ACTUALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA INTENCIONAL DE LOS ESCOLARES SUPERDOTADOS EN EL PROCESO DE DOMINAR LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS: DEL APOYO AL MECANISMO DE ACTIVIDAD
ACTUALIZATION OF GIFTED SCHOOLCHILDREN’S INTENTIONAL EXPERIENCE IN THE PROCESS OF MASTERING GEOMETRIC CONCEPTS: FROM SUPPORT TO ACTIVITY MECHANISM
Natalia Georgievna PODAEVA1 Pavel Alexandrovich AGAFONOV2
RESUMEN: Las habilidades intelectuales de las personas se convierten en un recurso poderoso. El desarrollo de los escolares intelectualmente superdotados debería ser el centro de la política educativa estatal. La opinión principal rusa interpreta el fenómeno de la superdotación como una cualidad sistémica que describe la psique del niño en su conjunto. Este enfoque prioriza la actualización y el enriquecimiento de la experiencia intencional de los escolares superdotados durante la enseñanza de la geometría. Asume el desarrollo de un estado subjetivo particular de orientación y selectividad de la actividad cognitiva individual en preferencias. La eficiencia de actualizar la experiencia intencional de los escolares
superdotados en la forma de sus disposiciones individuales, creencias y evaluaciones emocionales mientras se resuelven problemas geométricos durante las competencias académicas es proporcionada por actividades educativas específicamente organizadas. Se correlaciona con el desarrollo de la actividad mental durante el dominio de los métodos de actividad con conceptos geométricos.
PALABRAS CLAVE: Enseñanza de geometria. Experiencia intencional. Actividad mental. Ambiente educativo. Unidades de pensamiento integral.
ABSTRACT: People’s intellectual abilities become a powerful civilization resource. Therefore, intellectually gifted schoolchildren’s development should be the focus of the state educational policy. Russian opinion leaders interpret the phenomenon of giftedness as a systemic quality that describes the child’s psyche as a whole. Such an approach turns into a priority to update and enrich the gifted schoolchildren’s intentional experience during geometry teaching. It assumes the development of a particular subjective state of orientation and selectivity of individual cognitive activity in preferences. This unique state becomes a mental activity mechanism, not just an accessory. The statistical data analysis confirms the hypothesis: the efficiency of actualizing gifted schoolchildren’s intentional experience in the form of their individual dispositions, beliefs, and emotional assessments while solving geometric problems during academic competitions is provided by specifically organized educational activities. It positively correlates with the level of mental activity development during mastering the activity methods with geometric concepts.
KEYWORDS: Geometry teaching. Intentional experience. Mental activity. Educational environment. Integral thinking units.
No mundo moderno, as habilidades intelectuais das pessoas se tornaram um poderoso recurso de civilização. Novos conhecimentos, tecnologias e valores da vida social nascem na consciência individual ou de grupo devido à operação do intelecto. O futuro de qualquer estado é predeterminado pelo número de intelectuais de sua população. Ao mesmo tempo, o recurso intelectual vem se formando há muito tempo, sendo um fator de longo prazo de influência no desenvolvimento social. Portanto, o desenvolvimento de alunos com superdotação intelectual deve ser o foco da política educacional do estado. O fato é que o mundo moderno está mudando dramaticamente, enquanto o sistema educacional não se adapta a essas mudanças com a rapidez necessária. As ideias obsoletas na educação não se conformam com as novas mudanças globais no mundo e na sociedade. E mesmo se reconstruirmos este sistema para cumprir os requisitos de hoje, ele ficará desatualizado quando os alunos da primeira série de hoje deixarem a escola. A consciência dessas mudanças
exige a estruturação de novos conceitos e modelos de desenvolvimento da educação que possibilitem acompanhar o mundo moderno e focar em um futuro mutável.
Neste estudo, o desenvolvimento de crianças em idade escolar com superdotação matemática é considerado um paradigma científico geral pós-não-clássico que muda o foco da atenção para a retenção da integridade, a proporção e a influência mútua do racional e irracional, consciente e inconsciente no processo de cognição. Na história e na filosofia da ciência, existem três paradigmas de racionalidade científica - clássico, não clássico e pós-não- clássico - que estão associados a três períodos no desenvolvimento do conhecimento científico e aos estilos de pensamento relevantes (STEPIN, 2007).
Uma característica específica do estilo de pensamento clássico é a confiança no método dedutivo-axiomático na estruturação de uma imagem de mundo clássica estável. No entanto, é justamente a estabilidade das amostras clássicas que se tornou um dos motivos da impossibilidade de utilizá-las no estudo de sistemas dinâmicos devido às suas limitações metodológicas. Como resultado, o paradigma clássico sofreu críticas e revisionismo.
O tipo de racionalidade não clássico é notável, primeiro, por seus princípios de pluralismo, subjetivismo e comunicatividade. A consciência da regularidade caracteriza o estilo de pensamento não clássico expresso em função da natureza do conhecimento obtido usando o método subjetivo selecionado de comportamento inteligente e abordagem cognitiva individual. A consciência da regularidade também depende da capacidade de avaliar o conhecimento fornecido pela ciência no contexto de seu valor social e de suas normas morais, de compreender o sentido desse conhecimento dentro de um determinado contexto histórico. O principal objetivo do processo educacional é desenvolver a personalidade única de uma criança criativa, seguindo suas disposições e preferências cognitivas.
Invocar os pós-não-clássicos, que mudam o foco da atenção para a retenção da integridade e a correlação e influência mútua do racional e irracional no processo de cognição, é especialmente relevante para a educação matemática. É bem sabido que a matemática se destaca por sua abstração, pela natureza teórica (mas não empírica) de seu assunto e por sua “ascensão” dialética do abstrato ao específico. O contexto do pensamento de um matemático é inequívoco, puramente lógico (em contraste com o contexto ambíguo e figurativo do conhecimento teórico, mas praticamente aplicado). Os estudos das últimas décadas (ROTENBERG; BONDARENKO, 1989; ZEMLIAKOV, 2005) evidenciam que o hemisfério esquerdo o pensamento é usado em demasia no mundo moderno. Este pensamento apresenta a abordagem verbal, lógica e operacional da informação reduzida a contextos específicos. No entanto, o hemisfério direito do cérebro humano pode perceber totalmente um contexto de
múltiplos valores ao mesmo tempo enquanto integra todas as conexões contraditórias do mundo circundante. Ele supervisiona uma geração de “autoimagem” multivalorada (ROTENBERG, 2001).
Os principais especialistas russos interpretam o fenômeno da superdotação como uma qualidade sistêmica que caracteriza a psique da criança como um todo (BOGOYAVLENSKAYA; SHADRIKOV, 2003). Ao mesmo tempo, nota-se que é a orientação pessoal e o sistema de valores que atendem ao desenvolvimento do talento individual. Nesse sentido, atualiza-se a abordagem sociocultural da educação, na qual o valor é considerado uma categoria central. A atividade é considerada uma microestrutura da cultura e um fenômeno cultural. A dinâmica de desenvolvimento de valor interno e as fases dessa dinâmica também são destacadas. Tal abordagem se torna uma prioridade para atualizar e enriquecer a experiência intencional (emocional e avaliativa) dos alunos superdotados durante o ensino de geometria. Ela pressupõe o desenvolvimento de um determinado estado subjetivo de orientação e seletividade da atividade cognitiva individual nas preferências, crenças e atitudes. Esse estado subjetivo se torna um mecanismo de atividade cognitiva, não apenas um acessório.
