DESENVOLVIMENTO DE HABILIDADES DE ATIVIDADE CRIATIVA DE ESTUDANTES EM ESTABELECIMENTOS DE ENSINO SUPERIOR
DESARROLLO DE LAS HABILIDADES DE ACTIVIDAD CREATIVA DE ESTUDIANTES EN ESTABLECIMIENTOS EDUCATIVOS SUPERIORES
Sergey Nikolaevich DOROFEEV1 Rustem Adamovich SHICHIYAKH2 Leisan Nafisovna KHASIMOVA3
RESUMO: O artigo discute métodos de resolução de problemas geométricos com o uso ativo de métodos como análise e síntese, analogia e generalização, com base no pensamento teórico sobre o princípio da ascensão do simples ao complexo, a fim de desenvolver a
1 Togliatti State University (TSU), Tolyatti – Russia. Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Education. Doctor of Pedagogical Sciences. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1925-9428. E- mail: komrad.dorofeev2010@yandex.ru
2 Kuban State Agrarian University named after I.T. Trubilin (KUBSAU), Krasnodar – Russia. Associate Professor of the Department of Management. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-5159-4350. E-mail: 651728@mail.ru
3 Kazan Federal University (KPFU), Kazan – Russia. Professor of the Department of Legal and Social Sciences. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1538-1788. E mail: leisan@mail.ru
capacidade dos alunos para a atividade criativa. Os autores desenvolveram sistemas de problemas, focados na formação da capacidade de "fazer" descobertas independentes tanto no processo de resolução de um problema quanto na fase de pesquisa do resultado da solução. O sistema de problemas desenvolvido visa encontrar uma maneira de resolver um problema mais complexo após um método semelhante ter sido usado em relação a outro problema mais simples ou particular. Os participantes do experimento são futuros mestres em educação pedagógica (perfil "Educação Matemática") na Universidade Estadual Togliatti. O artigo mostra que os métodos mais eficazes de preparar futuros mestres em educação matemática para a atividade profissional criativa podem ser métodos em que o conhecimento científico é tomado como analogia e generalização. Verificou-se que no processo de aprendizagem da resolução de problemas geométricos inseridos no sistema desenvolvido, os alunos apresentam indicadores superiores no nível de formação da atividade criativa, em resultado do desenvolvimento da capacidade do futuro mestre de educação pedagógica (perfil "Educação Matemática") à analogia e sua aplicação em situações específicas, sua capacidade de usar as propriedades estabelecidas, habilidades e capacidades formadas, técnicas e métodos de ação em relação a outro objeto em novas condições e para novos fins, o uso de conceitos matemáticos e teoremas em problemas específicos cada vez mais diversos.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria. Tarefa. Analogia. Generalização. Atividade criativa.
RESUMEN: El artículo discute métodos para la resolución de problemas geométricos con el uso activo de métodos como análisis y síntesis, analogía y generalización, basados en el pensamiento teórico sobre el principio de ascenso de simple a complejo para desarrollar la capacidad de los estudiantes para la actividad creativa. Los autores han desarrollado sistemas de problemas, enfocados en la formación de su capacidad para "hacer" descubrimientos independientes tanto en el proceso de resolución de un problema como en la etapa de investigación del resultado de la solución. El sistema de problemas desarrollado tiene como objetivo encontrar una manera de resolver un problema más complejo, después de que se haya utilizado un método similar en relación con otro problema más simple o particular. Los participantes en el experimento son futuros maestros de la educación pedagógica (perfil "Educación Matemática") en la Universidad Estatal de Togliatti. El artículo muestra que los métodos más efectivos para preparar a los futuros maestros de la educación matemática para la actividad profesional creativa pueden ser métodos de conocimiento científico como la analogía y la generalización. Se reveló que en el proceso de aprendizaje para resolver problemas geométricos incluidos en el sistema desarrollado, los estudiantes demuestran indicadores más altos del nivel de formación de la actividad creativa, como resultado del desarrollo de la capacidad del futuro maestro de la educación pedagógica (perfil "Educación Matemática") a la analogía y su aplicación en situaciones específicas, su capacidad para utilizar las propiedades establecidas, destrezas y habilidades formadas, técnicas y métodos de acción en relación con otro objeto en nuevas condiciones y para nuevos propósitos, el uso de conceptos matemáticos y teoremas en problemas específicos cada vez más diversos
PALABRAS CLAVE: Geometría. Tarea. Analogía. Generalización. Actividad creativa.
Theoretical research and generalization of our own pedagogical experience and pedagogical experience of famous teachers and teachers of mathematics (DOROFEEV et al., 2018; GLAZKOV; EGUPOVA, 2017; KALINKINA, 1995; KALMYKOVA, 2013) led us to
understand that the modern master pedagogical education (profile "Mathematical Education") must possess at a sufficiently high level both the mathematical apparatus and the methods of teaching mathematical disciplines, be able to show their trust in students, act as a source of human experience accumulated throughout the entire time of human existence on earth, which can use to enrich their knowledge and understanding of the environment; to feel the emotional mood of each student, to be able to openly express, accept and understand their mental state and their experiences, should be able to show their creative resourcefulness in the process of teaching mathematical methods of cognition of the surrounding world (DOROFEEV, 2000; VYGOTSKY, 2007; TEMERBEKOVA et al., 2013; VAGANOVA et al., 2020). The concept
of creative activity is quite complex and multifaceted, the meaning and content of this concept is constantly being refined, replenished and improved. The levels of manifestation of creative activity by students depend on many internal and external factors, both dependent on them and independent, the level of ontogenetic development of everyone, his psychophysiological and mental state, individual psychological characteristics, the level of upbringing and preparedness to perceive a particular mathematical fact. or a concept, the level of development of his intellectual abilities, etc. (KALINKINA, 1995; KALMYKOVA, 2013).
Psychological science provides our attention with many different approaches to the interpretation of the concepts of "creative activity" and "creative activity". As a rule, creative activity is associated with the manifestation of the active nature of creative activity in certain forms. From a psychological point of view, creative activity can be interpreted either as a set of properties of the human nervous system, or as a certain mental state of a person, or as a characteristic of a person's vital activity, or as its property. Thus, it can be argued that creative activity is determined by the action of both internal and external factors, each of which is based on the most important thing - the desire and ability of the student to discover new facts and new knowledge previously unknown to him (DAVYDOV, 2000; PODLASY, 2001; WINTER, 2006).
In the process of the formation of creative activity, all mental processes are involved simultaneously or in a certain sequence, conditioned by our sensations, perception, attention, imagination, emotions, memory, thinking. When they interact, objects of the real world are
reflected and their images are formed in our consciousness, personal perception of reality at a given moment in time and in each situation. Modern pedagogical science knows various means, techniques, methods and forms that contribute to the development of creative activity. However, until now we do not know to what extent, in what conditions and when it is possible to use this or that teaching method, this or that form of organization of educational and cognitive activity, this or that means of teaching, in order to say with confidence that the chosen by us in a certain system means, methods and forms with great efficiency contribute to the formation of creative activity (ANDREEV, 1988; DAVYDOV, 2000; LERNER, 2016; MUDRIK, 2004).
The development of students' creative activity largely depends on teaching mathematical concepts and methods of the type of scientific knowledge with the active use of methods such as analysis and synthesis, analogy and generalization, concretization and comparison, based on theoretical thinking on the principle of ascent from simple to complex, from the abstract to the concrete, from the particular to the general, using advanced learning technologies, for example, student-centered learning, differentiated learning, learning through UDE, computer and digital technologies (DAVYDOV, 2000; MUDRIK, 2004; UTEEVA, 2015; VAGANOVA et al., 2020).
In our concept of the formation of creative activity in future masters of pedagogical education, we adhere to a personal approach and a humanistic orientation in preparing them for the organization of creative activity. The ability of the future Master of Pedagogical Education (profile "Mathematical Education") to analogy and its application in specific situations is characterized by his ability to use established properties, skills and abilities formed, techniques and methods of action in relation to another object in new conditions and for new purposes. The development of the ability to analogy is facilitated by the process of using mathematical concepts and theorems in more and more diverse specific problems (DAVYDOV, 2000; DOROFEEV, 2000; LODATKO, 2015; MENCHINSKAYA, 2004).
