROLI, L. G.; SANTOS, A. R. J.; FAVINHA, M. E. S. A praxis enquanto
categoria fundante na constituição da formação de professores sob a perspectiva da pedagogia
histórico-crítica. Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 17, n.
esp. 1, p. 967-980, mar. 2022.
MA, L. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of
Fundamental Mathematics in China and the United States (Studies in Mathematical Thinking
and Learning Series). 1999.
MARIOTTI, M. A.; FISCHBEIN, E. Defining in Classroom Activities. Educational Studies
in Mathematics, v. 34, n. 3, p. 219-248, 1997.
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 27
MARTÍN, M. I. P.; RODRÍGUEZ, N. C.; VALCARCE, M.C; DÍAZ, J. P. M.; GONZÁLEZ,
L. C. C. Tareas en la formación inicial de maestros para la construcción de conocimiento
especializado para la enseñanza de las matemáticas. Revista Interuniversitaria de
Formación del Profesorado. Continuación de la antigua Revista de Escuelas Normales,
v. 98, n. 37.2, 2023.
MASON, J.; JOHNSTON-WILDER, S. Designing and using mathematical tasks. St
Albans: Tarquin, 2006.
MELLONE, M.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M.; PARLATI, A. Ethical dimension in the use
of interpretative tasks in mathematics teacher education: division of fractions. In: CERME
13. Budapest, Hungary, 2023.
MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A.; CAROTENUTO, G.; ROMANO, P.;
PACELLI, T. Mathematics teachers’ interpretative knowledge of students’ errors and non-
standard reasoning. Research in Mathematics Education, v. 22, n. 2, p. 154-167, 2020.
MELLONE, M.; TORTORA, R.; JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, M. Prospective teachers
interpret student responses: Between assessment, educational design and research. In:
CERME 10. Dublin, Ireland, 2017.
MITCHELL, R. N.; MARIN, K. A. Examining the use of a structured analysis framework to
support prospective teacher noticing. Journal of Mathematics Teacher Education, v. 18, p.
551-575, 2015.
MONTES, M.A; CLIMENT, N. Conocimiento de la estructura matematica (KSM). In:
CARRILLO, L.; CONTRERAS, L. C.; MONTES, M. (ed.). Reflexionando sobre el
conocimiento del profesor. Actas de las II Jornadas del Seminario de Investigación de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva. Huelva: SGSE, 2016. P. 21-29.
MOYER, J. C. The relationship between the mathematical structure of Euclidean
transformations and the spontaneously developed cognitive structures of young children.
Journal for Research in Mathematics Education, v. 9, n. 2, p. 83-93, 1978.
NYE, B.; KONSTANTOPOULOS, S.; HEDGES, L. V. How large are teacher effects?
Educational Evaluation and Policy Analysis, v. 26, n. 3, p. 237-257, 2004.
PACELLI, T.; MELLONE, M.; RIBEIRO, M; JAKOBSEN, A. Collective discussions for the
development of interpretative knowledge in mathematics teacher education. In: BORKO, H;
PORTARI, D (ed.). Proceedings of The Twenty-Fifth ICMI Study, Teachers of
Mathematics Working and Learning in Collaborative Groups. Lisbon: University of
Lisbon, 2020. p. 388-395.
PAQUES, O. T. W., OLIVEIRA, S. R. Oferenda musical de Bach. Série Matemática na
Escola. Guia do professor, versão para tela, p. 9. 2012. Available at
https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143. Access: 10 Dec. 2023.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência. 1975.
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 28
PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (ed.). O professor e o
desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, 2005. p. 11-34.
RADFORD, L. Mathematics teaching and learning as an ethical event. La matematica e la
sua didattica, v. 29, n. 2, p. 185-198, 2021.
RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. da. Um modelo teórico para organizar e compreender as
oportunidades de aprendizagem de professores para ensinar matemática. Zetetike, Campinas,
SP, v. 28, p. e020027, 2020.
RIBEIRO, C. M. Del cero hasta más allá del infinito – algunas perspectivas desde el
comienzo de la tesis doctoral hasta el futuro “también” a largo plazo. In: BERCIANO, A;
GUTIÉRREZ, G; ESTEPA, A; CLIMENT, N (ed.). Investigación en Educación
Matemática XVII. Bilbao: SEIEM, 2013. p. 71-85.
RIBEIRO, M. Conhecimento interpretativo de futuros professores da Educação Infantil e dos
Anos Iniciais ao atribuírem significado a produções de alunos no contexto de abordagens
alternativas ao algoritmo típico da subtração. Debates em Educação, v. 16, n. 38, e16020,
2024.
RIBEIRO, M. Das generalidades às especificidades do conhecimento do professor que ensina
Matemática: metodologias na conceitualização (entender e desenvolver) do conhecimento
interpretativo. In: Abordagens teóricas e metodológicas nas pesquisas em educação
matemática. Biblioteca do Educador. Brasil: SBEM, 2018. v. 13, p. 167-185.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A. Atribuir significado aos sentidos e ao algoritmo da
multiplicação para a melhoria da qualidade das aprendizagens matemáticas. Coleção
CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2022. v. 6.