O objetivo do estudo descreve o modelo de atualização da experiência intencional de alunos superdotados no domínio de conceitos geométricos utilizando o recurso do sistema dinâmico GeoGebra (ARBAIN; SHUKOR, 2015; TAKACI; STANKOV; MILANOVIC, 2015; THAMBI; EU, 2013; ZAKARIA; LEE, 2012; ZENGIN; FURKAN; KUTLUCA,
2012). O objetivo é alcançado através da resolução das seguintes tarefas: esclarecer o conceito de “atualização intencional da experiência de alunos superdotados no processo de domínio de conceitos geométricos”; justificar o ambiente psicodidático para a efetiva atualização da experiência intencional; para determinar os níveis, estágios e padrões de atualização de experiência intencional e a formação da esfera de valor semântico dos alunos; descrever os resultados do trabalho experimental dentro do curso “Os problemas selecionados para competições acadêmicas de geometria” para alunos superdotados da 8ª à 9ª série usando o recurso do sistema dinâmico GeoGebra como um componente do ambiente educacional eletrônico (AEE).
A análise da formação de visões conceituais de “aprendizagem” resultou na identificação de três abordagens: abordagem cognitiva - aprendizagem como cognição
(RUBINSTEIN, 1999) abordagem comportamental - aprendizagem como aquisição de experiência (TOLMAN; BRUNSWIK, 1935) e abordagem sociocultural - aprendizagem como desenvolvimento de valores culturais (DOBRENKOV, 2003).
A escola de psicologia supervisionada por Piaget (1966) desenvolveu um conceito cognitivo-comportamental. A aprendizagem é interpretada como a aquisição de experiência cognitiva, a formação de habilidades como ações mentais, como o aprimoramento das habilidades mentais e cognitivas inerentes ao desenvolvimento da personalidade. A inteligência humana é tratada como um sistema de derivados de atividades e operações objetivas que interagem entre si para formar uma estrutura integral específica. A aquisição de experiência passa a ser o resultado da aprendizagem (PIAGET, 1966).
Os resultados da pesquisa de muitos psicólogos e dialéticos russos e estrangeiros mostraram que, por um lado, o desenvolvimento do pensamento ocorre espontaneamente durante o ensino da matemática. Por outro lado, o pensamento matemático não é apenas um dos componentes mais significativos da atividade cognitiva. Por outro lado, sem o desenvolvimento do pensamento matemático proposital, é impossível alcançar resultados eficazes no domínio, pelos alunos, do sistema de conhecimento matemático, habilidades e competências.
Como resultado da análise da evolução das visões sobre a aprendizagem no aspecto sociocultural, algumas tendências foram identificadas. O processo de aprendizagem é considerado um fenômeno sociocultural (SOROKIN, 1941). Os valores sociais são um fator social essencial na aprendizagem (SHCHEDROVITSKY, 2003). A essência da função sociocultural da educação é considerada uma regulação das relações entre um indivíduo e a experiência social por meio de mecanismos específicos, compreendendo orientações de valores e uma abordagem centrada em valores (SHIRSHOV, 2001).
Revendo os conceitos e ideias que compõem sua compreensão da assimilação do conhecimento social por uma determinada pessoa, gostaríamos de citar o conceito de ensino de matemática sociocultural (PODAEVA et al., 2014; PODAEVA; PODAEV, 2019a). Nesse contexto, os autores afirmam que na educação moderna, o reconhecimento da função sociocultural do ensino significa a existência de uma tecnologia sociocultural que visa transferir a experiência de atividade social e pessoalmente significativa estruturada em conhecimentos, capacidades, habilidades e competências culturais básicas.
A pesquisa de I. N. Golitsyna aborda o uso de mídia digital no processo educacional (PODAEVA et al., 2014). Ambientes educacionais digitais modulares são examinados em artigos (DAVYDOV, 1992; DALINGER, 2006; KABANOVA-MELLER, 1962;
METELSKY, 1982; SARANTSEV, 1999; SLEPKAN, 1983; USTILOVSKAYA, 2008;
YAKIMANSKAYA, 2004).
A implementação da abordagem teórica requer o envolvimento de muitas heurísticas de pesquisa teórica descritas por Grudenov (1987), Poya (1975), Friedman (1989) e muitos outros autores. Envolver a maioria deles requer uma análise reflexiva da situação do problema e referência à experiência anterior de resolução de tais casos.
Ao analisar o aparato categorial deste estudo, na estrutura do sistema de signos simbólicos “conceito geométrico”, distinguimos provisoriamente os seguintes componentes: componente verbal e componente lógico (características ideais - propriedades, atributos); componente visual (itens materiais e objetos e modelos no mundo real) - a naturalização do conceito geométrico, bem como signos e estruturas simbólicas; componente de atividade que compreende ações e operações de imagem formal-lógico-figurativas. Finalmente, o componente emocional dos conceitos geométricos revela o papel do conhecimento de valor expresso como juízo de valor e desenvolvido com base na experiência emocional e avaliativa (intencional), como Poincaré e Hadamard (1949) colocam, a intuição e o sentimento estético atuam na geometria como uma peneira que peneira várias combinações de ideias pois as variedades mais valiosas revelam-se matematicamente as mais belas.
Por sua vez, na estrutura dos componentes da atividade de um conceito geométrico, distinguimos o plano do conceito relacionado ao conteúdo, o signo e os planos de atitudes intencionais.
A primeira categoria inclui reais operações cognitivas objetivamente significativas e práticas com um objeto geométrico que permite distinguir as relações espaciais nele (como se não percebesse as outras) e tratá-las como imagens. Conforme observado por Mordukhai- Boltovskoy (1950), o geômetra não se lembra da imagem visual do desenho. Ele se lembra apenas do posicionamento relativo dos objetos e de suas partes.
A segunda categoria inclui operações formais que começam com expressões de conhecimento e linguagem prontas, permitindo que você mude de uma propriedade para outra, mas não extraia novo conteúdo no objeto. Ou seja, eles não são cognitivos. Conforme demonstrado nos estudos de Piaget (1969), as operações formais são finalmente formadas na adolescência - são ações mentais categóricas e lógicas que facilitam a estruturação do raciocínio hipotético e dedutivo sem referência a uma situação específica (pensando no modo
"como se..." ) No domínio dos conceitos geométricos, as operações formais - análise, generalização, comparação em bases diversas apoiadas em conhecimentos conceituais - garantem a classificação das formas geométricas (PASANI, 2019).
Finalmente, o plano intencional relacionado a uma impressão emocional como uma modalidade de experiência inclui, bem como outras coisas, as técnicas intuitivas e o senso estético de um geômetra específico implementado como uma experiência intencional de alunos superdotados.
O estudo afirma que, ao estabelecer conceitos geométricos, o papel principal deve ser atribuído em primeiro lugar aos componentes de atividade e valor, não apenas e não tanto aos componentes lógicos verbais e visuais do sistema "de conceito" geométrico. Em outras palavras, a atividade cognitiva conceitual deve ser realizada em estruturas de imagem. Ao mesmo tempo, as operações lógicas e a experiência intencional do aluno devem ser seu mecanismo e fator de desenvolvimento. Os procedimentos holísticos devem ser as unidades de pensamento. Eles combinam o real, operações formais e técnicas intencionais.