These can be problems of finding a way to solve a more complex problem, after a similar method has been used in relation to another simpler or particular problem. The ability of the future master of pedagogical education (profile "Mathematical Education") to abstraction and its application in specific situations is characterized by his ability to highlight certain features in the object under study. The development of the ability to abstraction is
facilitated by the teacher's ability to lead his pupils to each new concept, to each new theorem with the help of well-chosen examples for comparison, highlighting common features or general regular connections between features and formulating the necessary conclusion by the students themselves. This approach to the introduction of new concepts and previously unknown facts to students develops the ability not only to abstraction, but also to generalize. The ability of the future teacher of mathematics to generalize and apply it in specific situations is characterized by the ability to identify common features in a number of objects and group objects on this basis. The wider and more diverse the generalizations, the more independence the students themselves show, the more effective is the effect of the method of summing up a concept with the help of examples on the formation of their creative activity. It is recommended to move from generalizations, which are based on specific examples and lead to particular conclusions, to generalizations, which are based on several concepts and facts, gradually expanding the circle of generalized material (DAVYDOV, 2000; LODATKO, 2015; SAMYGIN; STOLYARENKO, 2012; UTEEVA; ORAZYMBETOVA, 2012).
The formation of creative activity in the future master of pedagogical education (profile "Mathematical education") is inextricably linked with the formation of the ability to compose a whole from its parts and break the whole into its constituent parts. As you know, students get acquainted with the first ideas about the category of the whole in basic school when studying fractions. There they learn to break a whole, for example, an apple into its constituent parts, highlighting one second or one third, etc. Later, throughout the entire period of study, the mathematical ability to divide the whole into parts and make up a whole from its parts is gradually transformed into the philosophical category of the whole. In mathematics, the category of the whole is understood as the completeness of the solution of the problem, the completeness of the system of axioms, or the closed nature of the mathematical process. For example, when solving irrational equations, one of the most common ways is to raise both sides of the equation to the desired power. It is clear that in this case, it is possible that extra roots will be acquired. Restricting the solution to an irrational equation by the roots of the newly obtained equation generates an incompleteness of the problem posed. In this task, only part of it is completed: the original equation is replaced by a more general one - algebraic, obtained from the given by freeing from radicals. To ensure the integrity of the solution to an irrational equation, it is necessary to find out which of the roots of the algebraic equation are
the roots of the irrational equation, and which are not, i.e., go beyond the scope of definition. The standard replacement of an irrational equation with an algebraic one obtained from a given one by raising both parts to the appropriate power entails a violation of one of the basic laws of dialectics: the law of negation of negation. According to this law, the old is not simply discarded and replaced by the new, but in accordance with the principle of continuity, from the former is taken what is necessary for the development of the new. In this case, we do not just replace the irrational equation with an algebraic one, but take into account that the original equation contains radicals that impose certain restrictions on unknown quantities.
Let us explain this with a specific example: Find the largest root of the equation:
x2 4x 7
13 x
. To get an unambiguous answer to the question posed, it is
necessary to resolve a specific problem situation. To this end, we will square both sides of the
equation. As a result, we obtain a new equation
x2 4x 7 13 x
It should be noted that
the domain of the first equation is narrower than the domain of the second equation. The
domain of the first equation is the interval
(;
13] , the domain of the second is the entire
number line. The domain of the initially given equation is the interval: (;
13]. Hence,
from the roots of the quadratic equation
x2 5x 6 0
we need to select those that fall
within this interval. Solving the second equation, we find that x1
1, x2
6 .
Both numbers fall into the domain of the first equation, which means that they serve as the roots of the equation. Choosing the largest – 1. Ans.: 1.
x2 8x 15
х 5
In the practice of teaching schoolchildren to solve irrational equations, quite often there are those, the scope of which narrows down to the roots of this equation. In this regard,
consider the equation:
. Using the above technique, we will square
both sides of the equation. As a result, we obtain the algebraic equation
x2 8x 15 х 5 . After elementary transformations, we bring this equation to the form
1
x2 7x 10 0. Solving this equation, we find that x
2, x2
5. Now we will
find the domain of definition of the given equation. We demand that
х 2 8х 15 0,
х 5 0 .
Solving this system, we find that x
5 . This means that the domain of definition of this
irrational equation consists of only one number 5, which is the root of the equation. Thus, to solve irrational equations, it is advisable to first find the domain of its definition, and then use the methods of getting rid of roots. Because sometimes the roots are easily obtained in the process of finding the domain of definition of an irrational equation.
In the methods of teaching geometry, a fusionist approach to teaching students geometric facts and concepts has long been known, which involves the joint study of planimetric and stereometric figures. The effectiveness of this approach lies in the fact that it largely contributes to the formation of students' ability to independently, on the basis of previously learned material, discover new knowledge. Let us illustrate this by an example of studying the properties of the medians of a triangle and a tetrahedron. As you know, the medians of a triangle intersect at one point and divide it in a ratio of 2: 1, counting from the vertices, the medians of a tetrahedron also intersect at one point and divide it in a ratio of 3: 1, counting from the vertices. In classical textbooks on geometry for grades 7-9 and grades 10- 11, it is assumed that these facts are directly communicated to students, which they remember, sometimes unconsciously. Hence the problems in the application of these facts when solving geometric problems of both planimetric and stereometric nature.
The schoolboy did not make much effort in assimilating these facts. His consciousness did not show the proper mental activity for this fact to go through certain stages of its assimilation. In order to stimulate the mental activity of students, some teachers actively use visual teaching methods, for example, an image of an arbitrary triangle is built on a computer screen and the midpoints of its sides are marked, then its medians are drawn. As the medians are plotted, the students notice that the two medians intersect at a point, it turns out that the third median of the triangle also passed through this point. Further, the teacher proposes to change the shape of the triangle to another and see if the median of this triangle has this property? Students find with interest that the medians of this triangle also intersect at one point. Thus, with the help of simple examples, we have led our schoolchildren to put forward a hypothetical idea that the medians of an arbitrary triangle intersect at one point. Now it is important for the teacher to maintain and increase this interest in order to move on to proving this fact. It should be strict, but not dry.
Each student must penetrate the idea of proving this fact in order to understand its content deeper and broader. In the process of proving this theorem, students discover another important fact that is new to them, that the medians of a triangle are divided by their point of intersection in the ratio 2: 1, counting from the vertex. With the aim of a more conscious perception of the theorem, students can be offered to solve the following planimetric
problems: In a regular triangle АВС medians
AA1,
BB1,
CC1
, intersecting at a point О.
Prove that triangle is equal to triangle. Can it be argued that triangles
OBA1 ,
OCA1 ,
OAB1 ,
OAC1
are equal. If to paint a triangle ОСВ1 23 grams of yellow paint is required,
how much of such paint is required to paint the entire triangle? This stage of assimilation of any mathematical fact is necessary, if only because in the process of teaching schoolchildren to prove mathematical theorems, an important idea is formed that it is not enough to find some pattern, even in real life, it is also necessary to substantiate its right to exist and apply in activities. As we have already noted, the spatial analogue of a triangle is a tetrahedron - a polyhedron defined by four points that do not lie in the same plane, and four triangles with vertices at these points. Each triangle has a center of gravity - the point of intersection of its medians.
The median of a tetrahedron is a line segment connecting its vertex with the center of gravity of the opposite face. Using the capabilities of computer technologies, it is possible to visually convince schoolchildren of the hypothetical idea that the medians of a tetrahedron intersect at one point, which they can put forward in the process of getting acquainted with such a concept as the median of a tetrahedron. In school textbooks on geometry for grades 10- 11, this fact is not studied as a separate theorem, but it can be proposed as a separate problem, for example, when studying the basics of the vector-coordinate method. In the process of solving this problem, schoolchildren will come to the discovery of a new stronger result that the medians of a tetrahedron not only intersect at one point, but moreover divide it in a ratio of 3: 1, counting from the vertices.