RIBEIRO, M.; ALMEIDA, A.; MELLONE, M. Conceitualizando Tarefas Formativas para
Desenvolver as Especificidades do Conhecimento Interpretativo e Especializado do Professor.
Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n. 35, p. 1-32, 2021.
RIBEIRO, M.; ALVES, C.; GIBIM, G. Entendendo as propriedades da multiplicação e a
estrutura matemtica associada tabuada como contexto para desenvolver o
Pensamento Algbrico. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas: Cognoscere, 2023. v. 11.
RIBEIRO, M.; CARRILLO, J.; MONTEIRO, R. Cognições e tipo de comunicação do
professor de matemática. Exemplificação de um modelo de análise num episódio dividido.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 15, p. 277-310,
2012.
RIBEIRO, M.; JAKOBSEN, A.; MELLONE, M. El Conocimiento Interpretativo en el
contexto de la medición In: Investigación sobre conocimiento especializado del profesor
de matemáticas (mtsk): 10 años de camino. 1. ed. Madrid: Editorial DYKINSON, S.L.,
2022. v. 1, p. 277-290.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Characterizing prospective teachers’
knowledge in/for interpreting students’ solutions. In: CONFERENCE OF THE
Miguel RIBEIRO e Caroline SILVA
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 29
INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS
EDUCATION, 37., 2013. Proceedings […]. Kiel: PME, 2013. p. 89-96.
RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M.; JAKOBSEN, A. Interpreting students’ non
standardreasoning: insights for mathematics teacher education practices. For the Learning of
Mathematics, Fredericton, n. 36, v. 2, p.8-13, 2016.
RIBEIRO, M., TORREZAN, E. Conhecimento e prática matemática do professor para
entender a medida de uma distância. Coleção CIEspMat – Formação. Campinas:
Cognoscere, 2022. v. 9.
ROWLAND, T; TURNER, F; THWAITES, A; HUCKSTEP, P. Developing primary
mathematics teaching: Reflecting on practice with the knowledge quartet. London: SAGE,
2009.
SANTOS, L.; PINTO, L. Lights and shadows of feedback in mathematics learning. In:
CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FPR THE PSYCHOLOGY OF
MATHEMATICS EDUCATION, 33., 2009, Thessaloníki. Proceedings […]. Thessaloníki,
Greece: PME, 2009. p. 49-56.
SCHOENFELD, A. H. Models of the Teaching Process. Journal of Mathematical Behavior,
v. 18, n. 3, p. 243-261, 2000.
SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard
educational review, v. 57, n. 1, p. 1-23, 1987.
SHULMAN, L. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational
Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.
SILVA, C.; RIBEIRO, M. Discutindo uma Tarefa para a Formação como recurso para
desenvolver o Conhecimento Interpretativo do professor no âmbito da rotação. In:
SEMINÁRIO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 33., Barcelos. Atas
do [...]. Barcelos: APM., 2023.
SMITH, M. S. Practice-based professional development for teachers of mathematics.
National Council of Teachers of Mathematics, 2001.
STEIN, M. K.; SMITH, M. S.; HENNINGSEN, M.; SILVER, E. A. Implementing
standards-based mathematics instruction: a Casebook for Professional Development. New
York: Teachers College Press, 2000.
WASSERMAN, N. H.; FUKAWA-CONNELLY, T.; WEBER, K.; MEJA, J. P.; ABBOTT,
S. Understanding analysis and its connections to Secondary mathematics Teaching. [S.
l.]: Springer Nature, 2022.
WATSON, A.; SULLIVAN, P. Teachers learning about tasks and lessons. In: TIROSH, D;
WOOD, T (ed.). Tools and processes in mathematics teacher education. Rotterdam: Sense
Publishers, 2008. p. 109-135.
Specificities of teacher's interpretative knowledge and tasks for teacher education as elements for creative and innovative mathematical
practices
RIAEE – Revista Ibero-Americana de Estudos em Educação, Araraquara, v. 19, n. esp. 2, e024073, 2024. e-ISSN: 1982-5587
DOI: https://doi.org/10.21723/riaee.v19iesp.2.18553 30
ZASLAVSKY, O.; LEIKIN, R. Professional development of mathematics teacher educators:
Growth through practice. Journal of mathematics teacher education, v. 7, p. 5-32, 2004.
ZAZKIS, R.; LEIKIN, R. Exemplifying definitions: a case of a square. Educational Studies
in Mathematics, v. 69, p. 131-148, 2008.
Acknowledgments: This work forms part of the research project funded by CNPq
“Development of the teacher's Interpretive and Specialized Knowledge and its relations
with Training Tasks in the scope of Measurement, and Algebraic, Geometric and Statistical
Thinking” (404959/2021 -0).
Financing: CNPQ: (project number 404959/2021-0).
Conflicts of interest: Not applicable.
Ethical approval: This research was approved by the CAAE Ethics and Research
Committee: 60427622.6.0000.8142.
Availability of data and material: Not applicable.
Author contributions: The authors contributed equally to the preparation of the article.
Processing and editing: Editora Ibero-Americana de Educação.
Review, formatting, standardization and translation.