Os psicólogos definem a experiência intencional como um sistema de educação que incorpora três grupos de estruturas mentais (preferências individuais, crenças pessoais e atitudes). Eles são fundamentos de predisposições intelectuais individuais. O principal objetivo da experiência intencional é a formação de critérios para selecionar as formas de resolver os problemas e métodos de atividade intelectual etc.
As crenças pessoais se manifestam como a capacidade de “ver” o problema. Significa uma declaração de problema independente como uma ação de uma pessoa intelectualmente proativa. Inclui também a intuição como a capacidade de chegar a um resultado intelectual inconscientemente com base no surgimento de confiança subjetiva e convicção na correção absoluta de uma visão particular das decisões tomadas, na avaliação da adequação da situação como "Não sei por quê, mas tenho certeza de que ...”. O processo intuitivo se refere à atividade do hemisfério direito. Tem uma natureza simultânea (colapsada, espasmódica) e praticamente não está sujeita a verbalização.
Vamos esclarecer que pela atualização da experiência intencional de alunos superdotados em dominar os conceitos geométricos, queremos dizer desenvolver um determinado estado subjetivo de orientação e seletividade da atividade cognitiva individual na forma de preferências, crenças e atitudes. Ele atua como um dos mecanismos de ação matemática conceitual e não apenas seu acessório. A opinião de A. Poincare a esse respeito é amplamente conhecida. Ele observou que a prova são silogismos arranjados em uma ordem específica, e somente se houver um “sentido dessa ordem”, pode-se abraçar todo o conjunto de argumentos (POINCARE, 1983, p. 36-37).
O modelo de sistema de atualização da experiência intencional de alunos superdotados no domínio dos conceitos geométricos foi desenvolvido em linha com o conceito social e cultural da educação matemática (PODAEVA; PODAEV, 2019b). Sob o conceito sociocultural, o aspecto processual das atividades pessoal e socialmente orientadas dos alunos para o domínio do conteúdo matemático é baseado no conceito de formação passo a passo das ações mentais (GALPERIN, 1985). Os autores do conceito sociocultural distinguem os níveis de compreensão, assimilação e uso. Esses níveis são um sistema integral de estágios de formação para ações mentais que também podem ser descritos como tarefas e padrões didáticos. O Nível 1 “Entendimento” é implementado nos estágios de consciência, compreensão e generalização. O Nível 2, “Assimilação”, compreende os padrões de memorização, sistematização e prevenção do esquecimento. O de nível 3, "Uso" é realizado nos estágios de formação de habilidades e seus usos comuns e criativos (PODAEVA; PODAEV, 2019b).
No contexto do conceito sociocultural, a tarefa primária é formar uma esfera de valor semântico nos alunos. Esta esfera é uma formação de sistema. Sua estrutura compreende componentes cognitivos (representações de valores), emocionais (relações de valores) e comportamentais (orientações de valores e significados pessoais). Obviamente, a atualização e o enriquecimento de sua experiência intencional são de grande importância para a formação da esfera de valor semântico em alunos superdotados. Lerner (1992) mencionou, a vivacidade da apresentação do material, a riqueza da imagem, recursos visuais esteticamente projetados, o incentivo à superação de dificuldades, o material memorável da história da ciência, as soluções elegantes de problemas são os veículos para a formação do sistema de valores. Por outro lado, para que a experiência intencional possa funcionar não apenas como
acessório da atividade cognitiva e científica, mas também como mecanismo e fator de desenvolvimento, ela precisa ser uma projeção dos principais estágios e padrões de valor e desenvolvimento da esfera semântica. Em outras palavras, a abordagem dedutiva formal tradicional deve ser complementada por uma abordagem sociocultural, em que o desenvolvimento da atividade cognitiva conceitual seja considerado um sistema didático multifuncional.
Estruturas mentais como parte da experiência intencional | Regularidades de atualização e enriquecimento das estruturas mentais | Componentes da esfera semântica de valor | Regularidades de desenvolvimento dos componentes da esfera semântica de valor |
Preferências individuais | O desenvolvimento de predisposições cognitivas individuais se manifesta na seletividade da escolha dos alunos de formas específicas para resolver os problemas e métodos de atividade intelectual. | Cognitiva | Formação de representações de valor que são o conhecimento sobre categorias, objetos e métodos matemáticos. As representações de valor devem ser incluídas em um sistema de valores pessoalmente reconhecido por meio de seu reflexo na consciência. |
Atitudes mentais | O desenvolvimento de experiências sensoriais e emocionais de seu trabalho intelectual (um senso de orientação de busca, clareza de solução e proximidade). | Emocional | Formação da atitude de valor dos alunos em relação ao conhecimento matemático como um portador de valores culturais. No processo de aprendizagem, um sistema de conhecimento de valor (avaliativo) é gradualmente formado. Isso cria o efeito da "presença pessoal" do aluno. O aluno se expressa na forma de julgamentos de valor usando palavras como "importante (inútil)", "racional (irracional)", "elegante (complicado)", "curioso (desinteressante)" etc. Baseando-se no sensorial e método emocional de codificação de informação é assumido. É formada por meio de questões que conduzem os alunos a avaliações dinâmicas da matéria. |
Crenças pessoais | Desenvolvimento da capacidade de "ver" o problema (uma declaração independente do problema como uma ação de uma pessoa intelectualmente proativa), confiança subjetiva e convicção na exatidão absoluta de uma visão particular das decisões tomadas, uma convicção na adequação da avaliação da situação tipo “Não sei por quê, mas tenho a certeza que...”, flexibilidade e adaptabilidade, iniciativa e autorregulação, produtividade e responsabilidade, liderança. | Comportamental | A aceitação de valores contribuirá para a formação de orientações de valores, significados pessoais e dinâmica de personalidade do aluno. Os valores assimilados pelo aluno são percebidos em seu comportamento e atividade. É essencial que usando tarefas especialmente selecionadas, os alunos possam aprender o seu direito de escolher a forma de comportamento educacional de acordo com suas preferências, avaliações e atitude de valor. |
Fonte: Elaborado pelos autores
O que mudará com a revisão da visão do processo de treinamento geométrico de alunos superdotados? A compreensão dos principais aspectos do treinamento em competição matemática mudará. Vamos dar uma olhada nessas diferenças ilustradas pelas respostas a algumas perguntas.