For a deeper understanding of this fact and the formation of students' ability to make discoveries, to reveal hidden facts both in the task itself and in the course of its solution, the following task will contribute: The tetrahedron ABCD is given. Points K and M are taken on its edges AB and CD so that АК:KB = DM:MC 1. A plane is drawn through points K and M, dividing the tetrahedron into two polyhedrons of equal volumes. In what respect does this plane divide the BC edge?
The polyhedron located under the MLNK cutting plane can be divided into three tetrahedra AMKN, AMCN, ALMK. The volume of each tetrahedron can be represented as a
sixth part of the module of mixed products mod(AM ,AN ,AK ),
mod(AM , AC, AN ), mod(AL, AM , AK ) . If we put that
( АВ,
K )
1
(DC, M )
,
( AB, K )
(DC, M )
x , то
1
KB
1
AB,
1
AK
1
AB,
x
MC
1
( AC
AD),
LA
1
DA,
x
DL
1
DA,
x
DM
1
( AC
AD),
NB 1
1
( AB
x
AC ),
CN x
1
( AB
x
AC) .
Considering these relations and the properties of the mixed product, we obtain that
mod(AM , AK , AN )
(1
)2 (1
mod(AB, AC, AD),
x)
mod(AM , AN , AC)
mod(AL, AM , AK )
As
(1
(1
x
)(1
2
)2 (1
mod(AB, AC, AD),
x)
mod(AB, AC, AD) .
x)
mod(AB, AC, AD)
mod(AM , AN , AK )
mod(AM , AN , AC)
mod(AL, AM , AK ),
then x =1. It means, that the plane KLMN not only intersects the BC edge but divides it in half.
In terms of the formation of the ability to make new discoveries and apply the mixed product of vectors to solving school geometric problems and the ability to compose new
problems, the following mathematical exercise acquires: A tetrahedron ABCD is given, the
volume of which is 1. Plane crosses the ribs
DA,
DB,
AC,
CB respectively at points
K, L,
P, M
such that DK
2KA,
LB 2DL,CM
3MB . Find the volume of
the pyramid. Make up possible generalizations of the problem.
The scope of the search for a solution to the problem must be narrowed by focusing the attention of trainees on the possibility of splitting a quadrangular pyramid into two tetrahedra and applying the module of the mixed product of vectors to calculating the volumes of the resulting tetrahedra. The ability to break a figure into its constituent parts contributes to the formation of the ability to divide the whole into parts; use analysis when looking for a solution to a specific problem. In this case, the whole is a quadrangular pyramid LABMP, and its parts are two tetrahedra ABLP and BMPL. Actualization of the expedient application of the module of the mixed product of vectors to the calculation of the volumes of tetrahedrons contributes to the formation of the ability to apply the mixed product to solving school geometric problems. The ability of trainees to apply a mixed product of vectors to the calculation of the volumes of tetrahedra allows one to obtain a number of useful relations:V1
= ( AL, AB, AP ) /6, V2 = ( BM, BP,BL ) /6, V DABC = ( AB, AC, AD
=1, то ( AB, AC,AD )=6.
) /6. As VDABC
The implementation of such logical reasoning generates among students the desire to
express mixed products of vectors
AL, AB, AP ;
BM, BP,BL
through the mixed product of
basis vectors AB, AC,AD . Expressions of the mixed product of one triplet of vectors through
the mixed product of another depends on the ability of the trainees to represent some vectors as a linear combination of others; apply properties of the mixed product to its calculation. An important didactic significance of this task also lies in the fact that at the stage of calculating the coefficient collinear vectors AP и AC the trainees are improving their ability to apply
the necessary and sufficient condition for vectors coplanarity in specific situations. Using the
condition of the problem and the properties of the tetrahedron, one can show that
AL AB
2AD
,
3
BL
2( AD
3
AB) ,
BM
AC AB
.
4
To determine the coefficient collinear vectors AP и AC you can use the fact that
the mixed work ( PL, PM , LM ) of vectors
PL, PM , LM
equals 0. As
PL AB
2AD 3
3 AC
,
PM
3AB
(1
4
4) AC
,
LM
15 AB
3AC 12
8AD
,
then the mixed product of vectors ( PL, PM , LM ) equals
5 20
72
. Hence 1
4
. So we get that
AP AC / 4,
BP AB
AC / 4 .
Using the properties of the mixed product of vectors, we find the volume of the tetrahedron ABLP (1/6) and the volume of the tetrahedron BMPL (1/8), and then, by connecting the parts into a single whole, we find the volume of the quadrangular pyramid LABMP.
In order to form a more conscious perception of the mixed product of vectors and develop students' ability to apply the properties of the mixed product of vectors to solving geometric problems, it is advisable to consider tasks of the following type:
On the rays
AB,
BC,
CA , containing the corresponding sides of the triangle АВС ,
points taken С1 ,
B1 ,
A1 , such that
AС1 AB,
CA1 BC,
AB1 CA . Find the ratio of the
area of a triangle АВС to the area of the triangle
А1В1С1 .
First of all, it should be noted that the quantities and relationships between them given in this problem are affine-invariant. At this stage of solving the problem, future mathematics teachers develop the ability to select affine-invariant objects. The presence of such objects in a problem allows it to be specialized, which can serve as the basis for finding its optimal solution. Concretization of this problem leads to a new one, which is obtained from the
previous replacement of an arbitrary triangle with an equilateral one. If the triangle
ABC
regular, then triangle
A1 B1 C1
is also regular, and it is composed of three equal triangles
A B
C ,
C B
A ,
A C
and the triangle proper
ABC. If the length of the side of
1
1
B
the triangle is regular
ABC
1
taken for 1, then, it can be shown that the area of the triangle
A1B1C1 , will be 7 times the area of the triangle АВС. A remarkable property of this problem is not only that it admits an optimal solution by the method of affine transformations, but also that it admits of generalization, and the generalization of this problem can be carried out in two directions: one of them is associated with the transition from one set to another more wide; containing the given set as a subset (from triangle to quadrangle, from quadrangle to
pentagon, etc.), and the other direction is associated with the transition from parallelogram to parallelepiped by analogy. The ability of the future mathematics teacher to use the generalization method to compose new problems, tasks interrelated with this one, is one of the necessary conditions indicating his readiness to organize creative activity. This problem can
be generalized to the case of quadrangles as follows: On the rays
AB,
BC,
CD, DA
containing the corresponding sides of the parallelogram ABCD , points taken
D1,
A1 , B1, C1
such that
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Find the ratio of
the area of a parallelogram ABCD to the area of the quadrangle
A1B1C1D1 .
First of all, when organizing the search for a solution to this problem, it is necessary to focus the attention of students on the possibility of determining the type of this quadrangle. Doesn't it, like this one, belong to the class of parallelograms? After simple reasoning, we can
find that the quadrilateral
A1B1C1D1
- parallelogram that consists of a parallelogram
ABCD and four triangles having the same area as this parallelogram. This means that the
area of the parallelogram
A1B1C1D1
five times the parallelogram area ABCD . This
problem can be generalized to the case of an arbitrary quadrangle ABCD : on the rays
AB,
BC,
CD, DA
points taken
D1,
A1 , B1, C1
so that
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Find the area of the resulting quadrilateral
A1B1C1D1
if the area of the given quadrangle ABCD equals S.
It is known that a tetrahedron is a spatial analogue of a triangle, and a parallelepiped is a spatial analogue of a parallelogram. Using an analogy, a number of spatial problems can be compiled that are generalizations of previous planimetric problems, for example,
On the rays
AB,
BC,
CD,
DA , containing the edges of the tetrahedron
ABCD points taken
D1,
A1 , B1, C1 so, that
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Find the ratio of the volume of a tetrahedron
ABCD to the volume of the tetrahedron
On the rays
A1B1C1D1 .
BA, B1B, C1C , CD, AA1, C1C, CD, AA1, A1 B1, D1C1, DD1 ,
containing the corresponding edges of the parallelepiped
ABCDA1B1C1D1
, points
taken
AM
BA, BN
M , N , P, Q, M1,N1, P1, Q1 such,
B1B, CP C1C, DQ CD, A1M1 AA1,
that
B1N1 A1B1, C1P1 D1C1, D1Q1 DD1
. Prove
that the volume of a polytope
MNPQM 1N1P1Q1
five times the volume of a
parallelepiped
ABCDA1B1C1D1 .
One of the ways to find the optimal solution to these problems is based on the theorem on the geometric meaning of the mixed product of three non-coplanar vectors. According to
this theorem, we find that VABCD = mod( C1B1, C1D1, C1A1 )/6. Since vectors
C1B1, C1D1, C1A1
following way:
can be expanded in non-coplanar vectors
AB, AC, AD
in the
C1 B1
AC
3AB,
C1 D1
2AB
3AC
AD,
C1 A1
2AB
AC
2AD,
then mixed product ( C1B1, C1D1, C1A1 ) of vectors
C1B1, C1D1,
C1A1
will be
expressed through the mixed product of vectors AB,
AC, AD
in the following way:
( C1B1 , C1D1 , C1A1 ) = –15 ( AB, AC, AD ).
This means that the volume of the tetrahedron A1B1C1D1 15 times the volume of this tetrahedron.
In order to prove that the ratio of the volume of the parallelepiped
ABCDA1B1C1D1 to the volume of the parallelepiped
MNPQM 1N1P1Q1
equals 1
: 5, it is necessary to know the decomposition of vectors
vectors AD, AB, AA1 .
MQ, MN, MM1
by non-coplanar
From the condition of the problem, considering the rules for adding vectors, we obtain
that the vectors
MQ, MN, MM1
related to vectors
AD, AB, AA1
by the following
ratios: MQ AD,
MN 2 AB AA1,
MM1 AB 2 AA1 . Therefore, taking into account
the properties of the mixed product of vectors, we have
(MQ, MN, MM1) 5(AB, AD, AA1). .
This means that the volume of the parallelepiped MNPQM1N1P1Q1 five times the volume of a parallelepiped ABCDA1B1C1D1.
When searching for an optimal solution to a geometric problem, it is important that future masters of mathematics education have developed the ability to represent a half-plane, the interior of a polygon, the interior of a circle and other geometric figures with appropriate algebraic models. In the formation of this skill among students, problems of the following type can be played: Inside an equilateral triangle, an arbitrary point is taken, from which
perpendiculars are lowered to all its sides. Prove that the sum of the lengths of these perpendiculars is equal to the length of the height of the triangle. The search for a solution to this problem should begin with focusing the trainees' attention on the use of algebraic models of the corresponding geometric images. By the time this problem is studied, future masters of pedagogical education (profile "Mathematical education") should have the ability to link these geometric figures in a canonical way. The choice of a canonical coordinate system contributes to a significant reduction in computational activity. In this case, the canonical choice of the coordinate system is due to the fact that the center of any of the sides of the triangle can be taken as the origin of the coordinate system, for example, we take the middle O of the side
AB. As the first coordinate vector, we take the unit vector co-directional with the vector ОВ , and as the second coordinate vector we take the unit vector co-directional with the vector
ОС . Without loss of generality, we can assume that the length of the side of an equilateral triangle is 2. Then, relative to a specially selected PDSK, points A, B, C will have the
following coordinates: А(1; 0),
B(0;
3),
C(1; 0) . Let M (x, y) be the interior point of the
triangle. Using the coordinates of points A, B, C, you can draw up the equations of the lines containing the sides of this triangle. Then the interior of the triangle ABC will be determined by the system of inequalities:
у 0,
3х у
3х у
0,
3
3
0.
Using the formula for calculating the distance from a point to a line, you can show that
(М , АС )
у , (М , ВС)
, (М , АВ)
3х у 3
3x у 3
2 2
Considering the above inequalities, which are satisfied by the coordinates of the point M, we obtain that
(М , АС)
у, (М , ВС)
3х у
2
3 , (М , АВ)
3х у 3
3
2
From where
(М , АС)
(М , ВС)
(М , АВ)
. Since the length of the
height of the triangle is equal to the same, it means that the requirement of the problem is fulfilled. While solving such problems, future mathematics teachers master not only the methods of establishing a one-to-one correspondence between geometric figures and their algebraic models, but, first of all, master the methods of their application when searching for the optimal solution of a specific geometric problem of a school type.
The effectiveness of the impact of the educational environment on the health of primary students is determined by the systematic health activities. The process of formation a conscious attitude to one’s own health requires the combination of information and motivation components with the students’ practical activities, which will help them to acquire the necessary health-saving skills and habits (ROZLUTSKA et al., 2020)
Thus, the methodological aspect of the task material presented in this article, aimed at preparing future masters of pedagogical education (profile "Mathematical Education") for creative activity, allows us to highlight the purposefulness of educational activity as a basic mechanism that ensures the effectiveness of the formation of competence, initiative and creativity. All these mechanisms act in unity and have a positive impact on the development of creative activity in the educational process. It was revealed that in the process of learning to solve geometric problems included in the developed system, students demonstrate higher indicators of the level of formation of creative activity.
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DESARROLLO DE LAS HABILIDADES DE ACTIVIDAD CREATIVA DE ESTUDIANTES EN ESTABLECIMIENTOS EDUCATIVOS SUPERIORES
DEVELOPING CREATIVE ACTIVITY ABILITIES OF STUDENTS IN HIGHER EDUCATIONAL ESTABLISHMENTS
Sergey Nikolaevich DOROFEEV1 Rustem Adamovich SHICHIYAKH2 Leisan Nafisovna KHASIMOVA3
RESUMEN: El artículo discute métodos para la resolución de problemas geométricos con el uso activo de métodos como análisis y síntesis, analogía y generalización, basados en el
1 Universidade Estadual Togliatti (TSU), Tolyatti – Rússia. Professor do Departamento de Matemática Superior e Educação Matemática. Doutor em Ciências Pedagógicas. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1925-9428. E- mail: komrad.dorofeev2010@yandex.ru
2 Universidade Agrária Estadual de Kuban em homenagem a I.T. Trubilin (KUBSAU), Krasnodar – Rússia. Professor Associado do Departamento de Gestão. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-5159-4350. E-mail: 651728@mail.ru
3 Universidade Federal de Kazan (KPFU), Kazan – Rússia. Docente do Departamento de Ciências Jurídicas e Sociais. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1538-1788. E-mail: leisan@mail.ru
pensamiento teórico sobre el principio de ascenso de simple a complejo para desarrollar la capacidad de los estudiantes para la actividad creativa. Los autores han desarrollado sistemas de problemas, enfocados en la formación de su capacidad para "hacer" descubrimientos independientes tanto en el proceso de resolución de un problema como en la etapa de investigación del resultado de la solución. El sistema de problemas desarrollado tiene como objetivo encontrar una manera de resolver un problema más complejo, después de que se haya utilizado un método similar en relación con otro problema más simple o particular. Los participantes en el experimento son futuros maestros de la educación pedagógica (perfil "Educación Matemática") en la Universidad Estatal de Togliatti. El artículo muestra que los métodos más efectivos para preparar a los futuros maestros de la educación matemática para la actividad profesional creativa pueden ser métodos de conocimiento científico como la analogía y la generalización. Se reveló que en el proceso de aprendizaje para resolver problemas geométricos incluidos en el sistema desarrollado, los estudiantes demuestran indicadores más altos del nivel de formación de la actividad creativa, como resultado del desarrollo de la capacidad del futuro maestro de la educación pedagógica (perfil "Educación Matemática") a la analogía y su aplicación en situaciones específicas, su capacidad para utilizar las propiedades establecidas, destrezas y habilidades formadas, técnicas y métodos de acción en relación con otro objeto en nuevas condiciones y para nuevos propósitos, el uso de conceptos matemáticos y teoremas en problemas específicos cada vez más diversos
PALABRAS CLAVE: Geometría. Tarea. Analogía. Generalización. Actividad creativa.