Abordagem formal dedutiva | Abordagem sociocultural |
Quem deve ser sujeito da atividade pedagógica para a formação matemática de adolescentes superdotados (estilo de ensino, paradigma educacional)? | |
Um matemático profissional com um alto nível de qualificação científica que comunica de forma consistente e correta a experiência historicamente acumulada de conhecimento matemático, levando em consideração as características do desenvolvimento dos alunos relacionadas à idade. | Matemático profissional de elevado nível de qualificação científica, com competências metodológicas e psicológicas, que atua como mediador entre o sistema de conhecimento científico e as características individuais dos alunos para garantir o seu desenvolvimento intelectual. |
De que forma o conteúdo educacional deve ser apresentado? | |
Na forma de um livro didático, um livro de problemas. | Na forma de um complexo educacional e didático, compreendendo tarefas variadas (informativas, explicativas, problemáticas, “impossíveis”, que demandem raciocínio), diferentes formas de apresentação da informação educacional (verbal e simbólica, visual, temática e prática, emocional e avaliativa), significa de organizar vários tipos de atividades (reprodutiva, de pesquisa, criativa). |
Que qualidades de pensamento o processo educacional desenvolve? | |
Analiticidade, linearidade, sucessividade, convolução, sinal e forma de expressão simbólica, natureza dedutiva, independência do contexto. | Sintética, não linearidade, expansão, simultaneidade, imagem e forma intuitiva de expressão, indutância, dependência de contexto. |
Quais são os meios de ensinar alunos superdotados em matemática? | |
O conhecimento matemático que a priori tem um efeito de desenvolvimento. | Complexo psicodidático de auxílios (motivação para introdução de conceitos, diálogo, construção de trajetórias educacionais individuais a partir de diagnósticos de input, bem como apoio à movimentação dos alunos ao longo dessas trajetórias, reflexão |
conjunta dos resultados alcançados, ambiente educacional variável ao nível de conteúdo de aprendizagem que fornece uma oportunidade para um aluno superdotado selecionar um método de comportamento inteligente seguindo suas predisposições cognitivas, técnicas de tomada de decisão preferidas, seleção de formas de controle, seletividade de tópicos específicos). | |
Qual é o valor-alvo do processo educacional e pedagógico? | |
Conhecimentos, habilidades, competências (capacidade de resolver problemas de nível de competição matemática). | Junto com o conhecimento, habilidades e competências, a maturidade das habilidades culturais básicas do indivíduo, uma posição cognitiva aberta como uma atitude mental para o mundo, quando a visão de mundo individual é caracterizada pela flexibilidade, variabilidade de formas subjetivas de compreender o mesmo evento, tolerância em relação informação paradoxal, disposição para aceitar e discutir outro ponto de vista etc. |
Fonte: Elaborado pelos autores
O modelo desenvolvido do sistema de atualização da experiência intencional de alunos superdotados no processo de domínio de seus conceitos geométricos compreende os seguintes subsistemas:
O subsistema tecnológico representado por um recurso específico na plataforma GeoGebra.ru;
O subsistema metodológico é implementado por meio da co-organização das atividades educacionais objetivas dos alunos com base na esfera semântica de valores formados.
Em termos de procedimento, este modelo é cíclico e contém:
O ciclo psicodidático garante o envolvimento dos sujeitos no processo de atualização e enriquecimento das estruturas mentais baseado num ciclo integral constituído por três fases:
1) Desenvolvimento das predisposições cognitivas individuais; 2) Desenvolvimento de experiências sensoriais e emocionais de seu trabalho intelectual; 3) Desenvolvimento da capacidade de “ver” o problema, intuição (confiança subjetiva e convicção na correção de uma visão específica das decisões tomadas, convicção na adequação da avaliação da situação);
- O ciclo de valor semântico reflete a estrutura da esfera semântica de valor. Compreende as seguintes fases sucessivas: a fase cognitiva - fornecendo representações de valores como conhecimentos sobre categorias e métodos matemáticos; a fase emocional - garantindo a atitude dos alunos com base em valores para o conhecimento matemático como um portador de valores culturais; a fase comportamental - fornecendo orientações de valores e
significados pessoais como a implementação de valores aceitos pelos alunos nos comportamentos e atividades;
O ciclo final concentra-se em verificar o nível alcançado de atualização de experiência intencional manifestada no desenvolvimento complexo das preferências individuais, crenças pessoais, atitudes mentais dos alunos agindo como um dos mecanismos de atividade cognitiva e científica e não apenas um acessório.
No processo de trabalho experimental, o sucesso da formação das preferências individuais foi garantido por um ambiente educacional instável ao nível do conteúdo acadêmico - a variabilidade das formas subjetivas de compreensão do mesmo evento. Ele fornece uma oportunidade para um aluno talentoso selecionar um método de comportamento inteligente seguindo suas predisposições e preferências cognitivas, a seleção da forma de controle e a seletividade de tópicos específicos. A tarefa de individualização do ensino foi definida. Os problemas foram selecionados de forma que alunos com diferentes capacidades matemáticas e predisposições cognitivas pudessem escolher a linha de comportamento inteligente que mais se adequasse às suas preferências. Diferentes abordagens para resolver o mesmo problema foram consideradas. Muita atenção foi dada à abordagem de jogo. Deve-se mencionar que muitos pesquisadores (PETER, 1968; PISAREVSKY; KHARIN, 2004) consideram o jogo uma das fontes matemáticas. Eles identificam a matemática com o "grande jogo". Vários jogos didáticos foram usados: jogos com regras estritas (loteria matemática, trabalhar com cifras, jogos de computador), jogos de RPG (competições, torneios), jogos correcionais (jogos de exercício), jogos intelectuais (experimento imaginário, experimento de computador, encontrar uma solução em uma “situação impossível” etc.).
Assim, uma das formas é um anel cerebral matemático. As crianças são divididas em equipes; os capitães seguram o botão com as mãos. Depois que a pergunta foi lida em voz alta, a equipe que conseguiu apertar o botão primeiro é a primeira a responder. Em caso de resposta errada, a questão é jogada entre as equipes restantes. Cada questão tem sua pontuação, e ganha a equipe com o maior número de pontuações. Outra forma é uma batalha matemática. As equipes recebem tarefas (cerca de 8). Eles têm cerca de 3 horas para uma solução e discussão conjunta. Duas equipes competem. Os capitães jogam pelo direito da primeira chamada. A equipe adversária é chamada para uma tarefa específica, e a chamada ou é aceita - e um orador sai pela equipe e se opõe a um adversário. O locutor conta a solução, o
oponente faz perguntas e avalia a solução. Após a conclusão do relatório e do veredito, o júri distribui a pontuação para esta tarefa. Se a equipe adversária não aceitar o desafio, a tarefa é dita pelo locutor da equipe, que havia desafiado o adversário.
Assim, o estudo do tópico “A Tarefa de Apolônio” é organizado na forma de um RPG. Os personagens do jogo são divididos em grupos. Eles resolvem o problema por meio de um brainstorming. Cada grupo justifica seu método de solução (analítico, geométrico, usando geometria projetiva). Os alunos escolhem um grupo como desejam com base em suas preferências e predisposições cognitivas (analíticas, sintetizadores etc.). Eles participam da discussão da solução. A historicidade foi usada para garantir o desenvolvimento das atitudes mentais (experiências sensoriais e emocionais do trabalho intelectual dos alunos). A abordagem da historicidade pressupõe informações sobre os objetos incluídos na zona cultural e histórica do processo educacional. Facilitou o acesso à aprendizagem orientada para valores. O conhecimento matemático atuou como forma de domínio dos valores culturais, segundo Sharygin (2004, p. 73), a geometria é um fenômeno da cultura universal: “Alguns teoremas da geometria estão entre os monumentos mais antigos da cultura mundial. Uma pessoa não pode se verdadeiramente desenvolver cultural e espiritualmente se não estudou geometria na escola; a geometria surgiu não só de necessidades práticas, mas também espirituais humanas”. Voltando-nos para vários métodos científicos de resolução dos mesmos problemas tornados análogos culturais e históricos, examinamos um objeto educacional fundamental como o axioma paralelo. A gênese do axioma está inseparavelmente associada à prova do quinto postulado de Euclides e à geometria de Lobachevsky. Por exemplo, antes de resolver os problemas, investigamos a história do estabelecimento do quinto postulado de Euclides para que os alunos vejam o papel do problema de sua prova na cultura mundial. As informações historiográficas estipulam que desde a época de Euclides e até o final do século XIX, muitas tentativas foram feitas, para comprovar o quinto postulado, por O. Khayyam, Legendre etc. (BOGOMOLNY, 2018). Ao mesmo tempo, o autor da prova erroneamente partiu de suposições que, como foi descoberto mais tarde, eram o equivalente ao quinto postulado. Assim, as tentativas falharam, mas como resultado, vários teoremas notáveis da geometria absoluta foram provados. Legendre (1867) posteriormente sistematizou-os. Também mencionamos um análogo alternativo da interpretação da teoria do paralelismo por Lobachevsky (1829). Os alunos receberam sua posição cognitiva, dependendo de uma das duas interpretações do axioma paralelo cultural e histórico - geometria de Euclides e
geometria absoluta.
Usamos métodos empíricos (o método de somar problemas, prova tardia, aumento passo a passo no nível de rigidez teórica) como técnicas didáticas voltadas para o desenvolvimento de crenças pessoais (a capacidade de "ver" o problema, intuição), direta ou indiretamente relacionadas à possibilidade de utilização no processo educacional de produtos de software científico e educacional denominado Software de Geometria Dinâmica ou ambiente geométrico interativo. O método de “resumir tarefas” foi reduzido para definir uma série de tarefas ou tarefas para os alunos para experimentos com modelos de objetos geométricos no ambiente GeoGebra. Eles precedem a solução teórica do problema para criar a base das ideias iniciais sobre a manifestação de padrões formalizados no processo de solução teórica.
A técnica de "prova atrasada" assumiu a apresentação de itens teóricos declarativamente (sem prova) ou substituindo a prova por uma demonstração da verdade das declarações em uma interpretação particular ou usando exemplos específicos no ambiente GeoGebra.
O método de “aumento gradual do nível de rigidez teórica” é baseado na ideia de modelos maleáveis propostos pelo acadêmico Arnold (2000). Ele sugeriu a substituição de definições estritas por descrições de conceitos nos primeiros estágios e de substituição de prova por raciocínio verdadeiro ou uma demonstração visual da manifestação de regularidades.
Os resultados do trabalho experimental reúnem as questões do impacto de uma metodologia especialmente organizada usando os sistemas de geometria dinâmica na atualização e enriquecimento dos principais componentes da experiência intencional que formam a base do desenvolvimento intelectual produtivo dos alunos na resolução de problemas geométricos em concursos matemáticos.
O artigo descreve o modelo do sistema de atualização da experiência intencional de alunos superdotados no processo de domínio de conceitos geométricos que foram desenvolvidos em consonância com a visão sociocultural da educação matemática. Afirma-se a ideia de que a experiência intencional pode atuar como acessória da atividade conceitual cognitiva e de seu mecanismo e fator de desenvolvimento. Mas a experiência intencional é adequada por ser apenas uma projeção dos principais estágios e padrões do desenvolvimento da esfera semântica de valores em alunos superdotados em termos de seu conteúdo, práticas e
estrutura. Os fatores, métodos e técnicas que garantem a atualização das experiências emocionais e avaliativas dos sujeitos em treinamento são examinados. Os resultados dos diagnósticos de crianças em idade escolar evidenciam uma correlação significativa entre o nível de maturidade técnica no manuseio de conceitos geométricos ao resolver os problemas geométricos em competições matemáticas e o nível de atualização da experiência intencional em disciplinas em treinamento.
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ATUALIZAÇÃO DA EXPERIÊNCIA INTENCIONAL DE ALUNOS SUPERDOTADOS NO PROCESSO DE DOMINAR CONCEITOS GEOMÉTRICOS: DO SUPORTE AO MECANISMO DE ATIVIDADE
ACTUALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA INTENCIONAL DE LOS ESCOLARES SUPERDOTADOS EN EL PROCESO DE DOMINAR LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS: DEL APOYO AL MECANISMO DE ACTIVIDAD
Natalia Georgievna PODAEVA1 Pavel Alexandrovich AGAFONOV2
RESUMO: No mundo moderno, as habilidades intelectuais das pessoas se tornam um poderoso recurso da civilização. Portanto, o desenvolvimento de alunos com superdotação intelectual deve ser o foco da política educacional do estado. Os principais formadores de opinião da Rússia interpretam o fenômeno da superdotação como uma qualidade sistêmica que descreve a psique da criança como um todo. Tal abordagem prioriza a atualização e enriquecimento da experiência intencional de alunos superdotados durante o ensino de geometria. Isso pressupõe o desenvolvimento de um determinado estado subjetivo de orientação e seletividade da atividade cognitiva individual baseada em preferências. A análise de dados estatísticos confirma a eficiência de atualizar a experiência intencional de
alunos superdotados na forma de suas disposições individuais, crenças e avaliações emocionais enquanto resolve problemas geométricos durante competições acadêmicas é fornecida por atividades educacionais especificamente organizadas. Isso se correlaciona com o desenvolvimento da atividade mental durante o domínio dos métodos de atividade com conceitos geométricos.
PALAVRAS-CHAVE: Ensino de geometria. Experiência intencional. Atividade mental. Ambiente educacional. Unidades de pensamento integral.
RESUMEN: Las habilidades intelectuales de las personas se convierten en un recurso poderoso. El desarrollo de los escolares intelectualmente superdotados debería ser el centro de la política educativa estatal. La opinión principal rusa interpreta el fenómeno de la superdotación como una cualidad sistémica que describe la psique del niño en su conjunto. Este enfoque prioriza la actualización y el enriquecimiento de la experiencia intencional de los escolares superdotados durante la enseñanza de la geometría. Asume el desarrollo de un estado subjetivo particular de orientación y selectividad de la actividad cognitiva individual en preferencias. La eficiencia de actualizar la experiencia intencional de los escolares superdotados en la forma de sus disposiciones individuales, creencias y evaluaciones emocionales mientras se resuelven problemas geométricos durante las competencias académicas es proporcionada por actividades educativas específicamente organizadas. Se correlaciona con el desarrollo de la actividad mental durante el dominio de los métodos de actividad con conceptos geométricos.
PALABRAS CLAVE: Enseñanza de geometria. Experiencia intencional. Actividad mental. Ambiente educativo. Unidades de pensamiento integral.
In the modern world, people’s intellectual abilities became a powerful civilization resource. New knowledge, technologies, and social life values are born in individual or group consciousness due to intellect operation. The future of any state is predetermined by the number of intellectuals in its population. At the same time, the intellectual resource is being formed for a long time, being a long-term factor of social development influence. Therefore, intellectually gifted schoolchildren’s development should be the focus of the state educational policy. The thing is that the modern world is changing dramatically, while the education system does not adapt to these changes promptly enough. The obsolete ideas in education do not conform to the new global changes in the world and society. And even if we rebuild this system to comply with the requirements of today, it will become outdated by the time today’s first graders leave school. Awareness of these changes requires structuring new concepts and models of education development enabling keep up with the modern world and focusing on a changeable future.
In this study, mathematically gifted schoolchildren development is considered in a post-non-classical general scientific paradigm that shifts the attention focus to integrity retention, the ratio and mutual influence of the rational and irrational, conscious and unconscious within the cognition process. In the history and philosophy of science, there are three paradigms of scientific rationality – classical, non-classical, and post-non-classical – that are associated with three periods in scientific knowledge development and with the relevant thinking styles (STEPIN, 2007).