ABSTRACT: The article discusses methods of solving geometric problems with the active use of methods such as analysis and synthesis, analogy and generalization, based on theoretical thinking about the principle of rising from simple to complex, to develop students' capacity for the creative activity. The authors developed problem systems, focused on building the capacity to "make" independent discoveries both in the process of solving a problem and in the phase of research for the result. The problem system developed aims to find a way to solve a more complex problem, after a similar method been used in another simpler or more particular problem. Participants in the experiment are future masters in pedagogical education (profile "Mathematics Education") at Togliatti State University. The article shows that the most effective methods to prepare future masters in mathematics education for creative professional activity can be methods such as scientific knowledge as analogy and generalization. It was found that in the learning process of solving geometric problems inserted in the developed system, students present superior indicators of the level of formation of creative activity, as a result of the development of the capacity of the future teacher of pedagogical education (profile "Mathematics Education") to analogy and its application in specific situations, its ability to use established properties, formed skills and abilities, techniques and methods of action in relation to another object under new conditions and for new purposes, the use of mathematical concepts and theorems in specific problems increasingly diverse.
KEYWORDS: Geometry. Task. Analogy. Generalization. Creative activity.
A pesquisa teórica e generalização de nossa própria experiência pedagógica e da
experiência pedagógica de professores famosos e professores de matemática (DOROFEEV et al., 2018; GLAZKOV; EGUPOVA, 2017; KALINKINA, 1995; KALMYKOVA, 2013) nos
levou a entender que o mestre em educação pedagógico moderno (perfil “Educação Matemática”) deve possuir a um nível suficientemente elevado tanto o aparato matemático como os métodos de ensino das disciplinas matemáticas, ser capaz de mostrar a sua confiança nos alunos, funcionar como fonte de experiência humana acumulada ao longo de todo o tempo da existência humana na terra, que pode usar para enriquecer seu conhecimento e compreensão do meio ambiente; sentir o estado de espírito emocional de cada aluno, ser capaz de expressar abertamente, aceitar e compreender o seu estado mental e as suas experiências, deve ser capaz de mostrar a sua desenvoltura criativa no processo de ensino de métodos matemáticos de cognição do mundo envolvente (DOROFEEV, 2000; VYGOTSKY, 2007; TEMERBEKOVA et al., 2013; VAGANOVA et al., 2020). O conceito de atividade criativa é bastante complexo e multifacetado, o significado e o conteúdo deste conceito são constantemente refinados, reabastecidos e melhorados. Os níveis de manifestação da atividade criativa pelos alunos dependem de muitos fatores internos e externos, tanto dependentes quanto independentes, o nível de desenvolvimento ontogenético de cada indivíduo, seu estado psicofisiológico e mental, características psicológicas individuais, o nível de educação e preparação para perceber um fato matemático ou um conceito matemático, o nível de desenvolvimento de suas habilidades intelectuais etc. (KALINKINA, 1995; KALMYKOVA, 2013).
A ciência psicológica chama nossa atenção com muitas abordagens diferentes para a interpretação dos conceitos de "atividade criativa". Como regra, a atividade criativa está associada à manifestação da natureza ativa da atividade criativa em certas formas. Do ponto de vista psicológico, a atividade criativa pode ser interpretada como um conjunto de propriedades do sistema nervoso humano, ou como um certo estado mental de uma pessoa, ou como uma característica da atividade vital de uma pessoa, ou como sua propriedade. Assim, pode-se argumentar que a atividade criativa é determinada pela ação de fatores internos e externos, cada um baseando-se no mais importante - o desejo e a capacidade do aluno de descobrir novos fatos e novos conhecimentos até então desconhecidos para ele (DAVYDOV, 2000; PODLASY, 2001; WINTER, 2006).
No processo de formação da atividade criativa, todos os processos mentais estão envolvidos simultaneamente ou em uma determinada sequência, condicionados por nossas sensações, percepção, atenção, imaginação, emoções, memória, pensamento. Quando eles interagem, objetos do mundo real são refletidos e suas imagens são formadas em nossa
consciência, percepção pessoal da realidade em um determinado momento no tempo e em uma determinada situação. A ciência pedagógica moderna conhece vários meios, técnicas, métodos e formas que contribuem para o desenvolvimento da atividade criativa. Porém, até agora não sabemos em que medida, em que condições e quando é possível utilizar este ou aquele método de ensino, esta ou aquela forma de organização da atividade educacional e cognitiva, este ou aquele meio de ensino, para dizer com segurança que os meios, métodos e formas escolhidos por nós em determinado sistema contribuem grandemente para a formação da atividade criativa (ANDREEV, 1988; DAVYDOV, 2000; LERNER, 2016; MUDRIK, 2004).
O desenvolvimento da atividade criativa dos alunos depende em grande medida do ensino de conceitos matemáticos e métodos do tipo de conhecimento científico com a utilização ativa de métodos como análise e síntese, analogia e generalização, concretização e comparação, com base no pensamento teórico sobre o princípio da ascensão do simples ao complexo, do abstrato ao concreto, do particular ao geral, usando tecnologias de aprendizagem avançadas, por exemplo, aprendizagem centrada no aluno, aprendizagem diferenciada, aprendizagem através de UDE, informática e tecnologias digitais (DAVYDOV, 2000; MUDRIK, 2004; UTEEVA, 2015; VAGANOVA et al., 2020).
Em nosso conceito de formação da atividade criativa nos futuros mestres da educação pedagógica, aderimos a uma abordagem pessoal e a uma orientação humanística ao prepará- los para a organização da atividade criativa. A capacidade do futuro Mestre em Educação Pedagógica (perfil “Educação Matemática”) para a analogia e a sua aplicação em situações específicas é caracterizada pela sua capacidade de utilizar propriedades estabelecidas, competências e habilidades formadas, técnicas e métodos de ação em relação a outro objeto em novas condições e para novos fins. O desenvolvimento da capacidade de analogia é facilitado pelo processo de uso de conceitos matemáticos e teoremas em problemas específicos cada vez mais diversos (DAVYDOV, 2000; DOROFEEV, 2000; LODATKO, 2015; MENCHINSKAYA, 2004).
Esses podem ser problemas para encontrar uma maneira de resolver um problema mais complexo, depois que um método semelhante foi usado em relação a outro problema mais simples ou particular. A capacidade do futuro mestre de educação pedagógica (perfil “Educação Matemática”) para a abstração e a sua aplicação em situações específicas
caracteriza-se pela sua capacidade de evidenciar determinadas características do objeto em estudo. O desenvolvimento da capacidade de abstração é facilitado pela capacidade do professor de conduzir seus alunos a cada novo conceito, a cada novo teorema com a ajuda de exemplos bem escolhidos para comparação, destacando características comuns ou conexões regulares gerais entre as características e deixar os próprios alunos formulando a conclusão. Essa abordagem para a introdução de novos conceitos e fatos até então desconhecidos para os alunos desenvolve a capacidade não apenas de abstração, mas também de generalização. A habilidade do futuro professor de matemática de generalizar e aplicá-la em situações específicas é caracterizada pela habilidade de identificar características comuns em uma série de objetos e grupos de objetos nesta base. Quanto mais amplas e diversificadas as generalizações, quanto mais independência os alunos demonstram, mais eficaz é o efeito do método de síntese de um conceito com a ajuda de exemplos na formação da sua atividade criativa. Recomenda-se passar de generalizações, que se baseiam em exemplos específicos e levam a conclusões particulares, para generalizações, que se baseiam em vários conceitos e fatos, ampliando gradativamente o círculo do material generalizado (DAVYDOV, 2000; LODATKO, 2015; SAMYGIN; STOLYARENKO, 2012; UTEEVA; ORAZYMBETOVA, 2012).