A specific feature of the classical thinking style is the reliance on the deductive– axiomatic method in structuring a stable classical world image. However, it is precisely the stability of classical samples that has become one of the reasons for the impossibility of using them in the study of dynamic systems due to their methodological limitations. As a result, the classical paradigm has undergone criticism and revisionism.
The non-classical rationality type is remarkable, first, for its pluralism principles, subjectivism, and communicativeness. The awareness of regularity characterizes the non- classical thinking style expressed depending on the nature of the knowledge obtained using the selected subjective method of intelligent behavior and individual cognitive approach. Regularity awareness also depends on the ability to evaluate the knowledge provided by science in the context of their social value and moral norms, on understanding the sense of this knowledge within a particular historical context. The main educational process objective is developing a unique creative child’s personality following his cognitive dispositions and preferences.
Invoking post-non-classics, which shifts the attention focus to the integrity retention and the correlation and mutual influence of the rational and irrational within the cognition process, is especially relevant for mathematical education. It is well known that mathematics is outstanding for its abstractness, the theoretical (but not empirical) nature of its subject, and its dialectical “ascension” from the abstract to the specific. The context of a mathematician’s thinking is unambiguous, purely logical (in contrast to the ambiguous, figurative context of theoretical but practicallyapplied knowledge. The studies of the recent decades (ROTENBERG; BONDARENKO, 1989; ZEMLIAKOV, 2005) evidence that left-hemisphere thinking is overused in the modern world. This thinking features the verbal, logical, information-operating approach reduced to specific contexts. However, the human brain's right hemisphere can fully perceive a multi-valued context while integrating all the contradictory connections of the surrounding world. It oversees a multi-valued “self-image” generation (ROTENBERG, 2001).
The leading Russian experts interpret the giftedness phenomenon as a systemic quality that characterizes the child’s psyche as a whole (BOGOYAVLENSKAYA; SHADRIKOV, 2003). At the same time, it is noted that it is the personal orientation and the value system that cater to individual talent development. In this regard, the sociocultural approach to education is actualized, in which the value is regarded as a core category. Activity is considered a culture microstructure and a cultural phenomenon. The internal value development dynamics and the phases of these dynamics are also highlighted. Such an approach turns into a priority to update and enrich the gifted schoolchildren’s intentional (emotional and evaluative) experience during geometry teaching. It assumes the development of a particular subjective state of orientation and selectivity of individual cognitive activity in preferences, beliefs, and attitudes. This subjective state becomes a cognitive activity mechanism, not just an accessory. The study objective describes the model of gifted schoolchildren’s intentional experience actualization in mastering geometric concepts using the resource of the GeoGebra dynamic system (ARBAIN; SHUKOR, 2015; TAKACI; STANKOV; MILANOVIC, 2015; THAMBI; EU, 2013; ZAKARIA; LEE, 2012; ZENGIN; FURKAN; KUTLUCA, 2012). The
aim is achieved by solving the following tasks: to clarify the concept of “gifted schoolchildren’s intentional experience actualization in the process of mastering geometric concepts”; to justify the psych didactic environment for the efficient intentional experience actualization; to determine the levels, stages, and patterns of intentional experience actualization and the formation of the value-semantic students’ sphere; to describe the experimental work results within the course “The selected problems for geometry academic competitions” for gifted 8-9 grade students using the resource of the GeoGebra dynamic system as a component of the electronic educational environment (EEE).
The analysis of “learning” concept views formation resulted in identifying three approaches: cognitive approach – learning as cognition (RUBINSTEIN, 1999) behavioral approach – learning as experience acquisition (TOLMAN; BRUNSWIK, 1935) and sociocultural approach – learning as cultural values development (DOBRENKOV, 2003).
The psychological school supervised Piaget (1966) developed a cognitive-behavioral concept. Learning is interpreted as the acquisition of cognitive experience, the formation of skills as mental actions, as the improvement of the mental, cognitive abilities inherent to personality development. Human intelligence is treated as a system of derivatives of objective
activities and operations that interact with each other to form a specific integral structure. The experience acquisition deems to be the learning outcome (PIAGET, 1966).
The research results of many Russian and foreign psychologists and dialecticians have shown that, on the one hand, thinking development occurs spontaneously during mathematics teaching. On the other hand, mathematical thinking is not only one of the most significant cognitive activity components. On the other hand, without purposeful mathematical thinking development achieving effective results in students’ mastering the system of mathematical knowledge, skills and abilities are impossible.
As a result of the analysis of the development of views on learning in the sociocultural aspect, some trends have been identified. The learning process is considered a sociocultural phenomenon (SOROKIN, 1941). Social values are an essential social factor in learning (SHCHEDROVITSKY, 2003). The essence of education's sociocultural function is considered a regulation of relations between an individual and social experience via specific mechanisms, comprising value orientations and a value-focused approach (SHIRSHOV, 2001).
Reviewing the concepts and ideas that comprise their understanding of social knowledge assimilation by a particular person, we would like to mention the concept of sociocultural mathematics teaching (PODAEVA et al., 2014; PODAEVA; PODAEV, 2019a). In this context, the authors claim that in modern education, the recognition of the sociocultural function of teaching means the existence of a sociocultural technology aimed at transferring the socially and personally significant activity experience structured as knowledge, capacities, skills, and basic cultural abilities.
I. N. Golitsyna's research touches upon the use of digital media in educational process (PODAEVA et al., 2014). Modular digital educational environments are examined in papers (DAVYDOV, 1992; DALINGER, 2006; KABANOVA-MELLER, 1962; METELSKY, 1982; SARANTSEV, 1999; SLEPKAN, 1983; USTILOVSKAYA, 2008; YAKIMANSKAYA, 2004).
The implementation of the theoretical approach requires the involvement of many theoretical search heuristics described by Grudenov (1987), Poya (1975), Friedman (1989), and many other authors. Engaging most of them requires a reflexive analysis of the problem situation and referring to the previous experience of resolving such cases.
While analyzing the categorial apparatus of this study, in the structure of the symbolic sign system “geometric concept,” we tentatively distinguish the following components: verbal and logical component (ideal characteristics – properties, attributes); visual component (material and objects items and models in the actual world – the geometric concept naturalization, as well as sign and symbolic structures; activity component that comprises formal-logical and figurative image actions and operations. Finally, the emotional component of geometric concepts reveals the role of value knowledge expressed as value judgments and developed based on emotional and evaluative (intentional) experience as Poincaré and Hadamard (1949) puts it, the intuition and esthetic feeling act in geometry as a sieve that sifts various combinations of ideas since the most valuable varieties turn out to be mathematically the most beautiful.
This way, in the activity component structure of a geometric concept, we distinguish the content-related plane of the concept, the sign, and intentional attitude planes.
The first category includes cognitive objectively meaningful practical and actual operations with a geometric object enabling to distinguish the spatial relations in it (as if not noticing the others) and to handle them as images. As noted by Mordukhai-Boltovskoy (1950), the geometrician does not remember the visual image of the drawing. He remembers only the relative positioning of objects and their parts.
The second category includes formal operations that begin with ready-made knowledge and language expressions enabling you to move from one property to another but not to extract new content in the object. That is, they are not cognitive. As shown in studies by Piaget (1969), formal operations are finally formed in adolescence – they are mental categorical and logical actions that facilitate structuring hypothetical and deductive reasoning without reference to a specific situation (thinking in the mode “as if...”). In mastering geometric concepts, the formal operations – analysis, generalization, comparison on various bases relying on conceptual knowledge – ensure the classification of geometric shapes (PASANI, 2019).
Finally, the intentional plane related to an emotional impression as an experience modality includes, as well as other things, the intuitive techniques and a specific geometrician’s esthetic sense implemented as an intentional experience of gifted schoolchildren.
The study claims that in establishing geometric concepts, the leading role should be assigned first and foremost to the activity and value components, not only to and not so much to the verbal logical, and visual components of the “geometric concept” system. In other words, the conceptual cognitive activity should be done in image structures. At the same time, the logical operations and the intentional experience of the learner should be its development mechanism and factor. The holistic procedures should be the thinking units. They combine actual, formal operations and intentional techniques.
Psychologists define the intentional experience as a system of education that incorporates three groups of mental structures (individual preferences, personal beliefs, and attitudes). They are fundamentals of individual intellectual predispositions. The main objective of intentional experience is criteria formation to select the ways to solve the problems and intellectual activity methods, etc.
The personal beliefs manifest themselves as the ability to “see” the problem. It means an independent problem statement as an action of an intellectually proactive person. It also includes intuition as the ability to come to an intellectual result unconsciously based on the emergence of subjective confidence and conviction in the absolute correctness of a particular view of the decisions made, on the adequacy of situation assessment like “I do not know why, but I am sure that...”, the intuitive process refers to right-hemisphere activity. It has a simultaneous (collapsed, spasmodic) nature, and it practically is not subject to verbalization.
Let us clarify that by the actualization of gifted schoolchildren’s intentional experience in mastering the geometric concepts, we mean developing a particular subjective state of orientation and selectivity of individual cognitive activity in the form of preferences, beliefs, and attitudes. It acts as one of the mechanisms of conceptual mathematical action and not just its accessory. The opinion of A. Poincare on this account is widely known. He remarked that the proof is syllogisms arranged in a specific order, and only if there is a “sense of this order,” one can embrace the whole set of arguments (POINCARE, 1983, p. 36-37).
The system model of gifted schoolchildren’s intentional experience actualization in mastering the geometric concepts has been developed in line with the social and cultural concept of mathematical education (PODAEVA; PODAEV, 2019b). Under the sociocultural concept, the procedural aspect of students’ personal and socially oriented activities for mastering mathematical content is based on the concept of step-by-step formation of mental actions (GALPERIN, 1985). The authors of the sociocultural concept distinguish the levels of understanding, assimilation, and use. These levels are an integral system of formation stages for mental actions that can also be described as didactic tasks and patterns. Level 1 “Understanding” is implemented at the stages of awareness, comprehension, and generalization Level 2, “Assimilation,” comprises the patterns of memorization, systematization, and forgetting prevention. Level 3 “Use” is realized at the stages of skills’ formation and their common and creative uses (PODAEVA; PODAEV, 2019b).
In the context of the sociocultural concept, the primary task is forming a semantic value sphere in students. This sphere is a system formation. Its structure comprises cognitive (value representations), emotional (value relations), and behavioral (value orientations and personal meanings) components. Obviously, the actualization and enrichment of their intentional experience are of great importance for forming the semantic value sphere in gifted schoolchildren. Lerner (1992) mentioned, the vividness of material presentation, image richness, esthetically designed visual aids, encouragement of overcoming difficulties, memorable material from science history, elegant problem solutions are the vehicles for value system formation. On the other hand, for the intentional experience to be able to function not only as an accessory of cognitive and scientific activity but also as the mechanism and factor of development, it needs to be a projection of the main stages and patterns of schoolchildren’s value and semantic sphere development. In other words, the traditional formal deductive approach should be supplemented by a sociocultural one, wherein the development of conceptual cognitive activity is regarded as a multifunctional didactic system.
Mental structures as part of intentional experience | Regularities of mental structures’ actualization and enrichment | Components of value semantic sphere | Developmental regularities of value semantic sphere components |
Individual preferences | The development of individual cognitive predispositions manifests itself in the selectivity of students’ choice of specific ways to solve the problems and intellectual activity methods. | Cognitive | Formation of value representations that are knowledge about mathematical categories, objects, and methods. Value representations should be included in a personally recognized system of values via their reflection in consciousness. |
Mental attitudes | The development of sensory and emotional experiences of their intellectual work (a sense of search orientation, solution clarity, and proximity). | Emotional | Formation of students’ value attitude to mathematical knowledge as a carrier of cultural values. In the process of learning, a system of value (evaluative) knowledge is gradually formed. It creates the effect of student’s “personal presence.” The student expresses oneself in the form of value judgments using the words such as “important (useless),” “rational (irrational),” “elegant (cumbersome),” “curious (uninteresting),” etc. Relying on the sensory and emotional method of information encoding is assumed. It is formed by using questions that lead the students to dynamic assessments of the subject material. |
Personal beliefs | Development of the ability to “see” the problem (an independent problem statement as an action of an intellectually proactive person), subjective confidence and conviction in the absolute correctness of a particular view of the decisions made, a conviction in the adequacy of situation assessment like “I do not know why, but I am sure that...”, flexibility and adaptability, initiative and self-regulation, productivity and responsibility, leadership. | Behavioral | The value acceptance will contribute to the formation of value orientations, personal meanings, and the student’s personality dynamic. The values assimilated by the student are realized in their behavior and activity. It is essential that using specially selected tasks, and the students could learn their right to choose the manner of educational behavior complying with their preferences, assessments, and value attitude. |
Source: Prepared by the authors
What will change with the revision of the view of the process of gifted schoolchildren’s geometric training? Understanding of the main aspects of mathematical competition training will change. Let’s have a look at these differences illustrated by answers to some questions.
Formal deductive approach | Sociocultural approach |
Who should be the subject of pedagogical activity for mathematical training of gifted teenagers (teaching style, educational paradigm)? | |
A professional mathematician with a high level of scientific qualification who consistently and correctly communicates the historically accumulated experience of mathematical knowledge, considering the age-related features of students’ development. | A professional mathematician with a high level of scientific qualification, having methodological and psychological competencies, acting as a mediator between the system of scientific knowledge and individual students’ features to ensure their intellectual development. |
In what form should the educational content be presented? | |
In the form of a textbook, a problem book. | In the form of an educational and didactic complex, comprising varied tasks (informative, explanatory, reasoning, problematic, “impossible”), different forms of educational information presentation (verbal and symbolic, visual, subject and practical, emotional and evaluative), means of organizing various types of activities (reproductive, research, creative). |
What thinking qualities does the educational process develop? | |
Analyticity, linearity, successiveness, convolution, sign and symbolic expression form, deductive nature, independence from context. | Synthetics, non-linearity, expansion, simultaneity, image and intuitive form of expression, inductance, dependence on context. |
What are the means of teaching mathematically gifted students? | |
Mathematical knowledge that a priori has a developing effect. | Psychodidactic complex of aids (motivation for concepts’ introduction, dialogue, construction of individual educational trajectories based on input diagnostics, as well as support for students’ movement along these trajectories, a joint reflection of the achieved results, a variable educational environment at the level of learning content that provides an opportunity for a gifted student to select an intelligent behavior method following his cognitive predispositions, preferred decision-making techniques, selection of control forms, selectivity of specific topics). |
What is the target value of the educational and pedagogical process? | |
Knowledge, abilities, skills (the ability to solve problems of mathematical contest level). | Along with knowledge, abilities, and skills, the maturity of individual’s cultural basic skills, an open cognitive position as a mental attitude to the world, when the individual worldview is featured by flexibility, variability of subjective ways of understanding the same event, tolerance towards paradoxical information, willingness to accept and to discuss another point of view, etc. |
Source: Prepared by the authors
The developed model of the system of actualization of gifted schoolchildren’s intentional experience in the process of their mastering geometric concepts comprises the following subsystems:
The technological subsystem represented by a specific resource on GeoGebra.ru platform;
The methodological subsystem is implemented through the co-organization of students’ purposeful educational activities based on formed value semantic sphere.