A formação da atividade criativa no futuro mestre em educação pedagógica (perfil "Educação matemática") está intimamente ligada à formação da capacidade de compor um todo a partir de suas partes e quebrar o todo nas partes que o constituem. Como você sabe, os alunos se familiarizam com as primeiras ideias sobre a categoria do todo na escola básica ao estudar as frações. Lá eles aprendem a quebrar um todo, por exemplo, uma maçã em suas partes constituintes, destacando uma metade ou um terço etc. Mais tarde, ao longo de todo o período de estudo, a habilidade matemática de dividir o todo em partes e formar um todo de suas partes é gradualmente transformado na categoria filosófica do todo. Em matemática, a categoria do todo é entendida como a completude da solução do problema, a completude do sistema de axiomas ou a natureza fechada do processo matemático. Por exemplo, ao resolver equações irracionais, uma das maneiras mais comuns é elevar ambos os lados da equação à potência desejada. É claro que, neste caso, é possível que raízes extras sejam adquiridas. Restringir a solução de uma equação irracional pelas raízes da equação recém-obtida gera uma incompletude do problema proposto. Nesta tarefa, apenas parte dela é completada: a
equação original é substituída por uma mais geral - a algébrica, obtida a partir do que é dado pela liberação de radicais. Para garantir a integridade da solução para uma equação irracional, é necessário descobrir quais das raízes da equação algébrica são as raízes da equação irracional e quais não são, ou seja, vão além do escopo da definição. A substituição padrão de uma equação irracional por uma algébrica obtida de uma dada equação, elevando ambas as partes ao poder apropriado, acarreta uma violação de uma das leis básicas da dialética: a lei da negação da negação. De acordo com essa lei, o antigo não é simplesmente descartado e substituído pelo novo, mas de acordo com o princípio da continuidade, do primeiro se tira o necessário para o desenvolvimento do novo. Nesse caso, não apenas substituímos a equação irracional por uma algébrica, mas levamos em consideração que a equação original contém radicais que impõem certas restrições a quantidades desconhecidas.
Vamos explicar isso com um exemplo específico: Encontre a maior raiz da equação:
x2 4x 7
13 x
. Para obter uma resposta inequívoca à pergunta feita, é
necessário resolver uma situação problemática específica. Para este fim, elevaremos ao quadrado ambos os lados da equação. Como resultado, obtemos uma nova equação
x2 4x 7 13 x . Deve-se notar que o domínio da primeira equação é mais estreito do
que o domínio da segunda equação. O domínio da primeira equação é o intervalo
(;
13],
o domínio do segundo é toda a reta numérica. O domínio da equação inicialmente dada é o
intervalo: (;
13]. Portanto, a partir das raízes da equação quadrática
x 2 5x 6 0
precisamos selecionar aqueles que se enquadram neste intervalo. Resolvendo a segunda
equação, descobrimos que x1
1, x2
6 . Ambos os números caem no domínio
da primeira equação, o que significa que servem como raízes da equação. Escolhendo o maior
- 1. Resposta: 1.
x2 8x 15
х 5
Na prática de ensinar crianças em idade escolar a resolver equações irracionais, muitas vezes existem aquelas cujo escopo se restringe às raízes dessa equação. A este respeito,
considere a equação:
. Usando a técnica acima, elevaremos ao
quadrado ambos os lados da equação. Como resultado, obtemos a equação algébrica
1
x2 8x 15 х 5 . Após transformações elementares, trazemos esta equação para a
forma
x2 7x 10 0. Resolvendo esta equação, descobrimos que x
2, x2
5.
Agora vamos encontrar o domínio de definição da equação dada. Exigimos isso
х 2 8х 15 0,
х 5 0
. Resolvendo este sistema, descobrimos que x
5 . Isso significa que
o domínio de definição dessa equação irracional consiste em apenas um número 5, que é a raiz da equação. Assim, para resolver equações irracionais, é aconselhável primeiro encontrar
o domínio de sua definição e, em seguida, usar os métodos de remoção de raízes. Porque às vezes as raízes são facilmente obtidas no processo de encontrar o domínio de definição de uma equação irracional.
Nos métodos de ensino de geometria, há muito se conhece uma abordagem fusionista para ensinar aos alunos fatos e conceitos geométricos, que envolve o estudo conjunto de figuras planimétricas e estereométricas. A eficácia desta abordagem reside no fato de que ela contribui amplamente para a formação da capacidade dos alunos, de forma independente, com base no material aprendido anteriormente, descobrir novos conhecimentos. Vamos ilustrar isso com um exemplo de estudo das propriedades das medianas de um triângulo e de um tetraedro. Como se sabe, as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e o dividem em uma proporção de 2:1, contando a partir dos vértices, as medianas de um tetraedro também se cruzam em um ponto e o dividem em uma proporção de 3:1, contando a partir dos vértices. Em livros clássicos de geometria para os anos 7 a 9 e 10 a 11, presume-se que esses fatos são comunicados diretamente aos alunos, e que eles se lembram, às vezes inconscientemente. Daí os problemas na aplicação desses fatos na solução de problemas geométricos de natureza planimétrica e estereométrica.
O estudante não faz muito esforço para assimilar esses fatos. Sua consciência não apresenta atividade mental adequada para que esse fato passasse por certas etapas de sua assimilação. Para estimular a atividade mental dos alunos, alguns professores usam ativamente métodos de ensino visual, por exemplo, uma imagem de um triângulo arbitrário é construída na tela do computador e os pontos médios de seus lados são marcados, em seguida, suas medianas são desenhadas. Conforme as medianas são plotadas, os alunos notam que as duas medianas se cruzam em um ponto, verifica-se que a terceira mediana do triângulo também passou por este ponto. Além disso, o professor propõe mudar a forma do triângulo para outra e ver se a mediana desse triângulo tem essa propriedade? Os alunos descobrem com interesse que as medianas desse triângulo também se cruzam em um ponto. Assim, com a ajuda de exemplos simples, levamos nossos alunos a apresentar uma ideia hipotética de que as medianas de um triângulo arbitrário se cruzam em um ponto. Agora é importante que o
professor mantenha e aumente esse interesse para passar a comprovar esse fato. Deve-se ser estrito, mas não seco.
Cada aluno deve adentrar na ideia de comprovar esse fato para compreender seu conteúdo de forma mais profunda e ampla. No processo de provar este teorema, os alunos descobrem outro fato importante que é novo para eles, que as medianas de um triângulo são divididas por seu ponto de intersecção na proporção 2:1, contando a partir do vértice. Com o objetivo de uma percepção mais consciente do teorema, os alunos podem ser oferecidos para resolver os seguintes problemas planimétricos: Em um triângulo regular АВС medianas
AA1,
BB1,
CC1
, cruzando em um ponto О. Prove que triângulo é igual a triângulo. Pode-se
argumentar que os triângulos
OBA1 ,
OCA1 ,
OAB1 ,
OAC1
são iguais um ao outro. Se
para pintar um triângulo ОСВ1 23 gramas de tinta amarela são necessários, quanto dessa tinta é necessária para pintar todo o triângulo? Esta etapa de assimilação de qualquer fato matemático é necessária, até porque no processo de ensinar crianças a provar teoremas matemáticos, forma-se uma ideia importante de que não basta encontrar algum padrão, mesmo na vida real é necessário substanciar seu direito de existir e aplicar nas atividades. Como já observamos, o análogo espacial de um triângulo é um tetraedro - um poliedro definido por quatro pontos que não estão no mesmo plano e quatro triângulos com vértices nesses pontos. Cada triângulo tem um centro de gravidade - o ponto de intersecção de suas medianas.