In procedural terms, this model is cyclic and contains:
The psychodidactic cycle ensures the involvement of subjects in the process of actualizing and enrichment of mental structures based on an integral cycle containing three phases: 1) Development of individual cognitive predispositions; 2) Development of sensory and emotional experiences of their intellectual work; 3) Development of the ability to “see” the problem, intuition (subjective confidence and conviction in the correctness of a specific view of the decisions made, the conviction in the adequacy of situation assessment);
The semantic value cycle reflects the structure of the value semantic sphere. It comprises the following successive phases: the cognitive phase – providing value representations as knowledge about mathematical categories and methods; the emotional phase – ensuring the value-based students’ attitude to mathematical knowledge as a carrier of cultural values; the behavioral phase – providing value orientations and personal meanings as the implementation of values accepted by students in behavior and activity;
The final cycle focuses on checking the achieved level of intentional experience actualization manifested in the complex development of students’ individual preferences, personal beliefs, mental attitudes, acting as one of the cognitive and scientific activity mechanisms and not just an accessory.
In the process of experimental work, the success of individual preferences formation was ensured by an unstable educational environment at the level of academic content – the variability of subjective ways of understanding the same event. It provides an opportunity for a gifted student to select a method of intelligent behavior following his cognitive predispositions and preferences, the control form selection, and the selectivity of specific topics. The task of individualization of teaching was set. The problems were selected so that students with different mathematical capacities and cognitive predispositions could choose the line of their intelligent behavior that complies most fully with their preferences. Different approaches to solving the same problem were considered. Much attention was paid to the game approach. It should be mentioned that many researchers (PETER, 1968; PISAREVSKY; KHARIN, 2004) consider the game to be one of the mathematics sources. They identify mathematics with the “great game”. Various didactic games were used: games with strict rules (mathematical lotto, working with ciphers, computer games), role-playing games (competitions, tournaments), correctional games (exercise games), intellectual games
(imaginary experiment, computer experiment, finding a solution in an “impossible situation” etc.).
Thus, one of the forms is a mathematical brain ring. The children are split into teams; the captains hold their hands on the button. After the question was read aloud, the team that managed to press the button first is the first to answer. In case of a wrong answer, the question is played between the remaining teams. Each question has its score, and the team wins with the highest number of scores. Another form is a mathematical battle. The teams receive tasks (about 8). They are given about 3 hours for a joint solution and discussion. Two teams compete. The captains play the right of the first call. The opposing team is called for a specific task, and the call may be accepted and a speaker comes out from the team, he is opposed by an opponent. The speaker tells the solution, the opponent asks questions and evaluates the solution. After completion of the report and the verdict, the jury distributes the scores for this task. If the opposing team does not accept the challenge, the task is told by the team's speaker, who had challenged the opponent.
So, studying the topic “The Task of Apollonius” is arranged in the form of a role- playing game. The game characters are divided into groups. They solve the problem by brainstorming. Each group justifies its solution method (analytical, geometric, using projective geometry). Students choose a group as they want based on their preferences and cognitive predispositions (analytics, synthesists, etc.). They participate in the solution discussion. Historicity was used to ensure the mental attitudes’ development (sensory and emotional experiences of students’ intellectual work). The historicity approach assumed information about objects included in the cultural and historical zone in the educational process. It facilitated access to value-oriented learning. Mathematical knowledge acted as a form of mastering cultural values, according to Sharygin (2004, p. 73), geometry is a phenomenon of universal culture: “Some geometry theorems are among the oldest monuments of the world culture. A person cannot truly develop culturally and spiritually if he did not study geometry at school; geometry arose not only from practical but also from human spiritual needs”.
Turning to various scientific methods of solving the same problems as cultural and historical analogs, we examined such a fundamental educational object as the parallel axiom. The axiom genesis is inseparably associated with the fifth Euclid’s postulate proving and Lobachevsky geometry. For example, before solving the problems, we delved into the history of establishing the fifth Euclid’s postulate for the students to see the role of the problem of its proof in world culture. The historiographical information was stipulated that since the time of
Euclid and until the end of the XIX century, many attempts were made to prove the fifth postulate by O. Khayyam, Legendre etc. (BOGOMOLNY, 2018). At the same time, the author of the proof mistakenly proceeded from assumptions that, as it was discovered later, were the equivalent of the fifth postulate. Thus, the attempts failed, but as a result, several remarkable theorems of absolute geometry were proven. Legendre (1867) subsequently systematized them. We also mentioned an alternative analog of the parallelism theory interpretation by Lobachevsky (1829). The students were given their cognitive position depending on one of the two cultural and historical parallel axiom interpretations – Euclid’s geometry and absolute geometry.
We used empirical methods (the method of summing up problems, delayed proof, step-by-step increase in theoretical strictness level) as didactic techniques aimed at personal beliefs development (the ability to “see” the problem, intuition), directly or indirectly related to the possibility of using in the educational process of scientific and educational software products called Dynamical Geometry Software or interactive geometric environment. The method of “summarizing tasks” was reduced to setting a series of tasks to students for experiments with geometric objects models in the GeoGebra environment. They precede the theoretical solution of the problem to create the foundation of initial ideas about the manifestation of patterns formalized in the process of theoretical solution.
The “delayed proof” technique assumed the presentation of theoretical items declaratively (without proof) or by replacing the proof with a demonstration of statements’ truth in a particular interpretation or using specific examples in GeoGebra environment.
The method of “gradual increase in theoretical strictness level” is based on the idea of soft models proposed by academician Arnold (2000). He suggested replacing strict definitions with concepts’ descriptions at the first stages and of proof replacement with truth-like reasoning or a visual demonstration of regularities’ manifestation.
The experimental work outcomes bring together the issues of the impact of a specially organized methodology using the dynamic geometry systems on actualization and enrichment of the main components of intentional experience that form the basis of students’ productive intellectual development in solving geometric problems at mathematical contests.
The article describes the model of the system of actualization of gifted schoolchildren’s intentional experience in the process of mastering geometric concepts that
had been developed in line with the sociocultural vision of mathematical education. The idea is claimed that the intentional experience can act as an accessary of cognitive conceptual activity and its mechanism and factor of its development. But the intentional experience is suitable for it only being a projection of the main stages and patterns of the value semantic sphere development in gifted schoolchildren in terms of its content, practices, and structure. The factors, methods, and techniques that ensure the actualization of trainee subjects' emotional and evaluative experiences are examined. The results of schoolchildren’s diagnostics evidence for a significant correlation between the level of technique maturity in handling geometric concepts while solving the geometric problems at mathematical contests and the actualization level of intentional experience in trainee subjects.
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https://doi.org/10.22633/rpge.v25i2.15449