A mediana de um tetraedro é um segmento de linha que conecta seu vértice ao centro de gravidade da face oposta. Usando os recursos das tecnologias de computador, é possível convencer visualmente os alunos da ideia hipotética de que as medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto, que eles podem propor no processo de familiarização com um conceito como a mediana de um tetraedro. Em livros escolares de geometria para as séries 10-11, esse fato não é estudado como um teorema separado, mas pode ser proposto como um problema separado, por exemplo, ao estudar os fundamentos do método de coordenadas vetoriais. No processo de resolver este problema, os alunos chegarão à descoberta de um novo resultado mais forte que as medianas de um tetraedro não apenas se cruzam em um ponto, mas também o dividem em uma proporção de 3:1, contando a partir dos vértices.
Para uma compreensão mais aprofundada deste fato e para a formação da capacidade dos alunos de fazer descobertas, de revelar fatos ocultos tanto na tarefa em si quanto no decorrer de sua solução, a seguinte tarefa contribuirá: O tetraedro ABCD é dado. Os pontos K e M são retirados em suas bordas AB e CD para que АК:KB = DM:MC 1. Um plano é
desenhado através dos pontos K e M, dividindo o tetraedro em dois poliedros de volumes iguais. Em que aspecto esse plano divide a borda BC?
O poliedro localizado sob o plano de corte MLNK pode ser dividido em três tetraedros AMKN, AMCN, ALMK. O volume de cada tetraedro pode ser representado como uma sexta
parte do módulo de produtos mistos mod(AM ,AN ,AK ),
mod(AM , AC, AN ), mod(AL, AM , AK ) . Se colocarmos isso
( АВ,
K )
1
(DC, M )
,
( AB, K )
(DC, M )
x , para
1
KB
1
AB,
1
AK
1
AB,
x
MC
1
( AC
AD),
LA
1
DA,
x
DL
1
DA,
x
DM
1
( AC
AD),
NB 1
1
( AB
x
AC ),
CN x
1
( AB
x
AC) .
que
Levando em consideração essas relações e as propriedades do produto misto, obtemos
mod(AM , AK , AN )
(1
)2 (1
mod(AB, AC, AD),
x)
mod(AM , AN , AC)
mod(AL, AM , AK )
The
(1
(1
x
)(1
2
)2 (1
mod(AB, AC, AD),
x)
mod(AB, AC, AD) .
x)
0.5mod(AB, AC, AD)
mod(AM , AN , AK )
mod(AM , AN , AC)
mod(AL, AM , AK ),
então x =1. Isso significa que o plano KLMN não apenas cruza a aresta BC, mas a divide ao meio.
Em termos da formação da capacidade de fazer novas descobertas e aplicar o produto misto de vetores para resolver problemas geométricos escolares e da capacidade de compor novos problemas, o seguinte exercício matemático é dado: Um tetraedro ABCD é dado, o
volume do qual é 1. Plano cruza as arestas
DA,
DB,
AC,
CB respectivamente nos
pontos
K, L,
P, M
de tal modo que DK
2KA,
LB 2DL,CM
3MB .
Encontre o volume da pirâmide. Faça possíveis generalizações do problema.
O escopo da busca por uma solução para o problema deve ser estreitado focalizando a atenção dos estagiários na possibilidade de dividir uma pirâmide quadrangular em dois tetraedros e aplicando o módulo do produto misto de vetores para o cálculo dos volumes dos tetraedros resultantes. A capacidade de dividir uma figura em suas partes constituintes contribui para a formação da capacidade de dividir o todo em partes; use a análise ao procurar uma solução para um problema específico. Nesse caso, o todo é uma pirâmide quadrangular LABMP, e suas partes são dois tetraedros ABLP e BMPL. A atualização da aplicação expedita do módulo do produto misto de vetores ao cálculo dos volumes dos tetraedros contribui para a formação da capacidade de aplicação do produto misto na solução de problemas geométricos escolares. A capacidade dos formandos de aplicar um produto misto de vetores ao cálculo dos volumes dos tetraedros permite obter uma série de relações úteis:V1
= ( AL, AB, AP ) /6, V2 = ( BM, BP,BL ) /6, V DABC = ( AB, AC, AD
=1, то ( AB, AC,AD )=6.
) /6. As VDABC
A implementação de tal raciocínio lógico gera entre os alunos o desejo de expressar
produtos mistos de vetores
AL, AB, AP ;
BM, BP,BL
através do produto misto de vetores
básicos AB, AC,AD . As expressões do produto misto de um tripleto de vetores através do
produto misto de outro depende da capacidade dos estudantes de representar alguns vetores como uma combinação linear de outros; aplicar propriedades do produto misturado ao seu cálculo. Um importante significado didático desta tarefa também reside no fato de que na fase
de cálculo do coeficiente vetores colineares AP и AC os estudantes estão aprimorando sua capacidade de aplicar a condição necessária e suficiente para a coplanaridade de vetores em situações específicas. Usando a condição do problema e as propriedades do tetraedro,
pode-se mostrar que
AL AB
2AD
,
3
BL
2( AD
3
AB) ,
BM
AC AB
.
4
Para determinar o coeficiente vetores colineares AP и AC você pode usar o fato
de que o trabalho misto ( PL, PM , LM ) dos vetores
PL, PM , LM
é igual a 0. Como
PL AB
2AD 3
3 AC
,
PM
3AB
(1
4
4) AC
,
LM
15 AB
3AC 12
8AD
,
então o produto misto de vetores ( PL, PM , LM ) é igual a
5 20
72
. Por isso 1
4
. Então, nós entendemos
AP AC / 4,
BP AB
AC / 4 .
Usando as propriedades do produto misto de vetores, encontramos o volume do tetraedro ABLP (1/6) e o volume do tetraedro BMPL (1/8), e então, conectando as partes em um único todo, encontramos o volume da pirâmide quadrangular LABMP.
A fim de formar uma percepção mais consciente do produto misto de vetores e desenvolver a capacidade dos alunos de aplicar as propriedades do produto misto de vetores para resolver problemas geométricos, é aconselhável considerar tarefas do seguinte tipo:
Nos raios
AB,
BC,
CA , contendo os lados correspondentes do triângulo АВС ,
pontos tomados С1 ,
B1 ,
A1 , de tal modo que
AС1 AB,
CA1 BC,
AB1 CA . Encontre
a proporção da área de um triângulo АВС para a área do triângulo
А1В1С1 .
Em primeiro lugar, deve-se notar que as quantidades e relações entre elas dadas neste problema são invariantes por afinidade. Nesta fase de resolução do problema, os futuros professores de matemática desenvolvem a capacidade de selecionar objetos invariantes afins. A presença de tais objetos em um problema permite que ele seja especializado, o que pode servir de base para encontrar sua solução ótima. A concretização desse problema leva a um novo, que é obtido a partir da substituição prévia de um triângulo arbitrário por um equilátero.
Se o triângulo
A B C
é regular, então o triângulo
A1 B1 C1
também é regular e é composto
por três triângulos iguais
A B
C ,
C B
A ,
A C
e o triângulo propriamente dito
1
1
B
1
ABC. Se o comprimento do lado do triângulo for regular
ABC
tomado como 1, então,
pode-se mostrar que a área do triângulo
A1 B1 C1 , será 7 vezes a área do triângulo АВС. Uma
propriedade notável deste problema não é apenas que ele admite uma solução ótima pelo método das transformações afins, mas também que admite generalização, e a generalização deste problema pode ser realizada em duas direções: uma delas está associada a transição de um conjunto para outro mais amplo; contendo o conjunto dado como um subconjunto (do triângulo ao quadrilátero, do quadrilátero ao pentágono etc.), e a outra direção está associada com a transição do paralelogramo para o paralelepípedo por analogia. A capacidade do futuro professor de matemática de utilizar o método da generalização para compor novos problemas, tarefas inter-relacionadas com esta, é uma das condições necessárias para indicar a sua disponibilidade para organizar a atividade criativa. Este problema pode ser generalizado para
o caso de quadrângulos da seguinte forma: Nos raios
AB,
BC,
CD,
DA contendo os
lados correspondentes do paralelogramo ABCD , tomados os pontos
D1,
A1 , B1, C1
de tal modo que
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Encontre a proporção da área
de um paralelogramo ABCD para a área do quadrilátero
A1B1C1D1 .
Em primeiro lugar, ao se organizar a busca de uma solução para este problema, é necessário chamar a atenção dos alunos para a possibilidade de determinar o tipo desse quadrilátero. Não pertence, como este, à classe dos paralelogramos? Após um raciocínio
simples, podemos descobrir que o quadrilátero
A1B1C1D1
paralelogramo que consiste
em um paralelogramo ABCD e quatro triângulos com a mesma área que este
paralelogramo. Isso significa que a área do paralelogramo
A1B1C1D1
é cinco vezes a área
do paralelogramo ABCD . Este problema pode ser generalizado para o caso de um
quadrângulo arbitrário ABCD : nos raios
AB,
BC,
CD,
DA tomados os pontos
D1,
A1 , B1, C1
de modo que
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Encontre
a área do quadrilátero resultante igual a S.
A1B1C1D1
se a área do quadrângulo dado ABCD é
Sabe-se que um tetraedro é um análogo espacial de um triângulo e um paralelepípedo é um análogo espacial de um paralelogramo. Usando uma analogia, uma série de problemas espaciais, que são generalizações de problemas planimétricos anteriores, podem ser compilados, por exemplo,
Nos raios
AB,
BC,
CD,
DA , contendo as bordas do tetraedro
ABCD tomados os pontos
D1,
A1 , B1, C1 de forma que
BD1 AB,
CA1 BC,
DB1 CD,
AC1 AD . Encontre a razão do volume de um tetraedro
ABCD ao volume do tetraedro
Nos raios
A1B1C1D1 .
BA, B1B, C1C , CD, AA1, C1C, CD, AA1, A1 B1, D1C1, DD1 ,
contendo as bordas correspondentes do paralelepípedo
ABCDA1B1C1D1
, tomados os
pontos
AM
BA, BN
M , N , P, Q, M1,N1, P1, Q1 de forma
B1B, CP C1C, DQ CD, A1M1 AA1,
que
B1N1 A1B1, C1P1 D1C1, D1Q1 DD1
. Prove
que o volume de um politopo
MNPQM 1N1P1Q1
seja cinco vezes o volume de um
paralelepípedo
ABCDA1B1C1D1 .
Uma das maneiras de encontrar a solução ótima para esses problemas é baseada no teorema do significado geométrico do produto misto de três vetores não coplanares. De
acordo com este teorema, descobrimos que VABCD = mod( C1B1, C1D1, C1A1 )/6. Desde
que os vetores
AB, AC, AD
C1B1, C1D1, C1A1
da seguinte maneira:
possam ser expandidos em vetores não coplanares
C1 B1
AC
3AB,
C1 D1
2AB
3AC
AD,
C1 A1
2AB
AC
2AD,
então produto misto ( C1B1, C1D1, C1A1 ) dos vetores
C1B1, C1D1,
C1A1
será
expresso através do produto misto de vetores AB,
AC, AD
da seguinte forma:
( C1B1 , C1D1 , C1A1 ) = –15 ( AB, AC, AD ).
Isso significa que o volume do tetraedro A1B1C1D1 é 15 vezes o volume deste tetraedro.
A fim de provar que a relação do volume do paralelepípedo
ABCDA1B1C1D1 ao
volume do paralelepípedo
MNPQM 1N1P1Q1
seja igual a 1:5, é necessário conhecer a
decomposição de vetores
MQ, MN, MM1
por vetores não coplanares AD, AB, AA1 .
A partir da condição do problema, levando em consideração as regras de adição de
vetores, obtemos que os vetores
MQ, MN, MM1
relacionado a vetores
AD, AB, AA1
pelas
seguintes proporções: MQ AD,
MN 2 AB AA1,
MM1 AB 2 AA1 . Portanto, levando
em consideração as propriedades do produto misto de vetores, temos
(MQ, MN, MM1) 5(AB, AD, AA1). . Isso significa que o volume do paralelepípedo MNPQM1N1P1Q1 é cinco vezes o volume de um paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.
Ao buscar uma solução ótima para um problema geométrico, é importante que os
futuros mestres da educação matemática tenham desenvolvido a capacidade de representar um meio-plano, o interior de um polígono, o interior de um círculo e outras figuras geométricas com modelos algébricos apropriados. Na formação desta habilidade entre os alunos, problemas do seguinte tipo podem ser jogados: Dentro de um triângulo equilátero, um ponto arbitrário é tomado, a partir do qual perpendiculares são baixados para todos os seus lados. Prove que a soma dos comprimentos dessas perpendiculares é igual ao comprimento da altura do triângulo. A procura de uma solução para este problema deve começar por centrar a atenção dos formandos na utilização de modelos algébricos das imagens geométricas correspondentes. No momento em que este problema for estudado, os futuros mestres em educação pedagógica (perfil "Educação matemática") deverão ter a capacidade de vincular essas figuras geométricas de forma canônica. A escolha de um sistema de coordenadas canônico contribui para uma redução significativa na atividade computacional. Neste caso, a escolha canônica do sistema de coordenadas se deve ao fato de que o centro de qualquer um dos lados do triângulo pode ser tomado como origem do sistema de coordenadas, por exemplo, tomamos o meio O do lado AB. Como o primeiro vetor coordenado, tomamos o
vetor unitário codirecional com o vetor ОВ , e como o segundo vetor coordenado, tomamos o
vetor unitário codirecional com o vetor ОС . Sem perda de generalidade, podemos assumir que o comprimento do lado de um triângulo equilátero é 2. Então, em relação a um PDSK especialmente selecionado, os pontos A, B, C terão as seguintes
coordenadas: А(1; 0),
B(0;
3),
C(1; 0) . Com M (x, y) sendo o ponto interior do
triângulo. Usando as coordenadas dos pontos A, B, C, você pode desenhar as equações das linhas contendo os lados deste triângulo. Então, o interior do triângulo ABC será determinado pelo sistema de desigualdades:
у 0,
3х у
3х у
0,
3
3
0.
Usando a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma linha, você pode mostrar que
(М , АС )
у , (М , ВС)
, (М , АВ)
3х у 3
3x у 3
2 2
Levando em consideração as desigualdades acima, que são satisfeitas pelas coordenadas do ponto M, obtemos que
(М , АС)
у, (М , ВС)
3х у
2
3 , (М , АВ)
3х у 3
3
2
De onde
(М , АС)
(М , ВС)
(М , АВ)
. Como o comprimento da
altura do triângulo é igual ao mesmo, significa que o requisito do problema foi atendido. No decurso da resolução de tais problemas, os futuros professores de matemática dominam não apenas os métodos de estabelecer uma correspondência um-a-um entre as figuras geométricas e seus modelos algébricos, mas, em primeiro lugar, dominam os métodos de sua aplicação na busca pelo ótimo solução de um problema geométrico específico de um tipo de escola.
A eficácia do impacto do ambiente educacional na saúde dos alunos do ensino fundamental é determinada pelas atividades sistemáticas de saúde. O processo de formação de uma atitude consciente para com a própria saúde requer a combinação de componentes de informação e motivação com as atividades práticas dos alunos, o que os ajudará a adquirir as habilidades e hábitos necessários para a preservação da saúde. (ROZLUTSKA et al., 2020)
Assim, o aspecto metodológico da tarefa material apresentada neste artigo, destinada a preparar futuros mestres da educação pedagógica (perfil “Educação Matemática”) para a atividade criativa, permite-nos destacar a objetividade da atividade educativa como mecanismo básico que garante a eficácia da formação de competência, iniciativa e criatividade. Todos esses mecanismos atuam em unidade e têm um impacto positivo no desenvolvimento da atividade criativa no processo educativo. Foi revelado que no processo de aprendizagem da resolução de problemas geométricos incluídos no sistema desenvolvido, os alunos demonstram indicadores mais elevados do nível de formação da atividade criativa.
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